第十四章_整式的乘法与因式分解全章教案

第十四章整式的乘法与因式分解14.1.1同底数幂的乘法教学目的：1、能归纳同底数幂的乘法法则，并正确理解其意义；2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用；教学重点：同底数幂的乘法法则教学难点：底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程一、复习提问1．乘方的意义：求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方2.指出下列各式的底数与指数：(1)3 4；(2)a 3；(3)(a+b) 2；(4)(-2) 3；(5)-2 3．其中，(-2) 3与-2 3的含义是否相同？结果是否相等？(-2) 4与-24呢？二、讲授新课1．(课本95 页问题) 利用乘方概念计算：1015×103．2、计算观察，探索规律：完成课本第95 页的“探索”，学生“概括”a m× n m+na=⋯=a ；3、观察上式，找出其中包含的特征：左边的底数相同，进行乘法运算；右边的底数与左边相同，指数相加4、归纳法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

三、实践应用例1 、计算：(1)x 2·x5 (2)a ·a6 (3) 2 ×24×23 (4) x m·x3m + 1练习：1. 课本第96 页：(学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则)2．随堂巩固：下面计算否正确？若不正确请加以纠正。

①a6·a6＝2a62 4 6 2 4 8②a+a ＝a ③ a · a =a例 2 （1）填空：⑴若 x m+n ×x m-n =x 9；则 m=；（2）2m=16，2n=8，则 2m+n= 。

四、归纳小结1、同底数幂相乘的法则；2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形；3、相同的底数可以是单项式，也可以是多项式；4、要注意与加减运算的区别。

五、布置作业14.1.2 幂的乘方教学目标 ：1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；2、了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题 .教学重点 ：幂的乘方的运算性质及其应用 . 教学难点 ：幂的运算性质的灵活运用 . 一：知识回顾1 ．讲评作业中出现的错误2 ．同底数幂的乘法的应用的练习：新课引入探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律：引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘 ． 即：（a m ）n ＝a mn（m 、n 都是正整数）．1） （32）3= 32 × 2 232 × 3 2= 2） （a 2）3= a 2 · 2 2 ﹝ a · a = a ﹝ 3） （a m ）3 m = m ma · a = amm 4（a m ）n = a a ﹝﹞n 个 mm mm m a = aa ． mn可以转化为指数的乘法运观察结果，三、知识应用例题 ：（1）（103）5；（2）（a 4）4； （3）（a m ）2；（4）－（ x 4）3； 说明：－（ x 4）3表示（ x 4）3的相反数练习：课本第 97 页 （ 学生黑板演板） 补充例题：2 3 2 6 3 4 2 31）（y 2）3· y （2）2（a 2）6－（a 3）4 （3）（ab 2）3（4） - （ - 2a 2b ）4说明：（1） （y 2）3·y 中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序， 应先乘方，再做乘法，所以， （y 2）3·y = y2×3·y = y 6+1= y 7；（2） 2（a 2）6－（a 3）4按运算顺序应先算乘方，最后再化简．所以， 2（a 2）6 3 42× 6 3× 4 12 12 12－（a ） =2a × －a ×=2a －a =a ． 四、 幂的乘方法则的逆用（1）x 13· x 7=x （ ）=（ 2m 2（2）a 2m = （ ）2= （ 练习：1．已知 3×9n =37，求 n 的值． 2．已知 a 3n=5，b 2n=3，求 a 6nb 4n的值．3．设 n 为正整数，且 x 2n=2，求 9（x 3n）2的值．五、归纳小结小结：幂的乘方法则． 六、布置作业14.1.3 积的乘方教学目标 ：1、经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．教学重点 ：积的乘方的运算性质及其应用．mn m n n ma （a ）（a ） ．5 4 10） =（ ） =（ ） ；）m（m 为正整数）．教学难点：积的乘方运算性质的灵活运用．由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方 , 再把所得的幂相乘． 即： ( ab) n=a n· b n、知识应用 例题 3 计算说明： (5)意在将 (ab) n =a n b n 推广，得到了 (abc) n =a n b n c n判断对错：下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？教学过程 ： 、复习导入1．前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质， 请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：2) 1)3)4) 1) (3×5)7——积的乘方=(3 5) (3 5)(3 5)——幂的意义7个 (3 5)=(3 33) × (5 5 5)——乘法交换结合律7个37个5=37×57；——乘方的意义2) (ab )2= (ab) · (ab) = (a · a) · (b · b) = a ( )b ( ) 3) (a 2b 3)3= (a 2b 3) 23 · ( a 2b 3·( a 2b 3) = (a 2 · a 2· a 2 ) ·(b 3 = a ( )4) ( ab) n=(ab) (ab) (ab)n 个 ab=(a a a a) ·(b bn 个a幂的意义nn=abbn 个b) 乘法交换律、结合律 乘方的意义1) (2a ) 3；2) (－5b)3； 3) ( xy 2 ) 2；4)(- 2 ／3x 3)4． 5)( －2xy)46)(2×103)22．探索新知，讲授新课b 3·b 3)b( )练习：课本第98 页三、综合尝试补充例题：计算：（1）2）四、逆用公式：2）预备题：（1）例题：（1）0．12516·（－8）17；2）已知2m=3，2n=5，求23m+2n的值．注解)：23m+2n=23m·22n=(2m) 3· (2 n) 2=33·52=27×25=675．五、布置作业14.1.4整式的乘法（单项式乘以单项式）教学目标：经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。

初中数学人教版八年级上册实用资料第十四章整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m14可以写成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数) 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。

第十四章整式的乘法与因式分解本章的内容主要包括：整式的乘法、乘法公式和因式分解．本章我们将在七年级学习整式的加减法的基础上，继续学习整式的乘法和因式分解，它是代数运算以及解决许多数学问题的重要基础．我们可以类比数的运算，以运算律为基础，得到关于整式的乘法运算与因式分解的启发．在中考中，本章是必考内容，主要考查幂的运算、乘法公式、因式分解，特别是因式分解在化简求值中的应用．【本章重点】整式的乘(除)法法则、乘法公式及因式分解．【本章难点】乘法公式的灵活运用、添括号法则及运用提公因式法和公式法进行因式分解．【本章思想方法】1．体会和掌握类比的学习方法．如：通过数的运算，类比归纳得出整式的运算性质．2．体会转化思想．如：将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式进行计算．3．体会数形结合思想．如：在整式乘法和乘法公式部分，借助于几何图形对运算法则及公式作了直观解释，体现了数形结合的思想方法．14．1整式的乘法7课时14．2乘法公式3课时14．3因式分解3课时14．1整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】理解并掌握同底数幂的乘法法则，并能进行相关计算．【过程与方法】经历探索同底数幂的乘法法则的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．【情感态度与价值观】在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心．二、重难点目标【教学重点】同底数幂的乘法法则．【教学难点】同底数幂的乘法法则的推导及应用．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P95～P96的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．把下列式子化成同底数幂．(－a )2＝a 2；(－a )3＝－a 3；(x －y )2＝(y －x )2；(x －y )3＝－(y －x )3. 2．根据乘法的意义填空：(1)52×53＝55； 32×34＝36；a 3·a 4＝(a ·a ·a )·(a ·a ·a ·a )＝a 7；(2)总结法则：a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. (3)推广：a m ·a n ·a p ＝a m ＋n ＋p (m 、n 、p 都是正整数)．3．计算：(1)103×104；(2)a ·a 3；(3)⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫－122·⎝⎛⎭⎫－123. 解：(1)＝107. (2)a 4. (3)164.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)－a 3·(－a )2·(－a )3； (2)10 000×10m ×10m ＋3； (3)m n ＋1·m n ·m 2·m ； (4)(x －y )2·(y －x )5.【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用同底数幂的乘法法则计算． 【解答】(1)原式＝－a 3·a 2·(－a 3)＝a 3·a 2·a 3＝a 8.(2)原式＝104×10m ×10m ＋3＝104＋m ＋m ＋3＝107＋2m.(3)原式＝m n＋1＋n ＋2＋1＝m 2n ＋4.(4)原式＝(y －x )2·(y －x )5＝(y －x )7.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1；(2)底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a －b )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(b －a )n (n 为偶数)，－(b －a )n (n 为奇数).活动2 巩固练习(学生独学)1．下列算式中，结果等于x 6的是( A ) A ．x 2·x 2·x 2 B ．x 2＋x 2＋x 2 C ．x 2·x 3D ．x 4＋x 22．如果32×27＝3n ，那么n 的值为( C ) A ．6 B ．1 C ．5D ．83．若a m ＝3，a n ＝4，则a m ＋n ＝12. 教师指导：a m ＋n ＝a m ·a n ＝3×4＝12. 4．计算：(1)－a 3·a 4； (2)100·10m ＋1·10m －3； (3)(－x )4(－x 2)(－x )3. 解：(1)－a 7. (2)102m . (3)x 9. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】若82a ＋3·8b －2＝810，求2a ＋b 的值．【互动探索】根据同底数幂的乘法法则，确定等式的左边的计算结果，再对比化简后的等式，确定a 、b 之间的关系．【解答】∵82a ＋3·8b －2＝82a＋3＋b －2＝810，∴2a ＋3＋b －2＝10，解得2a ＋b ＝9.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同，由此得出代数式的值．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)同底数幂的乘法法则⎩⎪⎨⎪⎧内容：同底数幂相乘，底数不变，指数相加字母表示：a m·a n＝a m ＋n(m 、n 都是正整数)推广：a m·a n·…·a p＝a m ＋n ＋…＋p(m 、n 、…、 p 都是正整数)请完成本课时对应练习！14.1.2幂的乘方(第2课时)一、基本目标【知识与技能】理解幂的乘方法则，并能利用幂的乘方法则进行计算．【过程与方法】经历探索幂的乘方法则的过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，培养学生的应用能力．【情感、态度与价值观】培养学生合作交流和探索精神，让学生体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】幂的乘方法则．【教学难点】幂的乘方法则的推导及应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P96～P97的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．乘方的意义：32中，底数是3，指数是2，表示2个3相乘；(32)3的意义：3个32相乘.(1)根据幂的意义解答：(32)3＝32×32×32(根据幂的意义)＝32＋2＋2(根据同底数幂的乘法法则)＝32×3.(a m)2＝a m·a m＝a2m(根据a m·a n＝a m＋n)．(a m)n＝a m·a m·…·a m(幂的意义)＝a m＋m＋…＋m(同底数幂相乘的法则)＝a mn(乘法的意义)．(2)幂的乘方法则：(a m)n＝a mn(m、n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．计算：(1)(103)5；(2)(b3)4；(3)(x n)3；(4)－(x7)7.解：(1)1015.(2)b12.(3)x3n.(4)－x49.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)(－24)3；(2)(x m－1)2；(3)[(24)3]3; (4)(－a5)2＋(－a2)5.【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算．【解答】(1)原式＝－212.(2)原式＝x2(m－1)＝x2m－2.(3)原式＝＝24×3×3＝236.(4)原式＝a10－a10＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．(2)在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．(3)幂的乘方的推广：((a m)n)p＝a mnp(m、n、p都是正整数)．【例2】若92n＝38，求n的值．【互动探索】(引发学生思考)比较等式两边底数的关系→将等式转化为(32)2n＝38→建立方程求n值．【解答】依题意，得(32)2n＝38，即34n＝38.∴4n＝8.解得n＝2.【互动总结】(学生总结，老师点评)可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．【例3】已知a x＝3，a y＝4(x、y为整数)，求a3x＋2y的值．【互动总结】(学生总结，老师点评)对a3x＋2y变形，得a3x·a2y，再利用幂的乘方进行解答．【解答】a3x＋2y＝a3x·a2y＝(a x)3·(a y)2＝33×42＝27×16＝432.【互动探索】(引发学生思考)利用a mn＝(a m)n＝(a n)m，可对式子进行灵活变形，从而使问题得到解决．活动2巩固练习(学生独学)1．计算(－a3)2的结果是(A)A．a6B．－a6C．－a5D．a52．下列运算正确的是(B)A．(x3)2＝x5B．(－x)5＝－x5C．x3·x2＝x6D．3x2＋2x3＝5x53．当n为奇数时，(－a2)n＋(－a n)2＝0.4．计算：(1)a2·(－a)2·(－a2)3＋a10；(2)x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2.解：(1)0.(2)3x16.活动3拓展延伸(学生对学)【例4】请看下面的解题过程：比较2100与375的大小．解：∵2100＝(24)25,375＝(33)25，而24＝16,33＝27,16＜27， ∴2100＜375.请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小．【互动探索】仔细阅读材料，确定例子的解题方法是将指数化为相同，比较底数的大小来比较所求两个数的大小．【解答】∵3100＝(35)20,560＝(53)20，而35＝243,53＝125,243＞125， ∴35＞53，∴3100＞560.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了幂的乘方法则的应用，根据题意得到3100＝(35)20,560＝(53)20是解此题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)幂的乘方法则⎩⎪⎨⎪⎧内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘字母表示：(a m )n ＝a mn (m 、n 都是正整数)推广：((a m )n )p ＝a mnp (m 、n 、p 都是正整数)请完成本课时对应练习！14．1.3积的乘方(第3课时)一、基本目标【知识与技能】理解积的乘方法则，利用积的乘方进行计算．【过程与方法】经历探索积的乘方法则的过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，培养学生的应用能力．【情感态度与价值观】培养学生合作交流和探索精神，让学生体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】积的乘方法则．【教学难点】积的乘方法则的推导及应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P97～P98的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．下列各式正确的是(D)A．(a5)3＝a8B．a2·a3＝a6C．x2＋x3＝x5D．a2·a2＝a42．(1)填空：(2×5)3＝103,23×53＝103；(－2×5)3＝－103，(－2)3×53＝－103.(2)积的乘方法则：(ab)n＝a n b n(n是正整数)，即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.推广：(abc)n＝a n b n c n.(n是正整数)3．计算：(1)(3a2)n；(2)(－2xy)4；(3)(a2)3·(a3)2.解：(1)3n a2n.(2)16x4y4.(3)a12.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算(1)(x4·y2)3；(2)(a n b3n)2＋(a2b6)n；(3)[(3a2)3＋(3a3)2]2；(4)⎝⎛⎭⎫991002017×⎝⎛⎭⎫100992018； (5)0.12515×(23)15.【互动探索】(引发学生思考)先确定运算顺序，再根据积的乘方法则计算． 【解答】(1)原式＝x 12y 6. (2)原式＝a 2n b 6n ＋a 2n b 6n ＝2a 2n b 6n . (3)原式＝(27a 6＋9a 6)2＝(36a 6)2＝1296a 12. (4)原式＝⎝⎛⎭⎫99100×100992017×10099＝1×10099＝10099. (5)原式＝⎝⎛⎭⎫1815×(8)15＝⎝⎛⎭⎫18×815＝1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)～(3)先按乘方再乘除后加减的运算顺序；(4)(5)反用(ab )n ＝a n b n 可使计算简便．活动2 巩固练习(学生独学) 1．(x 2y )2的结果是( B ) A ．x 6y B ．x 4y 2 C ．x 5yD ．x 5y 22．(a m )m ·(a m )2不等于( C ) A ．(a m ＋2)m B ．(a m ·a 2)m C ．am 2＋m 2 D ．(a m )3·(a m －1)m3．a m ＝2，a n ＝3，a 2m ＋3n＝108.4．计算：(1)－4xy 2·⎝⎛⎭⎫12xy 22·(－2x 2)3；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3； (3)⎝⎛⎭⎫232017×⎝⎛⎭⎫322018. 解：(1)8x 9y 6. (2)0. (3)32.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V ＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？⎝⎛⎭⎫球的体积公式为V ＝43πR 3，且π取3【互动探索】已知球的体积公式和其半径，代入数据直接计算． 【解答】∵R ＝6×105千米，∴V ＝43πR 3＝43×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．即它的体积大约是8.64×1017立方千米．【互动总结】(学生总结，老师点评)读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．在研究问题的结构时，可按整体到部分的顺序去思考和把握．2．公式(ab)n＝a n b n(n为正整数)的逆用：a n b n＝(ab)n(n为正整数)．请完成本课时对应练习！14．1.4整式的乘法第4课时单项式乘单项式一、基本目标【知识与技能】理解并掌握单项式乘单项式的法则．【过程与方法】经历探索单项式乘单项式法则的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．【情感态度与价值观】培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．二、重难点目标【教学重点】单项式乘单项式的法则．【教学难点】单项式乘单项式的法则的推导及应用．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P98～P99的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．乘法的交换律和结合律：(ab )c ＝(ac )b ； a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 都是正整数)； (a m )n ＝a mn (m 、n 都是正整数)； (ab )n ＝a n b n (n 是正整数)．2．(1)2a 2－a 2＝a 2；a 2·a 2＝a 4；(－2a 2)2＝4a 4. (2)ac 5·bc 2＝(a ·b )·(c 5·c 2)·＝abc 5＋2＝abc 7.(2)单项式乘单项式法则：单项式乘单项式，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．教师点拨：单项式乘单项式运用的乘法的交换律和结合律，将数和同底数幂分别结合在一起．3．计算：(1)(－5a 2b 3)(－3a )； (2)(2x )3(－5x 2y )； (3)23x 3y 2·⎝⎛⎭⎫－32xy 22； (4)(－3ab )·(－ac )． 解：(1)15a 3b 3. (2)－40x 5y . (3)32x 5y 6. (4)3a 2bc .环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12x 2y 3·3xy 2·(2xy 2)2； (2)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2.【互动探索】(引发学生思考)根据单项式乘单项式的法则计算． 【解答】(1)⎝⎛⎭⎫－12x 2y 3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3·3xy 2·4x 2y 4＝－32x 9y 9. (2)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5.【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式乘单项式的注意事项：(1)计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)单项式乘单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立；(5)将(x －y )看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算正确的是( D ) A ．(－3x 3)·(－2x 2)2＝－12x 12 B ．(－3ab )(－2ab )2＝12a 3b 3 C ．(－0.1x )·(－10x 2)2＝x 5 D ．(2×10n )⎝⎛⎭⎫12×10n ＝102n2．3x 2可以表示为( A ) A ．x 2＋x 2＋x 2 B ．x 2·x 2·x 2 C ．3x ·3xD ．9x3．如果x n y 4与2xy m 相乘的结果是2x 5y 7，那么mn ＝12. 4．计算：(1)(－2x 2y )3·3(xy 2)2； (2)(－3x 2y )2·⎝⎛⎭⎫－23xyz ·34xz 2. 解：(1)－24x 8y 7. (2)－92x 6y 3z 3.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y－3－m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值．【互动探索】根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m的积与x 4y 是同类项，可以得到什么？怎样求m 2＋n 的值？【解答】∵－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y－3－m的积与x 4y 是同类项，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋1＋n －6＝4，2n －3－m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，∴m 2＋n ＝7. 【互动总结】(学生总结，老师点评)根据单项式乘单项式的法则，结合同类项，列出关于m 、n 的二元一次方程组，进而求得代数式的值．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．请完成本课时对应练习！第5课时单项式乘多项式一、基本目标【知识与技能】理解并掌握单项式乘多项式的法则，并能正确计算单项式乘多项式．【过程与方法】经历探索单项式乘多项式法则的过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力．【情感态度与价值观】培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值．二、重难点目标【教学重点】单项式乘多项式的法则．【教学难点】单项式乘多项式的法则的推导及应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P99～P100的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．乘法的分配律：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.2．填空：－x(x2－3x＋2)＝－x·(x2)＋(－x)·(－3x)＋(－x)·(2)＝－x3＋3x2－2x.3．单项式乘多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.3．计算：(1)(－2a)·(2a2－3a＋1)；(2)(－4x)·(2x2＋3x－1)．解：(1)－4a3＋6a2－2a.(2)－8x3－12x2＋4x.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2·(3a＋4)，其中a＝－2.【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简式子→将a＝－2代入化简结果求值．【解答】原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a.当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．活动2巩固练习(学生独学)1．一个长方体的长、宽、高分别是3a －4,2a ，a ，它的体积等于( C ) A ．3a 3－4a 2 B ．a 2 C ．6a 3－8a 2D ．6a 2－8a2．已知M 、N 分别表示不同的单项式，且3x ·(M －5x )＝6x 2y 3＋N ，则( C ) A ．M ＝2xy 3，N ＝－15x B ．M ＝3xy 3，N ＝－15x 2 C ．M ＝2xy 3，N ＝－15x 2D ．M ＝2xy 3，N ＝15x 23．图中的四边形均为矩形，根据图形，仅用图中出现的字母写出一个正确的等式：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc .4．计算：(1)2ab 2·(3a 2b －2ab －1)； (2)(－2xy 2)2·⎝⎛⎭⎫14y 2－12x 2－32xy . 解：(1)6a 3b 3－4a 2b 3－2ab 2. (2)x 2y 6－2x 4y 4－6x 3y 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如果(－3x )2⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23的展开式中不含x 3项，求n 的值． 【互动探索】由原式的展开式中不含x 3项可以推出什么？由此怎样求出n 的值？ 【解答】(－3x )2⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23＝9x 2·⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23＝9x 4－18nx 3＋6x 2. 由展开式中不含x 3项，得n ＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．请完成本课时对应练习！第6课时多项式乘多项式一、基本目标【知识与技能】理解多项式乘多项式的运算法则，运用多项式与多项式的乘法法则进行计算．【过程与方法】经历探索多项式乘多项式的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．【情感态度与价值观】通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．二、重难点目标【教学重点】多项式乘多项式的法则的推导及应用．【教学难点】多项式乘多项式的法则的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)(－ab)·(－4b2)＝4ab3；(2)－2x(x－3y)＝－2x2＋6xy；(3)(2x2y)3·(－4xy2)＝－32x7y5；(4)－2x(2x2－3x＋1)＝－4x3＋6x2－2x.2．看图填空：(1)大长方形的长是a＋b，宽是m＋n，面积等于(a＋b)(m＋n).(2)图中四个小长方形的面积分别是am、bm、an、bn，由上述可得(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.3．多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4．计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．解：(1)3x2＋8x＋4.(2)－4y2＋21y－5.5．长方形的长是(2a＋1)，宽是(a＋b)，求长方形的面积．解：根据题意，得长方形的面积S＝(2a＋1)(a＋b)＝2a2＋2ab＋a＋b.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)(x＋2y)(5a＋3b)；(2)(2x－3)(x＋4)；(3)(x＋y)2；(4)(x＋y)(x2－xy＋y2)．【互动探索】(引发学生思考)根据多项式乘多项式的法则进行计算．【解答】(1)原式＝x·5a＋x·3b＋2y·5a＋2y·3b＝5ax＋3bx＋10ay＋6by.(2)原式＝2x2＋8x－3x－12＝2x2＋5x－12.(3)原式＝(x＋y)(x＋y)＝x2＋xy＋xy＋y2＝x2＋2xy＋y2.(4)原式＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.【互动总结】(学生总结，老师点评)多项式乘多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；所得结果仍是多项式，且在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【例2】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b ＝1.【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简代数式→确定当a＝－1，b＝1时，化简后代数式的值．【解答】(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．活动2巩固练习(学生独学)1．若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n，则m、n的值分别为(B)A．m＝5，n＝6B．m＝1，n＝－6C．m＝1，n＝6D．m＝5，n＝－62．下列各式中，计算结果是x2＋7x－18的是(A)A ．(x －2)(x ＋9)B ．(x ＋2)(x ＋9)C ．(x －3)(x ＋6)D ．(x －1)(x ＋18)3．如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋3b )，宽为(2a ＋b )的大长方形，那么需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为( A )A ．2,3,7B ．3,7,2C ．2,5,3D ．2,5,7教师点拨：(a ＋3b )(2a ＋b )＝2a 2＋7ab ＋3b 2. 4．已知a 2－a ＋5＝0，则(a －3)(a ＋2)的值是－11.教师点拨：把所求代数式展开后，利用条件得到a 2－a ＝－5，再整体代入即可得解． 5．计算：(1)(y ＋1)(x －y )－x (y －x )； (2)(－7x 2－8y 2)(－x 2＋3y 2)； (3)(3a ＋1)(2a －3)－(6a －5)(a －4)． 解：(1)x 2－y 2＋x －y . (2)7x 4－13x 2y 2－24y 4. (3)22a －23.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知ax 2＋bx ＋1(a ≠0)与3x －2的积不含x 2项，也不含x 项，求系数a 、b 的值． 【互动探索】计算ax 2＋bx ＋1与3x －2的乘积．由原式的展开式中不含x 3项，也不含x 的项→建立方程→确定a 、b 的值．【解答】(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)＝3ax 3－2ax 2＋3bx 2－2bx ＋3x －2. ∵积不含x 2项，也不含x 项，∴－2a ＋3b ＝0，－2b ＋3＝0，解得b ＝32，a ＝94.即系数a 、b 的值分别是94，32.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据多项式乘多项式的法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，得出这一项系数等于零，由此列出方程解答．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．字母表示：请完成本课时对应练习！第7课时整式的除法一、基本目标【知识与技能】理解并掌握同底数幂的除法法则、单项式除以单项式的运算法则和多项式除以多项式的运算法则，熟练地进行整式除法的计算．【过程与方法】经历探究整式除法的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力．【情感态度与价值观】感受数学法则和公式的简洁美、和谐美，培养学生的团结协作精神，使学生获得合作交流的学习方式．二、重难点目标【教学重点】整式的除法法则．【教学难点】整式的除法法则的推导．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、同底数幂的除法计算：(1)28·28＝216,216÷28＝28；(2)52·54＝56,56÷54＝52；(3)a4·a2＝a6，a6÷a4＝a2；(4)从(1)～(3)运算中归纳出同底数幂的除法法则：a m÷a n＝a m－n(a≠0，n、m为正整数，且m>n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减.(5)∵a m÷a m＝1，而a m÷a m＝a(m－m)＝a0，∴a0＝1(a≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1.二、单项式除以单项式计算：(1)a·4a2＝4a3,4a3÷4a2＝a；(2)3xy·2x2＝6x3y,6x3y÷3xy＝2x2；(3)3ax2·4ax3＝12a2x5,12a2x5÷3ax2＝4ax3；(4)从(1)～(3)运算中归纳出单项式除以单项式法则：单项式相除，把同底数幂与系数分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．三、多项式除以单项式1．计算：(1)m·(a＋b)＝am＋bm，(am＋bm)÷m＝a＋b；(2)a ·(a ＋b )＝a 2＋ab ，(a 2＋ab )÷a ＝a ＋b ；(3)2xy ·(3x 2＋y )＝6x 3y ＋2xy 2，(6x 3y ＋2xy 2)÷2xy ＝3x 2＋y ；(4)从上述运算中归纳出多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2．计算：(1)a 5÷a 3； (2)－5a 5b 3c ÷15a 4b ； (3)(27x 3－18x 2＋3x )÷(－3x )．解：(1)a 2. (2)－13ab 2c . (3)－9x 2＋6x －1.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)(x －2y )3÷(2y －x )2； (2)(a 2＋1)6÷(a 2＋1)4÷(a 2＋1)2； (3)(2a 2b 2c )4z ÷(－2ab 2c 2)2； (4)81x 12y 12z 4÷9x 6y 4z 2÷12x 2y 6z ；(5)(72x 3y 4－36x 2y 3＋9xy 2)÷(－9xy 2)．【互动探索】(引发学生思考)利用除法的运算法则进行计算． 【解答】(1)原式＝(x －2y )3÷(x －2y )2＝x －2y . (2)原式＝(a 2＋1)6－4－2＝(a 2＋1)0＝1.(3)原式＝16a 8b 8c 4z ÷4a 2b 4c 4＝4a 6b 4z .(4)原式＝⎝⎛⎭⎫81÷9÷12·x 12－6－2·y 12－4－6·z 4－2－1＝18x 4y 2z . (5)原式＝72x 3y 4÷(－9xy 2)＋(－36x 2y 3)÷(－9xy 2)＋9xy 2÷(－9xy 2)＝－8x 2y 2＋4xy －1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)计算整式除法时，按照相应的运算法则进行计算，有乘方的先算乘方，再算乘除．(2)单项式除以单项式和多项式除以单项式的实质都是有理数的除法和同底数幂的除法．计算时，注意运算顺序和符号的变化．【例2】先化简，后求值：[2x (x 2y －xy 2)＋xy (xy －x 2)]÷x 2y ，其中x ＝2018，y ＝2017. 【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→原式化简→代值计算的结果．【解答】[2x (x 2y －xy 2)＋xy (xy －x 2)]÷x 2y ＝[2x 3y －2x 2y 2＋x 2y 2－x 3y ]÷x 2y ＝[x 3y －x 2y 2]÷x 2y ＝x －y .把x ＝2018，y ＝2017代入上式，得原式＝2018－2017＝1.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的方法是先化简，再把对应的数值代入化简后的式子进行计算即可．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知28a 2b m ÷4a n b 2＝7b 2，那么m 、n 的值为( A ) A ．m ＝4，n ＝2 B ．m ＝4，n ＝1 C ．m ＝1，n ＝2D ．m ＝2，n ＝22．已知长方形的面积为18x 3y 4＋9xy 2－27x 2y 2，长为9xy ，则宽为( D ) A ．2x 2y 3＋y ＋3xy B ．2x 2y 2－2y ＋3xy C ．2x 2y 3＋2y －3xyD ．2x 2y 3＋y －3xy3．如果(3x 2y －2xy 2)÷m ＝－3x ＋2y ，那么单项式m 为( B ) A ．xy B ．－xy C ．xD ．－y4．若等式(6a 3＋3a 2)÷(6a )＝(a ＋1)(a ＋2)成立，则a 的值为－45.5．计算： (1)x 3÷x 2；(2)⎝⎛⎭⎫－25a 2b 4÷⎝⎛⎭⎫－14ab 2÷(－10ab )； (3)(6a 3b －9a 2b 2－12ab 3)÷(－3ab )． 解：(1)x . (2)－425b . (3)－2a 2＋3ab ＋4b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知a m ＝4，a n ＝2，a ＝3，求a m －n －1的值．【互动探索】逆向思维法：将a m－n －1转化为a m ÷a n ÷a ，再代入数据计算．【解答】∵a m ＝4，a n ＝2，a ＝3， ∴a m－n －1＝a m ÷a n ÷a ＝4÷2÷3＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出a m－n －1＝a m ÷a n ÷a .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！14．2乘法公式14．2.1平方差公式(第1课时)一、基本目标【知识与技能】掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算．【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．【情感态度与价值观】通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受数学知识的实际价值．二、重难点目标【教学重点】平方差公式．【教学难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P107～P108的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．根据条件列代数式：(1)a、b两数的平方差可以表示为a2－b2；(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2.2．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式；等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差.(2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．3．已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝80.4．计算(3－x)(3＋x)的结果是9－x2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】运用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．【互动探索】(引发学生思考)观察各式子的特点，确定用什么公式计算？【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.(2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2. (3)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【例2】计算：10015×9945.【互动探索】(引发学生思考)观察式子特点，直接计算比较难，将原式转化为⎝⎛⎭⎫100＋15⎝⎛⎭⎫100－15，用平方差公式计算．【解答】原式＝⎝⎛⎭⎫100＋15⎝⎛⎭⎫100－15＝10 000－125＝99992425. 【互动总结】(学生总结，老师点评)可将两个因数写成相同的两个数的和与差，形成平方差公式结构．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A ．(x ＋y )(x ＋y ) B ．(－x ＋y )(x －y ) C ．(－x －y )(y －x )D ．(x ＋y )(－x －y )2．如图1，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.3．长方形的长为(2a ＋3b )，宽为(2a －3b )，则长方形的面积为4a 2－9b 2. 4．若(m ＋3x )(m －3x )＝16－nx 2，则mn 的值为±36. 5．计算：(1)⎝⎛⎭⎫34y ＋212x ⎝⎛⎭⎫212x －34y ； (2)⎝⎛⎭⎫－56x －0.7a 2b ⎝⎛⎭⎫56x －0.7a 2b ； (3)(2a －3b )(2a ＋3b )(4a 2＋9b 2)(16a 4＋81b 4)．解：(1)254x 2－916y 2. (2)0.49a 4b 2－2536x 2. (3)256a 8－6561b 8.6．运用平方差公式简算： (1)2013×1923； (2)13.2×12.8.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫20＋13×⎝⎛⎭⎫20－13＝400－19＝39989. (2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】对于任意的正整数n ，整式(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值一定是10的倍数吗？【互动探索】要判断整式是否为10的倍数→需化简代数式→化简结果是否是10的倍数→做出判断．【解答】原式＝9n 2－1－(9－n 2)＝10n 2－10＝10(n ＋1)(n －1)． ∵n 为正整数，∴(n －1)(n ＋1)为整数，即(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值是10的倍数．【互动总结】(学生总结，老师点评)平方差公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.请完成本课时对应练习！14．2.2完全平方公式第2课时完全平方公式一、基本目标【知识与技能】1．掌握完全平方公式及其结构特征．2．会用完全平方公式进行简单计算．【过程与方法】利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式，感受乘法公式从一般到特殊的认知过程，拓展思维空间．【情感态度与价值观】培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．二、重难点目标【教学重点】完全平方公式及其结构特征．【教学难点】灵活应用完全平方公式进行计算．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P109～P110的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．按要求列代数式：(1)a、b两数和的平方可以表示为(a＋b)2；(2)a、b两数平方的和可以表示为a2＋b2.2．计算下列各式：(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9.3．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．如图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】运用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2; (4)(a＋b＋c)2.【互动探索】(引发学生思考)观察式子的特点，怎样运用完全平方公式进行计算？【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.(3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.(4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方”．【例2】计算：(1)9982；(2)(2)20182－2018×4034＋20172.【互动探索】(引发学生思考)(1)直接计算9982比较复杂，考虑将998转化为1000－2，再利用完全平方公式计算．(2)逆用完全平方公式即可．【解答】(1)原式＝(1000－2)2＝1 000 000－4000＋4＝996 004.(2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172＝(2018－2017)2＝1.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)中可将该式变形为(1000－2)2，再运用完全平方公式可简便运算．活动2巩固练习(学生独学)1．运算结果是x4y2－2x2y＋1的是(C)A．(－1＋x2y2)2B．(1＋x2y2)2C．(－1＋x2y)2D．(－1－x2y)22．若|a －b |＝1，则b 2－2ab ＋a 2的值为( A ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．无法确定3．下列关于962的计算方法正确的是( D ) A ．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984 B ．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024 C ．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136D ．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216 4．运用完全平方公式计算：(1)(－3a ＋2b )2； (2)(a ＋2b －1)2； (3)50.012; (4)49.92.解：(1)4b 2－12ab ＋9a 2. (2)a 2＋4ab ＋4b 2－2a －4b ＋1. (3)2501.0001. (4)2490.01. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如果36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2是一个完全平方式，求m 的值．【互动探索】根据完全平方公式的结构特点→确定(m ＋1)xy 的值→建立方程→确定m 的值．【解答】∵36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2＝(6x )2＋(m ＋1)xy ＋(5y )2， ∴(m ＋1)xy ＝±2·6x ·5y ， ∴m ＋1＝±60，∴m ＝59或－61.【互动总结】(学生总结，老师点评)两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【例4】已知a ＋b ＝4，ab ＝－5，求下列各式的值． (1)a 2＋b 2； (2)(a －b )2.【互动探索】由已知等式联想到什么乘法公式？所求代数式与已知等式有什么关系？怎样求解？【解答】(1)a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab .把a ＋b ＝4，ab ＝－5代入，得a 2＋b 2＝42－2×(－5)＝16＋10＝26. (2)(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab .把a ＋b ＝4，ab ＝－5代入，得(a －b )2＝42－4×(－5)＝16＋20＝36. 【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式的常用变形： (1)a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2－2ab ； (2)ab ＝12[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)]；(3)(a －b )2＋(a ＋b )2＝2(a 2＋b 2)；。

整式的乘法与因式分解全章教案一、教学目标：1. 理解整式乘法的基本概念和方法，能够熟练进行整式的乘法运算。

2. 掌握因式分解的基本原理和方法，能够对简单的一元二次方程进行因式分解。

3. 能够应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

二、教学内容：1. 整式乘法的基本概念和方法。

2. 整式乘法的运算规则。

3. 因式分解的基本原理和方法。

4. 因式分解的运算规则。

5. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 整式乘法的运算规则。

2. 因式分解的方法和技巧。

3. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解整式乘法与因式分解的基本概念和方法。

2. 采用示范法，示范整式乘法与因式分解的运算过程。

3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。

4. 采用问题解决法，引导学生应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

五、教学准备：1. 教案、教材、PPT等教学资源。

2. 练习题、测试题等教学资料。

3. 教学黑板、粉笔等教学工具。

4. 投影仪、电脑等教学设备。

六、教学进程：1. 导入：通过复习整式的加减法，引出整式乘法的重要性，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：讲解整式乘法的基本概念和方法，重点讲解运算规则。

3. 示范：示范整式乘法的运算过程，让学生理解并掌握运算规则。

4. 练习：布置练习题，让学生通过练习巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调整式乘法的重要性。

七、作业布置：1. 完成练习题，巩固整式乘法的运算规则。

2. 预习下一节课的内容，为学习因式分解做准备。

八、课堂反馈：1. 课堂提问：通过提问了解学生对整式乘法的掌握情况。

2. 练习批改：及时批改学生的练习题，指出错误并给予讲解。

3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，调整教学方法。

九、课后反思：1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的优缺点。

2. 根据学生的反馈，调整教学策略，提高教学质量。

人教版八年级数学上第十四章《整式乘法与因式分解》全章教案第一篇：人教版八年级数学上第十四章《整式乘法与因式分解》全章教案东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：第十四章整式的乘法与因式分解14.1.1 同底数幂的乘法教学目标1.理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算．2.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用．教学重、难点同底数幂的乘法运算法则及其应用.教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s可进行多少次运算？（1）如何列出算式？（2）1015的意义是什么？（3）怎样根据乘方的意义进行计算？根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）2（2）a（3）535)⨯22=2(；)⋅a2=a(；)⨯5n=5(．m你能将上面发现的规律推导出来吗？=（14aa244⋅Λ⋅3a）（⋅14a⋅4a244⋅Λ⋅3a）am⋅an ⋅4m个an个a=a⋅4a ⋅Λ⋅3a 14244（m+n）个a m+ n教师板演: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即：am×an＝am+n（m、n都是正整数）.二、知识应用，巩固提高=a am⋅an=am+n（m，n 都是正整数）表述了两个同底数幂相乘的结果，那么，三个、四个…多个同底数幂相乘，结果会怎样？这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况：am⋅an⋅Λ⋅ap=am+n+Λ+p（m，n，p都是正整数）．例1(教科书第96页)三、应用提高、拓展创新课本96页练习/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？五、布置作业：习题14.1第1（1）、（2）题教后反思：14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方教学目标1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据．2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算．3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法．教学重、难点幂的乘方与积的乘方的性质．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 有一个边长为a2 的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: 23（）（1）3）（=32⨯32⨯32=3；3（）（2）a2）（=a2⋅a2⋅a2=a；（a（3）m3（））=am⋅am⋅am=a（m是正整数）．在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即：（am）n＝amn（m、n 都是正整数）．多重乘方可以重复运用上述法则：pmn⎡⎤ a）=amnp（⎣⎦二、知识应用，巩固提高计算（1）（102）3；（2）（b5）5；（3）（an）3；（4）－（x2）m；（5）（y2）3·y；（6）2（a2）6－（a3）4．问题4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：你能发现有何运算规律吗？能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？（n是正整数）/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．当n 是正整数时，三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质吗？四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）幂的三个运算性质是什么？它们有什么区别和联系？五、布置作业：教材第102页第1、2题．教后反思：14.1.4整式的乘法(1)教学目标1．理解单项式乘法的法则，会用单项式乘法法则进行运算．2．经历单项式乘法法则的形成过程，发展学生的运算能力，体会类比思想．教学重、难点单项式的乘法法则的概括过程和运用．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?二、知识应用，巩固提高问题2 观察这三个算式有何共同的特点？请你用自己的语言概括单项式乘以单项式的法则.单项式乘以单项式的法则:单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：三、应用提高、拓展创新第99页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用单项式的乘法法则时，应该注意哪些问题？（3）结合探索单项式乘法法则的过程，你认为体现了哪些思想方法？五、布置作业：教科书习题14.1第3、9、10题．教后反思：14.1.4整式的乘法(2)教学目标1．理解单项式与多项式相乘的法则，能运用单项式与多项式相乘的法则进行计算．2．理解算理，发展学生的运算能力和“几何直观”观念，体会转化、数形结合和程序化思想．教学重、难点单项式与多项式相乘的法则的运用．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题我们来回顾引言中提出的问题：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长p 米，宽b 米的长方形绿地，向两边分别加宽a 米和c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法：（pa+b+c）pa+pb+pc你认为这两个代数式之间有着怎样的关系呢？二、知识应用，巩固提高请你用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则．单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.三、应用提高、拓展创新完成课本100页练习1、练习2/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）在运用单项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？（3）探索单项式与多项式相乘的法则的过程，体现了哪些思想方法？五、布置作业：教材第103页第4、7题教后反思：14.1.4整式的乘法(3)教学目标1．理解多项式与多项式相乘的法则，并能运用法则进行计算．2．理解算理，发展学生的运算能力和几何直观，体会转化、数形结合和程序化思想.教学重、难点多项式与多项式相乘的法则的概括与运用．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 已知某街心花园有一块长方形绿地，长为a m，宽为p m．则它的面积是多少？若将这块长方形绿地的长增加b m，则扩大后的绿地面积是多少？问题2 若将原长方形绿地的长增加b m、宽增加q m，你能用几种方法求出扩大后的长方形绿地的面积呢？不同的表示方法：二、知识应用，巩固提高根据上节课积累的探究经验，你能得到什么结论呢？（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.你认为在运用法则计算时，应该注意什么问题？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：根据上述求解过程，观察计算结果的各项系数与原式中的系数有怎样的关系？三、应用提高、拓展创新教科书第102页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）在运用多项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？（3）举例说明在探索多项式与多项式相乘的法则的过程中，体现了哪些思想方法？五、布置作业：教材习题14.1第5、8题教后反思：14.1.4整式的除法(1)教学目标1．理解同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则，并会应用法则计算．2．体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值；体会转化思想在单项式除法中的作用．教学重、难点探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则，并会用它们进行运算．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 一种数码照片的文件大小是28 K，一个存储量为26 M（1 M=210 K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？二、知识应用，巩固提高问题2 填空：⨯（1）∵（）（）⨯（2）∵（）⋅（3）∵23=25 ∴25÷23=（）；103=107 ∴107÷103=（）；a3=a7 ∴a7÷a3=（）．问1 你在解决问题2时，用到了什么知识？你能叙述这一知识吗？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：问2 25÷23，107÷103，a7÷am 这三个算式属于哪种运算？你能概括一下它3们是怎样计算出来的吗？问3 你能用上述方法计算 a÷an吗？问4 你能用语言概括这一性质吗？同底数幂除法的性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减．思考与讨论为什么a≠0？问题3 当被除式的指数等于除式的指数时：（1）如果根据这条性质计算am÷an结果是多少？÷an结果是多少？（2）如果根据除法意义计算 am即任何不等于0的数的0次幂都等于1．三、应用提高、拓展创新例1 计算：474（xy）÷xy；a÷a；（1）（2）326（-y）÷y.（-x）÷（-x）；（3）（4）问题4 计算下列各题：423323228xy÷7xy；（1）（2）12abx÷3ab.例2 计算：（1）-8a22教科书104页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）探究同底数幂除法性质和单项式除法？（3）运用同底数幂除法性质和单项式除法的法则时，你认为应该注意什么？五、布置作业：教材习题14.1第6题（1）（2）（3）（4）．教后反思：12b÷6ab2；（2）（-12x8y6）÷（-x2y3）.2 7 / 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：14.1.4整式的除法(2)教学目标1．理解多项式除以单项式的法则．2．体会知识间的内在联系、互逆关系等逻辑关系在研究问题时的价值；体会类比和转化的数学思想在多项式除以单项式中的作用.教学重、难点探究多项式除以单项式的法则，会运用法则进行计算．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 请同学们观察下列算式，它是我们学过的除法算式吗？如果不是，说说它与我们上节课学习的算式有什么不一样的特点.⑴.（m+bm）÷m；-12x2+4x）÷4x.（8x⑵3你能尝试计算（1）吗？说说你是怎样算出来的？二、知识应用，巩固提高利用除法是乘法的逆运算，求（am +bm）÷m 的值，就是要求一个多项式，使它与m 的积是（am +bm）．你知道这个多项式是什么吗？完成引例：8x3-12x2+4x）÷4x（思考上述两个算式的运算，它们的相同之处是什么？通过以上两个例子，我们在计算一个多项式除以单项式时，是将它如何转化的呢？你能用字母的形式来表示吗？多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.或例1 计算：（6ab（1）+5a÷a）；22（15xy-10xy÷5xy）；（2）（8a（3）2-4ab）÷（-4a）；3（4）（12a-6a2+3a）÷3a.三、应用提高、拓展创新教科书104页练习3/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用多项式除以单项式法则计算的基本步骤是什么？应注意的地方是什么？（3）探究多项式除以单项式的方法是什么？五、布置作业：教材习题14.1第6（5）（6）题教后反思：14.2.1 乘法公式--平方差公式教学目标1．理解平方差公式，能运用公式进行计算．2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．教学重、难点平方差公式教学过程设计一、创设情境，激发兴趣在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）=；（2）=；（3）=．二、知识应用，巩固提高上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？你能将发现的规律用式子表示出来吗？你能对发现的规律进行推导吗？（a+b）（a-b）=a前面探究所得的式子2-b2为乘法的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：例1 运用平方差公式计算：（-x+2y）（-x-2y）（3x-2）（1）（3x+2）；（2）从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应注意什么？（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个数或式相当于公式中的b；（3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同，“第二个数”b 的符号相反；（4）公式中的字母a ,b 可以是具体的数、单项式、多项式等；（5）不能忘记写公式中的“平方”．例2 计算：（-y+2）（-y-2）-（y-1）（y+5）（1）；（2）102×98．三、应用提高、拓展创新教科书108页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）平方差公式的结构特征是什么？（3）应用平方差公式时要注意什么五、布置作业：教科书习题14.2第1题．教后反思：14.2.2乘法公式--完全平方公式教学目标1．理解完全平方公式，能用公式进行计算．2．经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数形结合思想，发展符号意识和几何直观观念．教学重、难点完全平方公式．/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 计算下列各式:22（p+1）=______；（m+2）=______；（1）22（p-1）=______；（m-2）=______.（2）你能发现什么规律？二、知识应用，巩固提高问题2 你能用式子表示发现的规律吗？完全平方公式：问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗？两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．公式特点：（1）积为二次三项式；（2）积中两项为两数的平方和；（3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；（4）公式中的字母a，b 可以表示数，单项式和多项式.问题4 能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗？三、应用提高、拓展创新例1 运用完全平方公式计算：212（4m+n）（1）；（2）．（y-）2例2 运用完全平方公式计算：（1）102；（2）99．问题5 思考: 22（a+b）与（-a-b）相等吗？（1）22（a-b）与（b-a）相等吗？（2）（a-b）与 a（3）2222-b2相等吗？为什么？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：问题6 添括号法则去括号a+(b+c)= a+b+c；a－(b+c)= a－b－c．a+b+c =a+(b+c)；a-b-c = a-(b + c）．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）完全平方公式结构有什么特点？五、布置作业：教材习题14.2第2、4、6、7题．教后反思：14.3.1因式分解--提公因式法教学目标1．了解因式分解的概念．2．了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解．教学重、难点运用提公因式法分解因式．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．请把下列多项式写成整式的乘积的形式：二、知识应用，巩固提高在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．你认为因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法是互逆变形关系．你能试着将多项式pa+pb+pc因式分解吗？（1）这个多项式有什么特点？（2）因式分解的依据是什么？（3）分解后的各因式与原多项式有何关系？一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：例1 把8a32b+12ab3c分解因式．通过对例1的解答，你有什么收获？（1）公因式是多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；（2）提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；（3）用提公因式分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．ab+c）（-3b+c）例2 把2（分解因式．通过对例2的解答，你有什么收获？公因式可以是单项式，也可以是多项式.三、应用提高、拓展创新教科书115页练习1、2、3四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？（3）提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么？五、布置作业：教科书习题14.3第1、4（1）题．教后反思：14.3.2因式分解--公式法（1）教学目标1．探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2．会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．教学重、难点运用平方差公式来分解因式．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣你能将多项式y2-25与多项式x2-4分解因式吗？（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？（2）这两个多项式有什么共同的特点？（a-b）（a+b）=a（3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式吗？二、知识应用，巩固提高你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概括你的发现.2-b2来解决这个问题（a-b）=a把整式的乘法公式——平方差公式（a+b）13 / 152-b2反过来就得到因式分解的平方东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：差公式：（1）平方差公式的结构特征是什么？（2）两个平方项的符号有什么特点？适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．例1 分解因式：222（x+p）-（x+q）4x-9（1）；（2）．三、应用提高、拓展创新例2 分解因式：44x-y；a）ba-3abx-b-.ab.（1）y ；（2通过对例2的学习，你有什么收获？（1）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；（2）对具体问题选准方法加以解决四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）因式分解的平方差公式的结构特征是什么？（3）综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解时要注意什么？五、布置作业：教材习题14.3第2、4（2）题教后反思：14.3.2因式分解--公式法（2）教学目标1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解．2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．教学重、难点运用完全平方公式分解因式．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣你能将多项式a2+2ab+b2与多项式a2-2ab+b2分解因式吗？追问1 你能用提公因式法或平方差公式来分解因式吗？追问2 这两个多项式有什么共同的特点？（a追问3 你能利用整式的乘法公式——完全平方公式来解决这个问题吗？2±b）=a2±2ab+b14 / 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：二、知识应用，巩固提高你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现.把整式的乘法公式——完全平方公式（a的完全平方公式：我们把a22±b）=a2±2ab+b2反过来就得到因式分解+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解．完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限．例1 分解因式：22216x+2416xx+9+ 24x+9-x+4 xy-x-4+y4xy-4y（1）；（2）．三、应用提高、拓展创新例2 分解因式：223ax+6axy+3ay +（a2+b）-12（a++36b）+3631ax（ab）-12（a+b）（）+6axy+3ay ；（2）．把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）因式分解的完全平方公式在应用时应注意什么？五、布置作业：教材习题14.3第3、5（1）（3）题教后反思：/ 15第二篇：整式的乘法与因式分解复习教案《整式的乘法与因式分解》复习（一）教案教学目标：知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则过程与方法：会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式情感态度与价值观：培养学生的独立思考能力和合作交流意识教学重点：记住公式及法则教学难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解教学方法与手段：讲练结合教学过程：一．本章知识梳理：幂的运算：(1)同底数幂的乘法(2)同底数幂的除法(3)幂的乘方(4)积的乘方整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式(3)多项式乘多项式(4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式乘法公式：(1)平方差公式(2)完全平方公式因式分解：(1)提公因式法(2)公式法二．合作探究：(1)化简：a3·a2b=.(2)计算：4x2+4x2=(3)计算：4x2·(-2xy)=.(4)分解因式：a2-25=三、当堂检测1．am=2，an=3则a2m+n =___________，am－2n =____________ 2．若A÷5ab2=－7ab2c3,则A=_________, 若4x2yz3÷B=－8x,则B=_________.2(ax+b)(x+2)=x-4，则ab=_________________.3．若4．若a-2+b2-2b+1=0，则a=a+，b＝5．已知11a2+2=3aa的值是.，则6．已知被除式是x3+2x2－1，商式是x，余式是－1，则除式是（）A、x2+3x－1B、x2+2xC、x2－1D、x2－3x+1 7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A.–3B.3C.0D.1 8.一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm，则这个正方形的边长为（）A、6cmB、5cmC、8cmD、7cm 9．下列各式是完全平方式的是（）2A、x2-x+14 B、1+x2 C、x+xy+12D、x+2x-110．下列多项式中，含有因式(y+1)的多项式是（y 2 - 2 y + 1）A.22222(y+1)-(y-1)(y+1)-(y-1)(y+1)+2(y+1)+1B.C.D.三.课堂小结：今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。

因式分解教材内容分析：因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。

在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。

教学目的：1、认知目的：（1）理解因式分解的概念和意义（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。

3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

教学重点：因式分解的步骤教学难点：因式分解的三种基本方法及其灵活应用教学过程：一．复习公式m(a+b+c)= ma+mb+mc=(a+b)(a-b)= a2-b2=(a+b)2= a2+2ab+b2=二．概括1．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

说明：①因式分解的对象是多项式；②分解的结果是整式乘积的形式；③因式分解与整式乘法是互为相反的过程，因此可以利用整式乘法检验因式分解的正确性。

2．把下列多项式分解因式，总结因式分解的方法：（1）3a+3b=(2)5x-5y+5z=(3)x2-4y2=(4)m2+6mn+9n2=①提公因式法：把多项式中的每一项都含有的相同的因式提出来，分解成两个因式的乘积的形式；②公式法：将乘法公式反过来用，写成因式相乘的形式。

三．应用举例，把下列多项式分解因式：(1)-5a2+25a (2)3(x-y)2+2(x-y)(3) x4-1 (4)16(x-y)2-9(x+y)2(5)(a+b)2-6(a+b)+9四．综合应用，把下列多项式分解因式：(1)4x3y-4x2y2+xy3(2)3x3-12xy2五．小结（提、套、查）1．各个因式要分解到不能再分解为止；（查）2．用整式乘法来检验因式分解结果的正确性；3．先观察各项是否有公因式，再考虑应用公式。

可编辑修改精选全文完整版第十四章整式乘法与因式分解单元教学第一篇：第十四章整式乘法与因式分解单元教学第十四章整式的乘法与因式分解单元教学计划14.3因式分解。

小结复习。

一、教学内容：14.1整式的乘法。

14.2乘法公式。

二、教学目标：知识与技能：1、使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。

使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。

2、使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。

3、使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运算运算律与乘法公式简化运算4、使学生理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握提公因式法和运用公式法这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。

过程与方法：1、通过探索、猜测，进一步体会学会推理的必要性，发展学生过程与方法〕初步推理归纳能力；2、通过揭示一些概念和法则之间的联系，对学生进行创新精神和实践能力的及主观能动培养.情感态度与价值观：1、通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，以感受推理过程的严谨性以及结论的确定性；2、开展探究性活动，充分体现学生的自主、合作精神，激发学生乐于探索的热情。

三、教学重点：掌握整式的乘法公式。

四、教学难点：掌握因式分解的方法。

五、课时分配：教学时间约需 14 课时，具体分配如下：14.1整式的乘法6课时。

14.2乘法公式3课时。

14.3因式分解3课时。

小结复习2课时。

第二篇：因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法的关系【知识点】整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．即：多项式整式乘积【练习题】1.下列因式分解正确的是①②③④⑤2.下列因式分解正确的是①②③④⑤3.下列因式分解正确的是①②③④⑤4.下列因式分解正确的是①②③④⑤5.下列因式分解正确的是①②③④⑤6.下列因式分解正确的是①②③④⑤答案1.1；22.1；3；53.4；54.3；45.2；46.1；3；57.第三篇：整式的乘法与因式分解复习教案《整式的乘法与因式分解》复习（一）教案教学目标：知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则过程与方法：会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式情感态度与价值观：培养学生的独立思考能力和合作交流意识教学重点：记住公式及法则教学难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解教学方法与手段：讲练结合教学过程：一．本章知识梳理：幂的运算：(1)同底数幂的乘法(2)同底数幂的除法(3)幂的乘方(4)积的乘方整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式(3)多项式乘多项式(4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式乘法公式：(1)平方差公式(2)完全平方公式因式分解：(1)提公因式法(2)公式法二．合作探究：(1)化简：a3·a2b=.(2)计算：4x2+4x2=(3)计算：4x2·(-2xy)=.(4)分解因式：a2-25=三、当堂检测1．am=2，an=3则a2m+n =___________，am－2n =____________ 2．若A÷5ab2=－7ab2c3,则A=_________, 若4x2yz3÷B=－8x,则B=_________.2(ax+b)(x+2)=x-4，则ab=_________________.3．若4．若a-2+b2-2b+1=0，则a=a+，b＝5．已知11a2+2=3aa的值是.，则6．已知被除式是x3+2x2－1，商式是x，余式是－1，则除式是（）A、x2+3x－1B、x2+2xC、x2－1D、x2－3x+1 7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A.–3B.3C.0D.1 8.一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm，则这个正方形的边长为（）A、6cmB、5cmC、8cmD、7cm 9．下列各式是完全平方式的是（）2A、x2-x+14 B、1+x2 C、x+xy+12D、x+2x-110．下列多项式中，含有因式(y+1)的多项式是（y 2 - 2 y + 1）A.22222(y+1)-(y-1)(y+1)-(y-1)(y+1)+2(y+1)+1B.C.D.三.课堂小结：今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。