东南大学研究生工程矩阵往年试题分析

共 2 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷 课程名称 工程矩阵理论 考试时间 10-11-2 得分 适用专业 工科研究生 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟 一. （40%）计算题 1. （8%）假设22C ⨯的子空间1|,x x V x y C y y ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，2|,x y V x y C x y ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭。

分别求12V V ⋂，12V V +的一组基。

2. （8%）设3R 的子空间{}3(,,)|0V x y z R x y z =∈--=，(1,0,0)η=。

求0V η∈使得0min V ξηηξη∈-=-。

3. （5%）设A 是n 阶酉矩阵，分别求F A 和2A 。

4. （8%）设矩阵102001b c A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1000312B y x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

问：当参数,,,,a b c x y 满足什么条件时，矩阵A 与B 相似？ 5. （5%）设矩阵120120003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A +。

6. （6%）设n 阶方阵A 满足22A A E -=，且A I +的秩为r ，求行列式2A I +。

二. （20%）在线性空间22C ⨯上定义线性变换f 如下：对任意矩阵a b X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22a b a b f X c d c d --⎛⎫= ⎪++⎝⎭。

1. （4%）求f 在22C ⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵；2. （6%）分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的一组基；3. （6%）求f 的特征值及各个特征子空间的基；4. （4%）求f 的最小多项式。

共 2 页 第 2 页 三. （8%）设ω是n 维欧氏空间V 中的单位向量，V 上的线性变换f 定义如下：对任意V η∈，(),f a b ηηηωω=+<>。

问：当参数,a b 取什么值的时候，f 是V 上的正交变换？四. （12%）已知矩阵A 的特征多项式是23(1)λλ-，并且()()3r A r A I =-=，求A的最小多项式，并求一次数不超过2的多项式()f λ，使得()At Aef A =。

1、试分析剪力墙结构、框架—核心筒结构抗震多道设防的实现途径。

（10分）剪力墙主要表现为连梁和墙肢底层的破坏，连梁由于剪跨比小，梁腹易产生斜裂缝，若其抗剪强度不足，可能产生剪切破坏，连梁一旦破坏，墙肢间失去联系，承载力降低，墙肢底层在竖向荷载和水平荷载下处于剪压受力状态，墙肢剪跨比大，发生弯曲破坏及剪切破坏，墙肢剪跨比小，发生剪切破坏。

剪力墙作为联肢抗震墙，连系梁先屈服，然后墙肢弯曲破坏丧失承载力，当连系梁钢筋屈服并具有延性时，它既可以吸收大量地震能量，又能继续传递弯矩和剪力，对墙肢有一定的约束作用，使抗震墙保持足够的刚度和承载力，延性较好。

如果连系梁出现剪切破坏，按照抗震结构多道设防的原则，只要保证墙肢安全，整个结构就不至于发生严重破坏或倒塌。

框架—核心筒结构是双重结构体系，是由框架和核心筒两个系统组成的，核心筒作为第一道防线，框架作为第二道防线。

在结构中,核心筒在各个方向上都具有较大的抗侧刚度,因此成为结构中的主要抗侧力构件。

在小震作用下,结构整体处于弹性状态,此时核心筒承受绝大部分地震剪力,一般可达总剪力的85 %以上,其刚度大小对结构小震作用下的侧移起控制作用; 在中震及大震作用下,筒体开裂,并且先于框架屈服, 其抗侧刚度降低,所承担的剪力比例有所减小。

而核心筒外围的框架主要承受竖向荷载,并按刚度分配分担相应的剪力,在中震和大震作用下,随着核心筒刚度的降低,框架承担的剪力也相应有所增加。

因此,外框架应具有足够的承载力,以充分发挥框架—核心筒结构的多道抗震防线作用。

框架—核心筒结构具有三道抗震防线:连梁、墙肢或子筒、外框架。

框架—核心筒结构中的各构件设防要求可表述如下:1) 小震作用下,连梁、墙肢或各子筒、外框架均处于弹性状态。

2) 中震作用下,连梁进入塑性,各子筒基本处于弹性状态,外框架也基本保持弹性状态。

震后修复主要集中于耗能连梁。

3) 大震作用下,连梁屈服程度较大,但具有足够的塑性变形能力;各子筒部分进入塑性,但塑性发展程度不大;外框架结构基本保持弹性,少量进入塑性状态。

一、（10分）设矩阵121021110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算||A ||1，max{||Ax ||∞：||x ||∞=2}、cond 1(A )。

解： ||A ||1=5 （3分）；max{||Ax ||∞：||x ||∞=2}=2 ||A ||∞=8 （6分）1110111212A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（8分）cond 1(A )= ||A ||1⋅||A -1||1=20 （10分） 二、（12分）已知矩阵308212205A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，试求A 不变因子、初等因子，并写出A 的Jordan 标准形。

解：不变因子d 1=d 2=1；d 3=(λ+1)3；……6分；初等因子为(λ+1)3 (9分)A 的Jordan 标准形为110011001A J -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(12分) 三、（8分）利用盖尔圆定理证明25822131114A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有三个互异实特征值。

解：取D =diag(2,1,1),则A 与B=D -1AD 特征值相同，而B 的三个行盖尔圆彼此孤立，故每个盖尔圆内有且仅有1个特征值，而B 是实矩阵，而各盖尔圆均关于实轴对称，因而其中特征值均是实的。

……………8分四、（10分）用LU 分解求解方程组 102311001111x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解:系数矩阵A 的LU 分解如下102100102110110012111111001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （5 分）求解得到(1,1,1)T x =- （１0分）五、（10）利用幂法计算矩阵210131114A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦按模最大的特征值及特征向量的近似值：设初始向量v 0=[1 1 1]T ，迭代2次，保留4位小数。

解: λmax ≈5.3333, 特征向量[0.3438 0.7500 1.0000] ( 10分)六、（20分）已知1011202,11100A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，（1）求A 的满秩分解；（2）求A +；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax b =是否有解；（4）求Ax b =的极小范数解或极小范数最小二乘解，并指出所求的是哪种解．解：(1)101012001-111A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ (6分) (2)1251121015245A +⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(12分) (3) []0.6 1.20TA b b A +=≠,方程组无解； (16 分)（4）极小范数最小二乘解为[]011125T x A b +==- ( 20分) 七、（15分）对于如下线性方程组，201101011021x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （1）试证明其Jacobi 迭代收敛；（2）并用Jacobi 迭代法计算其近似解，设初始向量为x (0)=[0 0 0]T , 迭代四次，结果用分数或小数（保留到小数点后第四位）表示。

1、反应谱法、时程分析法和静力弹塑性分析法的优点和不足之处?2、地震动三要素及其对结构地震反应的影响?3、反应谱形状特征及其影响因素。

4、为什么可以采用等效侧向力方法计算水平地震作用效应?5、规范反应谱是如何考虑地震动频谱和幅值特性的影响?6、抗震规范GB50011-2001和GB50011-2010在地震影响系数曲线的规定有何不同?7、振型分解反应谱理论的基本假定?8、里兹向量法计算结构动力特性的有什么优点?9、写出振型分解反应谱法的振型组合公式,为什么不能对地震作用进行组合?10、实际工程分析时,如何合理选择振型数量?11、写出线性加速度法的三组基本方程式?12、讨论线性加速度法、Wilson-θ法、Newmark-β法的数值稳定性?13、时程分析法中地震波选取的注意要点?14、时程分析法中时间步长的选择原则。

15、写出振型叠加时程分析法和振型分解反应谱法计算地震反应的异同?16、什么是瑞利阻尼矩阵,用于时程分析法时的注意点?17、什么是比例阻尼体系和非比例阻尼体系?18、滞回曲线的定义、种类和作用?19、什么是骨架曲线,其特征参数有哪些?20、试绘出双线型恢复力模型,并描述其主要特点?21、试绘出三线型恢复力模型,并描述其主要特点?22、时程分析法中结构振动模型分为那几类?23、时程分析法中对于恢复力模型的拐点如何处理?24、基于性态的抗震设计理论相比传统抗震设计理论的优越性?25、什么是结构抗震性态目标矩阵?Pushover分析方法的基本假定?26、Pushover分析方法中水平加载模式有哪些?Pushover分析方法的一般步骤?试表述Pushover分析方法得到的结构荷载-位移曲线及其作用?所有答案在书上几乎都能找到,以下几点为书上不好找在课件中找到的答案,仅供参考。

1抗震规范GB50011-2001和GB50011-2010在地震影响系数曲线的规定有何不同?第5.1.5条保持2001规范地震影响系数曲线的计算表达式不变,只对其参数进行调整,达到以下效果:①阻尼比为5%的地震影响系数维持不变,对于钢筋混凝土结构的抗震设计,基本维持2001规范的水平。

12东南大学考试卷（A）Array课程名称工程矩阵理论考试学期08-09-2 得分
适用范围工科硕士研究生考试形式闭卷考试时间长度150分钟
1．地子空间地一组基是；
2．若线性空间地线性变换在基下地矩阵是,则在基下地矩阵是；
3．如果矩阵满足,并且地秩为,则行列式；
4．若矩阵,则矩阵函数地行列式；
5．若是维单位列向量,是正定地,则参数满足条件.
二．（12%）设矩阵.讨论地可能地Jordan标准形.并问：当参数满足什么条件时,矩阵与是相似地.
三．（20%）记,上地变换定义为：对,.
1．证明：是上地线性变换；
2．求在地基下地矩阵；
3．求地特征值及相应地特征子空间地基；
4．问：是否存在地基,使得在这组基下地矩阵是对角阵？如存在,试给出这样地一组基及相应地对角阵；如不存在,请说明理由.
四．（10%）设.试将表示成关于地次数不超过2地多项式.
五．（8%）求地广义逆矩阵.
六．（15%）假设是有限维欧氏空间,是单位向量,上地线性变换定义如下：对任意,.
1.证明：是上地正交变换.
2.在中定义内积：对,.于是,成为欧氏空间.分别求中向量及地长度,并求正实数及单
位向量,使得如上地正交变换将变成.
七．证明题（20%）
1.假设是矩阵,分别是、酉矩阵.证明：.
2.假设是正规矩阵.若地特征值地模都等于1,证明：是酉矩阵.
3.假设是Hermite矩阵,其中,是地子矩阵,并且都是方阵.若是正定地.证明关于行列
式地不等式：.。

工程矩阵理论试卷样卷10b一、已知22C⨯的子空间1,x x V x y C yy ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，2,x y V x y C x y ⎧⎫-⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，分别求121212,,,V V V V V V +的一组基及它们的维数。

解：1V 的基为：11000011,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2维。

2V 的基为：10011001,-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2维。

设12V V η∈，比较12,V V ，则y x =-，x x x x η⎛⎫= ⎪--⎝⎭，所以基为1111η⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1维。

12V V +为由12,V V 生成的空间，121100100100111001(,,,)V V L -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其极大线性无关组为：110010001110,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即为12V V +的基，3维。

二、设22C⨯上的线性变换f 定义为：()tt f X t t ⎛⎫=⎪⎝⎭，22a b X C c d ⨯⎛⎫∀=∈ ⎪⎝⎭，其中，t 表示矩阵X 的迹()tr X a d =+。

1、求f 在V 的基11E ，12E ，21E ，22E 下的矩阵A ； 2、求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及它们的维数； 3、问：()()R f K f +是否为直和？为什么？ 解：1、11221()()tr E tr E == 12120()()tr E tr E ==11221111()()f E f E ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 12210000()()f E f E ⎛⎫== ⎪⎝⎭11122122111221221001100110011001()()f E E E E E E E E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1001100110011001A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭2、f 的值域()R f ：X 的基为11E ，12E ，21E ，22E ，故11122122()((),(),(),())R f L f E f E f E f E =故()R f 的基即为11122122(),(),(),()f E f E f E f E 的极大线性无关组：1111⎛⎫⎪⎝⎭，()R f 为1维。

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

共 ５ 页 第 页东南大学考试试卷课程名称 工程矩阵理论 考试学期 09-10-2得分适用专业工程硕士考试形式闭卷考试时间长度 120分钟）已知22⨯C的子空间1|,a a V x y C b b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， 2|,a b V x y C b a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪--⎝⎭⎩⎭1V ，2V ，21V V ⋂，21V V +的一组基及它们的维数．（12%）在3R 的子空间{}(,,)|230W x y z x y z =-+=，(1,1,0)η=．求0W η∈，0min Wξηηηξ∈-=-．共 ５ 页 第 页四. （12%）已知矩阵101002101A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．1. 求一个多项式()f λ，使得()Atf A Ae =；2. 求A 的广义逆矩阵+A ．五. （12%）已知矩阵,A B 的F-范数和算子2-范数分别是2,F A a A b==，2,FBc B d==，分别求分块矩阵A O M OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭的F-范数和算子2-算子． 六. （12%）设矩阵102001b c A a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，1000312B y x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭三. （14%）记11122122121101,,001111A A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．已知22⨯C 上的线性变换f 满足()ij ij f E A =(,1,2)i j =． 1． 求f 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵；2． 分别求f 的值域()R f 和核子空间()K f 的基和维数； 3． 求f 的特征多项式和最小多项式．共 ５ 页 第 页．根据参数,,,,a b c x y 讨论,A B 可能的Jordan 标准形，并问：参数满足什么条件时，矩阵A 与B 是相似的？ 七. （10%）n 维欧氏空间V 上的线性变换f 定义如下：()(,)f x ax b x ωω=-，V x ∈∀。