山西太原市第五中学高一3月第二次周练数学试题无答案

太原五中2014-2015学年度第二学期阶段性检测高 一 数 学一、选择题（每小题3分,共36分,每小题只有一个正确答案） 1.若sinαtanα>0，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限 2. cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝( )A.12B.32C.33 D. 33. 如图，在正六边形ABCDEF 中，点Ou.c.o.（ ） A ．AB OC =u u u r u u u rB ．AB u u u r ∥DE u u u rC ．AD BE =u u u r u u u rD ． AD FC =u u u r u u u r4. 函数y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 5. 下列四式不能化简为的是( ) A.( AB +)+ B.( AD +MB )+( +CM ) C. MB +AD -BMD. -+6. 为了得到函数2sin(2)6y x π=+的图象，只需把函数2sin y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） Ｂ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）Ｃ．各点纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向左平移12π个单位长度Ｄ．各点纵坐标不变、横坐标变为原来的12倍，再把所得图象向左平移6π个单位长度7. 若P 为△ABC 所在平面内的一点，满足 AB PC PB PA =++，则点P 的位置为( ) A ．P 在△ABC 的内部 B ．P 在△ABC 的外部BC ．P 在AB 边所在的直线上D ．P 在AC 边所在的直线上8. 函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为 （ ）A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y9．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2sin13°cos13°，c ＝1－cos50°2，则有( ) A ．a>b>c B ．a<b<c C ．b<c<a D ．a<c<b10.已知θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是( )A.－3B.3或13C.－13D.－3或－1311. F E ,是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则=∠ECF tan （ ）A . 2716B . 32C . 33D . 4312.已知函数x x x f ωωcos sin )(+=，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ， 都有)2015()()(11+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小正值为（ ）A ．20151B ． 2015πC ．40301D ．4030π二、填空题（每小题4分，共16分） 13.在ABC ∆中，A A sin 3cos =,则=A ______.14. 3==OB OA ，ο60=∠AOB ,=+OB OA ______.15. (1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.16. 若函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －34π，有下列结论： ①函数f(x)的图像关于点)0,127(π对称；②函数f(x)的图像关于直线π125=x 对称；③ 在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，512π为单调增函数． 则上述结论题正确的是 ．（填相应结论对应的序号）三、解答题（共48分，每题12分）17.(1) 已知,1312)4sin(,53)sin(),,43(,=--=+∈πββαππβα求)4cos(πα+的值.(2)求)10tan 31(50sin οο+的值. 18. 已知()πβα,0∈、,且βαtan tan 、是方程25360x x ++=的两根.(Ⅰ)求βα+的值. (Ⅱ)求()βα-cos 的值.19.已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x=+．（I ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． （II ）设x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．20.如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，记∠COA ＝α.若点A 的坐标为(35，45)，求cos2α的值；（2）分别过A,B 作x 轴的垂线,垂足为D,E,求当角α为何值时,三角形AED 面积最大?并求出这个最大面积.一、选择题：二、填空题：13、 ο30 14、 33 15、 2 16、 ① ② ③17.解：(1)∵,1312)4sin(,53)sin(),,43(,=--=+∈πββαππβα∴3(,2),2παβπ+∈ 。

太原五中2016—2017学年度第二学期阶段性检测高 一 数 学命题、校对：王志军、褚晓勇 时间：2017.3一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. cos )413(π-的值为( ) A.22-B.22 C.23- D.23 2. 若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 ( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜03.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③|)22sin(|π+=x y ,④||tan x y =中，最小正周期为π的所有偶 函数为( )A.①②B. ①②③C. ②④D. ①③4.如图所示，函数y x x =cos |tan |（230π≤≤x 且2π≠x ）的图象是（ ）5.sin 7cos37sin83cos53-的值为 （ ）A ．21-B ．21C ．23D ．－236. 由函数)(,)62cos()(2sin )(x f x x g x x f 需要将的图象的图象得到π-==的图象（）A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位7. 若sin )6(απ+＝35，则cos )-3(απ＝( )A ．－35B. 35C. 45 D ．－458. 已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角)2,0(π的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．89 . 已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( ) A.75 B.725 C.257 D.242510. 设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ))2|(|πϕ<，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在)2,0(π上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在)2,0(π上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在)4,0(π上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在)4,0(π上为减函数11 .设)4,0(),2,0(πβπα∈∈，且ββββαsin cos sin cos tan -+=，则下列正确的是（ ）A.42πβα=-B. 42πβα=+ C. 4πβα=- D.4πβα=+12．定义在R 上的周期为2的函数，满足)2()2(x f x f -=+，在]2,3[--上是减函数， 若B A ,是锐角三角形的两个内角，则（ ） A. )(cos )(sin B f A f > B. )(sin )(cos A f B f > C. )sin ()(sin B f A f > D. )(cos )(cos A f B f >二、填空题:（本题共4小题，每小题4分，共16分）13. 已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为14.函数)2sin()(ϕ+-=x x f ，)0(πϕ<<图象的一个对称中心为)0,3(π，则ϕ=15.2050sin 110sin 310cos -+＝_______．16.若关于x 的函数()222sin 4(0)2cos tx x xf x t x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=≠+的最大值为a ， 最小值为b ，且2a b += ，则实数t 的值为 .三、解答题:本题共4小题，每小题12分，共48分 17. 函数 f (x )＝Acos (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )，其部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈]0[π，时，求f (x )的取值范围．18.已知)2,0(πα∈,)2(ππβ，∈且53)sin(=+βα,5cos 13β=-，求αsin 的值.19.已知2)4tan(=+πα，21tan =β (1)求值αtan (2)求值)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+20.已知函数)3sin(2)2cos(2)(x x x f ωπωπ-+-=(ω＞0，R x ∈)，若f )6(π＋f )2(π＝0，且f (x )在区间)26(ππ，上递减.(1)求)0(f 的值； (2)求ω； (3)解不等式1)(≥x f .。

2021届山西省太原市第五中学高三下学期二模数学（理）试题一、单选题1．设集合{}220M x x x =-≥，{}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a < B ．2a > C ．2a ≥ D ．2a ≤【答案】B【分析】求得集合M ，根据M N ⊆求得实数a 的取值范围. 【详解】()[]2220220,0,2x x x x x x M -≥⇔-=-≤=，由于{}N x x a =<，M N ⊆， 所以2a >. 故选：B2．若复数z 满足：3321iz i i-+=+（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A ．2i -B ．2+iC ．23i -D ．2+3i【答案】D【分析】求得z ，由此求得z .【详解】()()()()31342221112i i i iz i i i i i +-+-+====-++-， 所以23,23z i z i =-=+. 故选：D3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.【解析】函数的图象与性质．4．如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,且1λμ≥≥,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：设向量(,)OC x y =.因为向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,所以33x y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，所以3838y x x yλμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩1λμ≥≥,所以3388318x y y xy x --⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，即380x y x y ≥⎧⎨-+≤⎩，即D 选项的形式.故选D. 【解析】1.向量的加减法.2.向量的基本定理.3.分类探索的思想. 5．为了得到函数()11sin cos 33f x x x =+的图象，可以将函数()12cos 3g x x =的图象（ ）A ．向右平移34π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移34π个单位长度 D ．向左平移4π个单位长度 【答案】A【分析】通过辅助角公式化简，利用三角函数平移判断即可． 【详解】()11113sin cos 333434f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A.6．在等差数列{}n a 中，11826a a =+，则267a a a ++=（ ） A ．18- B ．6-C ．8D ．12【答案】A【分析】求出56a =-，利用等差数列的通项公式可求得267a a a ++的值. 【详解】118115266a a a a =+=++，所以，56a =-，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()()111126575634318a d a d a a a a d a d a =++++=+=+=-++.故选：A.7．在2122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，21x 的系数是14，则2x 的系数是（ ） A ．28 B ．56C ．112D ．224【答案】D 【分析】根据21x的系数求得1256n n C +=，由此求得2x 的系数. 【详解】2122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()2222222222n rrrn r r n rn n C x x C x----⋅⋅=⋅⋅， 令222,1n r r n -=-=+，故()2211122214,56n n n n n n C C -+++⋅==， 令222,1n r r n -==-，故()221111222244456224n n n n n n n n C C C ----+⋅=⋅==⨯=. 故选：D8．地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M 用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：maxlgA M A =（其中常数0A 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；max A 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E 是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． 4.8 1.51010M E =⨯（单位：焦耳），其中M 为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ） A ．2A B ．10AC ．100AD ．1000A【答案】C【分析】设甲地地震震级为1M ，乙地地震震级为2M ，首先根据题意求得122M M -=，代入里氏震级的计算公式为：maxlgA M A =求出max 100A A =即可. 【详解】设甲地地震震级为1M ，乙地地震震级为2M ， 因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，所以11221.54.8 1.5()31.54.8101010101010M M M M -⨯==⨯,故122M M -=， 又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A 因为max 0lgA M A =，所以max max 1200lg lg lg 2A A AM M A A A -=-==， 解得：max 100A A =，甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为max 100A A =. 故选：C.【点睛】本题主要考查指数对数的运算，掌握指对数的运算规则是高中数学的最基本的要求，需要熟练掌握，是解决问题必要的技能.9．A 同学和B 同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A 同学每局获胜的概率均为23，且每局比赛相互独立，则在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜的概率是（ ） A ．34B ．89C ．79D ．56【答案】B【分析】先分析A 最终能获胜有两种情况，分别计算概率，再相加即得结果. 【详解】在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜有两种情况： （1）第二局甲再次取胜，概率为23； （2）第二局甲败，第三局甲胜，概率为122339⨯=， 故A 最终能获胜的概率为228399+=. 故选：B.【点睛】方法点睛:计算条件概率通常有两种方法; (1)利用条件概率公式()()()P AB P A B P B =；(2)在事件B 已经发生的前提下，相当于缩小了总事件的空间容量，再计算()()()n AB P A B n B =，或利用独立关系直接计算事件B 发生后的概率情况.10．已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111D C B A ，若底面ABCD 与截面1111D C B A 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．203πC ．4πD ．43π 【答案】A【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面P AC 是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O ，在两个直角三角形△OAM ，△A 1ON 利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R ，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥P ﹣ABCD ，所以底面是正方形，结合高为2，AB = 设底面对角线交点为M ，所以AC ＝4，AM ＝2，故PM ＝AM ＝CM ＝2， 所以△P AC 是等腰直角三角形.因为截面A 1B 1C 1D 1过PM 的中点N ，所以N 为截面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，且PM ⊥截面A 1B 1C 1D 1.∴PN ＝MN ＝A 1N ＝1，设球心为O ，球的半径为R ，则A 1O ＝AO ＝R .在直角三角形A 1ON 中，222111ON A AO N R =-=-， ∴2111OM ON R =-=--.在直角三角形AOM 中，OA 2＝AM 2+OM 2，即2224(11)R R =+--， 解得R 2＝5，故S ＝4πR 2＝20π. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R 的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.11．在ABC 中，D 是BC 的中点，已知2AD =，22AC =3cos 4B =，则ABC 的面积为（ ）A ．3B 5C 6D 7【答案】D【分析】设AB c =，BC a =，在ABC 和ABD △中利用余弦定理可求出,a c ，即可求出面积.【详解】设AB c =，BC a =， 在ABC 中，222cos 8+-=a c ac B ，在ABD △中，222cos 222⎛⎫+-⋅⋅= ⎪⎝⎭a a c c B ， 解得4a =，2c =， ∴1sin 72==ABC S ac B △故选：D.12．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ，已知O 为坐标原点，若OAB ∆的内切圆的半径为312a -，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．233B ．31+C ．433D ．233或2 【答案】D【分析】分,A B 在y 轴同侧和,A B 在y 轴异侧两种情况进行求解：不妨设A 在第一象限，根据题意作出图形，利用图形中的几何关系求出tan bAOF a=∠的值，再由离心率21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求解即可.【详解】有两种情况：（1）若,A B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限.如图，设OAB ∆内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上， 过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，利用点到直线的距离公式可得，焦点F 到渐近线by x a=的距离为21b c a FA b b a ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又||OF c =，所以||OA a =，又31||||2NA MN a -==， 所以33||2NO a -=， 所以||3tan ||3b MN AOF a NO =∠==， 从而可得离心率22313b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）若,A B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限如图，易知||FA b =，||OF c =，||OA a =， 因为OAB ∆的内切圆半径为||||||312AB OA OB +--=，所以||||23OB AB a a -=， 又因为222||||OB AB a =+， 所以||3AB a =，||2OB a =， 所以60BOA ∠=︒，60AOF ∠=︒， 则tan 603ba=︒= 从而可得离心率212b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 综上，双曲线C 的离心率为33或2. 故选：D【点睛】本题考查利用双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系求离心率；考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力；利用数形结合思想，正确求解图形中的几何关系和线段长度是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点()2,4P ，则该抛物线的方程是______.【答案】28y x =【分析】分析可知，抛物线的焦点在x 轴上，可设抛物线的方程为2y mx =，将点P 的坐标代入抛物线方程，求出m 的值，即可得出抛物线的方程.【详解】由题意可知，抛物线的焦点在x 轴上，可设抛物线的方程为2y mx =， 将点P 的坐标代入抛物线方程，可得216m =，解得8m =， 因此，该抛物线的方程为28y x =. 故答案为：28y x =.14．在某市2020年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布()98,100N .已知参加本次考试的全市理科学生约100000人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第______名.（参考数值：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=）【答案】15870【分析】分析可得108μσ=+，计算得出()P X μσ≥+的概率，乘以100000可得结果. 【详解】考试的成绩X 服从正态分布()98,100N ，所以，98μ=，10σ=，所以，108μσ=+，则()()()11080.15872P X X P X P μσμσμσ-≥=≥+==-<≤+，数学成绩为108分的学生大约排在全市第1000000.158715870⨯=名. 故答案为：15870.15．已知函数()2,01ln ,1x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩，若存在实数1x ，2x 满足120x x ≤<，且()()12f x f x =，则214x x -的最小值为________．【答案】22ln 2-【分析】作出()f x 的图象，由()()12f x f x =，可知122ln x x =，从而212242ln x x x x -=-，221e x <≤，构造函数()()22ln 1e g t t t t =-<≤，求出最小值即可.【详解】作出()f x 的图象，如下图所示，当01x ≤≤时，()[]0,2f x ∈；当1x >时，()()0,f x ∈+∞， 因为()()12f x f x =，所以122ln x x =， 令ln 2x =，得2e x =，则221e x <≤，故212242ln x x x x -=-，令()()22ln 1e g t t t t =-<≤．则()221t g t t t-'=-=，易知函数()2ln g t t t =-在(]1,2上单调递减，在(22,e ⎤⎦上单调递增，所以()()min 222ln2g t g ==-． 故答案为：22ln 2-.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数单调性及最值的应用，利用构造函数是解决本题的关键，属于中档题.三、双空题16．任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的所有可能取值组成的集合为________．【答案】5 {}4,5,32【分析】根据“冰雹猜想”进行计算，由此确定正确结论.【详解】5m =时，各步的结果为168421→→→→，即5次步骤后变成1.4m =时，各步的结果为21421→→→→，即5次步骤后变成1. 32m =时，各步的结果为168421→→→→，即5次步骤后变成1.其它正整数不符合题意，故若第5次步骤后变成1，则m 的所有可能取值组成的集合为{}4,5,32.故答案为：5；{}4,5,32四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，39S =.数列{}n b 满足121221n n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证163n T <. 【答案】（1）21n a n =-，11,1321,22n n n b n n -⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩；（2）证明见解析.【分析】（1）设数列{}n a 公差为d ，求出d 的值，可得出数列{}n a 的通项公式，令1n =可求得1b 的值，令2n ≥，由121221n n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=+可得111212121n n n a a a b b b ---++⋅⋅⋅+=+，两式作差可得n b 的表达式，再验证1b 是否满足()2n b n ≥的表达式，由此可得出数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求出n T ，即可证得163n T <. 【详解】（1）设数列{}n a 公差为d ，由题可知：1131113392a a S a d d ==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩，21n a n ∴=-，当1n =时，113a b =，113b ∴=； 当2n ≥时，由121221nn n a a a b b b ++⋅⋅⋅+=+可得111212121n n n a a a b b b ---++⋅⋅⋅+=+， 两式作差得()1121212n n n n n a b --=+-+=，所以，112122n n n n a n b ---==. 113b =不满足1212n n n b --=，11,1321,22n n n b n n -⎧=⎪⎪∴=⎨-⎪≥⎪⎩；（2）32112135213222n n n T b b b n b --=++++⋅=++⋅⋅⋅+⋅⋅+， 21113232126222n n n n n T ---∴=++⋅⋅⋅++， 22311111522221521823221232222323212n n n n n nn n n T --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭∴=++++-=+-=--， 1162316323n n n T -+∴=-<. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 18．叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.【答案】答案见解析.【分析】（1）根据定理叙述即可，再将文字语言转化为符号语言，并论证即可； （2）写出符号语言，并根据面面垂直的性质定理证明即可.【详解】（1）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.如图，已知αβ⊥，CD αβ=，AB α⊂，AB CD ⊥于点B ，求证：AB β⊥.证明：在β内引直线BE CD ⊥， 则ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角. 由αβ⊥可知：AB BE ⊥又AB CD ⊥，BE β⊂，CD β⊂，BE CD B ⋂= AB β∴⊥（2）已知αβ⊥，βγ⊥，γα⊥，a αβ⋂=，b βγ=，c αγ⋂=，求证：a b ⊥，a c ⊥，bc ⊥.证明：如图，在γ内任取一点(,)P P b P c ∉∉， 过P 在γ内作PA c ⊥于A ，PB b ⊥于B 由上述定理可知：PA PA a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭，PB PB a a ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭，PA γ⊂，PB γ⊂，PA PB P = a γ∴⊥a c ∴⊥，ab ⊥同理可得b c ⊥.【点睛】本题考查面面垂直的性质，线线垂直的证明，考查逻辑推理能力，运算求解能力，空间想象能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练掌握面面垂直的性质定理，并能够证明.这要求考生需要注重教材结论的识记与证明.19．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量.最近，某研究性学习小组就是否观过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查，调查数据如表（单位：人）.是否合计青年401050中年302050合计7030100（1）是否有95%的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的概率；（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中.n a b c d=+++()2P K k≥0.0500.0100.001 0k 3.841 6.63510.828【答案】（1）有；（2）710；（3）数学期望为7，方差为2.1. 【分析】（1）由公式计算2K 可得结论；（2）从样本的中年人中按分层抽样方法求得观看过电影和没观看过的人数，由古典概率公式分别求得抽取的3人中有2人和有3人观看过电影的概率，再由概率加法公式求得答案；（3）由题意知，观看过该电影的频率为710，将频率视为概率，可得出随机变量ξ服从二项分布710,10B ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的数学期望、方差公式求得答案. 【详解】解：（1）()22100800300 4.762 3.84170305050K ⨯-==>⨯⨯⨯ 所以有95%的把握认为看此电影与年龄有关.（2）依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中， 观看过电影的有305350⨯=（人），没观看过的有2人， 记抽取的3人中有i 人观看过电影为事件(1,2,3)i A i =.则()2132235323105C C P A C ⋅⨯===，()33335110C P A C ==， 从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人看过该电影的概率为：()()23317.51010P P A P A =+=+= （3）由题意知，观看过该电影的频率为710，将频率视为概率，则随机变量ξ服从二项分布710,10B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以随机变量ξ的数学期望为7()10710E ξ=⨯=， 方差为77()101 2.11010D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：求随机变量概率分布列的步骤： (1)找出随机变量的所有可能取值； (2)求出取各值时的概率； (3)列成表格；(4)检验分布列.注意分析随机变量是否满足特殊的分布列，如：两点分布，超几何分布，二项分布，正态分布.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=()3,0A -，(3,0)B .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线4x =于点E ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，求N 点的轨迹方程，并探究BMO 与NMO △的面积之比是否为定值.【答案】（1）22193x y +=；（2）214x =，是定值4:7. 【分析】（1）由题知3a =，c e a ==c =b = （2）设()()000,0P x y y ≠，依次求得直线AP 方程，E 点坐标，直线BE 斜率，直线l方程，直线PB 方程，N 点坐标（P 点在椭圆，适合椭圆方程，得00,x y 关系代入可得）．然后可计算三角形面积比．【详解】解：（1）由题意，3a =，又c e a ==，c ∴=则b ==.∴椭圆C 的方程为22193x y +=.（2）设()()000,0P x y y ≠，则2200193x y +=.∴直线AP 的方程为00(3)3y y x x =++，取4x =，可得点0074,3y E x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∵直线BE 的斜率为0000737433y x y x +=-+，∴直线l 的方程为0037x y x y +=-， 又直线PB 的方程为00(3)3y y x x =--， 联立直线l 与PB 的方程，消去y 得()00003373x yx x y x +-=--， ()22000000793733y x y x y x x +-∴⋅=--，① 2002193x y +=，220093x y ∴-=-， 代入①解得点N 的横坐标214N x =，即N 点轨迹方程为：214x =1||3421217||24BB BMONMON N OM x x S S x OM x ⋅∴====⋅△△.故BMO 与NMO △的面积之比为4:7.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：求直线方程，求交点坐标，计算三角形面积，考查了运算求解能力．关键是设出点P 坐标为00(,)x y ，然后依次求解．21．已知函数2()()4xa f x x ae a =-+∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设21()()(1)2xg x f x e a x =++-，若()g x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且()()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2,4ln 2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦. 【分析】（1）求出函数的导数，分0a ≤、0a >两种情况讨论即可；（2）首先求出()g x '，然后可得4a >，1212x x x x e e e e a +=⋅=，12ln x x a +=，()()12g x g x +ln a a a =-，然后可得ln aa aλ<-，然后利用导数求出右边对应函数的单调性，然后可得答案.【详解】（1）因为2()4xa f x x ae =-+，所以()1x f x ae '=-.当0a ≤时，因为0x e >，所以()0f x '>，此时()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 当0a >时，令()0f x '=，得1ln x a=. 当1lnx a <时，()0f x '>，当1ln x a>时，()0f x '<. 此时，()f x 的单调递增区间为1,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）因为221()24x xa g x e ae ax =-++，所以2()x x g x e ae a '=-+.依题意，240a a a >⎧⎨->⎩，解得4a >. 因为1x ，2x 是()g x 的极值点，所以1212x x x x e e e e a +=⋅=，则12ln x x a +=.()()12g x g x +1122222212112424x x x x a a e ae ax e ae ax ⎛⎫⎛⎫=-+++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()121222212122x x x x a e e a e e a x x =+-++++ ()()()()12121222121222x x x x x x a e e e e a e e a x x =+--++++ ()22212ln 22a a a a a a =--++ ln a a a =-.所以，由()()()1212g x g x x x λ+>+，可得ln ln a a a a λ->.① 因为4a >，ln 0a >，所以①等价于ln aa aλ<-. 令()ln x x x x ϕ=-，则222ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x x x x ϕ--+'=-=，(4,)x ∈+∞ 因为2213(ln )ln 1ln 024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'>.所以()ϕx 在(0,)+∞单调递增，且2(4)4ln 2ϕ=-.所以，2()4,ln ln 2a a a a ϕ⎛⎫=-∈-+∞ ⎪⎝⎭. 所以λ的取值范围是2,4ln 2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【点睛】方法点睛：（1）对于双变量问题，常用方法是通过消元转化为单变量问题；（2）对于恒成立问题，首选方法是分离参数法.22．平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是：222123cos 4sin ρθθ=+. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程和l 的普通方程；（Ⅱ）设()0,1P ，l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，求PM .【答案】（Ⅰ）22143x y +=，1x y +=；（Ⅱ）7. 【分析】（Ⅰ）根据公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；直线l 的参数方程消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程； （Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆方程得27802t +-=，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，利用韦达定理及直线参数方程中t 的几何意义即可求PM . 【详解】解：（Ⅰ）∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，2223cos 4sin 12ρθρθ+=，223412x y +=，∴C ：22143x y +=又11x y +=++=， ∴直线的普通方程为1x y +=；（Ⅱ）把直线参数方程与椭圆联立223411222t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，27802t +-= 设A ，B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=12167t t =-，(()274814402∆=-⨯-⨯-=>122M PM t t t +∴====， ∴PM的长为7. 23．已知函数())||2|1|(f x x a x a R =-++∈. （1）当4a =时，解不等式()8f x <；（2）记关于x 的不等式()2|3|f x x ≤-的解集为M ，若[4,1]M --⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）()2,2-；（2）[]9,4-.【分析】（1）当4a =时23,1()6,1432,4x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪->⎩，进而分类讨论求解即可；（2）根据题意得当[4,1]x ∈--时，2123x a x x -++≤-恒成立，进而得||8x a -≤恒成立，再结合[4,1]x ∈--即可得答案.【详解】解：（1）当4a =时，()421f x x x =-++，不等式可转化为23,1()6,1432,4x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪->⎩，若()8f x <，1238x x <-⎧⎨-<⎩或1468x x -≤≤⎧⎨+<⎩或4328x x >⎧⎨-<⎩ 解得：21x -<<-或12x -≤<或x ∈∅， 综上，不等式的解集是()2,2-.第 21 页 共 21 页 （2）若[]4,1M --⊆，()23f x x ≤-，即当[]4,1x ∈--时，2123x a x x -++≤-恒成立，在[4,1]--上，10x +≤，30x -≤， |1|1x x ∴+=--，|3|3x x -=-，()23f x x ∴≤-等价于8x a -≤，即88x a -≤-≤，当[]4,1x ∈--时该不等式恒成立， 1848a a --≤⎧∴⎨--≥-⎩，解得94a -≤≤. 即a 的范围是[]9,4-.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，根据解集求参数，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将解不等式转化为恒成立问题求解.。

∴ 1 = 1 =1− 1 ，
+1
( +1)
+1
∴数列{ 1 }的前 n 项和为： +1
=
1
−
1 2
+
1 2
−
1 3
+
…
+
1
−
1 +1
=
1
−
1 +1
=
．
+1
故选：B．
7. 已知函数 ( )的定义域为 D，其导函数为 ′( )，函数 = 图象如图所示，则 ( )( )
⋅ ′( )( ∈ )的
A. 有极小值 (2)，极大值 ( )
∴点 P 在以 1， 2为焦点的椭圆上，
∵ 2 = 4， = 2， = 1，
∴ 2 = 3，
2
2
∴椭圆的方程是 + = 1．
43
故选：B．
5. 如图所示，△ 中， = 2 ，点 E 是线段 AD 的中点，则 = ( )
A.
3 4
+1
2
【答案】C
B.
3 4
+
C.
5 4
+
1 2
【解析】
【分析】
本题考查平面向量基本定理的简单应用．
A. 13
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】C
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图所示，
∵ = 3 + ，∴ =− 3 + ，
平移直线 =− 3 + ，由图可知，当直线 =− 3 + 经过点 A 时，在 y 轴上的截距最
小，
联立
2
−3 = 2(1