带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。

粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。

如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。

一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。

【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是ABA ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【易错提醒】容易漏选A ，错在没有将r 先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。

【练习1】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x 轴和y 轴，交点O 为原点，如图所示。

在y >0，0<x <a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y >0，x >a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B 。

在O 点处有一小孔，一束质量为m 、带电量为q （q >0）的粒子沿x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。

入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0<x <a 的区域中运动的时间与在x >a 的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T /12，其中T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。

试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

【分析】粒子在0<x <a 的区域中的运动属于初速度方向已知、大小不确定的情况，在垂直初速度的直线（即y 轴）上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图甲），其中轨迹圆①与直线x =a 相切，为能打到y 轴上的粒子中轨道半径最大的；若粒子轨道半径大于轨迹圆①，粒子将进入x >a 的区域，由对称性可知，粒子在x >a 的区域内的轨迹圆圆心均在在x =2a 直线上，在x =2a 直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①'为半径最小的情况，轨迹圆②为题目所要求的速度最大的粒子的轨迹。

带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析一、求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时，一般先根据题意画出运动的轨迹，确定圆心，从而根据几何关系求出半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。

1、首先确定圆心：一个基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上。

三个常用方法：方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。

例1：如图1所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。

求匀强磁场的磁感应强度B与射出点的坐标。

解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为3260sinaar==，洛仑兹力是向心力rmvqBv2=，由①②解得aqmvBar23,32==.射出点的纵坐标为（r+rsin30°）=1.5r,因此射出点坐标为（0，a3）。

方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置与其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。

例2：电子自静止开始经M、N板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：（1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；（2）匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为m，电量为e）解析：（1）联结AP的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦AP的中垂线，由于电子通过A点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过A 点的半径与磁场的左边界重合。

AP 弦的中垂线OC 与磁场左边界的交点O 即是电子圆运动的圆心，以O 为圆心以OA 为半径画圆弧，如图3所示， （2）在M 、N 间加速后获得的速度为v ，由动能定理得： 221mv eU = 电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r ，则：rv m eBv 2= 在△AQP 中：22sin d L L +=θ 在△ACO 中 ：rd L rAC 2/sin 22+==θ由①②③④解得：B=emU d L L 2222+ 方法三：利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心 当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入与射出时的速度的方向与射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线与半径的交点确定圆心。

带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类解析一、单直线边界磁场1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点：（1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示.（2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆；正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=ϕϕπ，且2-=ϕθ（或2+=ϕθ）.2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子.规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例）（1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点.图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则m υr=Bqa O r-d二、双直线边界磁场规律要点：最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示.对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线.在图3中，ab 之间有带电粒子射出，可求得ab=最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.例1．一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图4所示。

已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。

（1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小；（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t 的范围。

带电粒子在有界磁场中的运动分类解析作者：席晓阳来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第1期湖北宜昌市三峡高中（443100）席晓阳纵观近几年的高考理综物理试题，带电粒子在有界磁场中的运动年年都考，备受高考命题者的青睐，而且我们注意到在新课标全国卷中，带电粒子在有界磁场中的运动往往是以压轴题的形式出现。

这充分说明带电粒子在有界磁场中的运动问题是高考的重点和热点，也是难点，所以无论是高考第一轮复习还是第二轮复习，这部分内容都应该作为重点复习。

带电粒子在有界磁场中的运动问题综合性较强，解决这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动知识，又要用到数学中的平面几何、三角函数和解析几何知识。

而且有时候又牵涉到临界情况，思维含量高，难度大。

笔者认为要处理好这部分内容的复习教学，除了要搞好基础知识的复习外（比如圆心的确定，准确、清晰地画出运动轨迹，半径和时间的确定等），更要注意归纳总结带电粒子在有界磁场中运动的常见情形，针对有界磁场边界的特点和涉及的临界情况，探究并总结出一些规律性的东西。

本文就直线边界磁场和圆形边界磁场分析探究一些常见的运动情形，归纳总结相应的特点和规律，以供同仁们参考。

一、带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动1.单平面边界磁场（1）带电粒子进出磁场具有对称性。

如图1所示，直线MN右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。

带电粒子由边界上P点从图示方向进入磁场，从关于边界对称的Q点射出，即进入和射出时速度方向与边界的夹角相同。

（2）动态问题：粒子速度大小一定，但从P点进入磁场的速度方向可任意变化，这时粒子在磁场中的运动轨迹、运动时间和射出磁场的位置随之变化，但轨迹（圆弧）的半径不变，所有可能轨迹的圆心分布在以P点为圆心、半径为r的半圆上。

若带电粒子从P点射入时速度方向一定而大小变化时，粒子在磁场中的运动轨迹、轨迹半径和射出磁场的位置随之变化，但偏转方向和运动时间不变。

【例1】（2011·浙江卷）利用如图2所示装置，可以选择一定速度范围内的带电粒子。

带电粒子在磁场中运动模型分类摘要：带电粒子在磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆），并构建粒子运动的物理学模型，归纳出带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。

模型1 同源异速率同向运动的带电粒子模型2 同源等速率异向运动的带电粒子 模型3 异源等速率同向运动的带电粒子 关键词：带电粒子圆周运动模型轨迹带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。

在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题；这部分内容从本质上讲是一个力学问题，应根据力学问题的研究思路和运用力学的基本规律求解。

带电粒子在磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆），并构建粒子运动的物理学模型，归纳出带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。

特别关注：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。

应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。

① 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等；② 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

笔者在指导高三复习过程中，对带电粒子在磁场中的运动问题进行专题复习，探究解题方法，在复习本专题时，应掌握洛仑兹力产生的条件、大小的计算、方向的判定以及速度有关、永不做功两个特点的基础上，重点放在带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动等问题上，而这类问题往往与力学知识结合在一起考查学生的综合分析能力。

下面按照带电粒子在磁场中的运动模型，对这类问题进行分类解析，供参考。

一、求解带电粒子在复合场中运动的基本思路1．对带电粒子进行受力分析，特别注意电场力和磁场力的特点 2．分析带电粒子在场中运动的图景 3．抽象出运动模型4．利用运动物理规律对带电粒子运动进行数学描述，建立相关的几何关系方程 5．建立方程求解并验证二、带电粒子在磁场中运动的物理模型 模型1 同源异速率同向运动的带电粒子带电粒子从同一粒子源O 沿垂直于磁场B 的方向，以同一方向、大小不同的速率入射，所有粒子在磁场中的运动轨迹圆内切．．于粒子源O ，如图1所示。

带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析在物理学中，带电粒子在磁场中的运动问题一直是一个非常重要的研究方向。

无论是理论上的研究还是实验上的探测，都需要我们对带电粒子在磁场中运动的物理规律进行深入的了解和研究。

在本文中，我们将着重研究带电粒子在“有界”磁场中运动的问题，并对其进行分类解析。

“有界”磁场的概念在真实的物理现象中，带电粒子往往会受到非常复杂的磁场影响。

但是，在某些特殊情况下，带电粒子受到的磁场受限于空间的某些特定区域，我们就将这种磁场称为“有界”磁场。

当带电粒子受到“有界”磁场的影响时，我们可以更加精确地研究其在磁场中运动的规律。

问题分类带电粒子在“有界”磁场中运动的问题可以分为三类：匀强磁场、非匀强磁场和旋转磁场。

下面我们依次对这三类问题进行探讨。

匀强磁场中的运动当带电粒子在匀强磁场中运动时，其受力方向始终垂直于磁场方向，磁场的大小和方向都是不变的。

这种情况下，我们可以通过洛伦兹力公式求解带电粒子的运动轨迹。

具体来说，当带电粒子的速度为v，电荷为q，受到的磁场强度为B时，带电粒子所受的洛伦兹力大小为F=qvB，方向垂直于速度和磁场的方向。

由于洛伦兹力的方向与速度方向垂直，所以带电粒子在匀强磁场中的轨迹为一个圆形。

非匀强磁场中的运动当带电粒子受到的磁场不再是匀强磁场时，其运动状态也会相应发生变化。

在非匀强磁场中，带电粒子受到的磁场强度和方向均发生变化，从而影响其运动状态。

此时，我们需要采用更加复杂的计算方法求解带电粒子的运动轨迹。

旋转磁场中的运动在旋转磁场中，带电粒子的磁场方向和大小都是随时间变化的。

这种情况下，带电粒子的运动将更加复杂。

经过分析，我们可以发现，在旋转磁场中，带电粒子的轨迹为多个圆形或椭圆形，其大小和形状随时间的变化而发生了改变。

结论总的来说，带电粒子在“有界”磁场中的运动问题是非常复杂的。

对于这些问题，在实践研究中，我们需要根据实际情况和研究目的，灵活采取不同的方法和技巧。

带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。

下面按照有界磁场的形状对这类问题进行分类解析，供参考。

一、带电粒子在半无界磁场中的运动例1、一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率V 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中(如图1).磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里.(1)求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离. (2)如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ,证明:直线OP 与离子入射方向之间的夹角θ跟t 的关系是t mqB2=θ。

解析：(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为r,则据牛顿第二定律可得：rVmB q V 2= ,解得Bq m V r =如图2所示，离了回到屏S 上的位置A 与O 点的距离为：AO =2r所以Bqm VAO 2=(2)当离子到位置P 时,圆心角(见图2)：t mBq r Vt ==α 因为θα2=，所以t mqB 2=θ. 带电粒子的半无界磁场中的运动问题在高考试题中多次出现：如99年全国高考物理试题第24题、2001年全国高考理科综合试题第30题等。

二、带电粒子在圆形磁场中的运动 例2、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图3所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间。

解析 ：电子所受重力不计。

它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R 。

圆弧段轨迹AB 所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动， 如图4所示，连结OB ，∵△OAO ″≌△OBO ″，又OA ⊥O ″A ，故OB ⊥O ″B ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见O 、B 、P 在同一直线上，且∠O ＇OP =∠AO ″B =θ，在直角三角形ＯO BSVθ P图1 O BSV θP图2 O / αM NO ,LA O 图3 P M N O ,LA O R θ/2θ θ/2 B P //Ｏ＇P 中，O ＇P =(L +r )tan θ，而)2(tan 1)2tan(2tan 2θθθ-=，Rr =)2tan(θ,所以求得R 后就可以求出O ＇P 了，电子经过磁场的时间可用t =VRV AB θ=来求得。