2006-2007第一学期概率论与随机过程试题卷

2006~2007学年第1学期期末考试《概率论和数理统计》试卷（A ）一、填空题（本大题共有5小题，每题3分，满分15分）(1) 设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有 (A)0)(>A B P(B) )()(A P B A P =(C) 0)(=B A P(D) )()()(B P A P AB P =(2) 某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为 (A) 0.05(B) 0.06(C) 0.07(D) 0.08(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则 (A) 对任意实数21,p p =μ(B) 对任意实数21,p p <μ (C) 只对μ的个别值，才有21p p =(D) 对任意实数μ，都有21p p >(4) 设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数， 则对任意实数a 成立的是 (A) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)( (B) ⎰-=-adx x f a F 0)(21)((C) )()(a F a F =-(D) 1)(2)(-=-a F a F(5) 二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y 与X-Y 不相关的充要条件为 (A) EY EX = (B) 2222][][EY EY EX EX -=-(C) 22EY EX=(D) 2222][][EY EYEX EX+=+二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P .(2) 设随机变量X 有密度⎩⎨⎧<<=其它10,4)(3x x x f ,则使)()(a X P a X P <=>的常数a =(3) 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P(4) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 均服从)51,1(N ，如果随机变量X-aY+2满足条件])2[()2(2+-=+-aY X E aY X D ，则a =__________.(5) 已知X ～),(p n B ,且8)(=X E ,8.4)(=X D , 则n =__________.三、解答题 （共65分）1. (10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ⎩⎨⎧<<<<--= ，　其它040,20),6(),(y x y x k y x f求：(1) 常数k (2) )4(≤+Y X P3. (10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.4. (8分)设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧<<=其他，,0;40,8)(x x x f X求：随机变量1-=X e Y 的概率密度函数.5. (8分)设随机变量X 的概率密度为：∞<<∞-=-x ex f x21)(，求:X 的分布函数．6. (9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？7. (10分)设)1,0(~),1,0(~N Y N X ，且相互独立1,1+-=++=Y X V Y X U ， 求：(1) 分别求U,V 的概率密度函数； (2) U,V 的相关系数UV ρ；2005~2006学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》试卷（A ）标准答案和评分标准一、选择题（6×3分）二、填空题（9×3分）：1、 0.22、313、37254、24)2(2621)(--=x ex f π5、 一定有6、21 7、λ18、21λ9、1}|1{|lim 1=<-∑=∞→εa X nP ni i n三、 计 算 题（3×6分+4×7分+1×9分）1、解：}{能发芽=B 1,2,3,4i }{==等品取的是第i A i , 易见的一个划分是Ω4321,,,A A A A ------------------2分01.0)(,02.0)(03.0)(,94.0)(4321====A P A P A P A P ，85.0)|(,9.0)|(95.0)|(,98.0)|(4321====A B P A B P A B P A B P ，-------------------------4分由全概率公式，得97.0)|()()(41==∑=i iiA B P A P B P--------------------------------------6分2、解：由题意知：离散型随机变量X 的可能取值是：-1，1，3，---------------------------------2分 因为离散型随机变量的分布函数∑<=xx ii p x F )(,得-----------------------------------------------4分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.03.04.0311~X ----------------------------------------------------------------6分 3、解：（1）⎰∞-=xdt t f x F )()(当txte dt e x F x 2121)(,0==<⎰∞--------------------------------------------------------------------2分当txttedt e dt e x F x --∞--=+=≥⎰⎰211[21)(,00----------------------------------------------------4分(2) 101521211)10()15()1510(----=--=<<-eeF F X P ------------------------------------6分4. 解：(1) ⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-===103),(1xA Axdxdy dxdy y x f 3=∴A (见图(1))----------------------2分图（1） 图（2） (2)6413)21,41(41==<<⎰⎰xxdxdy Y X P (见图(2))-----------------------------------------------5分 (3) ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-dxdy y x f y x Y X E ),()()(⎰⎰=-=10833)(xxdxdy y x --------------------------7分5、解：由X 和Y 独立，得⎩⎨⎧>≤≤==-其它,10)()(),(y x e y f x f y x f yY X -----------------2分⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z d x d y y x f z Y X P z Z P z F ),()()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=<≤+-=<=-------⎰⎰⎰⎰1110100110000z e e dxdy e z ez dxdy e z zz x z yz z x z y -------------------------------------------------5分⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-<==---11010)()(1z e e z ez z F z f z z zZ Z ------------------------------------------------7分6、解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4.03.03.0210~X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛6.01.03.0210~Y 易知：81.069.0)(5.29.13.1,1.12222==-=====DY EX EX DX EYEXEY EX 同理-------3分])()([))(()()()())((),(222222222222EY EX EY EX EY EX EY EX Y XE Y X E Y X E Y X Y X E E E E COV βαβαβαβαβαβαβαβαβαηξξηηξ---=+---=+--+-=-=222281.069.0βαβα-=-=DY DX ----------------------------------------------------7分7、解： )05.0,100(~)(B X n μ即 -------------------------------------------------------------------1分75.4)1(,5=-===p np DX np EX--------------------------------------------------3分 由中心极限定理，得1)75.41(2)75.41()75.41()75.41)`1(75.41()1(6)1()1(4()64()15(-Φ=-Φ-Φ=<--<-=--<--<--=<<=<-p np np X P p np np p np np X p np np P X P X P ----7分8、解：（1）()5,4,3,2,1,1~=,i p B X i 样本的联合分布列：5~1;1,0)1()1()(),,,(515151151552211==∑-∑=-========-=-=∏∏i x p pp p x XP x X x Xx X P i x n x i x x i i ii ii iii ----------------3分（2）样本均值：53511511===∑∑==i i ni i X X nX -----------------------------------------4分样本方差：256)53(41)(11251212=-=--=∑∑==i i ni i X X X n S ---------------------------6分（3）由（1）得： 似然函数∑-∑===-5151)1()(i ii ix n x p p p L --------------------------------------7分对数似然函数)1ln()()ln()(ln 5151p xn p xp L i ii i--+=∑∑-=对求导并令其为0：0)(111)(ln 5151=---=∑∑==i ii ixn px pdp p L d得 ∑==511ˆi ix np即为p 的极大似然估计------------------------------9分2006~2007学年第1学期期末考试《概率论和数理统计》试卷（A ）一、填空题（本大题共有5小题，每题3分，满分15分）(1) 设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有 (A)0)(>A B P(B) )()(A P B A P = (C) 0)(=B A P(D) )()()(B P A P AB P =(2) 某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为 (A) 0.05(B) 0.06(C) 0.07(D) 0.08(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则 (A) 对任意实数21,p p =μ(B) 对任意实数21,p p <μ (C) 只对μ的个别值，才有21p p =(D) 对任意实数μ，都有21p p >(4) 设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数， 则对任意实数a 成立的是 (A) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)( (B) ⎰-=-adx x f a F 0)(21)((C) )()(a F a F =-(D) 1)(2)(-=-a F a F(5) 二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y 与X-Y 不相关的充要条件为 (A) EY EX = (B) 2222][][EY EY EX EX -=-(C) 22EY EX=(D) 2222][][EY EYEX EX+=+二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P .(2) 设随机变量X 有密度⎩⎨⎧<<=其它10,4)(3x x x f ,则使)()(a X P a X P <=>的常数a =(3) 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P(4) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 均服从)51,1(N ，如果随机变量X-aY+2满足条件])2[()2(2+-=+-aY X E aY X D ，则a =__________.(5) 已知X ～),(p n B ,且8)(=X E ,8.4)(=X D , 则n =__________.三、解答题 （共65分）1. (10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ⎩⎨⎧<<<<--= ，　其它040,20),6(),(y x y x k y x f求：(1) 常数k (2) )4(≤+Y X P3. (10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.4. (8分)设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧<<=其他，,0;40,8)(x x x f X求：随机变量1-=X e Y 的概率密度函数.5. (8分)设随机变量X 的概率密度为：∞<<∞-=-x ex f x21)(，求:X 的分布函数．6. (9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？7. (10分)设)1,0(~),1,0(~N Y N X ，且相互独立1,1+-=++=Y X V Y X U ， 求：(1) 分别求U,V 的概率密度函数； (2) U,V 的相关系数UV ρ；2006~2007学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》试卷（A ）标准答案和评分标准一、选 择 题（5×3分）二、填 空 题（5×4分）1、0.12、4213、0.354、35、20三、 计 算 题（65分）1、解：A 为事件“生产的产品是次品”，B 1为事件“产品是甲厂生产的”，B 2为事件“产品是乙厂生产的”，B 3为事件“产品是丙厂生产的”，易见的一个划分是Ω321,,B B B ------------------2分(1) 由全概率公式，得.0345.0%2%40%4%35%5%25)()()()(3131=⨯+⨯+⨯===∑∑==ii ii iB A P B P AB P A P --5分(2) 由Bayes 公式有：69250345.0%5%25)()()()()(31111=⨯==∑=i iiB P B A P B P B A P A B P -----------------------------------------------------10分2、解：(1) 由于1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f ，所以1)6(420=--⎰⎰dy y x k dx，可得241=k -------------5分(2)98)16621(241)6(24122402=+-=--⎰⎰⎰-dx x x dy y x dxx----------------------------------------10分 3、解：由卷积公式得⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z ),()(，又因为X 与Y 相互独立，所以⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(-----------------------------------------------------------3分当0≤z 时，;0)()()(=-=⎰+∞∞-dx x z f x f z f Y X Z ---------------------------------------------5分当10<<z 时，;1)()()(0)(zzx z Y X Z e dx edx x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰----------------------7分当1≥z 时，);1()()()(1)(-==-=---+∞∞-⎰⎰e edx edx x z f x f z f zx z Y X Z所以;1)1(10100)()()(⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤=-=--∞+∞-⎰z e e z ez dx x z f x f z f z zY X Z ---------------------------10分4、解：1-=X e Y 的分布函数).(y F Y⎰+∞-=+≤=≤-=≤=)1ln()())1ln(()1()()(y X XY dxx f y X P y eP y Y P y F----------------------------2分 =⎪⎩⎪⎨⎧≤--<≤+<.1,1;10),1(ln 161;0,0442y ee y y y ------------------------------------------------------6分于是Y 的概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<++==.,0;10,)1(8)1ln()()(4其他ey y y y F dy dy f Y Y ----------------------8分5、 解： ⎰∞-=xdt t f x F )()(当txte dt e x F x 2121)(,0==<⎰∞-----------------------------------------------------------------3分当txttedt e dt e x F x --∞--=+=≥⎰⎰211][21)(,00-----------------------------------------8分6、解：由条件知)2.0,5(~B X ，即5,,1,0,8.02.05}{5 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P kk -------------------- 3分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=====3,2;2,0;1,5;0,10)(X X X X X g Y -----------------------------------------------------------------6分)(216.5057.02410.05328.010}]5{}4{}3{[2}2{0}1{5}0{10}{)()(5万元=⨯-⨯+⨯==+=+=⨯-=⨯+=⨯+=⨯====∑=X P X P X P X P X P X P k XP k g X Eg EY k -------------------------------------------9分7、解：（1）因为)1,0(~),1,0(~N Y N X ，且相互独立，所以1,1+-=++=Y X V Y X U 都服从正态分布，11)1(=++=++=E EY EX Y X E EU 2)1(=+=++=DY DX Y X D DU -------------------------------------------------------3分 所以 )2,1(~N U ，所以 4241)(uU eu f -=π同理 11)1(=+-=+-=E EY EX Y X E EV 2)1(=+=+-=DY DX Y X D DU所以 )2,1(~N V ，所以 4241)(uV eu f -=π-------------------------------------------------5分（2）)12()1)(1(22++-=+-++=X YX E Y X Y X E EUV12))(()(122222+++-+=++-=EX EY DY EX DX EX EYEX1= -------------------------------------------8分 所以0=-=DVDUEUEV EUV UV ρ--------------------------------------------------------------10分郑州轻工业学院概率论与数理统计试题 A 卷2007-2008学年 第二学期 2008.06一、填空题（每空3分，共18分）1. 事件A 发生的概率为0.3，事件B 发生的概率为0.6，事件A ，B 至少有一个发生的概率为0.9，则事件A ，B 同时发生的概率为____________2. 设随机向量（X ，Y ）取数组（0，0），（-1，1），（-1，2），（1，0）的概率分别为,45,41,1,21cc c c 取其余数组的概率均为0，则c =__________3. 设随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则关于y 的方程012=+-Xy y 无实根的概率为_______________.4. 若)1,0(~N X ，)1,0(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______________5. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他,0,10,)1();(x x x f θθθ，n X X X ,,21 为来自总体X的一个样本，则待估参数）（-1>θθ的最大似然估计量为_____________.6. 当2σ已知，正态总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为（样本容量为n ）___________二、选择题（每题3分，共18分）1. 对任意事件A 与B ，下列成立的是-------------------------------------------------------------（ ） （A ）)0)((),()|(≠=B P A P B A P （B ）)()()(B P A P B A P += （C ）)0)((),|()()(≠=A P A B P A P AB P （D ）)()()(B P A P AB P =2. 设随机变量X ),(~p n B 且期望和方差分别为48.0)(,4.2)(==X D X E ，则----（ ） (A) 3.0,8==p n (B) 4.0,6==p n (C) 4.0,3==p n （D ） 8.0,3==p n 3. 设随机变量X 的分布函数为F X （x ），则24+=X Y 的分布函数F Y （y ）为-------------( )(A) 1()22X F y + (B) 1(2)2X F y +(C) (2)4X F y - （D ）(24)X F y -4. 若随机变量X 和Y 的相关系数0=XY ρ，则下列错误的是---------------------------------（ ） (A) Y X ,必相互独立 (B) 必有)()()(Y E X E XY E = (C) Y X ,必不相关 （D ） 必有)()()(Y D X D Y X D +=+5. 总体)1,0(~N X ，n X X X ,,21 为来自总体X 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则下列不正确的是--------------------------------------------------------------------（ ） (A) ),0(~n N X n (B))1(~-n t SX(C))(~212n X ni i χ∑= （D ） )1,0(~nN X6. 设随机变量)2,1( =k X k 相互独立,具有同一分布, ,0=kEX,2σ=KDX,2,1=k ，则当n 很大时，1nk k X =∑的近似分布是--------------------------------------------------------（ ）(A) 2(0,)N n σ (B) 2(0,)N σ (C) 2(0,/)N n σ(D) 22(0,/)N n σ三、解答题（共64分）1. （本题10分）设一批混合麦种中一、二、三等品分别占20%、70%、10%，三个等级的发芽率依次为0.9，0.7，0.3，求这批麦种的发芽率。

随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。

通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。

以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。

1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。

(2) 求X(t)的平稳分布。

2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。

令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。

设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。

根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。

(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。

(2) 计算X(t)的平均到达速率。

4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。

所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。

随机过程综合练习题一、填空题(每空3 分)第一章1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则X1 X2 X n 的特征函数是。

2．E E(X Y) 。

3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。

4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。

5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则X1 X 2 X n 的特征函数是。

6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。

第二章7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。

8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。

9．正交增量过程满足的条件是。

10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。

第三章11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为；方差函数为。

12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。

13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程，( t)n e n! 14．n15．240000 16．复合；17．71 4eP X(t s) X(s) n14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。

16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在[0 ，t]内到达汽车总站的乘客总数是(复合or 非齐次)泊松过程．17．设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是．第四章18．无限制随机游动各状态的周期是。

天津师范大学考试试卷2007 —2008 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）科目：概率论与数理统计 学院：管理学院专业：所有专业一、 单项选择题:在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代（每小题3分，本大题共15分）1.().A A 以表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”，则其对立事件为A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”2.(),.A B B A ⊂设为两随机事件，且，则下列式子正确的是A . ()()P AB P A += B. ()()P AB P A =C. ()()P B A P B =D. ()()()P B A P B P A -=-3.A B 设和是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是().A. A B 与不相容B. A B 与相容C. ()()()P AB P A P B =D . ()()P A B P A -=4.22~(,),,1.X N l l μσμσμαα-设总体其中未知，的置信水平为的置信区间长度为，则与的关系为（ ）A . l α增大，减少 B. l α增大，增大 C. l α增大，不变D. l α与 的关系不确定5.21~()(1),().X t n n Y X >=设随机变量，则 A. 2~()Y n χ B. 2~(1)Y n χ- C . ~(,1)Y F nD. ~(1,) Y F n二、 填空题:（每空3分，本大题共15分）1.()()()0.4,0.7.P A P A B A B P B =+==设，若事件与独立，则0.52.()0,0sin ,0212.6X x F x A x x x P X πππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎛⎫>=⎪⎝⎭设随机变量的分布函数为；；，，则123.80.81一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为 234.()2()(),3.X E X D X P X μσμσ==-≥≤设随机变量的数学期望，方差则由切比雪夫不等式，有195.1252216,,,1(5)5.n niii i X X X X X n V X Xn ==⎛⎫=-> ⎪⎝⎭∑∑ 设总体服从标准正态分布，为来自总体的简单随机样本，则统计量服从分布(5,5).F n -10分，本大题共70分）1.{}{}1201290505.A A == 从，，，，这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：三个数字中不含和；三个数字中含有但不含有解 310019C 从，，，这十个数字中任意选出三个不同数字的所有选法为，3183813102282823107()(5)157().(10)30A C C P A C A C C P A C ===所含基本事件数为，因此分同理所含基本事件数，所以＝分2.[]X 25X 3设随机变量在，上服从均匀分布，现在对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于的概率.532323331,25;()(3)30,.(3),3(3,).(5)12(3),(7)3321220(2).(10)33327X x f x p P X Y Y B p p P X dx P Y C C ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩=>~=>==⎛⎫⎛⎫≥=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰由已知可得的密度函数为分其他记以表示三次独立观测中观测值大于的次数，则分 分因此，所求概率为分3.2(12)().X Y X Y e f y =设随机变量在区间，上服从均匀分布，求的概率密度22224211ln ln 22141,12()(1)0,()()(),(2),()()0.(3),1()()(2ln )(ln )21()ln 1.(5)2,X X Y X Y X Y y y X X x f x y Y F y P Y y P e y y e F y P e y e y e F y P e y P X y P X y f x dx dx y y e -∞<<⎧=⎨⎩=≤=≤≤=≤=<<=≤=≤=≤===-⎰⎰≥由题意可知，的概率密度为分其它对于任意实数，随机变量的分布函数分当时分当时分当时224424'()()1,(6)0,1()ln 1,(8)21,1,;2()()(10)0,Y Y X Y F y P Y y y e F y y e y e y e e y e yf x F y =≤=⎧≤⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎩⎧<<⎪==⎨⎪⎩故分分于是分其它.4.{}(),0,;(,)0,.1;(2)().x y X Y e x y f x y P X Y E XY -+⎧<<+∞=⎨⎩<已知随机变量和的联合密度为其他试求：（）()0000020020(1)()(,)(1)(2)(1)()(3)11110(01).(5)222yx y x yyyxy x y y y y y yy P X Y f x y dxdy e dxdyee dxdy e e dye e dy e e dye e +∞-+<+∞∞----+∞+∞-----+∞-+∞<=====-=-=-+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰＋分（-）分分分[]()0222(2)()(7)(9)000 1.(10)(00)(01)x y x y E XY xye dxdy xe dx ye dyx x x xe dx xe e +∞+∞+∞+∞-+--==+∞--+∞-+∞====⎰⎰⎰⎰⎡⎤⎡⎤--⎰⎣⎦⎣⎦----分分分5.0.50.50.5()1,0,0;,0,.100.x y x y X Y X Y e e e x y F x y X Y α---+⎧--+≥≥=⎨⎩一电子仪器由两个部件构成，以和分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知和的联合分布函数为（）其他(1)问和是否独立？(2)求两个部件的寿命都超过小时的概率()()()()()120.510.5212(1)()1,0;,(2)0,0.1,0;,(4)0,0.,,.(5)x y X F x Y F Y e x F x F x x e y F y F y y F x y F x F y X Y --⎧-≥+∞=⎨<⎩⎧-≥+∞=⎨<⎩=的分布函数和的分布函数分别为＝（）分＝（）分由于（）知和独立分[][]120.050.050.050.050.1(2)(0.1,0.1)(0.1)(0.1)(7)1(0.1)1(0.1)(8)1(1)1(1).(10)P X Y P X P Y F F e e e e e α-----=>>=>>=--⎡⎤⎡⎤=----==⎣⎦⎣⎦分分分6.222(3.4,6) 1.45.40.95()t N n n z z dt-Φ=⎰从正态总体中抽取容量为 的样本，如果要求其样本均值位于区间（，）内的概率不小于，问样本容量至少应取多大？附表：标准正态分布表以X 表示该样本均值,~(0,1).N （3分） 由题意,(1.4 5.4)0.95.P X <<≥因此(1.4 5.4)(2 3.42)(| 3.4|2)P X P X P X <<=-<-<=-<6P =<.95.01)3(2≥-Φ=n（7分） ()20.975 1.96 1.96334.57.35.n n Φ≥⇒≥⇒≥⨯≈⎝⎭由此得故至少应取（10分）7.3666.515.0.0570(()())p t P t n t n p≤=设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取位考生的成绩，算得平均成绩为分，标准差为分问在显著性水平下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为分？并给出检验过程。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

1．为it(e-1)e λ。

2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。

3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

6．(n)nP P =。

随机过程考试试题及答案详解1、（15分)设随机过程C t R t X +⋅=)(,),0(∞∈t ,C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

(1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (２）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数；(2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=; （３)参数为λ的指数分布,概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ,分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4)2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ,分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ,若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题２.1及2.2题。

(1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。

由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ,一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tC x C x x F ,1,,0)(;(2)根据相关定义,均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s C st t X s X E t s R X +++==；协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数) 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==２、(1５分)设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

2016随机过程（A ）解答1、（15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。

1) 求)(t X 的一维概率密度函数；2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解：由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布，且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+{}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+故： (1) )(t X的一维概率密度函数为：()222218(1)(),x t t t f x ex ---+=-∞≤≤∞(2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为：{}{}(,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+{}{}{}22()13()413st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+（3）相关系数：(,)s t ρρ====)(t X 的二维概率密度函数为：2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x eρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。

问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。

中南民族大学试卷试卷名称： 2006-2007学年度第一学期期末考试《概率论与数理统计》试卷试卷类型： 卷 共 8 页适用范围：经济、管理 学院 2006 级金融5、6班、保险1、2班本科卷第1页共 8 页学院 专业 级 学号姓名………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………一、填空题(每小题3分,共15分)一、填空题（3×5分=15分）1、已知事件,()0.8,()0.9,A B P A P B ⊂==则(P2、连续型随机变量X 的概率密度为3,0()0,0x e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩则λ=＿＿＿＿.3、某产品40件，其中次品有3X ，则{}P X k ==＿＿＿＿＿＿＿＿. (k =4、设随机变量X 的分布律为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿则 2()E X =＿＿＿＿＿＿＿＿.5、设总体X 服从正态分布(,1)N μ，则1(ni i X μ=-∑ 12,,,n X X X 为X 的样本.注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

卷第2页共8页中南民族大学试卷卷 第3页共 8页………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………学院 专业 级 学号 姓名………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………3、设连续性随机变量X 的分布函数为30,0(),021,2x F x Ax x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩求（1）系数A (2) {1.52}P X <<注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。

答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。

2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。

答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。

其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。

三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。

计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。

答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。

答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。

2006级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、 1.D1(1)()X uu uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C注释：参考课本第8页 3.A注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确 ？B 项是否正确 4.B注释：参考课本86页 5.A 二、1. 1.33(或者填13591024)2．25注释：参考课本86页3. 0.254. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p)设（X+Y ）～B(n,P),则有E(X+Y)=7p=nPD(X+Y)=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6.0.3522(35)112(35)9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X DX X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关 三、A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”； ?取出的产品是甲厂生产的” ?取出的产品是乙厂生产的” ?取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A ) =0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8XEX -⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯= 五、10500022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)()221111(3[(1)][(1)]2222_____012xx xx x x x x x e x f x e x e x F x e x P X e e x e dx x e dx x e x e EX x e dx x ----∞--+∞-∞-∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅=-+--==⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=202021211___[22][22]222(2x x x x x x x e dxx e xe e x e xe e DX EX ∞----+∞-∞=-++---==-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.025200050{50}iii i i i i ii X i X U EX DX b X U a b EX DX b a Y X Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=<=∑设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则(25.8)<=Φ？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b a b aba x ab y b a x ax ab y by bEX x dx EY y dy a b ππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f其它222222222222,2424,3344()25,()4332(3),22()()a b a b a b EX x dx EY y dy a b a b DX EX EX DY EY EY a b a x a b y b x y a b πππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(x z z Z dx ze dx e e F z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>1。

北方工业大学2007-2008学年第一学期研究生随机过程试题参考答案一、（15分）设随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，求（1）X 的特征函数()g t ；（2）利用特征函数计算X 的数学期望及方差。

解：（1）特征函数 ()()()i t X i t x g t E e e d F x +∞-∞==⎰ 1()ibt iatb itx a e e e dx b a i b a t-==--⎰ 8分 （2）由()(0)()k k k g i E X =得011()(0)lim ()2t a b E X g g t i i →+''=== 22222011()(0)lim ()3t a ab b E X g g t i i →++''''=== 从而 222()()()()12b a D X E X EX -=-= 7分 二、（20分）试求随机相位余弦波()cos()X t a t ω=+Θ的均值函数，方差函数和自相关函数。

其中,a ω为常数，Θ服从(0,2)π上的均匀分布。

9分自相关函数为12(,)X R t t6分5分三、（20分）设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计数器，()N t 表示在[0,)t 内到达计数器的粒子个数，试求（1） 在第3分钟到第5分钟之间到达计数器的粒子个数的概率分布；（2） 在2分钟内至少有2个粒子到达计数器的概率。

解：（1）到达计数器的粒子个数的概率分布为88{(5)(3)}(0,1,)!k e P N N k k k --=== 10分 （2）所求概率为8108{(2)(0)2}1!k k e P N N k -=-≥=-∑ 819e -=- 10分四、（15分）设马氏链的转移矩阵为00.60.40000.30.710001000P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1） 求两步转移矩阵；（2） 求出各类的周期，并讨论其常返性。

随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述，错误的是：A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的，也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案：D2. 以下哪种过程不是随机过程？A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案：D3. 随机过程的一阶矩描述的是：A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时，该随机过程为：A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案：B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中，正确的是：A. 当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关，与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案：A二、填空题1. 随机过程中，时域函数常用的表示方法是__________。

答案：概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。

答案：当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。

答案：时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。

答案：冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。

答案：时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。

随机过程是一种由随机变量组成的集合，表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。

它可以是离散的，也可以是连续的。

随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数，以及相关的统计特征，如均值、方差等。

随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。

2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。

马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关。

其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。

随机过程试卷一、简答1.随机过程的正交、互不相关和互相独立及其相互关系。

答：教材P49①如果对任意的12,,n t t t 和12,,m t t t ''' 有 12121212(,,;,,;,,;,,)XY n n m m f x x x t t t y y y t t t ''' 12121212(,,;,,)(,,;,,)X n n Y m m f x x x t t t f y y y t t t '''= 则称()X t 和()Y t 之间是相互独立的。

②两个随机过程()X t 和()Y t ，如果对任意的1t 和2t 都有互协方差函数为0，即12(,)0XY C t t =则称()X t 和()Y t 之间互不相关。

两个互相独立的随机过程必不相关，反之不一定。

（高斯随机过程的互不相关与互相独立等价）③两个随机过程()X t 和()Y t ，如果对任意的12,t t T ∈，其互相关函数等于零，即12(,)0XY R t t =则称()X t 和()Y t 之间正交。

而且正交不一定互不相关。

（均值为零的两随机过程正交与互不相关等价）2.随机过程的各态历经性及实际意义。

答：教材P65~69平稳过程的各态历经性，用数学语言来说，即关于（充分长）时间的平均值，近似地等于观察总体的集合平均值。

如对均方连续的实平稳过程{}(),(,),[()]X X t t m E X t ∈-∞∞=是()X t 的均值，是平稳过程中所有可能出现的曲线（样本函数）的集合平均值。

而对()X t 中任一现实曲线()x t ，1()d 2T T Tm x t t T-=⎰是()x t 在[,]T T -对时间t 的平均值，称为时间平均值。

显然()X t 的每一曲线都在X m 的上下波动，则可以想象，当T 充分长时该现实曲线()x t 可以很好地代表实平稳过程{}(),(,)X t t ∈-∞∞的整个性质，如T X m m ≈。

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称 随机过程 （ B 卷）一、（15分）证明：对1210n n t t t t -∀≤<<<<，{}121121|,,,n n n t n t n t n t P X x X x X x X x ----≤==={}112111201|,,n nn n t t n n t t n nt P X X x x X X x x X X x ------=-≤--=--= {}11n n t t n n P X X x x --=-≤-（独立增量性） {}11|n n t n t n P X x X x --=≤=因此，{},0t X t ≥是一个马尔可夫过程。

二、（15分）解：取充分小的0h >，则有：{,()}{()}{()}r r P x W x h N t n P x W x h N t n P N t n <≤+=<≤+==={,()()}{()}{}{()()}{()}r r P x W x h N t N x h n r P N t n P x W x h P N t N x h n r P N t n <≤+-+=-==<≤+-+=-==()[()]()()!()!r n r t x h W n tt x h f x h en r t e n λλλλ--------=两边除以h ，并令0h →，我们有：1[()][()]()()!()!(())()()(1)!!!r r n r n r x xW r r x W nn t x t x f x e en r n r f x N t n x e t t r n n λλλλλλλλ--------===- 最后我们可以得到结果：1!1(())1,0()!(1)!r r n rW n x x f x N t n x t n r r t t t--⎛⎫⎛⎫==-⋅<< ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭三、（15分）解：画出状态转移图，有：状态3、4无法和其它状态相通，组成一个闭集，且331f =，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且001f =，故状态0、2是常返态；因为(1)111/2f =，()110,(1)n f n =>，故111/21f =<，所以状态1为非常返态。

浙江林学院 2006 - 2007 学年第 一 学期考试卷（A 卷）参考答案与评分标准课程名称： 概率论 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。

2、考试时间 120分钟。

一、填空题（每小题3分，共24分）1. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量XeY 3=的概率密度函数为=)(y f Y ⎩⎨⎧≤>00)])3/[ln(1y y y f y.2. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =__1______,b =__1/2______.3. 贝努利大数定律：设m 是n 次独立重复试验中A 发生的次数，p 是事件A 的概：p=P(A)。

则对任意正数ε，有 lim {||}1n mP p nε→∞-<=___ _____ __.4．设离散型随机变量X 的分布律为kc k X P )32()(== k =1,2,3,…其中λ>0为常数，则c= 0.5 .学院： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线 内 不 要 答 题5．设)2/1,0(N ~Y ),2/1,1(N ~X ，且相互独立.Y X Z -=,则)0Z (P >的值为(结果用正态分布函数Φ表示)(1)Φ6．设随机变量X 与Y 相互独立，且P ｛X ≤1｝＝21，P ｛Y ≤1｝＝31，则P ｛X ≤1，Y ≤1｝＝_______1/6________(结果用分数表示)。

第 2 页 共 6 页7．设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D 25.6 .8．设随机变量X 的分布函数为：110010)(2>≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x F ，则X 的概率密度.____________)x (f =(0.30.7)_________.P X <<=⎩⎨⎧≤≤=其他102)(x x x f 0.4 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在下表中。

概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥事件，如果P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.7D. 0.12. 如果随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)的表达式是什么？A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k / k!C. e^(-λ) * k!D. k * e^(-λ)3. 抛一枚均匀硬币两次，求出现至少一次正面的概率。

A. 0.5B. 0.75C. 0.25D. 14. 随机变量Y服从标准正态分布，那么P(Y < 0)等于多少？A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.25. 某工厂的次品率是0.05，求至少有一件次品的箱子的概率。

A. 0.95B. 0.05C. 1 - 0.95^nD. 0.05^n6. 已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.8，根据贝叶斯公式，求P(A|B)。

A. 0.75B. 0.6C. 0.8D. 无法确定7. 若随机变量X和Y的协方差是-3，X的方差是25，Y的方差是16，求X和Y的相关系数。

A. -0.6B. -0.75C. -0.8D. -0.98. 一个骰子连续抛掷两次，求两次点数之和为7的概率。

A. 1/6B. 1/3C. 5/36D. 2/39. 某班有30个学生，其中10个是女生，20个是男生。

随机选取2个学生，求至少有1个是女生的概率。

A. 0.7B. 0.3C. 0.5D. 0.210. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,θ)，求E(X)。

A. θ/2B. θC. 0D. 1/θ二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是条件概率，并给出条件概率公式。

2. 解释什么是大数定律，并给出一个例子。

3. 描述什么是中心极限定理，并说明其重要性。

三、计算题（每题25分，共50分）1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球。

随机抽取2个球，求以下事件的概率：a) 第一个球是红球，第二个球也是红球。

2006年‘随机过程’考试题1． 设(){}0,≥t t N 是平均率为λ的泊松过程，k W 是事件A 第k 次出现的等待时间，试证明{} ,1,0,=n W n 为马氏链。

2． 设(){} ,2,1,=n n Y 相互独立同分布，()()+∞<=>=2,0σμi i Y D Y E 。

试证明,2,1,11==∑=n Y nX ni in 在∞→n 时的均方极限存在。

3． 设(){}0,>t t X 如下定义()⎪⎩⎪⎨⎧====321cos sin 1,ϖϖϖϖϖϖϖt tA t X其中()()()31321===ϖϖϖP P P ,随机变量[]1,0~A ,计算(){}0,>t t X 的均值函数和相关函数，并讨论过程是否有广义平稳性。

4． 到达某商场的男女顾客数分别服从每分钟1人和每分钟2人的泊松过程，且相互独立，试问：1） 到达商场的顾客总数服从何种过程；2） 开门20分钟内已有50人到达商场，其中有30位是女性顾客的概率。

5． 设有4各车站，如图有公路连接。

汽车每天可以从一个站驶到与之直接相连的车站，夜间停留后次日按等比例发往相邻的车站。

用n X 表示一辆汽车在第n 天停留的车站号，则:1) 讨论{}0,≥n X n 是否为其次马氏链，若是，写出转移概率矩阵。

2) 求平稳分布。

6． 设X,Y 相互独立同分布，()2,0~σN X()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=121210t Y t Xt X124讨论(){}10,≤≤t t X 的均方可积性，(){}10,≤≤t t X 是否为严平稳过程。

7． 设X 为随机变量，函数()t g 在R 上的任意有限子区间上可积，证明随机过程()()R t t g X t X ∈=,*均方可积。

且()()()[]()()t g t G a G b G X dt t X ba='-=⎰,现有随机过程()()2,0~,,cos *σN A R t t A t X ∈=,试求此过程的时间均值，并讨论此过程的均值是否具有均方遍历性。