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学习过程一、复习预习1、平面图形（1）长方形：由四条边围成的封闭图形，四个内角；对边相等，四个内角都是直角。
相关计算：周长=（长+宽）×2 面积=长×宽（2）正方形：由四条边围成的封闭图形，四个内角；四条边都相等，四个内角都是直角。
相关计算：周长=边长×4 面积=边长×边长（3）平行四边形：由四条边围成的封闭图形，对边平行而且相等。
相关计算：面积=底边×高（4）三角形：由三条边围成的封闭图形，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三个内角之和为1800。
按边分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。
按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形相关计算：面积=底边×高÷2（5）梯形：由四条边围成的封闭图形，有一组对边平行。
分类有等腰梯形，直角梯形和普通梯形。
相关计算：面积=（上底边+下底边）×高÷2（6）圆：由一条曲线围成的封闭图形，是小学阶段所学过的唯一一个曲线平面图形 相关计算：整圆周长=直径×π=半径×π×2 整圆面积=半径×半径×π半圆周长=半径×π+直径 半圆面积=半径×半径×π÷2圆环面积=（R 2-r 2）×π 扇形面积=2360r πα 2、立体图形（1）长方体：8个顶点，6个面，12条棱，相对的4条棱相等，相对的2个面大小相等 相关计算：棱长总和=（长+宽+高）×4 表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2体积=长×宽×高 或 =底面积×高（2）正方体：8个顶点，6个面，12条棱，所有棱相等，所有面大小相等相关计算：棱长总和=棱长×12 表面积=棱长×12体积=棱长×棱长×棱长 或 =底面积×高（3）圆柱：没有顶点，有两个底面和一个侧面相关计算：侧面积=底面周长×高 表面积=底面积×2+侧面积圆柱体积=底面积×高（4）圆锥：一个顶点，一个底面，一个侧面相关计算：圆锥体积=底面积×高×31三、例题精析考点一： 圆的周长 【例题1】自一枚象棋棋子的底面半径是3厘米，这枚棋子的底面周长是多少厘米？【例题2】一座客家围屋的直径约有45米，请你算一算围屋的外墙有多少米？【例题3】候车室的墙壁上挂着一个大钟，它的分针长40厘米，这根分针的尖端转动一周所走过的路程是多少厘米？考点二 已知圆的周长求直径【例题4】一个木桩的横截面周长是37.68米。
热点：关于不规则或组合立体图形的表面积和体积问题一、计算题。
1求下图立体图形的表面积。
【答案】114.84dm2【分析】由图可知，圆柱的上底面刚好填补正方体的上底面被覆盖的部分面积，因此图中立体图形的表面积可以看作是一个正方体的表面积加上一个圆柱的侧面积；根据正方体的表面积=棱长×棱长×6，圆柱的侧面积=底面周长×高，代入相应数值计算即可解答。
【详解】4×4×6+3.14×2×3=16×6+6.28×3=96+18.84=114.84(dm2)因此这个立体图形的表面积是114.84dm2。
2如图下图，求组合体的表面积。
(单位：厘米；π取3.14)【答案】142.84平方厘米【分析】观察图形可知，组合体的表面积等于长方体的表面积加上圆柱体的侧面积，根据长方体的表面积公式：S=ab+ah+bh×2，圆柱体的侧面积公式：S=πdh，代入数据计算即可。
【详解】8×6+8×1+6×1×2+3.14×2×3=48+8+6×2+3.14×2×3=62×2+3.14×2×3=124+18.84=142.84(平方厘米)即组合体的表面积是142.84平方厘米。
3计算下面圆柱的表面积和体积。
(单位：厘米)【答案】表面积：734.76平方厘米；体积：571.48立方厘米【分析】表面积=大圆直径是20厘米，小圆直径是6厘米的圆环面积×2+底面直径是20厘米，高是2厘米的圆柱的侧面积+底面直径是6厘米，高是2厘米的圆柱的侧面积；根据圆环的面积公式：面积=π×(大圆半径2-小圆半径2)，圆柱的侧面积公式：侧面积=底面周长×高，代入数据，即可解答；体积=底面直径是20厘米，高是2厘米的圆柱的体积-底面直径是6厘米，高是2厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积=底面积×高，代入数据，即可解答。
专题十二 立体图形考点解析立体图形应用题是小升初考试中的重点和难点，每年小升初考试，立体图形应用题都是必考点。
立体图形应用题主要考查常见立体图形（长方体、立方体、圆柱、圆锥）的表面积和体积，其中以求圆柱的体积的题型最为常见；另外，还考查等体积变形、三视图等衍生考点。
在复习时，熟练掌握常规立体图形表面积和体积的求法便能轻松应考。
学习难度：★★★★ 考点频率：★★★★★精讲精练1 立体图形的表面积和体积●正方体表面积公式：S 表 = 6a 2 体积公式：V = a 3 ●长方体表面积公式：S 表 = 2(ab +aℎ+bℎ) 体积公式：V = abℎ●圆柱表面积公式S 侧 = Cℎ=2πrℎS 表 = Cℎ=2πr 2体积公式：V = πr 2ℎ ●圆锥体积公式:V = 13 S 底h = 13πr 2ℎ例1（华罗庚金杯）已知一个长方体的长、宽、高的比为4:3:2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示）。
已知所有这样的六边形的周长最小为36，求这个长方体的表面积。
例❷（昆明市五华区小学毕业卷）一个圆柱形的容器内，放着一个长方体铁块，现在打开一个水龙头往容器里注水，3分钟后，水恰好没过长方体铁块的顶面，又过了18分钟，水灌满容器。
已知容器的高度是50厘米，长方体的高度为20厘米，求长方体铁块底面积与容器底面积的比。
例③（重庆市南开中学招生卷）一个圆柱和一个圆锥（如图所示），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米，问:圆锥体积与圆柱体积的比是多少?2 等积变形●特点等积变形问题是指形状改变，而体积（或面积）没有变。
例④（深圳市罗湖区小学毕业卷）一个长方体容器，底面是一个边长50厘米的正方形，容器中直立着一个高1米、底面是边长10（米的正方形的长方体铁块，这时容器中的水深40厘米。
如果把铁块轻轻上提24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？3 三视图与展开图●正方体的展开图●长方体的展开图●圆柱的展开图圆锥的展开图●圆锥的展开图例⑤（创新杯）一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13。
六年级【小升初】小学数学专题课程《立体图形的认识》（含答案）24.立体图形的认识知识要点梳理一、立体图形的展开图正方体的展开图长方体的展开图圆柱的展开图圆锥的展开图二、观察物体在实际生活中，常常需要对一个物体从不同角度、不同方位进行观察，来获得其形状、大小、颜色等各方面的信息。
1．从不同的角度、不同的方位观察物体，看到物体的形状可能是不同的。
2．能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的物体的形状。
三、立体图形的认识1.长方体与正方体特征的区别与联系名称图形相同点不同点面棱顶点面的特点棱长长方体 6个 12条8个 6个面一般都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，相对棱长相等每组（有3 组，分别叫长、宽、高）互相平行的４条棱相等正方体6个 12条8个 6个面都是相等的正方形 12条棱都相等 2、圆柱、圆锥的特征考点精讲分析典例精讲考点1立体图形的认识【例1】一个长方体的棱长总和是40厘米，其中长5厘米，宽3厘米，高是多少厘米？【精析】根据长方体棱长总和的计算公式，计算出长方体的高。
名称图形特征圆柱由3个面围成，上、下两底面是面积相等的圆。
侧面是一个曲面，沿高展开是长方形或正方形。
两个底面之间的距离叫做高，有无数条高。
圆锥由2个面围成，底面是一个圆形。
侧面是一个曲面，展开后是扇形。
顶点到底面圆心的距离叫做高，只有一条高【答案】40÷4－5－3＝2（厘米）答：高是2厘米。
【归纳总结】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。
【例2】把一个大正方体木块表面涂上红色的漆（如图），锯成完全一样的27块小正方体木块。
小正方体中一面红色、二面红色、三面红色各有多少块？【精析】我们可以想象一下，大正方形被切割成小正方体后，一面有红色的在大正方体每个面的最中间（如A处），两面有红色的在大正方体每条棱的中间（如B处），三面有红色的在大正方体的8个角上（如C处），没有红色的在中心内部。
小升初数学总复习专题汇编精讲精练专题19 立体几何的认识及表面积和体积（一）（一）长方体1、特征六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、计算公式：s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh（二）正方体1、特征六个面都是正方形六个面的面积相等12条棱，棱长都相等有8个顶点正方体可以看作特殊的长方体2、计算公式：S表=6a² v=a³（三）圆柱1、圆柱的认识圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高。
进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。
这种取近似值的方法叫做进一法。
2、计算公式：s侧=ch s表=s侧+s底×2 v=sh/3（四）圆锥1、圆锥的认识圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
2、计算公式：v= sh/3（五）球1、认识球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
球和圆类似，也有一个球心，用O表示。
从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。
通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。
2、计算公式：d=2r四、周长和面积1、平面图形一周的长度叫做周长。
2、平面图形或物体表面的大小叫做面积。
3、常见图形的周长和面积计算公式一．长方体和正方体的表面积【例3】（龙州县期末）求长方体的占地面积就是长方体的()A．表面积B．体积C．底面积D．侧面积【解答】解：要求一个长方体的是求这个长方体的底面积．故选：C．【变式3-1】（南山区期末）正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的()倍．A．2B．4C．6D．8【解答】解：一个正方体棱长扩大2倍，则体积扩大2228⨯⨯=倍．答：体积扩大到原来的8倍．故选：D．【变式3-2】（合肥期末）一个长方体木块长6厘米，宽4厘米，高2厘米．如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来最少增加16平方厘米，最多增加平方厘米．⨯⨯=（平方厘米）【解答】解：42216⨯⨯=（平方厘米）64248答：表面积比原来最少增加16平方厘米，最多增加48平方厘米．故答案为：16、48．【变式3-3】（黄冈期末）一个长方体的纸抽盒，在它的上面有一个长方形口（如图），这个纸抽盒的表面积是多少平方厘米？⨯+⨯+⨯⨯-⨯【解答】解：(2413247137)2142=++⨯-(31216891)228=⨯-571228=-114228=（平方厘米）1114答：这个纸抽盒的表面积是1114平方厘米．【变式3-4】（武汉月考）在一个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、5厘米的长方体的8个顶点处，分别截下一个棱长1厘米的正方体后，剩下物体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？⨯+⨯+⨯⨯【解答】解：(10810585)2=++⨯(805040)2=⨯1702=（平方厘米）；340⨯⨯-⨯⨯⨯10851118=-4008=（立方厘米），392答：剩下物体的表面积是340平方厘米，体积是392立方厘米．二．长方体和正方体的体积【例2】（肥城市期末）把一个棱长是2分米的正方体木块放入一个长12分米、宽9分米、高8分米的长方体盒子里面，最多能放()个正方体木块．A．90B．96C．108【解答】解：1226÷=（个)⋯（分米）924÷=（排)1÷=（层)824⨯⨯=（个)64496答：最多能放96个正方体木块．故选：B．【变式2-1】（鹿邑县期末）用混凝土铺一段长为80米、宽为15米的路面，混凝土厚为25厘米．一辆运料车每次最多运6立方米的混凝土，这辆运料车至少运()次才能完成任务．A．5000B．200C．50=米【解答】解：25厘米0.25⨯⨯÷80150.256=⨯÷12000.256=÷3006=（次)50答：这辆运料车至少运50次才能完成任务．故选：C．【变式2-2】（龙州县期末）一个商品盒是正方体形状，棱长为6厘米，这个商品盒的体积是216立方厘米，在这个盒的四周贴上商标，贴商标的面积是平方厘米．⨯⨯=（立方厘米）【解答】解：666216⨯⨯=（平方厘米）664144答：这个商品盒的体积是216立方厘米，贴商标的面积是144平方厘米．故答案为：216；144．【变式2-3】（环江县期中）一个长方体如果高缩短3cm就变成一个正方体，这时体积比原来缩小375cm，原长方体的体积是多少立方厘米？÷=（平方厘米）【解答】解：75325因为5的平方是25，所以原来长方体的底面边长是5厘米，25(53)⨯+258=⨯200=（立方厘米）答：原来长方体的体积是200立方厘米．【变式2-4】（蒙城县期末）一根2.5米长的长方体木料，把它截成3段后，表面积增加了264dm ，这根木料的体积是多少立方米？【解答】解：64平方分米964=平方米，0.644 2.5÷⨯0.16 2.5=⨯0.4=（立方米），答：这根木料的体积是0.4立方米． 二． 圆柱的侧面积、表面积和体积【例3】（环江县期中）用一张长6.28cm ，宽1dm 的长方形铁皮，围成一个圆柱体，这个圆柱的侧面积是( )A ．231.4cmB ．3.14 2mC ．212.56cmD ．262.8cm【解答】解：110dm cm =6.281062.8⨯=（平方厘米）答：这个圆柱的侧面积是62.8平方厘米．故选：D ．【变式3-1】（黄冈期末）一个底面内半径是3cm 的瓶子装了一些水，把瓶盖拧紧并倒放时水的高度见图①，正放时水的高度见图②，则瓶内水的体积是( 3)cm ．A ．54πB ．90πC ．60πD ．36π【解答】解：236π⨯⨯ 96π=⨯⨯354()cm π=答：瓶内水的体积是354cm π．故选：A ． 【变式3-2】．（黄冈期中）如图，把一个体积是3360cm 的圆柱形木料削成一个陀螺，陀螺的体积为 240 3cm ．【解答】解：33602180()cm ÷=1801803+÷18060=+3240()cm =答：陀螺的体积为3240cm ．故答案为：240． 【变式3-3】把一个底面积为125.6平方厘米，高18厘米的圆锥体铝锭熔铸成一个长10厘米，宽8厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？【解答】解：1125.618(108)3⨯⨯÷⨯753.680=÷9.42=（厘米），答：这个长方体的高是9.42厘米．【变式3-4】（•防城港模拟）已知一个内直径是8cm 的饮料瓶内还剩饮料的高度是6cm ，要解决“这个瓶子的容积是多少”这个问题，可以怎么解决？把你想到的办法表达清楚，不必解答．【解答】解：把瓶盖拧紧倒置放平，无饮料部分为圆柱体，根据瓶子的容积=无饮料部分圆柱的体积+饮料部分圆柱体体积计算，其中需要测量的是无饮料部分圆柱的高度，底面直径已知，由圆柱体积=底面积⨯高，即可求出瓶子的容积．真题强化演练一．选择题94.2cm．这个圆柱体积减少( 1．（杭州）一个圆柱体，如果把它的高截短3cm，它的表面积减少23)cm．A．30B．31.4C．235.5D．94.2【解答】解：半径：94.2(2 3.14)3÷⨯÷=÷÷94.2 6.283153=÷=（厘米）5体积：94.252⨯÷=÷4712=（立方厘米）235.5答：这个圆柱体积减少235.5立方厘米．故选：C．2．（桂林）下面三个结论，不正确的是()A．棱长相等的两个正方体，体积一定相等B．周长相等的两个长方形，面积一定相等C．周长相等的两个正方形，面积一定相等D．表面积相等的两个长方体，体积不一定相等【解答】解：A．如果两个正方体的棱长总和相等，那么两个正方体的棱长一定相等，则体积一定相等．B．可以举例证明，当长方形的周长是24厘米时：一种长是10厘米，宽是2厘米，面积是20平方厘米；另一种长是8厘米，宽是4厘米，面积是32平方厘米；很显然20平方厘米不等于32平方厘米．所以说周长相等的两个长方形，面积也一定相等，这种说法是错误的．C．正方形的周长=边长4⨯；因为周长相等，所以边长也相等．边长⨯边长=面积，所以它们的面积也一定相等．D．如长宽高分别为2，4，6的长方体表面积为88，体积为48；长宽高分别为2，2，10的长方体表面积为88，体积为40．故表面积相等的两个长方体，它们的体积不一定相等，题干的说法是正确的．故选：B．3．（邹平县）做一个铁皮烟囱需要多少铁皮，就是求烟囱的()A．表面积B．体积C．侧面积【解答】解：因为，烟囱是通风的，是没有上下两个底的，所以，做一个铁皮烟囱需要多少铁皮，就是求烟囱的侧面积，故选：C．4．（•萧山区模拟）把一个圆柱形木头截成相等的三段，表面积()A．不变B．增加2个底面C．增加3个底面D．增加4个底面【解答】解：把一个圆柱形木头截成相等的三段，需要截2次，共增加底面：224⨯=（个)．故选：D．5．（•萧山区模拟）把一个体积为9.42立方分米的圆锥放入底面半径为4分米的圆柱形装水容器中（水浸没且无溢出），水面上升了多少分米，列式正确的是()A．9.423(3.1444)÷÷⨯⨯B．9.42(3.1444)÷⨯⨯C．9.423(3.1444)⨯÷⨯⨯D．9.429(3.1444)⨯÷⨯⨯【解答】解：2) 9.42(3.144÷⨯9.4250.24=÷0.1875=（分米）答：水面上升了0.1875分米．故选：B ．6．（宁波模拟）甲、乙两个正方体棱长之比是1:3，则甲、乙两个正方体的( )A ．棱长总和的比是1:3B ．底面积之比是1:3C ．表面积之比是1:6D ．体积之比是1:9 【解答】解：因为甲、乙两个正方体棱长之比是1:3，所以A 、棱长总和的比是(112):(312)1:3⨯⨯=，故选项正确； B 、底面积之比是(11):(33)1:9⨯⨯=，故选项错误； C 、表面积之比是(116):(336)1:9⨯⨯⨯⨯=，故选项错误； D 、体积之比是(111):(333)1:27⨯⨯⨯⨯=，故选项错误． 故选：A ．二．填空题7．（•鄞州区）把一个圆柱体木料横切成两个圆柱（图1)，表面积增加了25.122cm ，纵切成两个半圆柱（图2)，则表面积增加了248cm ，原来这个圆柱的体积是 75.36 3cm ．【解答】解：圆柱的底面积：25.12212.56÷=（平方厘米）， 底面半径的平方：12.56 3.144÷=，因为2的平方是4，所以圆柱的底面半径是2厘米， 圆柱的高：482(22)÷÷⨯244=÷6=（厘米）体积：23.1426⨯⨯3.1446=⨯⨯75.36=（立方厘米）答：这个圆柱的体积是75.36立方厘米．故答案为：75.36．8．（•宁波）一段圆柱形木料，如果截成两段，表面积增加6平方分米；如果沿直径切开，表面积增加8平方分米，这个圆柱的表面积是 15 平方分米．(3)π≈【解答】解：圆柱的底面积是：623÷=（平方分米）331÷=（分米）即半径的平方是1，111⨯=，所以半径1r =分米圆柱的高是：82(12)÷÷⨯42=÷2=（分米）圆柱的表面积：31223⨯⨯⨯+123=+15=（平方分米）答：这段木料的表面积是15平方分米．故答案为：15．9．（•衢州）如图所示，把一个高是5厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．拼成后的长方体的表面积比原来圆柱体的表面积增加了230cm ．原来圆柱的侧面积是 30π 平方厘米，拼成后的近似长方体的体积是 立方厘米．（结果保留)π【解答】解：底面半径为：30253÷÷=（厘米）侧面积为：325π⨯⨯⨯30π=⨯30π=（平方厘米）体积为：235π⨯⨯45π=⨯45π=（立方厘米）答：原来圆柱的侧面积是30π平方厘米，拼成后的近似长方体的体积是45π立方厘米．故答案为：30π；45π；10．（•杭州模拟）一个正方体的体积是327m ，它的棱长是 3 m ，表面积是 2m ．【解答】解：因为：3327a m =所以：3a m =；336⨯⨯96=⨯254()m =答：它的棱长是3m ，表面积是254m ．故答案为：3，54．11．（•萧山区模拟）一个长方体的长宽高分别为8cm ，4cm ，4cm ，把它分成两个棱长为4cm 的正方体，总表面积比原来 增加 （填“增加”或“减少” )了 2cm ．【解答】解：442⨯⨯162=⨯ 32=（平方厘米），答：总面积比原来增加了32平方厘米．故答案为：增加，32．12．（•萧山区模拟）一个长方体，若将它的长增加4cm ，则体积增加380cm ；若将它的宽增加4cm ，则体积增加3128cm ；若将它的高增加3cm ，则体积增加3120cm ．原长方体的体积是 160 3cm ，表面积是 2cm ．【解答】解：80420÷=（平方厘米）128432÷=（平方厘米）120340÷=（平方厘米）表面积：(203240)2++⨯922=⨯184=（平方厘米）体积：2()203240abh =⨯⨯ 2()25600abh =所以：160abh =（立方厘米）答：原来长方体的体积是160立方厘米，表面积是184平方厘米．故答案为：160、184．三．判断题13．（•临汾）棱长是6厘米的正方体，表面积和体积相等． ⨯ ．（判断对错）【解答】解：因为正方体的表面积和体积单位不相同，没法比较它们的大小，所以原题说法是错误的．故答案为：⨯．14．（•海曙区）把一个棱长是a 厘米的正方体任意截成两个长方体，这两个长方体表面积之和是26a 平方厘米． ⨯ （判断对错）【解答】解：262a a a ⨯+⨯⨯2262a a =+28a =故答案为：⨯．15．（•萧山区模拟）当圆柱的底面直径和高都是5厘米时，圆柱的侧面展开图是一个正方形． ⨯ （判断对错）【解答】解：因为把圆柱体的侧面沿高剪开，得到一个长方形，这个长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，如果得到的是正方形，这就说明圆柱的底面周长与高相等；所以题干说法错误．故答案为：⨯．16．（•山丹县模拟）圆柱体的高扩大2倍，侧面积就扩大2倍． ⨯ ．（判断对错）【解答】解：圆柱的侧面积是由它的底面周长和高两个条件决定的，它的高扩大2倍，底面周长是否不变没有确定，如果底面周长不变，侧面积就扩大2倍，如果高扩大2倍底面周长缩小2倍，那么侧面积就不变，由此得此：圆柱体的高扩大2倍，侧面积就扩大2倍，这种说法是错误的． 故答案为：⨯．17．（鹤岗期末）表面积相等的两个圆柱，它们的体积也一定相等． 错误 ．（判断对错）【解答】解：比如，第一个圆柱体的底半径是12r =，高是110h =，表面积212 3.14210 3.1422S =⨯⨯⨯+⨯⨯，12.561012.562=⨯+⨯，125.625.12=+，150.7=；第二个圆柱的底半径是24r =，高22h =，表面积222 3.1442 3.1442S =⨯⨯⨯+⨯⨯， 25.122 3.14162=⨯+⨯⨯，50.24100.48=+，150.72=；显然12S S =；21 3.14210V =⨯⨯，3.14410=⨯⨯，125.6=；22 3.1442V =⨯⨯，3.14162=⨯⨯，100.48=；但是12V V ≠；所以表面积相等的两个圆柱，它们的体积也一定相等．此说法错误．故答案为：错误．四．应用题18．（•益阳模拟）如下图所示，把底面直径为8厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？【解答】解：底面半径：824÷=（厘米）圆柱的高：802410÷÷=（厘米）圆柱体积（长方体体积）:23.14410⨯⨯3.141610=⨯⨯502.4=（立方厘米）答：圆柱的体积是502.4立方厘米．19．（•益阳模拟）一个高是15厘米的圆柱，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积就增加125.6平方厘米，原来这个圆柱的体积是多少立方厘米？【解答】解：125.6262.8÷=（厘米）23.14(62.8 3.142)15⨯÷÷⨯23.141015=⨯⨯3.1410015=⨯⨯31415=⨯4710=（立方厘米）答：原来这个圆柱的体积是4710立方厘米．20．（•萧山区模拟）一个圆柱形容器中装有水，先把一个棱长为6cm的正方体铁块浸没在水中，水面上升了5cm．再把一个圆锥形铅锤浸没在水中，水面又上升了3cm．这个铅锤的体积是多少？（浸没过程中水均没有溢出）【解答】解：设圆锥的体积为x立方厘米，则(666):5:3x⨯⨯=5648x=129.6x=答：圆锥的体积为129.6立方厘米．21．（•萧山区模拟）如右图，在一个装有部分水的圆柱形玻璃缸中，放入一个铁块，结果溢出了26毫升的水．这个铁块的体积是多少？【解答】解：23.14(102)826⨯÷⨯+3.1425826=⨯⨯+62826=+654=（立方厘米）答：这个铁块的体积是654立方厘米．五．解答题22．（•杭州）有半径分别是6cm 和8cm ，深度相等的圆柱形容器甲和乙，把容器甲装满水倒入容器乙中，水深比容器的34低1cm ，求容器的深．【解答】解：设容器的高为h ，22368(1)4h h ππ⨯=⨯⨯-，两边同时除以π，33664(1)4h h =⨯-，364864h h =-，1264h =，12126412h ÷=÷，163h =． 答：容器的高是163厘米．23．（•桂林）一个长方体水箱，从里面量它的长是1.2dm ，宽是4dm ，高是8dm ，这个水箱最多能装水多少升？【解答】解：1.248⨯⨯，4.88=⨯，38.4=（立方分米），38.4立方分米38.4=升；答：这个水箱最多能装水38.4升．24．（•文成县）一个瓶子内直径8厘米，装入10厘米高的水后，盖好瓶子倒过来（如图），量得空余部分的高是2.5厘米，求这个瓶子的容积是多少毫升？【解答】解：根据题意可知，第二个图上部空白部分的高为2.5cm ，水的高度是10cm ，瓶子的容积实际是内直径8厘米、高是(10 2.5)+厘米的圆柱的体积，所以瓶子的容积：23.14(82)(2.510)⨯÷⨯+，3.141612.5=⨯⨯，3628()cm =，628=（毫升）；答：瓶子的容积为628毫升．25．（•湘潭模拟）把一个底面半径是4厘米，高是6分米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？【解答】解：660dm cm =213.144603⨯⨯⨯13.1416603=⨯⨯⨯150.24603=⨯⨯50.2420=⨯ 31004.8()cm =答：将有1004.8立方厘米的水溢出．26．（•杭州模拟）一个圆柱形水池，底面半径3米，池高1.5米，这个水池最多可盛水多少吨？(1立方米的水重1吨）【解答】解：水池的容积（水的体积）2:3.143 1.542.39⨯⨯=（立方米），水的吨数：42.39142.39⨯=（吨)．答：这个水池最多可盛水42.39吨．27．（•杭州模拟）小明把一块橡皮泥揉成圆柱形，切成三块（如图），表面积增加了50.24平方厘米，切成四块（如图），表面积增加了96平方厘米，这块橡皮泥的体积是多少立方厘米？【解答】解：根据题意得250.24412.56()cm ÷=50.244 3.14÷÷12.56 3.14=÷2=4()cm=⨯422所以半径是2厘米．÷÷9682=÷122=（厘米）6⨯=（立方厘米）12.56675.36答：这块橡皮泥的体积是75.36立方厘米．小升初数学总复习专题汇编精讲精练专题20 立体几何的体积和容积（二）（一）长方体1、特征六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
26.立体图形的体积知识要点梳理一、体积和容积1．体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2．容积：容器所能容纳物体的体积叫做容积。
容积单位一般用体积单位。
当容器所容纳的物体是液体时，常用升、毫升作单位。
（注：容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器的里面量。
）二、立体图形的体积计算公式考点精讲分析典例精讲考点1方体和正方体的体积【例1】在一个长、宽、高分别是30厘米、25厘米、60厘米的长方体的箱子里，最多能装进棱长为1分米的立方体（）个。
A．45 B．30 C．36 D．72【精析】把这个长方体箱子的长、宽、高分别换算成分米是3分米、2.5分米、6分米，这个箱子一层长可以装进3个，宽只能装进2个棱长1分米的立方体，高可以装进6个，因此只能装进（3×2×6）＝36个。
【答案】 C【归纳总结】注意，此题容易出现的错误是不考虑实际，用这个箱子的容积除以每个立方体的体积。
考点2圆柱的体积【例2】下图是一根空心钢管，求它所用钢材的体积。
【精析】此题考查空心圆柱体积的求法。
根据空心圆柱的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积计算即可。
【答案】 3.14×［（1.22）2－（0.62）2］×2.5＝2.1195（立方米）答：它所用钢材的体积是2．1195立方米。
【例3】有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是20升。
瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20cm，倒放时空余部分高度为5cm，问瓶中现有饮料（）升。
【精析】正放和倒放时，瓶中液体的体积不变，即空余部分体积相等。
【答案】20×［20÷（20＋5）］＝16（升）答：瓶中现有饮料16升。
【归纳总结】无论是正放还是倒放瓶子的饮料和瓶子的体积不变，所以它们的空余部分总是不变的。
考点2 圆锥的体积【例4】一个圆锥形沙堆，底面积是8平方米，高是1．5米。
用这堆沙在5米宽的路上铺2厘米厚，能铺多少米？【精析】沙子都铺在路面上后的形状，是一个宽5米、厚2厘米的近似长方体。
一.立体图形的表面积知识要点梳理一、立体图形的切割1．立体图形每切割一次，增加两个面的面积。
2．立体图形每拼一次，减少两个面的面积。
二、表面积表面积：物体表面面积的总和叫做物体的表面积。
表面积通常用S表示，常用面积单位有平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。
1．长方体、正方体的表面积为6个面的面积和。
2．圆柱的表面积＝侧面积＋2个底面面积。
3．圆锥的表面积＝侧面积＋底面积三、立体图形的表面积计算公式名称图形字母意义表面积公式长方体a：长 b:宽h：高 S：表面积S=2)(bhahab++正方体a：棱长S=26a圆柱体r：底面半径 h：高侧S：侧面积底S：底面积C：底面周长rhdhChSππ2===侧S=底侧SS2+圆锥体r;底面半径h：高l：为母线长S=22rrlππ+考点精讲分析典例精讲考点1 长方体与正方体的表面积【例1】一个长40厘米，截面是正方形的长方体，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，原来长方体的表面积是多少？【精析】根据题意可知，一个长方体如果长增加5厘米，增加的80平方厘米是4个同样的长方形的面积和。
【答案】80÷4÷5=4（厘米）0×4×4＋4×4×2＝672（平方厘米）答：原来长方体的表面积是672平方厘米。
【归纳总结】根据长方体增加的面积，计算出长方体的宽和高，然后根据长方体的表面积计算公式解答即可。
【例2】学校新建一个游泳池，长50米，宽20米，深2米。
这个游泳池占地面积有多大？如果游泳池的四壁和底面都要贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？【精析】此题主要考查长方体底面积及表面积的计算方法在实际生活中的应用。
解答时要清楚长方体游泳池的占地面积是指长方体的底面积。
贴瓷砖的面积，就等于游泳池的表面积减去上面的面积。
【答案】占地面积：50×20＝1000（平方米）贴瓷砖的面积：（50×2＋20×2）×2＋50×20＝1280（平方米）答：这个游泳池占地面积有1000平方米，共需要贴1280平方米的瓷砖。
【归纳总结】这类题目解答时一般遵循下列步骤：①识别形体；②搞清问题（求表面积还是求体积、容积、求表面积涉及几个面）；③回忆公式；④正确列式；⑤计算解答。
考点2 圆柱的表面积【例3】一个无盖圆柱形铁皮油桶，底面直径是4分米，高是6分米。
给这个油桶里外刷上油漆，刷油漆的面积是多少平方分米？【精析】油桶无盖，刷油漆的是侧面和一个底面，而且要注意的是油漆的里外都要刷，即求两个侧面积和两个底面积。
【答案】油桶的侧面积：3.14×4×6＝75.36（平方分米）一个底面积：3.14×（4÷2）2＝12.56（平方分米）刷油漆的面积：（75.36＋12.56）×2＝175.84（平方分米）答：刷油漆的面积是175．84平方分米。
【例4】求下图的表面积（单位：厘米）。
【精析】此图由两个圆柱体组合而成，表面积由两个侧面、大圆柱体下底面、上底圆环面和小圆柱体的上底面5部分组成。
不难发现，大圆柱体上底面圆环面与小圆柱体上底面正好补为大圆柱的上底面。
【答案】大圆柱体的表面积：3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×5＝226.08（平方厘米）小圆柱体的侧面积：3.14×6×3＝56.52（平方厘米）柱体的表面积：226.08＋56.52＝282.6（平方厘米）答：表面积是282．6平方厘米。
【归纳总结】组合圆柱体的表面积可看成由圆柱体的表面积加上小圆柱体的侧面积构成的。
考点3 圆锥的表面积【例5】已知圆锥的母线长为5，底面半径为2cm，则该圆锥的表面积为（）。
A．21πB．15πC．10πD．24π【精析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥表面积的解题方法。
圆锥的表面积＝圆锥侧面积＋底面积＝2πrl＋πr2＝20π＋4π＝24π。
【答案】 D【例】（西安某工大附中入学）从不同方向看一个几何体所得到的图形如图所示，请根据图中所给数据（单位：厘米），计算这个几何体的表面积。
（π取314）【精析】首先根据从上面看到的图判断该几何体是柱体，从前面看到的图和从左面看到的图是相同的矩形，可得出这个几何体是圆柱体，且底面直径为6厘米，高为10厘米。
最后可根据圆柱的表面积公式解答。
【答案】 3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×10＝244.92（平方厘米）答：这个几何体的表面积是244.92平方厘米。
【归纳总结】本题是根据分别从前面、左面、上面看到的图确定几何体的形状，主要考查学生的空间想象能力和对立体图形的熟悉程度。
主视图和俯视图长度相等，主视图和左视图高度相等，俯视图和左视图宽度相等毕业升学训练一、填空题1．一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米，把它放在桌面上占的最小面积是（）平方厘米。
2．做10节长1米、底面半径为6厘米的圆柱形烟囱管。
至少需要铁皮（）平方米。
3．一根长4米，横截面半径为2分米的圆柱形木料截成同样长的4段，表面积比原来增加（）平方分米。
4．一个底面直径是10厘米、高是20厘米的圆柱体，如果把它沿直径垂直于底面切成两半，表面积增加了（）平方厘米。
5．一个圆柱的侧面积是942平方分米，高是6分米，它的表面积是（）平方分米。
6．用一张长15厘米，宽12厘米的长方形围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是（）平方厘米。
二、选择题1．一个长方体的棱长总和是48厘米，宽是2厘米，长是宽的2倍，它的表面积是（）平方厘米。
A．48 B．96 C．882．棱长为6厘米的正方体的表面积是棱长为3厘米的正方体的表面积的（）倍。
A．4 B．6 C．183．正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大（）倍。
A．3 B．6 C．94．包装盒的长是32厘米，宽是2厘米，高是1厘米。
圆柱形零件的底面直径是2厘米，高是1厘米。
这个包装盒内最多能放（）个零件。
A．32 B．25 C．16 D．8三、解决问题1．一个无盖玻璃鱼缸的形状是长方体，长是5分米，宽是4分米，高是3分米，制作这个鱼缸至少需要多大面积的玻璃？2．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽1．5米，直径1．2米，如果每分钟滚动15周，这台压路机一小时压过的路面是多少平方米？3．一个实验室长12米，宽8米，高4米。
要粉刷实验室的天花板和四面墙壁，除去门窗和黑板的面积30平方米，平均每平方米用涂料0.5千克，粉刷过程中有10％的浪费，粉刷两遍，一共需要涂料多少千克？商店有两种所需要的涂料如右图，买涂料最少需要多少钱？cm，把它锯成体积相等的8个正方体小方块，每个4．一个正方体木块的表面积是962小方块的表面积是多少？5．一个长方体，高截去2厘米，表面积减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原长方体的表面积是多少平方厘米？6．一个圆柱的底面周长是18．84cm，高8cm，从顶点沿高把它切成相等的两半，表面积增加了多少平方厘米？7．右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具。
它的表面积是多少平方厘米？（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）8．一张长方形铁皮，如图剪下阴影部分制成圆桶（单位：分米），求这个圆桶的表面积。
（提示：圆桶盖的周长等于长方形铁皮的长。
）9．将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。
这个物体的表面积是多少？（π＝3.14）冲刺名校提升一、填空题1．（临川某中入学）如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果cm，原来长方体的表面积是（）。
去掉一个正方体，表面积就比原来减少3022．（西安高新某中入学）一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是（）立方厘米。
3．（西安某交大附中入学）如图，是由一些棱长为1的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的表面积为6，按照图中的叠放规律，第5个几何体的表面积为（）。
4．（临川某中分班）将右图正方体沿水平方向切2刀，得到3个小长方体，这3个小长方体的表面积总和是（）平方厘米。
5．（西安高新某中入学）把一个底面半径为5厘米、高为10厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（）平方厘米。
6．（西安某交大附中入学）一个长方体的长、宽、高之比为5∶4∶3，若长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和，则长方体的表面积与正方体的表面积之比为（）。
7．（宝鸡高新某中入学）将边长为13厘米的正方形铁片的四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，如图所示，剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，该无盖长方体盒子的表面积是（）平方厘米。
8．（西安某铁一中分班）一个长方体正好可以切成3个一样的正方体，切开后每个正方体的表面积是18平方厘米，那么原来这个长方体的表面积是（）平方厘米。
9．（西安某铁一中分班）如图，一个圆锥的底面周长是25.12厘米，高是4厘米。
从圆锥的顶点沿着高将它切成两半，表面积之和比原圆锥的表面积增加了（）平方厘米。
（π取3.14）10．（江西某师大附中入学）用16个棱长1厘米的立方体拼成一个长方体，其中表面积最大的与最小的相差（）平方厘米。
二、选择题1．（西安高新某中入学）做一个长8分米，宽4分米，高3分米的无盖玻璃鱼缸，至少需要玻璃（）平方分米。
A．63 B．104 C．136 D．1922．（西安某铁一中分班）将一个棱长为2分米的正方体任意截成两个长方体，这两个长方体的表面积是（）。
A．16 B．24C．32 D．无法确定（江西某师大附中入学）一个圆柱底面直径和高都是2分米，这个圆柱的表面积是（）3．平方分米。
A．6πB．5πC．4πD．3π4．（成都某中入学）用三个完全一样的正方体，拼成一个长方体，长方体的表面积是70平方分米，原来一个正方体的表面积是（）平方分米。
A．27 B．28 C．29 D．305．（西安某铁一中分班）把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了100平方厘米，圆柱的高是10厘米，那么圆柱的侧面积是（）平方厘米。
A．314 B．628 C．785 D．1000三、解决问题1．（西安某知中学入学）一个美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上，如图所示，然后把露出的表面涂上不同的颜色，则涂上颜色的面积为多少平方分米？2．（西安某工大附中入学）如图，一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高都不变，体积增加6立方厘米；如果宽增加4厘米，长和高都不变，体积增加32立方厘米；如果高增加5厘米，长和宽都不变，体积增加20立方厘米，求这个长方体的表面积。
