理解摆角很小时单摆的振动是简谐振动

第4节 单摆学习目标要求核心素养和关键能力1.知道什么是单摆，了解单摆的构成。

2.掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的来源，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关计算。

4.知道用单摆可测定重力加速度。

1.核心素养(1)利用图像法分析单摆的运动。

(2)建立简谐运动模型。

(3)控制变量法探究影响单摆周期的因素。

2.关键能力物理建模能力和分析推理能力。

知识点一 单摆的回复力❶单摆的组成：由细线和小球组成。

❷理想化模型(1)细线的长度不可改变。

(2)细线的质量与小球相比可以忽略。

(3)小球的直径与线的长度相比可以忽略。

❸单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mgl x 。

从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。

【思考】判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？提示模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略。

模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略。

模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径。

模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化。

模型⑤是单摆。

1．单摆的回复力(1)单摆受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。

(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。

(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力。

2．单摆做简谐运动的条件在摆角很小时，sin θ≈xl，又因为回复力F＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F＝－mgl x，因F指向平衡位置O，与位移反向，令k＝mgl，则回复力F＝－kx，由此可见单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。

3．证明一个振动是简谐运动的两种方法(1)动力学角度：回复力与位移关系满足F＝－kx。

(2)运动学角度：位移与时间的关系满足x＝A sin(ωt＋φ0)，x－t图像为正弦曲线。

一、实验目的1. 了解单摆的基本原理及其应用；2. 掌握单摆实验的基本操作和数据处理方法；3. 通过实验验证单摆周期公式，测量重力加速度；4. 分析实验误差，提高实验技能。

二、实验原理单摆是一种经典的物理实验模型，其运动规律可以用简谐振动公式描述。

当摆角较小时，单摆的运动可视为简谐运动，其周期公式为：T = 2π√(l/g)其中，T为单摆的周期，l为摆长，g为重力加速度。

通过测量单摆的周期和摆长，可以计算出重力加速度g的值。

三、实验仪器与器材1. 单摆仪：包括摆线、摆球、支架等；2. 电子秒表：用于测量单摆周期；3. 米尺：用于测量摆线长度；4. 摆幅测量标尺：用于测量摆角；5. 计算器：用于数据处理和计算。

四、实验步骤1. 搭建单摆实验装置，将摆球固定在支架上，调整摆线长度，使摆球悬于平衡位置；2. 用米尺测量摆线长度，记录数据；3. 用摆幅测量标尺测量摆角，记录数据；4. 用电子秒表测量单摆振动n次（n=10）所需时间，记录数据；5. 根据公式T = t/n计算单摆的周期T；6. 重复以上步骤，进行多次测量，取平均值；7. 利用公式g = 4π²l/T²计算重力加速度g的值；8. 分析实验误差，总结实验结果。

五、实验数据与结果1. 摆线长度l = 1.00m；2. 摆角θ = 5°；3. 单次测量周期T = 2.00s；4. 多次测量周期平均值T = 2.00s；5. 重力加速度g = 9.81m/s²。

六、误差分析1. 系统误差：摆线长度测量误差、摆角测量误差等；2. 随机误差：电子秒表测量误差、摆球运动过程中空气阻力等；3. 估计误差：实验操作过程中人为因素等。

七、实验结论通过本实验，我们成功验证了单摆周期公式，测量了重力加速度g的值。

实验结果表明，所测重力加速度g的值与理论值较为接近，说明本实验具有较高的准确性。

同时，通过对实验误差的分析，我们认识到在实验过程中要注意减小系统误差和随机误差，提高实验精度。

自主招生名师讲座2020年5月单摆周期问题的归纳与深化■王振虎单摆在摆角很小时的振动是简谐振动的典型实例，其周期公式为T = 2n J L ，根据这一公式可知，决定单摆周期的因素有两个，即摆长L 和单摆所处情况下的加速度g o 在中学课本中，关于g 的概念并未给出一般性的定义，这就给同学们求解复杂情况（如在超重、失重、系统加速、复合场中等）下单摆的周期问题带来一定困难。

下面结合单摆振动的具体实 例分析单摆周期的求法。

—、确定单摆的平衡位置求单摆的周期，确定其平衡位置是关键的一步。

单摆振动时，所在系统（单摆本身）运动 情况的复杂性决定了单摆平衡位置的复杂性。

1.在静止或匀速运动的体系（惯性系）中度，摆球就要来回摆动（总想回到位置O ）,因 此，这一相对悬点稳定的位置O 就是单摆的平衡位置,摆球在此位置时所受回复力为零。

如图7所示，在沿光滑斜面加速下滑的小车上，单摆和小车一同加速下滑，在摆线和斜面垂直（摆球处于O 点）时， 摆球处于相对稳定状态，这个图7位置O 就是单摆的平衡位置，摆球在此位置时所受回复力为零，但合外力不为零。

根据以上分析可知，单摆的平衡位置就 是单摆不振动时摆球相对悬点静止的位置,摆球处于平衡位置的动力学特点是所受合外力不一定为零，但回复力一定为零。

因此，不管是在惯性系中还是在非惯性系中，要找单的单摆如图1〜5所示。

摆的平衡位置，只要找出摆球不振动时相对悬点静止的位置就可以了。

二、求单摆周期的方法如图1〜5中所示单摆在不振动时,摆球总是相对悬点静止在O 点，若让其振动，摆球离开平衡位置，就要受到回复力作用（总是指向O 点），可见O 点就是其摆动的平衡位置。

摆球静止在O 点时，所受的合外力为零，回复力也为零;摆球在振动过程中经过O 点时，其回复力仍为零,但因摆球沿圆弧运动，故它所受的外力不为零。

因此，在惯性系中，单摆的平衡位置就是摆球不振动时相对于悬点静止的位置，摆球在此位置时所受回复力一定为零。

单摆运动的影响因素单摆是物理学中常见的一种运动形式，它由一个质点通过一根不可伸长且质量可以忽略不计的细线悬挂在支点上，当质点被偏离平衡位置后，会发生周期性的摆动。

单摆的运动受到多种因素的影响，包括摆长、摆角、重力加速度等。

本文将探讨这些影响因素对单摆运动的影响。

首先，摆长是指单摆质点离开支点的最大距离。

摆长的大小直接影响着单摆的周期。

根据单摆的周期公式T=2π√(L/g)，其中T为周期，L为摆长，g为重力加速度。

可以看出，摆长越大，周期越长；摆长越小，周期越短。

这是因为摆长越大，质点的摆动范围更大，需要更长的时间来完成一个周期；摆长越小，质点的摆动范围更小，需要更短的时间来完成一个周期。

因此，摆长是影响单摆周期的重要因素。

其次，摆角是指单摆质点与平衡位置之间的夹角。

摆角的大小也会对单摆的运动产生影响。

根据单摆的运动规律，当摆角较小时，单摆的运动接近简谐振动，即周期性且稳定；而当摆角较大时，单摆的运动则更加复杂，可能出现非线性振动的现象。

这是因为摆角较小时，单摆质点受到的摩擦力较小，可以近似看作无摩擦振动；而摆角较大时，摩擦力的作用会增大，从而导致振动的非线性行为。

因此，摆角是影响单摆运动性质的重要因素。

最后，重力加速度也是影响单摆运动的重要因素之一。

重力加速度是地球上物体受到的重力作用的加速度大小，通常取9.8 m/s²。

根据单摆的周期公式，重力加速度的大小直接影响着单摆的周期。

重力加速度越大，周期越短；重力加速度越小，周期越长。

这是因为重力加速度越大，质点受到的重力作用越大，需要更短的时间来完成一个周期；重力加速度越小，质点受到的重力作用越小，需要更长的时间来完成一个周期。

因此，重力加速度是影响单摆周期的重要因素。

除了上述因素外，还有其他一些影响单摆运动的因素，如空气阻力、摩擦力等。

空气阻力会使得单摆的振幅逐渐减小，从而影响周期；摩擦力会使得单摆的振动逐渐减弱，最终停止摆动。

这些因素的具体影响取决于实际情况和实验条件。

单摆【教学目标】一、知识与技能1．知道什么是单摆。

2．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

3．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。

二、过程与方法1．通过单摆的教学，知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型。

2．通过单摆做简谐运动条件的教学，体会用近似处理方法来解决物理问题。

3．通过研究单摆的周期，掌握用控制变量的方法来研究物理问题。

4．培养学生的观察实验能力、思维能力。

三、情感态度价值观单摆在小角度情况下做简谐运动，它既有简谐运动的共性，又有其特殊性，理解共性和个性的概念。

【教学重点】1．了解单摆的构成。

2．知道单摆的回复力的形成。

3．单摆的周期公式。

【教学难点】1．单摆做简谐运动的条件——摆角小于或等于5°时的振动。

2．单摆振动的回复力是由什么力提供的。

3．单摆振动的周期与什么有关。

【教学过程】一、复习提问、新课导入1．用投影片出示下列问题：①什么样的运动叫简谐运动？答：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫简谐运动。

②简谐运动的位移——时间图像具有什么特点？答：所有简谐运动的位移时间图像都是正弦或余弦曲线。

③什么是简谐运动的周期？答：做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间，叫做振动的周期。

2．引入：①讲述故事1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。

②引入新课：本节课我们就来学习这一理想化模型——单摆二、新课教学（一）简谐运动的回复力1．什么是单摆（1）学生阅读课文有关内容。

一、实验目的1. 了解单摆的基本原理和运动规律；2. 掌握单摆实验的基本操作步骤和测量方法；3. 通过实验验证单摆的周期与摆长、摆角的关系；4. 测定当地的重力加速度。

二、实验原理单摆是一种理想化的物理模型，它由一根不可伸长的细线和一个小球组成。

当小球从某一角度被释放后，在重力作用下，小球将进行周期性的往返运动。

单摆的运动可以近似看作简谐振动，其周期T与摆长L、重力加速度g之间的关系为：T = 2π√(L/g)当摆角θ较小时（一般不超过5°），单摆的运动可以近似看作简谐振动，此时单摆的周期T与摆角θ无关。

但当摆角较大时，单摆的运动将偏离简谐振动，周期T将随摆角θ的增加而增加。

三、实验仪器1. 单摆装置：由一根细线和一个小球组成；2. 秒表：用于测量单摆的周期；3. 水平仪：用于调节摆线水平；4. 刻度尺：用于测量摆长；5. 游标卡尺：用于测量小球直径。

四、实验步骤1. 装置单摆：将细线固定在支架上，将小球悬挂在细线末端，调节摆线水平；2. 测量摆长：使用刻度尺测量摆线长度，即为摆长L；3. 测量小球直径：使用游标卡尺测量小球直径，即为小球直径D；4. 测量周期：将小球拉至一定角度，释放后，使用秒表测量单摆完成N次往返运动所需时间t；5. 计算周期：周期T = t/N；6. 重复上述步骤，进行多次测量，以减小误差。

五、实验数据及处理1. 测量摆长L：L1 = 100.0 cm，L2 = 100.1 cm，L3 = 100.2 cm，平均摆长L = (L1 + L2 + L3)/3 = 100.1 cm；2. 测量小球直径D：D1 = 1.00 cm，D2 = 1.01 cm，D3 = 1.02 cm，平均直径D = (D1 + D2 + D3)/3 = 1.01 cm；3. 测量周期T：T1 = 2.01 s，T2 = 2.02 s，T3 = 2.03 s，平均周期T = (T1 + T2 + T3)/3 = 2.02 s；4. 计算重力加速度g：g = 4π²L/T² = 4π²×100.1 cm/(2.02 s)² ≈ 9.81m/s²。

高二物理第十一章机械振动第4～5节人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：第十一章机械振动第四节单摆第五节外力作用下的振动二. 重点、难点解析：1. 知道什么是单摆，了解单摆的构成。

2. 掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

3. 知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进展有关的计算。

4. 知道用单摆可测定重力加速度。

5. 知道什么是阻尼振动；知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动。

6. 知道什么叫驱动力，什么叫受迫振动，能举出受迫振动的实例。

7. 知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关。

8. 知道什么是共振以与发生共振的条件。

三. 知识内容：第一局部1. 单摆〔1〕定义：细线一端固定在悬点，另一端栓一个小球，悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。

说明：单摆是实际摆的理想化模型线的伸缩和质量可以忽略──使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上。

线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，此时悬线的长度就是摆长，实际单摆的摆长是从悬点到小球的球心。

单摆的运动忽略了空气阻力，实际的单摆在观察的时间内可以不考虑各种阻力。

〔2〕单摆的摆动①单摆的平衡位置当摆球静止在O点时，摆球受到重力G和悬线的拉力Ｆ＇作用，这两个力是平衡的。

O点就是单摆的平衡位置。

②单摆的摆动摆球沿着以平衡位置O 为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动。

2. 单摆做简谐运动〔1〕回复力：重力G 沿圆弧切线方向的分力G 1=mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力。

F=G 1=mgsinθ〔2〕单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sinθ≈Lx ，又回复力Ｆ=mgsinθ 所以单摆的回复力为mg F x L =- 〔期中x 表示摆球偏离平衡位置的位移，L 表示单摆的摆长，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反〕对确定的单摆，m 、g 、L 都有确定的数值，Lmg 可以用一个常数表示。

第四节探究单摆的振动周期从化中学李东贤【教学目标】一、知识与技能1.知道什么是单摆；理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动；2.知道单摆做简谐运动时具有固定周期（频率）；3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算；4.知道探究单摆的振动周期时采用的科学探究方法。

二、过程与方法1.通过单摆的教学，知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型.2.猜想单摆的固定周期跟那些因素有关，进一步认识到有根据的、合理的猜想与假设是物理学的研究方法之一。

3.通过探究单摆的周期，使学生领悟用“控制变量”来研究物理问题的方法，学习设计实验步骤，提高学生根据实验数据归纳物理规律的能力。

三、情感态度与价值观1．在实验探究的过程中，培养兴趣和求知欲，体验战胜困难、解决物理问题时的喜悦；2．养成实事求是、尊重自然规律的科学态度，知道采用科学方法解决问题，而不是乱猜、盲从。

【教学重点、难点】重点：1.了解单摆的构成。

2. 单摆的周期公式。

3. 知道单摆的回复力的形成。

难点：1. 单摆振动的周期与什么有关。

2.单摆振动的回复力是由什么力提供的，单摆做简谐运动的条件。

【教学用具】教师演示实验：多媒体投影仪、铁架台、沙子、单摆、秒表、米尺、磁铁学生分组实验：游标卡尺，铁架台，铁夹，细线，秒表，米尺，磁铁，一组质量不同的带小孔的金属小球【教材分析和教学建议】教学方法：1.关于单摆的构成的教学——采用问题教学法.电教法和讲授法进行.2. 关于单摆周期的教学——采用猜想、实验验证、分析推理、归纳总结的方法进行.3. 关于单摆的振动.单摆做简谐振动的条件及单摆回复力的教学——采用分析归纳法、电化教学法、讲授法、推理法进行.4.关于单摆在摆角很小时做简谐运动的证明——采用数学公式推导法进行.教材分析：1.课标要求：通过观察与分析，理解谐运动的特征，能用公式和图像描述谐运动的特征2.本节主要定性研究单摆作简谐运动的周期和那些因素有关，最后给出定量的公式。

《单摆》典型例题例1：关于单摆的说法，正确的是（）A．单摆摆球从平衡位置运动到正的最大位移处时的位移为A（A为振幅），从正的最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A．B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿运动轨迹切线方向的分力D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零出题目的：此题主要考查单摆摆动中的回复力掌握情况.解析：简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力（等于重力沿圆弧切线方向的分力）提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点（振动的平衡位置）时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，（摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零）．正确选项为C．例2：如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有（）．A．A球先到达C点B．B球先到达C点C．两球同时到达C点D．无法确定哪一个球先到达C点出题目的：此题考查单摆周期公式的灵活运用情况.解析：做自由落体运动，到C所需时间，R为圆弧轨道的半径．因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧作简谐运动（等同于摆长为R的单摆），则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即，所以A球先到达C点．例3：如图所示为一双线摆，它是在一水平天花板上用两根等长细线悬挂一小球而构成，每根摆线的长均为l，摆线与天花板之间的夹角为，当小球在垂直纸面的平面内做简谐运动时，其振动的周期是多少？出题目的：此题主要考查振动周期公式中摆长的实际确定.解析：双线摆可等效为摆长为的单摆，利用单摆振动的周期公式得双线摆的周期为。

例4：北京地区重力加速度，南京地区重力加速度。