双曲线的定义、标准方程及几何性质

高二数学双曲线的定义、标准方程及几何性质知识精讲文人教实验B版选修11【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线的定义、标准方程及几何性质二、本周学习目标掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，了解双曲线的初步应用。

了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。

三、考点分析（一）双曲线的定义1、第一定义：双曲线的定义：平面内与两定点F1，F2距离的差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF1|－|PF2||＝2a（2a＜|F1F2|＝。

此定义中，“绝对值”与2a＜|F1F2|，不可忽视。

若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2、第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e（e＞1）的动点的轨迹叫双曲线。

定点F叫双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。

e叫双曲线的离心率。

双曲线有两个焦点，两条准线。

该定义中的焦点和准线具有“对应性”，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

（二）双曲线的标准方程及几何性质12、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较x ，y 系数的大小，而双曲线是看x ，y 2的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”3、双曲线的参数方程：中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线22221x y a b -=的参数方程为：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）：4、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。

2222by a x -＝1与2222y x b a -＝1互为共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线2222by a x -＝0。

双曲线【知识要点】1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数. 2.双曲线的标准方程与几何性质M(x 0,y 0)为22a x -22b y =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.(1)当M(x,y)为22a x -22b y =1左支上的点时,|MF 1|=-(a+ex),|MF 2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF 1|=ey 0+a ，|MF 2|=ey 0-a.【基础训练】1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是 ( )A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =13.如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是（ ）A.10B.7732 C.27 D.5324.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 5.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.【典型例题】题型一:求双曲线的标准方程例1、 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）实轴长为16，离心率为45e（4）经过两点P )7,26()72,3(---Q题型二:双曲线的定义及应用例2、（2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.例3、如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.变式：、已知(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当||||2PA PF +取最小值时，P 的坐标是，|||PA PF 最小值是 ．题型三:双曲线的性质及应用例4、 已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?变式：过双曲线22a x －22by =1.的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线的左右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围。

双曲线【知识要点】一、双曲线的定义、标准方程、几何性质二、双曲线的渐近线的相关问题（1）双曲线12222=-b y a x 与双曲线)0(2222≠=-λλb y a x 有相同的渐近线x a by ±=，也可简记为02222=-b y a x（2）双曲线12222=-b y a x 与12222-=-by a x 互为共轭双曲线.双曲线共轭则渐近线相同；反之，渐近线相同的双曲线不一定共轭.【经典例题】例1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）32=a ，且与双曲线141622=-y x 有公共焦点；（2）双曲线焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线02025=+-y x 上，两焦点关于原点对称，离心率35=e ，求此双曲线方程.例2．已知双曲线12222=-by a x 的离心率25=e ，点A （0，1）与双曲线上的点的最小距离是3052，求双曲线的方程.例3.过点A （6，1）作双曲线16422=-y x 的弦，此弦被A 点平分，求该弦所在直线的方程.例 4.已知双曲线422=-y x 直线)1(:-=x k y l ，当k 取何值时，（1）直线l 与双曲线有两个公共点；（2）直线l 与双曲线有且只有一个公共点；（3）直线l 与双曲线没有公共点.例5.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率e 的取值范围.例6.双曲线的焦点在x 轴上，其上一点P 到它两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的方程.【经典练习】1.焦点为（0，6）且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的方程是（ ） A 、1241222=-y x B 、1241222=-x y C 、1122422=-x y D 、1122422=-y x2.若双曲线116922=-y x 左支上一点P 到左焦点的距离是14，则P 到右准线的距离是（ ）A 、524 B 、588 C 、12 D 、556 3.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若||3||21PF PF ，则==（ ） A 、1或5B 、6C 、7D 、94.已知双曲线13622=-y x 的焦点为21,F F ，点M 在双曲线上且x MF ⊥1轴，则M F 1的距离为（ ） A 、563 B 、665 C 、56 D 、65 5.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率e =( ) A 、5B 、5C 、25 D 、45 6.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为 .7.21,F F 是双曲线1201622=-y x 的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，则点P 到焦点2F 的距离为 .8.若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0,10(，则双曲线的方程是 .9.已知21,F F 是双曲线的两个焦点，10||21=F F ，过点2F 的直线交双曲线一支于A 、B 两点，若||AB =5，B AF 1∆的周长等于26，求双曲线的标准方程.10.双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，求双曲线方程.11.过M （2，1）作直线l 交双曲线1222=-y x 于Q P ,两点，若M 是线段PQ 的中点，求直线l 的方程.。

1、双曲线的定义、标准方程、几何性质学习目标1、 理解掌握双曲线的概念、标准方程、几何性质2、 掌握双曲线的标准方程的求法3、 掌握利用双曲线几何解有关问题，特别是离心率的有关问题的解法 3、掌握综合题的解法重点： 双曲线的概念、几何性质 难点： 综合题的解法 知识梳理1．双曲线定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)a PF PF 221=-（a 为常数c a <<0）的点的轨迹叫做双曲线．⑴若2a ＜21F F ，则动点P 的轨迹是双曲线．⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线（在直线F 1，F 2上）． ⑶若2a ＞21F F ，则动点P 无轨迹．(1) 渐近线方程是x aby ±= ① 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>渐近线方程：令02222=-by a x )0,0(>>b a ，即x a b y ±=; ② 渐近线是02222=-b y a x (或x aby ±=⇔0=±b y a x )的双曲线设为λ=-2222b y a x ．(λ≠0),k 是待定系数． ③（焦渐距）焦点到渐近线的距离恒为b ．(2) 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 定义式：a b =．注：①等轴双曲线的渐近线方程为：x y ±= ．②渐近线互相垂直． ③等轴双曲线可设为：)0(22≠=-λλy x ．（0>λ时焦点在x 轴，0<λ时焦点在y 轴上）(3) 离心率是22221ab ac a c e +=== （1>e ）e 越大开口越开阔；e 越小，开口越扁狭．4．双曲线系方程(1) 双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+λλb y a x （22b a <<-λ） (2) 双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程可设为λ=-2222b y a x )0(≠λ．（当0>λ时焦点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上）．分类例析一、 定义 基础练习1已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,(1)若动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;(2)若动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于8,则点P 的轨迹方程是 ;(3)动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于10, 则点P 的轨迹方程是 ;例1、已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求：（1）21PF F ∠的大小． （2）12PF F △的面积（3）若|PF 1|=9，求|PF 2|的值归纳：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． （3）焦点三角形PF 1F 2的面积是b 2 cot2α(α=21PF F ∠)； （4）变式题：若21PF F ∠是钝角时，求x 范围变式练习11（2020新课标1文11）设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A ．72B ．3C ．52D ．22（2020新课标3理11）设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ．1B ．2C ．4D ．83（2019新课标3文）10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52 C ．72 D ．924（2019新课标3理）10．双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A B C ． D ．5（2020新课标2文理9）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：2222x 1y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8 C ．16 D ．326（2018新课标1理）11．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．47（2017新课标1文）5．已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 28、P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，则2PF 的值是 ;二、 标准方程例2．（1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为9(3,2),(,5)4-，求双曲线的标准方程。

双曲线的性质及计算方法在数学领域中，双曲线是一种重要的曲线形式，具有独特的性质和计算方法。

本文将介绍双曲线的定义、性质以及一些常见的计算方法。

一、双曲线的定义和基本性质双曲线是在平面直角坐标系中定义的曲线，其定义可以通过以下方程得到：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 (当x>0时)(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1 (当y>0时)其中，a和b为正实数，分别称为双曲线的半轴长度。

双曲线有两个分支，分别位于x轴上方和下方，对称于y轴。

1.1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质使其在数学和物理的各种应用中扮演重要角色。

其中一些主要性质包括：（1）渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支趋于平行。

这两条渐近线的方程为y = (b / a) * x 和 y = -(b / a) * x。

（2）顶点：双曲线的顶点位于原点，即(0,0)。

（3）焦点：双曲线有两个焦点，分别位于曲线的两个分支与x轴的交点。

焦点到原点的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。

1.2 双曲线的方程变形通过对双曲线的方程进行一些变形和移动，可以得到不同形式的双曲线。

常见的方程变形有：（1）平移：通过加减常数的方式，可以将双曲线的位置移动到任意位置。

（2）旋转：通过变化坐标轴的方向，可以将双曲线旋转到倾斜的形态。

（3）缩放：通过乘以常数的方式，可以改变双曲线的尺寸。

二、双曲线的计算方法除了了解双曲线的性质，我们还需要了解一些常见的计算方法，以便在解决实际问题时能够应用这些方法。

2.1 双曲线的焦点和直线的关系双曲线的焦点对于计算和分析双曲线至关重要。

通过焦点和直线的关系，我们可以使用以下公式计算焦点坐标：对于双曲线的基本方程(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，焦点的坐标为(ae, 0)和(-ae, 0)，其中e为焦点到原点的距离与半轴a的比值。

§9.8 双曲线的定义及其标准方程，几何性质一．考点要求：学习目标：了解双曲线的定义；了解双曲线的标准方程；了解双曲线的几何性质。

二．知识点： 1．双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． ③不能少绝对值，没有绝对值为双曲线的一支。

2．方程(1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在 轴上；12222=-b x a y ，焦点在 轴上．其中：=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式： 。

3．双曲线的几何性质(对0,0,12222>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围 (2) 对称性(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．三．课前热身：1． 双曲线方程：221||25x y k k+=--，那么k 的范围是 。

2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________．3．已知双曲线2214x y m-=的离心率为2，则m 的值为 。

4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．5．过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于PQ 点，若PQ=7，2F 是双曲线的右焦点，则Q PF 2∆的周长是 。

6．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 。

四．典型例题：例1．根据下列条件，写出双曲线的标准方程(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．(3)与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点（23，2）。

双曲线的标准方程及其几何性质主讲教师：刘杨【知识概述】一、双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距. 二、标准方程与性质x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R对称轴：坐标轴A 1(－a,0)，A 2(a,0)y ＝±b axe ＝ca，e ∈(1，＋2叫做双曲线的实轴，它的长的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，c 2＝a 2＋b【学前诊断】1．[难度] 易双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.2．[难度] 中双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的取值范围是 ．3．[难度] 中若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为x3＋y ＝0，则此双曲线的离心率为________．【经典例题】例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(6,0)A -和(6,0)C ，若顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin A C B- =______________.例2．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A （1,4），P 是双曲线右支上的动点，则 P F P A +的最小值为________________.例3．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；(2)与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)．例4． 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．例 5．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2，且过点P (4,. （1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=； （3）求12F MF ∆的面积.【本课总结】解题技巧1．双曲线中a ，b ，c 的关系双曲线中有一个重要的Rt △OAB (如右图)，它的三边长分别是a 、b 、c .易见c 2＝a 2＋b 2，若记∠AOB ＝θ，则e ＝c a ＝1cos θ.2．双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||＝2a ，其中2a <|F 1F 2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值；(2)2a <|F 1F 2|. 这两点与椭圆的定义有本质的不同：①当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； ②当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； ③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； ④当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在． 3．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 4. 求双曲线的方程求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素(a 、b 、c 、e )之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ (λ≠0)．5．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b .6．共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线．所以与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．7．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线方程．易错防范1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．【活学活用】1．[难度] 易双曲线中心在原点，且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是 ( )A .x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y 22＝12. [难度] 中某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A (－2,23)，B ⎝⎛⎭⎫32，－5，则 ( ) A ．曲线C 可为椭圆也可为双曲线 B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆 D ．这样的曲线C 不存在 3. [难度] 中已知F 为双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．。

双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。

本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。

1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。

双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。

如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。

因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。

对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。

例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。

3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。

(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。

(3) 双曲线对称于其两条渐近线。

(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。

(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。

(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。

4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。

(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。

(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。

(4) 不同的双曲线是正交的。