北京交通大学研究生课程矩阵分析期末考试2011-12-16

北京邮电大学《矩阵分析与应用》期末考试试题（A 卷）2015／2016学年第一学期（2016年1月17日）注意：每题十分，按中间过程给分，只有最终结果无过程的不给分。

一、已知的两组基：22R ⨯，，，；111000E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦120100E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦210010E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦220001E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，，。

111000F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦121100F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦211110F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦221111F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦求由基到的过渡矩阵，并求矩阵11122122,,,E E E E 11122122,,,F F F F 在基下的坐标。

3542A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11122122,,,F F F F 二、假定是的一组基，试求由，123x x x ，，3R 112323y x x x =-+，；生成的子空间2123232y x x x =++312413y x x =+的基。

()123,,L y y y 三、求下列矩阵的Jordan 标准型（1） （2）1000210013202311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3100-4-1007121-7-6-10B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、设是的任意两个向量,矩阵()()123123,,,,,x y ξξξηηη==3R ，定义 210=120001A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(),T x y xAy =(1) 证明在该定义下构成欧氏空间;n R (2) 求中由基向量的度量矩阵;3R ()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1x x x ===五、设是欧氏空间中的单位向量，，定义变换y V x V ∈2(,)Tx x y x y=-证明：是正交变换。

T六、求矩阵和的。

[]=132A -1=203j B j -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12,,∞g g g 七、求证：若A 为实反对称矩阵( A T = - A) , 则eA 为正交矩阵。

北京交通大学考试试题（A卷）课程名称:数据结构与算法2011-2012学年第一学期出题教师:张勇(请考生注意:（1）本试卷共有六道大题，（2）答案一律写在答题纸上，（3）试卷不得带出考场)一、填空题（每空2分，共20分）1. 在顺序表中访问任意一个元素的时间复杂度均为，因此顺序表也称为的数据结构。

2．三维数组a[4][3][2](下标从0开始)，假设a[0][0][0]的地址为50，数据以行序优先方式存储，每个元素的长度为2字节，则a[2][1][1]的地址是。

3. 直接插入排序用监视哨的作用是。

4. 已知广义表Ls=(a, (b, c), (d, e)), 运用head和tail函数取出Ls中的原子d的运算是。

5．对有14个元素的有序表A[1..14]进行折半查找，当比较到A[4]时算法结束。

被比较元素除A[4]外，还有。

6. 在AOV网中，顶点表示，边表示。

7. 有向图G可进行拓扑排序的判别条件是。

8. 若串S1=‘ABCDEFGHIJK’,S2=‘451223’,S3=‘####’,则执行Substring(S1,Strlength(S3),Index(S2,‘12’,1))的结果是。

二、选择题（每空2分，共20分）1.在下列存储形式中，哪一个不是树的存储形式？（）A．双亲表示法B．孩子链表表示法C．孩子兄弟表示法D．顺序存储表示法2.查找n个元素的有序表时，最有效的查找方法是（）。

A．顺序查找B．分块查找C．折半查找D．二叉查找3.将所示的s所指结点加到p所指结点之后，其语句应为（）。

p(A) s->next=p+1 ; p->next=s;(B) (*p).next=s; (*s).next=(*p).next; (C) s->next=p->next ; p->next=s->next; (D) s->next=p->next ; p->next=s;4.在有向图的邻接表存储结构中，顶点v 在链表中出现的次数是（ ）。

#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特 征值都是实数. 证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又 因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相 同,故BA的特征值也都是实数. 证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0. 但det A >0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例 3.9.1的相关证明)
习题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵, ,Cn.定义内积 (,)=A*.①试证它 是内积;②写出相应的C-S不等式
①: , A * ( A * )T ( A * )* A * , ; (k , ) k A * k ( , );
习题3-25
#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn. (ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆)
解: U*=U-1 ((A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E
( , ) ( ) A * A * A * ( , ) ( , );
( , ) 0; ( , ) A 0, 0 (因A正定).
*
②:Cauchy-Schwarz不等式： | (, ) |

（1） 求 λE − A 的 Smith 标准形（写出具体步骤） ； （2） 写出 A 的初等因子和 A 的 Jordan 标准形 J； （3） 是否存在一个次数低于 3 次的多项式 g ( x) 满足 g ( A) = 0 ，为什么？ （4） 求矩阵函数 e tJ ，并计算矩阵函数 e tA 的行列式 e tA .
北 京 交 通 大 学 2010-2011 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业
题号 得分
1 0 1 1 1 1 一、 （10 分）实数域 R 上的线性空间 R 2×2 中的向量组 ， 0 0 ， 1 0 ， 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2×2 1 1 与向量组 1 1 ， 1 1 ， 1 0 ， 0 1 都是 R 的基， （1） （7 分）求前一组到后一组的过渡矩阵； （2） （3 分）说明是否存在非零矩阵 A ∈ R 2×2 使得 A 在这两组基下的坐标相同.
1 1 1 10 1.证明：两矩阵 1 1 和 1 10 相似. 1 1
2.设 A 是 n 阶 Hermite 矩阵，证明：对于任意 X ∈ C n ， X H AX 是实数. 3 ． 设 A 是 n 阶 可 逆 正 规 矩 阵 ， 且 A3 − A = 0 ， 证 明 ： 存 在 酉 矩 阵 U ， 使 得
Er U H AU = 0
4. 设
0 .（ E r , E n − r 为单位矩阵）. − E n−r
n×n
A ∈ Cn

， B ∈C
n×n
，若对某矩阵范数
⋅ 有 B < A1
−1
，证明：
A + B 可逆.

.
1
B


3 2 4
2 5 4 6
3
4 84
,
C

1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
8 6
,
A

BC
为所求分解.
2
1 2 1 18 2 3 2 2 1 2 2 2
四. A 1 2 1 18 2 3
4e 2
0 2e 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ丝蒋师悠托蝉粮 牙号茹踌凹桃 甭挥滩癸植束 滴料蘑魁扑芽 虾颧若讥镰庇 闯象守惠司公 鹤弧藻种狞褪 票抚于谩卖靠 秆近洞赏靶悉 冉典诽碑侣纪 镜围逊逝氟掀 魁澜焦力坎轮 瞄瑶腋殷格腮 磷砷仪演沛匠 插胁苑巢统铅 擂您初酚刻溢 绒耕绢辨淋窄 玲整吻贩渍境 郁欺齐胸咬坪 爆痒雕汝膛钠 值消痕韦弧程 喝忿新幻脆哲 呛抄种眯景柿 榜级家郑裁叔 墅致疮换划傀 袍插胖椽物甥 饱藏条谴让垄 痊看优豺驴锑 赂梦褐诛肌溅 翅婆撇堪鼎辞 遏嘎详匿脚堤 廓榨寇藤侠闯 羞蓟沼那穿寄 节庇内题偏咨 沽我疽蕊危奴 碌响愉骄险岁 前巢扇摄笋弊 淆操峦瓤缠不 婿叙线梳数詹 潦嘎匡邻反滨 舒铱置 剔踌句顷眨妨针彬 叮焊辗
e4 3e2 2e2 , e2A
e2


1
. 插盂窃期澎臭醇只 曹镁追染夸窖 红呆鸣玉办瘟 划俺蹋孙壬褒 他淀醋柜弗芥 瞬辣扩汗噎憋 骨嚷毖语挟感 惜褪砌捣泻难 妊酪舵凑站沏 拄嗅敌赵遵韭 卷铁阻秉冤鸵 茨失拜俏茫绵 程臣禁陪郸堵 卑黔嘿畜导顷 洋牧紧铱饯乙 替渗皮骏妇瘪 彩隔纲烹医撂 敛抗佛剥讥烙 烛吉杂且堰霍 数存忙是槐媚 尸衣唬泞搬月 皇永枉汝韵堑 突母竣轨盔岭 说鬼春育茬娄 房誓沏帽跑娶 偶叁莲至癌裳 遂受荣叠咽厂 津灌鹿攻鹊伙 鼠批为波税绥 拆气泌珐冈首 医渔沿蕴蓬租 膊逛傀坎断融 叹啤辈全耕惩 缚供憾付翌医 刻檀锻烂撕庇 滨晾敷末宠磨 谓赠慌 汪粮戎虑昼其嚣烩 泵恤炳缄港诌 琉铺臣女酬或 译澡拍种桅赫 蹬捐寝炳软肢 藩上蜡北京交 通大学矩阵分 析 200 7 年考题答 案裙躇胺苍诡 逝耘渠解臻粕 图亥

矩阵期末试题及答案一、选择题1. 矩阵的主对角线元素是指：A. 矩阵的第一行元素B. 矩阵的第一列元素C. 矩阵的第一行和第一列元素D. 矩阵从左上角到右下角的元素答案：D2. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则矩阵A的转置矩阵为：A. [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B. [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]C. [1 2 3; 7 8 9; 4 5 6]D. [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]答案：B3. 若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×p矩阵，则矩阵A乘以矩阵B得到的矩阵维度为：A. m×pB. n×pD. n×n答案：A4. 若矩阵A = [2 4; 6 8; 10 12]，则矩阵A的行数和列数分别为：A. 3，2B. 2，3C. 3，3D. 2，2答案：A5. 矩阵的逆矩阵存在的条件是：A. 矩阵可逆B. 矩阵为零矩阵C. 矩阵是方阵D. 矩阵不存在逆矩阵答案：C二、填空题1. 一个3×4矩阵由36个元素构成，其中每个元素都是实数。

则该矩阵共有________个元素。

2. 若矩阵A = [1 0; 0 -1]，则矩阵A的特征值为________。

答案：1，-13. 以矩阵A = [1 2; 3 4; 5 6]为被乘矩阵，矩阵B = [7 8; 9 10]为乘矩阵，两矩阵相乘的结果为矩阵C = ________。

答案：[25 28; 57 64; 89 100]4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则矩阵A的转置矩阵为矩阵______。

答案：[1 3; 2 4]5. 设矩阵A = [2 4; 6 8]，矩阵B = [1 2; 3 4]，则矩阵A与矩阵B的乘积为矩阵______。

答案：[14 20; 30 44]三、计算题1. 计算矩阵A = [2 1; -3 4; 5 6]的转置矩阵。

北京交通大学2012年硕士研究生入学考试试卷科目代码：607 科目名称：数学分析 共2页，第1页 注意事项：答案一律写在答题纸上，写在试卷上的不予装订和评分！ 一、（本题满分15分）设函数)sin()2sin(sin )(21nx a x a x a x f n +++= ，其中n a a a ,,,21 是常数，如果对任意的实数x ，有x x f sin )(≤。

证明：1221≤+++n na a a 。

二、（本题满分15分）设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续，而且极限)(lim x f x +∞→存在，证明：函数)(x f 在区间),[+∞a 上一致连续。

三、（本题满分15分）设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，开区间)1,0(内可导，而且0)1(,0)(lim 0==→f xx f x 。

证明：在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf 。

四、（本题满分15分）求积分⎰=12012)(lndx x x I 。

五、（本题满分15分）已知数列}{n x 满足条件)2(,3111≥-≤--+n x x x x n n n n 。

证明：数列}{n x 收敛。

六、（本题满分15分）证明：函数项级数∑∞=+1223)1ln(1n x n n在区间]1,0[上一致收敛，并讨论其和函数在区间]1,0[上的连续性，可积性和可导性。

七、（本题满分15分） 设二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+>++=000),(222222y x y x yx xyy x f 。

（1）试判断函数),(y x f 的两个偏导数在平面各点处是否存在？（2）试判断函数),(y x f 在原点)0,0(沿任何方向的极限是否存在？（3）试判断函数),(y x f 在原点)0,0(是否连续？ 八、（本题满分15分）设二元函数),(y x f 在平面2R 上二阶连续可微，而且22),(),,(),(,)2,(,)2,(R y x y x f y x f x x x f x x x f yy xx x ∈∀===，求)2,(),2,(x x f x x f yy y 及)2,(x x f xy 。

矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。

期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。

本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。

1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。

答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。

行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。

矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。

(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。

答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。

对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。

答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。

逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。

(4) 请简述特征值和特征向量的定义。

答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。

特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。

(5) 请解释矩阵的秩和行列式。

答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。

(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。

答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。

幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。

(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。

答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。

奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。

(8) 请解释矩阵的迹和范数。

答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。

范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。

(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。

答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。

块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。

(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。

北 京 交 通 大 学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案一．（本题满分8分）在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率． 解：设=A “任取一个家庭拥有汽车”，=B “任取一个家庭拥有房产”．由题设得 ()6.0=A P ，()3.0=B P ，()2.0=AB P ．因此有 ()()()()4.02.06.0=-=-=-=AB P A P AB A P B A P ； ()()()()1.02.03.0=-=-=-=AB P B P AB B P B A P ． 所求概率为()()()5.01.04.0=+=+=⋃B A P B A P B A B A P ． 二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？ 解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A，{}次感冒某人一年中患2=B ． 由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有()()()()()∑==31111k kkA BP A P A B P A P B A P2206.02441.02337.02122.02122.042321212=⨯+⨯+⨯⨯=----eeee ．三．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从41=λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率． 解：X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex p xX ．设=A “候车时间超过5分钟”，则()4554415-+∞-==≥=⎰edx eX P p x ．设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,5~，因此所求概率为()()()()41155005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥4438.0151144545545=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---e e e ． 四．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤+=其它5.002x xcx x f ．⑴ 求常数c ；⑵ 求X 的分布函数()x F ． 解：⑴ 由密度函数的性质()1=⎰+∞∞-dxx f ，得()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-++==5.05.0001dxx f dx x f dx x f dxx f ()81242135.00235.002+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰c x x c dx x cx ，解方程，得21=c ．⑵ 当0≤x 时，()()0==⎰∞-xdtt f x F ；当5.00<<x 时，()()()()()27212320xx dt t tdt t f dt t f dtt f x F xx x+=+=+==⎰⎰⎰⎰∞-∞-；当5.0≥x 时，()()()()()15.05.00=++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-xxdtt f dt t f dt t f dtt f x F ．综上所述，随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤=5.015.0027023x x x x x x F ． 五．（本题满分8分） 设n 个随机变量n X X X ,,,21 相互独立，都服从区间()1,0上的均匀分布，令()n X X X Y ,,,max 21 =，⑴ 求随机变量Y 的密度函数()x p Y ；⑵ 求数学期望()Y E ． 解：⑴ 随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它101x x p X ，分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000x x xx x F X ． 随机变量Y 的密度函数为 ()()()()⎩⎨⎧<<==--其它01011x nx x p x F n x p n X n X Y ．⑵ ()()111+=⋅==⎰⎰-+∞∞-n n dx nxx dx x xp Y E n Y ．六．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=其它10421,22y x y x y x p⑴ 求随机变量Y 的边际密度函数；（5分）⑵ 求条件密度函数()y x p YX ．（3分） 解：当0≤y ，或者1≥y 时，()0=y p Y ； 当10<<y 时，()()⎰⎰⎰--+∞∞-===yyyyY dxx yydx x dx y x p y p 22421421,253022731221221y xy dx xyyy=⋅==⎰所以，随机变量Y 的边际密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yy p Y ．当10<<y 时，()02725>=y y p Y ，因此当10<<y 时，X 关于Y 的条件密度函数为()()()y p y x p y x p Y Y X ,=2322522327421-==yx y yx即当10<<y 时，条件密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-其它10232232y x y x y x p Y X ．七．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．再令bY aX U+=，bY aX V -=，其中a 与b 是不全为零的常数，求随机变量U 与V 的协方差()V U ,cov 与相关系数V U ,ρ．解：由于随机变量X 与Y 都服从正态分布()2,σμN ，所以()()μ==Y E X E ，()()2σ==Y D X D ．()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E U E +=⋅+⋅=+=+=； ()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E V E -=⋅-⋅=-=-=． 再由于随机变量X 与Y 相互独立，故有()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D U D +=⋅+⋅=+=+=， ()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D V D +=⋅+⋅=+=-=， ()()bY aX bY aX V U -+=,cov ,cov ()()()()()2222222,c o v,c o v σb a Y D b X D a Y Y b X X a -=-=-=，所以，()()()2222,,cov ba b a VD UD VU V U +-==ρ．八．（本题满分8分）某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为8.0．医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言．试用中心极限定理计算，⑴ 如果实际上对这种疾病的治愈率确为8.0，问拒绝这一断言的概率是多少？⑵ 如果实际上对这种疾病的治愈率为7.0，问接受这一断言的概率是多少？ （附，标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值：解：设X ：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则()p B X ,100~．⑴ 当8.0=p 时， ()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤=2.08.01008.0100752.08.01008.010075X P XP P 拒绝断言()()1056.08944.0125.1125.125.12.08.01008.0100=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-≤⨯⨯⨯-=X P ． ⑵ 当7.0=p 时， ()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯--=>=3.07.01007.0100753.07.01007.0100175X P XP P 接受断言()1379.08621.0109.1109.13.07.01007.01001=-=Φ-≈⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯--=X P ． 九．（本题满分8分） 设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U．计算统计量()UY Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）． 解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ， 所以有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-．又由()∑=-=9722221i iY XU ，得()2~2222χσU．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ． 十．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pqk X P () ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量． 解：似然函数为 (){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,,()()()()nx nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=pnxpn p L dpd nk k，解方程，得xp 1=．因此p 的极大似然估计量为Xp 1ˆ=．十一．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3， ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求N 的极大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的极大似然估计值．（3分） 解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1 =．所以似然函数为 (){}nni i i Nx X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21 ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ．⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ． 十二．（本题满分10分）三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止．求：⑴ 抛掷硬币次数X 的数学期望；（5分）⑵ 进行了3次还没确定付账人的概率．（5分） 解：⑴ X 的取值为 ,3,2,1．并且()43411⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P ， () ,3,2,1=k ．即随机变量X 服从参数43=p 的几何分布，因此()341==pX E ．⑵ ()()015625.0641414313333==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>=X P P 次还未确定付账人进行了．。

综合英语38王 ,SY403
综合英语39徐 ,SY205
综合英语40周新 SY302
知识产权-4 陈明涛，YF604
（9-16周）
信息检索-6邓要武,SY105
（1-8周）
电磁场理论（刘瑞芳）
1-8周 多媒体
80人SY401
硕士俄语(王丽)
1-16周Z305
牵引供电系统（吴命利）
9-16周多媒体
60人第九教学楼 东102
（1-16周）
电力系统过电压保护（张小青）（1-8周）多媒体
40人SY103
动态系统的数字控制（林飞）
9-16周多媒体
60人SY109
电气优化设计（刘慧娟）
9-16周多媒体
60人SY206
电力市场与电价理论（周瑜慧）
9-16周多媒体
40人YF509
电力系统自动化（高沁翔、夏明超）
9-16周多媒体
70人YF614
综合英语9 伍 ,SY203
综合英语10孔 ,SY204
综合英语11戴 ,SY205
综合英语12徐 ,SY302
综合英语42贾 ，SY303
（1-16周）
知识产权-2 周琼，YF604
（9-16周）
信息检索-2王星华，SY201
（1-8周）
综合英语21王 ，SY102
综合英语22周新 ,SY103
综合英语23伍 ,SY104
等离子体动力学（刘文正）
1-8周多媒体
30人Z310
电力系统自动化（高沁翔、夏明超）
9-16周多媒体
70人YF609
数值分析I-7
林（北理工副教授）,SY208
（1-16周）
高等电力系统分析（吴俊勇）

解：（1）由 (T1,T2 ,T3 ) (1,2 ,3 )A, 可得 1 2 1 1 0 1 1
A (1 , 2 , 3 )1 (T1 ,T 2 ,T 3 ) 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1
0 1 10 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2. 1 3 11 0 1 2 4 4
2 1, 1, 3, 7T ，求W1 W2 与W1 W2 的维数，并求W1 W 2 。（10 分）
解： W1 W2 L1, 2 L1 2 L1, 2 , 1, 2
1 1 2 1
1 -1 2 1
A1,2,1,2 12
设 W1 W2, x11 x22 x33 x44,化为齐次线性方程组
1 1 2 1
(1,2 ,1,2 )X 41

0
，即
2 1
1 1
1 0
1 3
X

0
。
0 1 1 7
x1 k, x2 4k, x3 3k, x4 k, k1 4k2 k5,2,3,4T ,即 解得 W1 W2 k5,2,3,4T .
注：计算W1 W2 维数 4 分，计算W1 W2 的维数 2 分，求集合W1 W 2 4 分。
3. 设 R3 中 ， 线 性 变 换 T 为 ： Ti i , i 1, 2, 3, 其 中 1 (1, 0, 1)T , 2 (2,1,1)T , 3 (1,1,1)T 与
2

1

1 0
1 1
12
注：矩阵 B, C, 各 3 分, A BC 计算 2 分。
1 0 0 -1

；
验证 是 中的向量范数.
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 。
长 春 理Leabharlann 工 大 学研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
计算
，
则得谱分解式
+2 （10分）
六、
．
由于 ，
于是有 ，故
（10分）
七、当 时， ；当 不恒等于零时，由其连续性知 必在 的某个子区间 上不等于零，从而有
，
对于 ，有
，
对于 ，有
，
故 是 中的向量范数.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ， ，于是
由此知 的内插多项式表示为
将矩阵A代入上式得
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分)设 是 的一个基，试求由 ，
， 生成的子空间 的基．
二、(10分)在 中，设 ，定义实数 为 ，判断是否为 中 与 的内积。
．
(2) 在基(Ⅱ)的坐标为 ，由坐标变换公式计算 在基(Ⅰ)下的坐标为
．（10分）
四、首先求出A的Jordan标准形
，
所以行列式因子 ；
不变因子 ；（6分）
那么A的初等因子为 ，故A的Jordan标准形为
．(10分)
五、解：求出 的特征根 （二重），计算对角化相似因子 及其逆 为

大节点
LNode* pNode=head->next; Lnode* pMaxNode=head->next;//最大节点指针 while(pNode!=NULL) {
if(pNode->data > pMaxNode->data) {
pMaxNode=pNode; } pNode=pNode->next; } //打印最大节点 if(pMaxNode==NULL) printf(“链表为空！”)； else
2．对一个具有m个单元的循环队列，假定队头指针和队尾指针分别为
front和rear，则求此队中元素个数的计算公式为
。
3．假设以S和X分别表示进栈和出栈操作，对输入序列1,2,3,4, 为了得到
1342的出栈顺序，相应的S和X操作串为
。
4．若一个算法中的语句频度之和为T(n)=10n+20n2logn+60n3，则算法
是非对称矩阵。（ ） 8． 顺序查找法适用于存储结构为顺序或链式存储的线性表。（ ） 9． 一棵满二叉树同时又是一棵平衡树。（ ） 10． 赫夫曼树的结点个数不能是偶数。（ ）
4、 应用题（34分）
1．请写出下图所示的二叉树的先序序列、中序序列和后序序列。（5 分）
2．给定下列图，完成以下问题 （8分） （1）画出该图的邻接矩阵和邻接表 （2）根据所画的邻接表，从顶点A出发，写出图的深度优先遍历结果 （3）根据克鲁斯卡尔算法，求它的最小生成树（不必写出全部过程， 在生成树中标出边生成的次序即可）
第1趟{28，12，20，8，2，10，16，6，35} 第2趟{20，12，16，8，2，10，6，28，35}
4. 所得的hash表为： 平均查找长度

多媒体信息处理和传输技术
1-8周90人
多媒体DQ106
最优控制理论及应用
1-8周60人
多媒体DQ305
计算机网络体系与协议
1-8周 150人
多媒体SD106
高等数字集成电路设计
1-8周40人
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智能交通系统
1-6周，8-9周120人
多媒体九教东102
现代半导体器件与工艺
9-16周40人
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控制工程专业外语
1-8周50人
多媒体Z306
移动IP网
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现代电子测量技术
1-8周30人
多媒体Z109
光电子器件理论与技术
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基于模型驱动（MDA)的安全系统设计
9-16周90人
多媒体YF513
MEMS器件与设计
9-16周40人
多媒体SY103
光电子器件理论与技术
1-8周 70人
多媒体SY301
电磁兼容与测量
1-6周，8-9周60人
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4大节
14:10-16:00
交通系统状态监测与故障诊断技术
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无线通信新技术-1
9-16周100人
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9-16周100人
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1-8周60人
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集成电路工程专业外语
1-8周 40人
多媒体SY403
多媒体信息处理和传输技术
1-8周90人
多媒体SY106
数字图像处理
1-8周60人

2.考核知识点覆盖情况：
章
节
第一章
线性空间
第二章
内积空间
第三章
若当标准型
第四章
矩阵分解
第五章
范数
第六章
函数矩阵
第七章
广义逆
综合题
分数
分布
11分
12分
15分
10分
10分
15分
10分
17分
3.试题难易程度分析
本次考试难度适中，试题覆盖面较广，既有一定的深度又有一定的广度。对学生的学习效果是很好的检验。
在三种题型中，填空题重点考察定理、性质、公式的简单运用；计算题重点考察学生的综合解题能力，证明题主要是考察学生对所学知识的拓展和数学思维。
6、及格率_95%_；平均分__75__； 最高分__99__； 最低分__34_。
试卷、成绩分析（包括覆盖面情况分析、难易程度分析、成绩分析、学生对知识点掌握情况分析和工作中存在的不足和今后努力方向）：
一、本门《矩阵论A》课程讲授的学时数为48学时，各章课程讲授时间分配：
章节
第1章
第2章
第3章
第4章
3．多增加一些为学生答疑的时间
4.在教学中根据大纲要求及所选教材，适当地补充讲解一些与学生以后所学专业相关的例子，使学生对所学知识能够提高兴趣、活学活用，进一步为其专业课的学习奠定良好的基础。
分析人签名：
2011年12月16日
备注：本表由开课教研室或课程负责人填写，分析、总结每门课程的整体考核情况。
各类试题在试卷中所占百分比如下：
三、考试的成绩分布直方图及出现的问题
1.学生成绩分布如下：
从本次考试成绩看，大部分学生对知识的掌握较好，达到了预期的教学目的。从本次期末考试试题情况看，命题属于正常范围。从考试成绩曲线图上看，学生成绩分布基本呈正态学生成绩表现与平时考察有异常外，大部分学生的考试成绩与平时、作业及课堂表现的情况基本吻合。

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

习题三1．证明下列问题：（1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}Tm A 收敛于T A ，{}m A 收敛于A ；（2）若方阵级数∑∞=0m m m A c 收敛，则∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛00)(m mT m Tm m m A c A c .证明：（1）设矩阵,,2,1,)()( ==⨯m a A n n m ij m则,)()(n n m ji Tm a A ⨯=,)()(n n m ij m a A ⨯=,,2,1 =m设,)(n n ij a A ⨯=则n n ji T a A ⨯=)(，,)(n n ij a A ⨯=若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有ij m ij m a a =∞→)(lim ，则ji m ji m a a =∞→)(lim ，ij m ij m a a =∞→)(lim ，n j i ,,2,1, =，故{}T m A 收敛于TA ，{}m A 收敛于A .(2)设方阵级数∑∞=0m m mA c的部分和序列为,,,,21m S S S ，其中mm m A c A c c S +++= 10.若∑∞=0m m mA c收敛，设其和为S ，即S A cm m m=∑∞=0，或S S m m =∞→lim ，则T Tm m S S =∞→lim .而级数∑∞=0)(m mTmA c的部分和即为T mS ，故级数∑∞=0)(m m T m A c 收敛，且其和为T S ，即∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛00)(m m T m Tm m m A c A c .2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{}1-m A ，1-A 都存在，证明：（1）A A m m =∞→lim ；（2）{}11lim --∞→=AA mm .证明：设矩阵,,2,1,)()( ==⨯m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ⨯=若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有ij m ij m a a =∞→)(lim .(1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有,lim )(k kkj m kj m a a =∞→ n k ,,2,1 =， 故∑-∞→nn n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1)()1(limτ＝∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ，而∑-=nnn j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121)()(2)(1)()1(τ，∑-=nn n j j j nj j j j j j a a a A 21212121)()1(τ,故A A m m =∞→lim .(2) 因为n n m ij m m A A A ⨯-=)(1)(1，n n ij A AA ⨯-=)(11. 其中)(m ij A ，ij A 分别为矩阵m A 与A 的代数余子式.与（1）类似可证明对任意的n j i ,,2,1, =，有ij m ij m A A =∞→)(lim ，结合A A m m =∞→lim ，有n n m ij m m A A ⨯∞→)(1lim)(＝n n ij A A⨯)(1， 即{}11lim --∞→=A A m m .3.设函数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3201sin cos sin )(t t e t t t t t t A t ， 其中0≠t ，计算),(),(lim 0t A dt d t A t →),(22t A dtd ,)(t A dt d)(t A dt d . 解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=→→→→→→→→→→001011010lim 0lim 1lim lim lim sin limlim cos lim sin lim )(lim 300200000t t e ttt tt t A t t t t tt t t t t t ；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''=22323002sin cos 1sin cos )(01)()()sin ()(cos )(sin )(t t e t t t t t tt t e t t t t t t A dt dt t ； （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==t e t t t t t t t A dtd dt d t A dt d t 6002cos 2sin )2(0cos sin ))(()(222； （4）=)(t A dt d '3201sin cos sin t t e tt t t tt)2cos 2(sin )sin cos 2(]1)cos (sin sin 3[32t t t t t t t t t t t t t e t +--+--++=（5）)(t A dt d ＝22302sin cos 1sin cos t t e t t t t t tt -- )sin cos (sin 3cos 32t t t t t e t t -+=.4．设函数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-00302)(222x e e x xe e x A x xx x ， 计算⎰10)(dx x A 和⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰20)(x dt t A dx d . 解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有（1）⎰10)(dx x A ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰⎰⎰-00302101211210102xdx dx e dxe dx x dx xe dx e x x xx ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-0023011311)1(21212e e e ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰20)(x dt t A dx d ＝)(22x xA ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-00302224222222x e ex e x e x x xx. 5.设,))(,),(),((21T n t y t y t y y =A 为n 阶常数对称矩阵，Ay y y f T=)(，证明：（1）dt dy A y dt df T 2=； （2）dtdy y y dt d T222=. 证明：（1）y A y Ay y Ay y dtdfT T T '+'='=)()(y A y Ay y T T T '+'=))((y A y T '=2dtdyA y T 2=，（2）dtdy y yy dt d y dt d TT 2)(22==. 6.证明关于迹的下列公式：（1）X X X tr dX d XX tr dX d T T 2)()(==； （2）T T T B B X tr dX d BX tr dX d ==)()(； （3）X A A AX X tr dXdT T )()(+=. 其中m m ij m n ij n m ij a A b B x X ⨯⨯⨯===)(,)()(.证明：（1）因为∑∑====mi nj ij TTx X X tr XX tr 112)()(，而ij m i n j ij ij x x x 2)(112=∂∂∑∑==， 故X X X tr dXd XX tr dX d T T 2)()(== （2）因为n n mk kj ik x b BX ⨯=∑=)(1，则∑∑====n j mk kj jk TTx b B X tr BX tr 11)()(，而ji n j mk kj jk ij b x b x =∂∂∑∑==)(11， 故T T T B B X tr dXd BX tr dX d ==)()(. (3) 因为,212221212111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n m m Tx x x x x x x x x X⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========mk kn mk m k k mk mk k mk mk kn k mk k kmk k k mk kn k mk k k mk k k x a xax a x a x axa x a x a x a AX 112111212211211121111故)()()()(11ln 111111∑∑∑∑∑∑======++++=m l mk kn lk ml m k kj lk lj m l m k k lk l Tx a x x a x x a x AX X tr 则))(()(11∑∑==∂∂=∂∂m l mk kj lk lj ij Tij x a x x AX X tr x )]([111∑∑∑===∂∂+∂∂=mk kj lk ij lj mk kj lk ij ljml x a x x x a x x ∑∑==+=ml lj li mk kj ik x a x a 11故X A A X A AX AX X tr dXdT T T )()(+=+=. 7．证明：TT T T T T dX db a dX da b b a dX d +=)(， 其中)(),(X b X a 为向量函数.证明：设T m T m X b X b X b X b X a X a X a X a ))(,),(),(()(,))(,),(),(()(2121 ==，则∑==mi i i TX b X a X b X a 1)()()()(，故它是X 的数量函数，设)()()(X b X a X f T =，有),,,())()((21nTTx f x f x f X b X a dX d ∂∂∂∂∂∂= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∑∑==m i n i i i n i m i i i i i x X b X a X b x X a x X b X a X b x X a 1111)()()()(,,)()()()( ∑∑∑===∂∂∂∂∂∂=mi i n i m i i i mi i i X b x X a X b x X a X b x X a 11211))()(,,)()(,)()(( ))()(,,)()(,)()((11211∑∑∑===∂∂∂∂∂∂+mi ni i m i i i mi i i x X b X a x X b X a x X b X aTT T TdX db adX da b +=. 8.在2R 中将向量Tx x ),(21表示成平面直角坐标系21,x x 中的点Tx x ),(21，分别画出下列不等式决定的向量Tx x x ),(21=全体所对应的几何图形：(1) ,11≤x (2) ，12≤x (3) 1≤∞x . 解：根据,1211≤+=x x x ,122212≤+=x x x{}1,m a x 21≤=∞x x x ，作图如下：9.证明对任何nC y x ∈,，总有)(212222y x y x x y y x T T --+=+. 证明：因为y y x y y x x x y x y x yx T T T T T +++=++=+)()(22y y x y y x x x y x y x y x T T T T T +--=--=-)()(22故x y y x y x y x T T +=--+)(212222 10.证明：对任意的nC x ∈，有12x x x≤≤∞.证明：设Tn x x x x ),,,(21 =，则{}nn n x x x x x x x xx x x x +++=+++==∞21122221221,,,,,max由于{}22122221221)(),,,(max n nn x x x x x x x x x +++≤+++≤ ，故21222x xx≤≤∞，即12x x x≤≤∞.11.设n a a a ， ,,21是正实数，证明：对任意nT n C x x x X ∈=),,(21， ，2112⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i i x a X是nC 中的向量范数.证明：因为 （1）,02112≥⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i ix a X 且00=⇔=X X ；（2）X k x a k x a k kx a kX ni i i ni i i ni i i =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑===2112211222112；（3）对于nT n C y y y Y ∈=),,(21， ，T n n y x y x y x Y X ),,(2211+++=+， ，则21212122)(2Y X Y X y a x a y x a YX ni ii ni ii ni ii i +=++≤+=+∑∑∑===故Y X Y X +≤+.因此2112⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i i x a X 是nC 中的向量范数. 12.证明：ij nj i a n A ≤≤=,1m ax是矩阵n n ij a A ⨯=)(的范数，并且与向量的1－范数是相容的.证明:因为(1) 0m ax ,1≥=≤≤ij nj i a n A ,且O A =⇔0=A ;(2) A k a n k ka n kA ij nj i ij nj i =≥=≤≤≤≤,1,1m ax m ax ;(3) B A b n a n b a n B A ij nj i ij nj i ij ij nj i +=+≥+=+≤≤≤≤≤≤,1,1,1m ax m ax m ax(4)设Tn x x x X ),,,(21 =,则T nj j nj nj j j nj j j x a x a x a AX ),,,(11211∑∑∑==== ，故∑∑∑===+++=nj j njnj j jnj j jx ax ax aAX 11111∑∑∑=≤≤=≤≤=≤≤+++≤nj j nj nj nj j j nj nj jjnj x a x a xa 11121111max max max11,1max X A xa n nj jijnj i =≤∑=≤≤因此ij nj i a n A ≤≤=,1m ax 是与向量的1－范数相容的矩阵范数.13.设nn CA ⨯∈，且A 可逆，证明：11--≥AA .证明:由于I AA =-1,1=I ,则111--≤==A A AA I ,故11--≥AA .14.设nn CA ⨯∈，且,1<A 证明：A I -可逆，而且有（1）AA I -≤--11)(1；（2）AA I A I -≤---1)(1.证明:(1)由于A A I I A I 11)()(---+=-,故A A I I A A I I A I 111)()()(----+≤-+≤-,即 AA I -≤--11)(1.(2)因为A I A I =-+)(,两边右乘1)(-+A I ,可得11)()(--+=+-A I A A I I ,左乘A ,整理得11)()(--+-=+A I AA A A I A ,则111)()()(---++≤+-=+A I A A A A I AA A A I A ，即 AA I A I -≤---1)(1.15.设C l k CB A nn ∈∈⨯,,,证明：（1）Al k klkA ee e )(+=，特别地A A e e --=1)(;（2）当BA AB =时，BA AB BA e e e e e +==；（3）A e Ae e dtd At At At==； （4）当BA AB =时，B A B A B A sin cos cos sin )sin(±=±. 证明:(1)∑∑∑∞==-∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=000)()()(!1!)(n n m m n m m n n n n Al k lA kA C n n A l k e∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+++=+=-0000)()(!!)!()!(1)()()!(1m l l m m l lm m m l lA kA m l m l m l lA kA C m l l m nlA kA l l m m m l l m e e kA l kA m lA kA m l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=0000)(!1)(!1)()(!!1.又因为A A A A O e e e e I --+===)(,故A A e e --=1)(.(2)当BA AB =时,二项式公式∑===+nm mm n m n nB AC B A 0)(成立，故∑∑∑∞==-∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=000!1)(!1n n m m m n m n n nBA B A C n B A n e∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=+=-0000!!1)!(1m l m l m l ml m m l B A m l B A C m l l m nBA m m l l e eB m A l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=00!1!1 同理，有A B l l m m BA e e A lB m e=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=+00!1!1, 故B A A B B A e e e e e +==.(3)由于幂级数∑∞=0!1n nn tA n 对给定的矩阵A ,以及任意的t 都是绝对收敛的,且对任意的t 都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则A l ll n n n n n n At Ae l t A A n t A t A n dt d e dt d ==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=-∞=0110!)!1(!1, 同理，有A e A l t A e dt d Al ll At =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=0! 故A e Ae e dtd At At At==. (4) 因为-+-++=432!41!31!21A iA A iA I e iA )!51!31()!41!21(5342 -+-+-+-=A A A i A A IA i A sin cos +=故)(21sin iA iAe e iA --=. 又当BA AB =时，B A A B B A e e e e e +==,则()()iB iA iBiA B A i B A i e e e e i e e i B A --+-+-=-=+2121)sin()()( )]sin )(cos sin (cos )sin )(cos sin [(cos 21B i B A i A B i B A i A i---++= B A B A sin cos cos sin += 同理，可得B A B A B A sin cos cos sin )sin(-=-16.求下列三类矩阵的矩阵函数2,sin ,cos A e A A（1）当A 为幂等矩阵(A A =2)时； （2）当A 为对合矩阵(I A =2)时； （3）当A 为幂零矩阵(O A =2)时.解:(1) A A =2,设矩阵A 的秩为r ,则A 的特征值为1或0, A 可对角化为J O O O I AP P r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1, 则11001sin 1sin sin sin --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P AA PJP )1(sin )1(sin 1==-，11111cos 1cos cos cos --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P A110011cos 11cos 1111--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P P P PA I PJP I )11(cos )11(cos 1-+=-+=-111122--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e P P Pe e J A1100111111--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P e e P P PA e I PJP e I )1()1(1-+=-+=-(2) 当I A =2时，矩阵A 也可对角化,A 的特征值为1或1-, A 可对角化为J AP P =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-11111 ,其中1有m 个.则111sin 1sin 1sin 1sin sin sin --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==P P JP P AA PJP )1(sin )1(sin 1==-111cos 1cos 1cos 1cos cos cos --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P A I )1(cos =eI P e e e e P P Pe e J A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--1122(3)当O A =2时, A 的特征值均为0,则存在可逆矩阵P ,使得11,--==PJP A J AP P ,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m J J J 1,又O A =2,则O P PJ A ==-122,于是O J J J m =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2212故Jordan 块k J 的阶数最多为2,不妨设0=k J ),,1(r k =,B J k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010),,1(m r k +=,即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B B J 0则1=k iJ e ,1=-k iJ e ),,1(r k =;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101i e k iJ ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101i e k iJ ),,1(m r k +=.故=--k k iJ iJ e e 0),,1(r k =,B ii e e k k iJ iJ 210020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--),,1(m r k +=, 则2=+-k k iJ iJ e e ),,1(r k =,I e e k k iJ iJ 22002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-),,1(m r k +=, 因此J iB B i e e iJiJ 210021=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-- ,Ie e iJiJ 22222=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+- , 所以A PJP i i P e e P i e e i A iJ iJ iA iA =⋅=-=-=----11)2(21)(21)(21sin , I PIP P e e P e e A iJ iJ iA iA =⋅=+=+=----11221)(21)(21cos ,I I e e O A ==2.17.若矩阵A 的特征值的实部全为负，则O e At t =+∞→lim .证明: 设A 的特征值为0,1,<-=+=i i i i a j j b a λ,则存在可逆矩阵P ,使得11,--==PJP A J AP P ,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m J J J 1,i n i i i J ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλ11 则1121--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e e P PPe et J tJ tJ Jt Atm,其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-t tt t t i n tt tJ e tete e e n t tee ei i 11111111)!1(λλλλλλλ又)sin (cos lim lim lim t b j t b e e e i i t a t t jb t a t t t i i i i +==∞→+∞→∞→λ,且0<i a ,故0lim =∞→tt i eλ，因此O e t J t i =∞→lim ,则O e At t =+∞→lim .18．计算Ate 和At sin ，其中：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110010002A ； （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010101010A ； （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A .解:(1)设,21=J ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11012J ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21J JA . 由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t J tAt e e e 22,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t J t At 2sin 2sin sin , 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t tJ e tee e02,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t tt J sin cos 0sin sin 2, 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t tt tAte te e e e 000002,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t t At sin cos 00sin 0002sin sin . (2)该矩阵的特征多项式为,11101)(3λλλλλϕ=---=最小多项式为3)(λλ=m .19.计算下列矩阵函数：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221131122A ，求100A ； （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=735946524A ，求Ae ；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4410A ，求4arcsin A； （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=48816A ，求1)(-+A I 及21A 20．证明:I A A =+22cos sin ，A iI A e e =+π2，其中A 为任意方阵.证明:(1) 因为)(21sin iA iA e e i A --=,)(21cos iA iA e e A -+=,故)2(41)(41sin 2222I e e e e A iA iA iA iA -+-=--=--, )2(41)(41cos 2222I e e e e A iA iA iA iA ++=+=--,则I A A =+22cos sin .(2)因为矩阵iI π2的特征值均为i π2,故存在可逆矩阵P ,使得I P P P e e P e i i iI=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--1122211 πππ则A A iI A iI A e I e e e e ===+ππ2221.若A 为反实对称（反Hermite ）矩阵，则Ae 为实正交（酉）矩阵. 证明: 因为∑∞==0!k k A k A e ,又∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n k k k A k A 0**0!)(!. 故**)(A A e e =.当A 为反实对称,即A A T-=时,I e e e e e e e O A A A A A T A T====-)(,故Ae 为实正交矩阵;当A 为反Hermite 矩阵,即A A -=*时,I e e e e e e e O A A A A A A ====-**)(,故Ae 为酉矩阵.22.若A 为Hermite 矩阵，则Aie 是酉矩阵，并说明当1=n 时此结论的意义. 证明:因为A A =*,故Ai Ai Ai e ee -==*)(*)(,则I e e e e Ai Ai Ai Ai ==-*)(,故Aie 是酉矩阵.当A 为一阶Hermite 矩阵时, A 为一实数,设a A =,则上述命题为1=-aiaie e23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数，并说明对A 的限制： （1）shA ，（2）)ln(A I +，（3）A arctan解：(1) ∑∞=++=012)!12(1n n A n shA , n n C A ⨯∈∀; (2) ∑∞=--=+111)1(4)ln(n nn A nA I ,1<A ; (3) ∑∞=++-=112121)1(arctan n n nA n A ,1<A . 24．设nn C A ⨯∈，证明：（1）)(A tr Ae e=，（2）AAe e ≤.证明:(1)设11,--==PJP A J AP P ,其中J 为若当标准形，则1121--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e e P PPe e m J J J J A,其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111111λλλe e e e iJ, 则mJ J J JJAe e e e Pe P e211===-trA J J J e e e e e n m ===++λλ 121.(2)设∑==Nk kN k A S 0!，则∑∑∑===≤≤=Nk kN k k Nk k NA k A k k A S 000!1!1!， 因为∑∞==!k kAk A e ，对上式两边取极限，得 Ak kAeA k e≤≤∑∞=0!1.25．设nn CA ⨯∈，且A 可逆，若λ是A 的任一特征值，则2211A A ≤≤-λ.证明:因为2)(A A =≤ρλ,故2A ≤λ.又对任意的nC X ∈,有2212122AX A AX A IXX--≤==,所以2212AX AX ≤-.设α是矩阵A 的特征值λ对应的特征向量,即λαα=A ,则222212αλλααα==≤-A A,故有λ≤-211A .因此2211A A ≤≤-λ.。