离散型随机变量及其分布列测试题及答案

第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征(精练）A 夯实基础B 能力提升C 综合素养A 夯实基础一、单选题（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）1．下表是离散型随机变量X 的概率分布，则常数a 的值是（）X 3456P2a 16a +1216A ．16B ．112C ．19D ．12（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（理））2．已知随机变量X 的分布列为()24kP X k ==，2,4,5,6,7k =，则()15P X <≤等于（）A ．1124B ．712C ．23D ．1324（2022·江苏淮安·高二期末）3．已知随机变量X 满足()224E X -=，()224D X -=，下列说法正确的是（）A ．()()1,1E X D X =-=-B ．()()1,1E X D X ==C ．()()1,4E X D X =-=D ．()()1,1E X D X =-=（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）4．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为()01p p <<，实验次数为随机变量X ，若X 的数学期望() 1.39E X >，则p 的取值范围是（）A ．()0,0.6B ．()0,0.7C ．()0.6,1D ．()0.7,1（2022·安徽滁州·高二期末）5．已知随机变量X 的分布列为：X12Pab则随机变量X 的方差()D X 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））6．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c （[,,0,1)a b c ∈），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为（）A ．13B ．112C ．12D ．16（2022·山东东营·高二期末）7．设01m <<，随机变量的分布列为：ξ0m1P3a 13213a -则当m 在()0,1上增大时（）A ．()D ξ单调递增，最大值为12B ．()D ξ先增后减，最大值为13C ．()D ξ单调递减，最小值为29D ．()D ξ先减后增，最小值为16（2022·全国·高二课时练习）8．设0a >，若随机变量ζ的分布列如下表：ζ－102Pa2a3a则下列方差中最大的是（）A ．()D ζB ．()D ζC ．()21D ζ-D ．()21D ζ-二、多选题（2022·全国·高二课时练习）9．设离散型随机变量X 的概率分布列为X1-0123P110151101525则下列各式正确的是（）A ．()1.50P X ==B ．()11P X >-=C ．()2245P X <<=D ．()3010P X <=（2022·全国·高二课时练习）10．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X 为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（）A ．X 的可能取值为0，1，2，3B ．()103P X ==C ．()35E X =D ．()3275D X =三、填空题（2022·安徽·歙县教研室高二期末）11．随机变量ξ的分布列如下表，则()5()D X E X +=___________.X012p0.40.2a（2022·广东佛山·二模）12．冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛，北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合46⨯公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名.该项目每队由4人组成（2男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每圈150米），以接力队的最后一名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩.根据赛前成绩统计分析某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：X0123456>6P0.150.10.250.20.150.10.050则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为___________米.四、解答题（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）13．某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在A处投一球，以后都在B处投，已知甲同学在A处投篮的命中率为14，在B处投篮的命中率为45，求他初赛结束后所得总分X的分布列．（2022·福建省福州第二中学高二期末）14．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1 分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及期望.B能力提升（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）15．某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体，极大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了500人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)估计该度假区2000名㵀客中，消费金额低于1000元的人数；(3)为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金券（单位：元）的方案（如下表），方案A代金券金额50100概率1323方案B代金券金额0100概率1212抽奖规则如下：①消费金额低于1000元的游客按方案A抽奖一次；②消费金额不低于1000元的游客按方案B抽奖两次.记X为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求X的分布列和数学期望()E X.（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））16．2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）C 综合素养（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）17．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p 和32p -，其中304p <<.(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，求p 的值，在此基础上，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.参考答案：1．C【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a .【详解】由11112626a a ++++=，解得19a =.故选：C.2．A【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案.【详解】解：由题意得：()()()()24511152452424P X P X P X P X ++<≤==+=+===．故选:A 3．D【分析】根据方差和期望的性质即可求解.【详解】根据方差和期望的性质可得：()()()222241E X E X E X -=-+=⇒=-,()()()22441D X D X D X -==⇒=,故选：D 4．B【分析】先得到X 的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X 的数学期望，得到不等式后求解即可.【详解】由题意得，X 的所有可能取值为1,2,3，()()()()()()221,3111,1P p X p P P X p p p X p p ====---==-=-，所以()()()221213133E X p p p p p p =⨯+⨯-+⨯-=-+，令()233 1.39E X p p =-+>，解得0.7p <或 2.3p >，又因为01p <<，所以00.7p <<，即p 的取值范围是()0,0.7.故选：B 5．A【分析】由随机变量X 的分布列，求出()D X 的值，并根据二次函数的性质求出最大值．【详解】解：由题意可得1a b +=，()21E X a b b =+=+，则()()()22211]21]D X b a b b b b ⎡⎡=-+⨯+-+⨯=-+⎣⎣，当12b =，()D X 有最大值为14．故选：A ．6．B【分析】根据期望公式可得31a b +=，利用基本不等式求乘积的最大值即可.【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为3101a b c ⨯+⨯+⨯=，故31a b +=，又[,,0,1)a b c ∈，故3a b +≥，解得112ab ≤，当且仅当3a b =，即11,62a b ==时等号成立.故选：B.7．D【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.【详解】由题知1211333a a -++=，解得1a =，所以11()0333m m E ξ+=++=所以()222111111()()(1)333333m m m D m ξ+++=⨯+-⨯+-⨯222213(1)[()]9924m m m =-+=-+由二次函数性质可知，()D ξ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当12m =时，()D ξ有最小值16.故选：D 8．C【分析】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.【详解】由题意，得231a a a ++=，则16a =，所以1115()1026326E ζ=-⨯+⨯+⨯=，()11171026326E ζ=⨯+⨯+⨯=，所以22215151553()10266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2221717172910266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5353214()4369D D ζζ-==⨯=，()()292149D D ζζ-==，即()21D ζ-最大，故选：C.9．AC【分析】由分布列中的概率逐一判断即可.【详解】由概率分布列可得()1.50P X ==，故A 正确；()19111010P X >-=-=，故B 错误；()()22435P X P X <<===，故C 正确；()()110P X P X <0==-1=，故D 错误．故选：AC 10．BD【分析】由题知X 的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，进而求分布列，计算期望方差即可判断.【详解】解：根据题意，X 的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以，()0246210C C 10C 3P X ===，()1146210C C 2481C 4515P X ====，()2046210C C 622C 4515P X ====所以，X 的概率分布列为：X12P13815215所以，()8412415155E X +===，()222414842320125351551575D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，BD 选项正确，AC 选项错误.故选：BD ．11．20【分析】由概率和为1求出a ，先求出()E X 和()D X ，进而求出()51D X +.【详解】由0.40.21,0.4a a ++==得，所以()10.220.41E X =⨯+⨯=，()210.240.4 1.8E X =⨯+⨯=，()22()()(())0.8,5125()250.820D XE X E X D X D X =-=+==⨯=故答案为：2012．390【分析】先求出()E X ，再用2.6150⨯，即可求出答案.【详解】()0.10.50.60.60.50.3 2.6E X =+++++=，则2.6150390⨯=故答案为：390.13．分布列见解析.【分析】判断随机变量的可能取值，根据题意求出分布列即可.【详解】设甲同学在A 处投中的事件为A ，投不中的事件为A ，在B 处投中为事件B ，投不中为事件B ，由已知得()14P A =，()45P B =，则()34P A =，()15P B =，X 的可能取值为：0，2，3，4.所以()31130455100P X ==⨯⨯=，()3413146245545525P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()134P X ==，()34412445525P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：X234P310062514122514．(1)分布列见解析(2)分布列见解析，()0.2E Y =【分析】（1）依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列；（2）依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列及数学期望；【详解】（1）解：依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，所以(1)(10.6)0.50.2P X =-=-⨯=，(0)0.60.5(10.6)(10.5)0.5P X ==⨯+-⨯-=，(1)0.6(10.5)0.3P X ==⨯-=，所以X 的分布列为X1-01P0.20.50.3（2）解：依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，所以2(2)(1)(1)0.20.04P Y P X P X =-==-⨯=-==，(1)(1)(0)220.20.50.2P Y P X P X =-==-⨯=⨯=⨯⨯=，2(0)(1)(1)2(0)(0)20.30.20.50.37P Y P X P X P X P X ===-⨯=⨯+=⨯==⨯⨯+=，(1)(0)(1)20.30.520.3P Y P X P X ===⨯=⨯=⨯⨯=，2(2)(1)(1)0.30.09P Y P X P X ===⨯===，所以Y 的分布列为Y2-1-012P0.040.20.370.30.09所以()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=．15．(1)0.00075a =(2)1200人(3)分布列答案见解析，()90E X =【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得a 的值；（2）利用频率分布直方图计算出消费金额低于1000元的频率，再乘以2000可得结果；（3）分析可知随机变量X 的可能取值为0、50、100、200，计算出X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进一步可求得()E X 的值.【详解】（1）解：由题意可得()2000.0002520.00050.00120.001251a ⨯⨯++⨯++=，解得0.00075a =.（2）解：由频率分布直方图可知，消费金额低于1000元的频率为()2000.000250.00050.0010.001250.3⨯+++=，于是估计该度假区2000名游客中消费金额低于1000元的人数为20000.61200⨯=人.（3）解：由（2）可知，对于该度假区的任意一位游客，消费金额低于1000元的概率为35，不低于1000元的概率为25，获赠的代金券金额X 的可能取值为0、50、100、200，则()221105210P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()31150535P X ==⨯=，()21232213100C =53525P X ⎛⎫==⨯+⋅ ⎪⎝⎭，()22112005210P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X50100200P1101535110所以，()113105010020090105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)方案一：分布列见解析，数学期望为1.300；方案二：分布列见解析，数学期望为1.192；(2)选择方案一，理由见解析【分析】（1）方案一中每组的化验次数为1、11，则概率为100.997、1010.997-；方案二中每组的化验次数为1、9，则概率为80.997、810.997-.根据定义列分布列，求期望即可.（2）先求对应方案的组数，用“总化验次数=组数⨯期望”评估即可（1）设方案一中每组的化验次数为ξ，则ξ的取值为1，11，∴10(1)0.9970.970P ξ===，10(11)10.9970.030P ξ==-=，∴ξ的分布列为：ξ111P0.9700.030()10.970110.030 1.300E ξ=⨯+⨯=．设方案二中每组的化验次数为η，则η的取值为1，9，8(1)0.9970.976P η===，8(9)10.9970.024P η==-=，∴η的分布列为：η19P0.9760.024∴()10.97690.024 1.192E η=⨯+⨯=．（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，方案一的化验总次数的期望值为：200()200 1.3260E X =⨯=次．根据方案二，该社区化验分组数为250，方案二的化验总次数的期望为250()250 1.192298E η=⨯=次．∵260298<，∴方案一工作量更少．故选择方案一．17．(1)甲；(2)23p =，ξ的分布列见解析，()233144E ξ=.【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较概率的大小即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，列方程求解；先确定进入决赛的人数ξ的取值，依次求出每个ξ值所对应的概率，列出分布列，进而利用数学期望公式求解.（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：13394416P =⨯=，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：2451582P =⨯=，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：233322P p p p p ⎛⎫=⨯-=-+ ⎪⎝⎭，3043012p p ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，1324p ∴<<，23139941616P p P ⎛⎫∴=--+<= ⎪⎝⎭，12P P >，∴甲进入决赛的可能性最大；（2）由（1）知，1916P =，212P =，2332P p p =-+，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲和丙、乙和丙进入决赛，()()()1231231232911172P P P P P P P P P P ∴=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=，2229139139132911116221622162272p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯--++⨯-⨯-++-⨯⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得21827100p p -+=，解得23p =或56p =，又1324p << ，∴23p =；则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为2323253239P ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭，设进入决赛的人数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3，()91570111162972P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()91591591511111111116291629162932P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()29272P ξ==，()91553162932P ξ==⨯⨯=，∴ξ的分布列如下：ξ123P77211322972532()711295233012372327232144E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.。

22 ＝12 2 C3 离散型随机变量及其分布列课后练习题一、选择题1.解析：C 选项中，P (X ＝1)＜0 不符合 P (X ＝x i )≥0 的特点，也不符合 P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＋P (X ＝3)＝1 的特点，故 C 选项不是分布列．答案：C2.解析：由 X ＜4 知 X ＝1,2,3，3所以 P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3＝ ，解得 n ＝10.n答案：C⎛ 1⎫53.解析：∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a 1－ ⎪＝1，∴a ＝ .⎛1 5⎫a a ⎛⎝ 5⎭ 4 1⎫5 2 5∴P ＜X ＜ ⎪＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝ ＋ ＝a 1－ ⎪＝ × ＝ .⎝22⎭ 1×2 2×3 ⎝ 3⎭ 4 3 6 4.解析：由分布列的性质得0．5＋1－2q＋q 2＝1，整理得 q 2－2q ＋0.5＝0，解得 q ＝1± ，又 0≤1－2q ≤1,0≤q 2≤1，所以 q 2答案：D12 2(a + b )215.解析：由分布列的性质可知a + b = ，而a + b 2≥= .故选 C.28答案：C二、填空题6.解析：由离散型随机变量的分布列的性质可求得 P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故 X 取奇数值时的概率为 P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 答案：0.6C 2 C 1C 17.解析：当有 0 个红球时，P (X ＝0)＝ 2＝0.1；当有 1 个红球时，P (X ＝1)＝ 2 ＝0.6；当 C 5 C 5 23 有 2 个红球时，P (X ＝2)＝ 2＝0.3. C 5答案：78.解析：设二级品有 k 个，∴一级品有 2k 个，三级品有 个，总数为 k 个．2 2∴分布列为⎛1 5⎫ 4P ≤ξ ≤ ⎪＝P(ξ ＝1)＝.⎝3 3⎭74答案：7三、解答题19.解：(1)由a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1 得a＝.15k 1(2)因为分布列为P(X＝ )＝k(k＝1、2、3、4、5)5 153 34 3 45 4解法一：P(X≥ )＝P(X＝ )＋P(X＝ )＋P(X＝1)＝＋＋＝ .5 5 5 15 15 15 53 1 2 1 2 4解法二：P(X≥ )＝1－[P(X＝ )＋P(X＝ )]＝1－[ ＋]＝ .5 5 5 15 15 51 7 123 1 7 1 2 3 (3)因为<X< ，只有X＝、、时满足，故P( <X< )＝P(X＝ )＋P(X＝ )＋P(X＝ )10 10 5 5 5 10 10 5 5 51 2 3 2＝＋＋＝ .15 15 15 510.解：依题意，η的可能取值是 5,6,7,8,9,10,11.1 1则有P(η＝5)＝＝，4×4162 1 3P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，16 8 164 1 3P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，16 4 162 1 1P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝.16 8 16所以η 的分布列为。

一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。

高二理科数学测试题(9-28)1.每次试验的成功率为(01)p p <<,重复进行10次试验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( )()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试,已知某同学每次投篮投中的概率为0、6,且各次投篮就是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )(A)0、648 (B)0、432 (C)0、36(D)0、3123.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为( )()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C4.某地区气象台统计,该地区下雨的概率就是154,刮三级以上风的概率为152,既刮风又下雨的概率为101,则在下雨天里,刮风的概率为( )A 、2258B 、21 C 、83D 、435.从4名男生与2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P (ξ≤1)等于( ).A 、15B 、25C 、35D 、456.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则==)12(ξP ( )A 、2101012)85()83(⋅CB 、83)85()83(29911⨯C C 、29911)83()85(⋅CD 、 29911)85()83(⋅C7.袋中有5个球,3个白球,2个黑球,现每次取一个,无放回地抽取两次,第二次抽到白球的概率为( )A 、53 B 、43 C 、21 D 、1038.6位同学参加百米短跑初赛,赛场有6条跑道,已知甲同学排在第一跑道,则乙同学排在第二跑道的概率( )A.52 B 、51 C 、92 D 、 739.一个袋中有9张标有1,2,3,…,9的票,从中依次取两张,则在第一张就是奇数的条件下第二张也就是奇数的概率( )A 、52 B 、51 C 、21 D 、 7310、位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上向右的概率都就是21,质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率就是( )A 、3)21(B 、525)21(C C 、335)21(CD 、53525)21(C C11、若样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,10x 的标准差为8,则数据121x -,221x -,⋅⋅⋅,1021x -的标准差为( )(A)8 (B)15 (C)16 (D)3212、设某项试验的成功率就是失败率的2倍,用随机变量ξ描述一次试验的成功次数,则)0(=ξP 等于( )A 、0B 、 21C 、 31D 、32解答题13.种植某种树苗,成活率为90%,现在种植这种树苗5棵,试求: ⑴全部成活的概率; ⑵全部死亡的概率; ⑶恰好成活3棵的概率; ⑷至少成活4棵的概率14.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概率分别为12,13,23、(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列;(2)若球队获得冠军,则给其所在学校加5分,否则加2分,求该高中得分η的分布列.15、实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率; (2)求按比赛规则甲获胜的概率.16、某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱与装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都就是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖、(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ,求X 的分布列、1--5:CAACD 6-12: BABCB CC13. ⑴5550.90.59049C =; ⑵5550.10.00001C =;⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=; ⑷()()55450.91854P P P =+=14.解 (1)∵X 的可能取值为0,1,2,3,取相应值的概率分别为 ∴X 的分布列为(2)∵得分η＝5X ＋∵X 的可能取值为0,1,2,3、∴η的可能取值为6,9,12,15,取相应值的概率分别为 P (η＝6)＝P (X ＝0)＝19,P (η＝9)＝P (X ＝1)＝718, P (η＝12)＝P (X ＝2)＝718,P (η＝15)＝P (X ＝3)＝19、∴得分η的分布列为15.解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为2,乙获胜的概率为12. 记事件A =“甲打完3局才能取胜”,记事件B =“甲打完4局才能取胜”, 记事件C =“甲打完5局才能取胜”.①甲打完3局取胜,相当于进行3次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==. ②甲打完4局才能取胜,相当于进行4次独立重复试验,且甲第4局比赛取胜,前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=. ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验,且甲第5局比赛取胜,前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=. (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”,则D A B C =++, 又因为事件A 、B 、C 彼此互斥,故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=. 16、(1):107。

离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D . X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξA.4.06.01⨯-k B.76.024.01⨯-k C.6.04.01⨯-k D.24.076.01⨯-k3、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6 C . 10 D. 无法确定4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点 D . 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的6. 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3 B .5 C.6 D.107.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C .127 D.65 8.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ）A.21B.91C. 61D.51 9.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .10.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)21( B .525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432 D .0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027C ．516 D ．1024312.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A9160 B 21 C 185 D 2169113.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 14.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 15.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 16. .已知随机变量ξ的分布列为：若12)(2=<x P ξ，则实数x 的取值范围是（ ）A.94≤<xB.94<≤xC.94≥<x x 或D.94>≤x x 或17. 12.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ）A.2101012)85()83(⋅C B .83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C18. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475二、填空题：19.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____20. 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）21.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 ①③ __（写出所有正确结论的序号）. 22.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ;4()m n m -三、解答题：23、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．24.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？24.（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．25. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.•（1）X 的分布列为P （X=k ）=·，k=0，1，2，3，4，5，6.（2）Y 的概率分布为：Y 0 1 2 3P·· ·Y 4 5 6P··（3）0.912 解析:（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故X～B（6，）， 2分所以X的分布列为P（X=k）=·，k=0，1，2，3，4，5，6. 5分（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P（Y=k）=·（k=0，1，2，3，4，5），而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P（Y=6）=.8分因此Y的概率分布为：Y 0 1 2 3P···Y 4 5 6P··12分（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或…或X=6}， 14分 所以其概率为P （X≥1）==1-=≈0.912. 16分20．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .22．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题： 18、 20三、解答题：18、解：设黄球的个数为n ，由题意知 绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X 24 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 4181 161 ．．． n 21 ．．．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为： X 1 2 P3414。

离散型变量强化1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A.2258 B.21 C.83 D.43 5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(⋅C B.83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C 7．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 1038．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率（ ） A 52 B.51 C.92 D. 73 9．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7310.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ）A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 11.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）3212.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ） B. 21 C. 31 D.32 解答题13．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率14．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．15.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）求按比赛规则甲获胜的概率．16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列.。

离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X 、Y 、ξ、η…表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式P(X ＝x i )＝pi ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．X x 1x 2…x i …x nPp 1P 2…p i …p n三、离散型随机变量分布列的性质：1.i P ≥0，i ＝1,2，…，n ；211ni i p ==∑.四、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布X 01P 1－p p如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p ＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k}发生的概率为(),0,1,2,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== .其中m ＝min{M ，n}，且n≤N ，M≤N ，n ，M ，N ∈N*.称分布列X 01…mP00n M N Mn NC C C --11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．例1：设随机变量X 的分布列如下：则p 为()X 1234P 161316pA.16B.13C.23D.12解：由16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是()A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另一颗是3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解：X ＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．例3：若随机变量X 的分布列P (x ＝i )＝i2a(i ＝1、2、3)，则P (x ＝2)＝()A.19B.16C.13D.14解：由12a ＋22a ＋32a ＝62a ＝1，得a ＝3.∴P (x ＝2)＝22×3＝13.＝0.3，那么n ＝________.解：1n×3＝0.3，∴n ＝10.例5：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为X 012P解：P (X ＝0)＝1C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310.1．对随机变量的理解(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．分布列正误的检验方法对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法．例6：设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －101P 121－2q q 2则q 等于()A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22解：由分布列的性质知1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22.ξ123…nP k n k n k n …k n则k 的值为()A.12B ．1C ．2D ．3解：由k n ＋k n ＋…＋kn＝1，∴k ＝1.ξ－2－10123P112312412112212112若P (ξ2<x )＝1112，则实数x 的取值范围是__________．解：由P (ξ2<x )＝1112且结合分布列得4<x ≤9.i i ＝1,2….2．P 1＋P 2＋…＋P n ＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性，或者用来计算随机变量取某些值的概率.例9：某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．解：X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P (X ＝i )＝C i 4C 4－i4C 48(i ＝0,1,2,3,4)，即X 01234P170167036701670170例10：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球解：得分ξ的取值为－3，－2，－1,0,1,2,3.ξ＝－3时表示取得3个球均为红球，∴P (ξ＝－3)＝C 33C 311＝1165.ξ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P (ξ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝－1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球．∴P (ξ＝－1)＝C 23C 13＋C 13C 25C 311＝1355.ξ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P (ξ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13.ξ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P (ξ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355.ξ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P (ξ＝2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝3时表示取得3个白球，∴P (ξ＝3)＝C 33C 311＝1165.∴所求概率分布列为：ξ－3－2－10123P116511113551313551111165例11：在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；(2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．解：(1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为X 1234P4311831831131解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P ＝C 25C 14C 39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 39＝542，P (ξ＝1)＝C 25C 14C 39＝1021，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.∴ξ的分布列为ξ0123P5421021514121解：由题意知η可取3,2,1,0即当η＝3时，ξ＝0.η＝2时，ξ＝1.η＝1时，ξ＝2.η＝0时，ξ＝3.∴η的分布列为η3210P5421021514121例13：第:31届奥林匹克夏季运动会于2016年8月5日至21日在里约热内卢举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎如图(单位：cm)：若身高在175cm 以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以抽中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为ξ0123P145528551255155胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F 、E 、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此p (ξ＝0)＝P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (DE F )＋P (DEF )＋P (D EF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0123P0.10.350.40.15因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.离散型随机变量及其分布列训练题1一、选择题1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A. B.C.D.2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤53．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12＜X ＜52)的值为()A.23B.34C.45D.564．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为()A.1220 B.2755 C.27220 D.21255．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是()A ．P (ξ＝3)B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)二、填空题6．随机变量X 的分布列如下：X －101P a b c 其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______.7．设随机变量X 只能取5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率相同，则P (X ＞8)＝________，P (6＜X ≤14)＝________.三、解答题8．口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .若P (X ＝2)＝730，求：(1)n 的值；(2)X 的分布列．X 012P0.30.40.5X 012P0.3－0.10.8X1234P0.20.50.3X 012P1727379．一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是23，试验不成功的概率都是13.甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，且每次试验相互独立．(1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；(2)记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X ，求X 的分布列．10．在某射击比赛中，比赛规则如下：每位选手最多射击3次，射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i (i ＝1,2,3)次射击时击中目标得4－i 分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．(1)求甲恰好射击两次的概率；(2)设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列．1.C2.C3.解析：由(11×2＋12×3＋13×4＋14×5)×a ＝1.知45a ＝1∴a ＝54.故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.答案：D4.解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C5.解析：由超几何分布知P (ξ＝2)＝n －m A 2mA 3n答案：D6.解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案：237.解析：P (X ＞8)＝23，P (6＜X ≤14)＝23.答案：23238.解：(1)由P (X ＝2)＝730知C 13C 1n ＋3×C 1n C 1n ＋2＝730，∴90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)．∴n ＝7.(2)X ＝1,2,3,4且P (X ＝1)＝710，P (X ＝2)＝730，P (X ＝3)＝7120，P (X ＝4)＝1120.∴X 的分布列为X 1234P710730712011209.解：(1)记事件“一次试验中，选择第i 套方案并试验成功”为A i ，i ＝1,2，则P (A i )＝1C 12×23＝13.3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率P ＝P (A 1·A 1·A 1＋A 2·A 2·A 2)＝313⎛⎫ ⎪⎝⎭＋313⎛⎫ ⎪⎝⎭＝227.(2)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则X ～B (3，23)，P (X ＝k )＝C k 3313k-⎛⎫ ⎪⎝⎭23k⎛⎫⎪⎝⎭，k ＝0,1,2,3.X 的分布列为X 0123P127294982710.解：(1)记“选手甲第i 次击中目标的事件”为A i (i ＝1,2,3)，则P (A i )＝0.8，P (A i )＝0.2，依题意可知：A i 与A j (i ，j ＝1,2,3，i ≠j )相互独立，所求的概率为P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.8×0.2＝0.16.(2)ξ的可能取值为0,3,5,6.P (ξ＝0)＝0.2，P (ξ＝3)＝0.8×0.2＝0.16，P (ξ＝5)＝0.82×0.2＝0.128，P (ξ＝6)＝0.83＝0.512.所以ξ的分布列为：ξ0356P 0.20.160.1280.512【参考答案】离散型随机变量及其分布列训练题2一．选择题（共15小题）1．设随机变量ξ的分布列由，则a 的值为（）A ．1B ．C ．D ．2．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P （X ＜4）=0.3，那么（）A ．n=3B ．n=4C ．n=10D ．n=93．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值（）A ．0，1B ．1，2C ．0，1，2D ．0，1，2，35．设离散型随机变量X 的概率分布如表：则随机变量X 的数学期望为（）A ．B ．C ．D ．6．设随机变量X 的概率分布列为X 1234P m则P （|X ﹣3|=1）=（）A ．B ．C ．D ．7．设随机变量X 的概率分布如右下，则P （X≥0）=（）X ﹣101P p A ．B ．C ．D ．8．随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=，k=1，2，3，其中c 为常数，则P （ξ≥2）等于（）A ．B ．C ．D ．9．两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为x 012p那么这两人通过考试的概率最小值为（）A ．B ．C ．D ．10．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P （X ），则P （X=4）的值为（）A ．B ．C ．D ．ζ﹣101P 0.30.40.4ζ123P 0.40.7﹣0.1ζ﹣101P0.30.40.3ζ123P0.30.40.4X123P ip11．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率12．已知随机变量ξ～B（9，）则使P（ξ=k）取得最大值的k值为（）A．2B．3C．4D．513．设随机变量的ξ的分布列为P（ξ=k）=（k=1，2，3，4，5，6），则P（1.5＜ξ＜3.5）=（）A．B．C．D．14．已知随机变量X的分布列为：P（X=k）=，k=1，2，…，则P（2＜X≤4）等于（）A．B．C．D．15．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是（）A．取到红球的次数B．取到白球的次数C．2次取到的红球总数D．取球的总次数二．填空题（共5小题）16．设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣101P0.5q2则q=．17．设随机变量X的分布列为P（X=i）=，i=1，2，3，则P（X=2）=．18．随机变量X的分布列为X x1x2x3P p1p2p3若p1，p2，p3成等差数列，则公差d的取值范围是．19．设随机变量X的概率分布为P（X=2k）=ak（a为常数，k=1，2，3，4，5），则P（X＞6）=．20．（2014•嘉定区校级模拟）己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m 个红球与10﹣m个白球，盒子B中有10﹣m个红球与m个白球（0＜m＜10）．分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数，表中表示的是随机变量ξ的分布列则当m为时，D（ξ）取到最小值．ξ012P？三．解答题（共8小题）21．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．22．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．23．2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．24．在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．（1）求选出的4人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．月收入（百元）赞成人数[15，25）8[25，35）7[35，45）10[45，55）6[55，65）2[65，75）1科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计391225．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．26．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．一．选择题（共15小题）1．D；2．C；3．C；4．C；5．C；6．B；7．C；8．C；9．B；10．C；11．B；12．A；13．A；14．A；15．D；二．填空题（共5小题）16．；17．；18．[-，]；19．；20．1或9；三．解答题（共8小题）21.解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．22.解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示（2）平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，在[60，80）的有0.45×60=27人，在[80，100）的有0.3×60=18人，ξ的可能取值是0，1，2，3，4则，，，，所以ξ的分布列为：∴23.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10=43.5（百元）（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的有2人．则X的所有取值可能为0，1，2，3.，，P （X=2）=+，．∴随机变量X 的分布列为∴E （X ）==1．24.解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B ，由于事件A 、B 相互独立，且P （A ）=，P （B ）=，所以选出的4人均选科目乙的概率为：P （A •B ）=P （A ）•P （B ）=；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，则P （ξ=0）=，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=，ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=1．25.解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P （ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；P （ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P （ξ=2）=++=；P （ξ=3）==；P （ξ=4）==．∴ξ的分布列为：ξ01234PE ξ=0×+1×+2×+3×+4×=．26.（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+++=16个，则A 事件包含基本事件的个数为=6个，则P （A ）==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为，（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，，，，．所以，随机变量X 的分布列为：X 0123P （X ）X 05101520P。

《离散型随机变量分布列》训练题1.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【解析】（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110. （Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ()24!205!5P X ⨯===，()323!315!10P X ⨯⨯===， ()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. 随机变量因为 01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以 随机变量X 的数学期望为1. 2. 某旅行社组织了一个有36名游客的旅游团到安徽风景名胜地旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有13玩过黄山，在省内游客中有23玩过黄山。

（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1名 省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人的概率；（2）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中省内游客玩过黄山的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望.E ξ【解析】（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山.设事件B 为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”.事件1A 为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件2A 为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”. 则12()()()P B P A P A =+121119219621333636C C C C C C C =+ 92734170=+3685=所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”的概率是3685.……6分3.佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ（单位：月）服从正态分布2(,)N μσ，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.（1）求这种灯管的平均使用寿命μ；（2）假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.【解析】（1）∵2(,)N ξμσ ，(12)0.8P ξ≥=，(24)0.2P ξ≥=，∴(12)0.2P ξ<=，显然(12)(24)P P ξξ<=>……3分由正态分布密度函数的对称性可知，1224182μ+==， 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月；………5分（2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为10.80.2-=………6分假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则(4,0.2)B η ，……10分故至少两支灯管需要更换的概率1(0)(1)P P P ηη=-=-=0413********.80.80.2625C C =--⨯=（写成≈0.18也可以）……13分4.张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个时段，每个时段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟。