8.锐角三角函数的定义

锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二、锐角三角函数的增减性：（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0三、同角三角函数的关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA 或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．四、互余两角的函数关系：在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°-∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．五、特殊角的三角函数值：（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=； tan60°=；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．六、计算器-三角函数（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．（2）求锐角三角函数值的方法：如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．注意：不同型号的计算器使用方法不同．（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：如已知sinα=0.5678，一般先按键“SHIFT”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键七、解直角三角形1、（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2、解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案3、坡度角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=hl=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．4、仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．5、方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．。

锐角三角函数是三角函数的一种，它们通过弧度制或角度制来定义，其中角度制是最常用的，用θ表示角度。

锐角三角函数是指在锐角和限制条件下的三角函数。

锐角三角函数的定义可以表示为：
sinθ=y/r，cosθ=x/r，tanθ=y/x，
其中，θ表示的是锐角的角度，r表示半径，x和y分别表示锐角的横轴和纵轴的长度。

锐角三角函数的定义是以弧度制和角度制为基础，用正弦、余弦和正切函数来表示，即sinθ、cosθ和tanθ，它们用来描述在锐角和限制条件下的三角函数。

在数学中，这些函数可以用来计算三角形的边长、角度等，是广泛应用的三角函数。

初中数学：锐角三角函数定义大全锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b余割(csc)等于斜边比对边。

cscA=c/a互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)积的关系：sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1特殊的三角函数值0°30°45°60°90°01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=（cosα）^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 2tanαtan2α=—————1－tanα三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα－4sinαcos3α=4cosα－3cosα3tanα－tanαtan3α=——————1－3tanα。

锐角三角函数的定义的两边上任意取点构作直角三角形.如图，，，，，……，由相似知识可推知即可确定唯一比值“”与点的选择位置无关(1)锐角三角函数是直角三角形的两边的比，是一个实数，没有单位；(2)比值随角度的变化而变化；(3)相等的角的三角函数值相等；1. 当时有：，，；2 ，1. (1)已知，，，分别求、的三个三角函数值；解析：依题设画出图，在图中对应确认条件，依概念定义求出所需.由勾股定理，，，，，；(2)已知，，，求、和的值；解：由可知，∴，，；(3)已知，，，求的值；解：由知，故设，，∴，∴；(4)已知，，，求的三个三角函数值.解：由可设，，∴，∴，，.(1)已知：如图1，△ABC中，，，，求值；解析：(1)∵，∴不是直角三角形不能直接用来求构造直角三角形，过作于(或过C作AB边的高，思考能否过B作高呢？)设，则，由勾股定理，可得∴，∴；(2)已知：如图2，△ABC中，，，，求的三个三角函数值；解: 不在直角三角形中，过D作于，现在来求DB、DE的长，题目中没有告诉我们长度数据，又故设，则，，∵，∴，，在中，∴，，.(3)已知：如图3，在中，，于D，，，求①值；②.解：不同于上两例，在中，，但DC、AC均不知道，，在两个直角三角形中(和)显然通过好计算，，.计算AC，可以考虑用先前所学的相似知识来作.但这里我们还可发现运用三角函数是否会更好呢？由上可知，故评述：1．锐角的三角函数的定义是通过直角三角形的边之比来定义的，在具体图形中计算或使用一个角的三角函数值，首先要关注图中角所在的三角形是否是直角三角形.若不是就不能直接使用、、…等关系.构造直角三角形的方法有多种，如图。

初中锐角三角函数锐角三角函数是数学中重要的概念之一、在初中阶段，我们学习了正弦、余弦和正切三种锐角三角函数。

通过学习锐角三角函数，我们可以计算三角形的边长和角度，解决实际问题，提高数学思维能力。

本文将详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用。

一、正弦函数正弦函数是锐角三角函数中最基本的函数之一、我们用sin表示正弦函数。

设一个锐角的一条直角边的长度为a，斜边的长度为c，则正弦函数的定义如下：sinA = a / c其中A为角的度数，sinA为正弦值。

正弦函数的性质：1. 在0°至90°（不包括90°）的锐角范围内，正弦值的大小从0逐渐增大，最大值为1、所以sin0° = 0，sin90° = 12. 在90°至180°（不包括180°）的锐角范围内，正弦值的大小从1逐渐减小，最小值为0。

所以sin180° = 0。

正弦函数的应用：正弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。

通过正弦函数，我们可以解决各种实际问题，例如航海中的船舶位置计算、建筑中的高度计算等。

二、余弦函数余弦函数是锐角三角函数中的另一种函数。

我们用cos表示余弦函数。

设一个锐角的一条直角边的长度为b，斜边的长度为c，则余弦函数的定义如下：cosA = b / c其中A为角的度数，cosA为余弦值。

余弦函数的性质：1. 在0°至90°（不包括90°）的锐角范围内，余弦值的大小从1逐渐减小，最大值为0。

所以cos0° = 1，cos90° = 0。

2. 在90°至180°（不包括180°）的锐角范围内，余弦值的大小从0逐渐增大，最小值为-1、所以cos180° = -1余弦函数的应用：余弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。

通过余弦函数，我们可以解决各种实际问题，例如建筑物的倾斜角度计算、物体的投影计算等。

初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。

“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。

关系式
李善兰三角函数展开式 tanα·cotα=1 希腊三角函数公式 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 1+(tanα)^2=(secα)^2 1+(cotα)^2=(cscα)^2 锐角三角函数诱导公式 直角三角形中的锐角三角形函数sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα
三角函数值
取值范围
特殊角
变化情况
特殊角的三角函数值如下 ： 注：非特殊角的三角函数值，请查三角函数表
θ是锐角： 0 0 tanθ>0 cotθ>0
1.锐角三角函数值都是正值。 2.当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 0≤cosA≤1；当角度在0°0。
锐角三角函数
数学函数
01 相关概念
03 关系式
目录
02 三角函数值
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做 ∠A的锐角函数。
相关概念
图1直角三角形锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割 （csc）都叫做角A的锐角三角函数。初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初 中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到如图1所示的直角三角形中，则 锐角三角函数可表示如下：

余弦函数
1
定义和公式
余弦函数描述直角三角形中的比例关系，其定义和公式为cos(x) = 邻边/斜边。
2
图像和性质
余弦函数的图像呈现波浪形状，具有周期性、振幅和相位差等性质。
3
应用举例
余弦函数在几何、物理、工程等领域有广泛的应用，如研究周期性现象和计算机 图形学。
正切函数
定义和公式 图像和性质 应用举例
和差化积公式
三角函数的和差化积公式可 以将两个三角函数的和、差 表达为一个三角函数的乘积。
倍角公式
三角函数的倍角公式用于计 算两倍角的三角函数值。
总结
特点和应用
锐角三角函数具有周期性、对称性和广泛的 应用，为解决实际问题提供了重要的数学工 具。
实际生活中的应用举例
锐角三角函数在摄影、测量、物理仿真等实 际生活中有广泛的应用。
ห้องสมุดไป่ตู้
扩展和推广
锐角三角函数的研究和应用正在不断扩展和 推广，涉及到更多领域和复杂情况。
未来发展和研究方向
锐角三角函数的未来发展将涉及到更多领域 的交叉研究和深入探索。
正切函数用来描述直角三角形中的比例关系， 其定义和公式为tan(x) = 对边/邻边。
正切函数的图像呈现周期性、无界和渐近线等 特点，其图像在某些范围内会无限逼近无穷。
正切函数在物理、工程、电子等领域中常用于 信号处理和电路分析等方面。
三角函数的关系式
基本关系式
正弦、余弦和正切函数之间 有一系列关系式，如sin²θ + cos²θ = 1等。
特点
锐角三角函数的值域在特 定区间内，具有周期性和 对称性等特点。
正弦函数
定义和公式
正弦函数用来描述直角三角形 中的比例关系，其定义和公式 为sin(x) = 对边/斜边。

振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛 应用。例如，简谐振动的位移、速度和 加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值，记作tan(α)，其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内，正 切函数是单调递增的，而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减 的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分，它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值，以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质，这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如，在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中，锐 角三角函数用于设计各种 结构，如桥梁、建筑和机 器部件。
控制系统
在控制工程中，锐角三角 函数用于设计和分析控制 系统，以确保系统的稳定 性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中，锐 角三角函数用于信号处理， 如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数，其周期为π，且在每一个周期 内，图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π，因此对于任意整数k，tan(x+kπ) = tan(x)，即正切函数在每个周期内具有相同的形状，但位置会随 着k的变化而变化。

BC AB AC
① B 'C ' BC ，在 RtABC C 90 ，当 A 确定时，它的对边与斜边的比是一个定
AB ' AB 值；
② AC ' AC ，在 RtABC C 90 ，当 A 确定时，它的邻边与斜边的比是一个定
AB ' AB 值；
③ B 'C ' BC ，在 RtABC C 90 ，当 A 确定时，它的对边与邻边的比仍然是一
【答案】 1 【解析】 原式 sin 53 sin 53 cos53 s cos53 sin2 53 cos2 53 1． 13、（2014 中考丰台二模）如图，将一副三角板按图中方式叠放， BC 4 ，那么 BD __________
【答案】
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锐角三角函数
30° 【解析】 ∵ sin 60 co（ s 90 60）， ∴ cos co（ s 90 60） cos30 ，即锐角 30 ．
12、 sin 53cos37 cos53sin 37 _________
AC 5 5 故选 C． 2、（2014 初三上期末通州区）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个
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锐角三角函数
顶点均在格点上，E 为 BC 中点，则 sin AEB 的值是（ ）
A． 5 5
B． 3 4
C． 3 5
D． 4 5
【答案】 D 【解析】 该题考查的是三角函数的定义．
锐角的正弦和正切随角度的增大而增大，锐角的余弦随角度的增大而减小． 四、 三角恒等式
①若 A 与 B 互余：则 sin A cos B ， tan A 1 ． tan B

锐角三角函数内容解读作者：朱绍志来源：《初中生世界·九年级》2015年第04期锐角三角函数是初中数学的重要内容，掌握锐角三角函数的概念及性质更是学好解直角三角形的关键，因此学习时应注意掌握以下几个要点：一、锐角三角函数的定义研究锐角三角函数的定义，是将锐角放在直角三角形中，用直角三角形的边之间的比值来定义的. 即如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，则温馨提示：（1）弄清“对边”“邻边”“斜边”的含义，这是理解定义的基础. 如在Rt△ABC中，∠C=90°，对∠A来说，BC是对边、AC是邻边，而对∠B来说，BC是邻边、AC是对边，无论怎样，“边”一定要分清.（2）为了记忆方便，可以用口诀进行记忆，即“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.（3）从定义可以看出，锐角三角函数的值是随着角度的变化而变化的，当角度固定不变时，无论边怎样变，三角函数的值是确定的.（4）三角函数的符号是一个整体数学符号，不能看成是sin和A相乘的关系，而是“∠A 的正弦”，同加减乘除一样，相当于一个运算符号.二、特殊角的三角函数值任意角的三角函数值都可以利用计算器求得，但对于特殊角（即30°、45°、60°）的三角函数值应当熟练掌握，这样便于运用它们进行计算、求值或解直角三角形. 常用的记忆方法有三种：1. 列表法，就是利用课本上的表格记忆，如下图表格.2. 寻找规律法，从课本表格中寻找数字间的规律熟练记忆. 如30°、45°、60°的正弦值，分母都是2，分子依次为而余弦值正好反过来；30°、60°的正切值是互为倒数. 为了记忆方便，可以用口诀进行记忆，即“正弦123，余弦321，正切313”.3. 图形推导法，当记忆不准确时，如图2可在含有特殊角的直角三角形中利用定义进行推导.温馨提示：特殊角的三角函数值有两层含义：（1）由特殊角的度数可得它的三角函数值；（2）根据特殊角的三角函数值，可求得它的度数.由于∠A，∠B均为锐角，因此∠A=60°，∠B=60°，则∠C=60°，故选B.三、学会利用“数形结合”探究性质由锐角三角函数的定义，利用“数形结合思想”可得以下几个重要性质：1. 增减趋势：当0°如图3，在Rt△A3BC中，∠C=90°，若设∠BA3C=α，当A3向A2、A1移动时，α增大，这时A3B变小，而BC不变，则sinα的值增大；当A3向A2、A1移动时，α增大，这时A3C变小，而BC不变，则tanα的值增大；若设∠A3BC=β，当A3向A2、A1移动时，β减小，这时A3B变小，而BC不变，则cosβ的值增大.2. 根据三角函数的定义结合图形，还可以得到如下的性质，同学们可以自主探究.（1）取值范围：如果0°0.（2）比较大小：①同名锐角三角函数值的比较，如果0°cosβ，tanα②不同名但同角的锐角三角函数值的比较，如果0°cosα.（3）同角三角函数间的关系：①平方关系：sin2α+cos2α=1；②倒数关系：tan（90°-α）·tanα=1；③商式关系：tanα=.（4）互余两角的三角函数间的关系：cos（90°-α）=sinα，cosα=sin（90°-α）. （作者单位：江苏省泗洪县第一实验学校）。

锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 为△ABC 中的一锐角，则有∠A 的正弦：斜边的对边A A ∠=sin c a =∠A 的余弦：斜边的邻边A A ∠=cos cb =∠A的正切：的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba =2、特殊角的三角函数值（1）图表记忆法 （2）规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、23；30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、 30°角的正弦值。

邻边C（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°=3=tan45°=13=．这种方法有趣、简单、易记． 考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点三、锐角三角函数的实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．lhi==αtan二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016?陕西）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）A． B． C． D．2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义．【解析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=即可计算．【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点C（﹣1，4），如图所示，作CD⊥AB于D．在RT△ACD中，tan∠CAD===2，故答案为D．（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、（2016?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是8 ．B．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈．（结果精确到）【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8（2）3sin73°52′≈×≈故答案为：8，例3、（2015?陕西）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为米，铅直高度BC为米，则∠A的度数约为°（用科学计算器计算，结果精确到°）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．【解答】解：∵tan∠A==≈，∴∠A=°，故答案为：°．【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．例4、(2014?陕西)用科学计算器计算：+3tan56°≈（结果精确到）【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】先用计算器求出′、tan56°的值，再计算加减运算．【解答】解：≈，tan56°≈，则+3tan56°≈+3×≈故答案是：．【点评】本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到．例5、(2014?陕西)如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【解答】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，DE==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、（12分）（2015?陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为24；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．.【专题】综合题．【解析】（1）如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BC﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形BMC面积即可；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC 周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O与AD 相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，∴四边形AECD为矩形，∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，∴AB=2BE=8，AE==4，则S △BMC=BC?AE=24；故答案为：24；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，∴BE=4，AE=BE?tan60°=4，∴CC′=2CD=2AE=8，∵BC=12，∴BC′==4，∴△BNC周长的最小值为4+12；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，∴圆O与AD相切于点P，∵PQ=DC=4＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，∵OB=OP=4﹣OQ，在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4﹣OQ）2，解得：OQ=，∴OB=，∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，则此时cos∠BPC的值为．【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．例7、（10分）(2014年陕西省)已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x 轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．菁优网版权所有【分析】（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，∴，解得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，xKb om∴M（﹣1，4）．（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN?NN′=16，∴NN′=4．i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是?MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是?MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需要分类讨论，避免漏解．例8、（12分）(2014?陕西)问题探究（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F 分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有【专题】压轴题；存在型．【分析】（1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．（3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．【解答】解：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，则PA=PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°．∵PA=PD，AB=DC，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP=CP．∵BC=4，∴BP=CP=2．②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，．则DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．∵AB=3，BC=4，∴DC=3，DP′=4．∴CP′==．∴BP′=4﹣．③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，则AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=．综上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA，则BP=4﹣；若AP=AD，则BP=．（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF=BC．∵BC=12，∴EF=6．以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．∵AD⊥BC，AD=6，∴EF与BC之间的距离为3．∴OQ=3∴OQ=OE=3．∴⊙O与BC相切，切点为Q．∵EF为⊙O的直径，∴∠EQF=90°．过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ．∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，∴四边形OEGQ是正方形．∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，∴BG=．∴BQ=GQ+BG=3+．∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+．（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．理由如下：以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．则⊙O是△ABG的外接圆，∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，∴AP=PB=AB．∵AB=270，∴AP=135．∵ED=285，∴OH=285﹣135=150．∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，∴∠BAK=∠GAK=30°．∴OP=AP?tan30°=135×=45．∴OA=2OP=90．∴OH＜OA．∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，∴HM===30．∵AE=400，OP=45，∴DH=400﹣45．若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45+30．∵400﹣45+30＞340，∴DM＞CD．∴点M不在线段CD上，应舍去．若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．∵400﹣45﹣30＜340，∴DM＜CD．∴点M在线段CD上．综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，此时DM的长为（400﹣45﹣30）米．X|k | B| 1 . c |O |m【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容，三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，下面就三角函数教学中容易出现的几种“错误”进行分析：1．对应关系混淆【1】如图9，先进村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的图9水平距离为a 米，那么这两树在坡面上的距离AB 为 （ ）A. a a cos 米B.αcos a 米 C. a a sin 米 D. αsin a 米 解析：分别过点B ，A 作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C 。

三角函数相关知识点总结一、三角函数的定义。

1. 锐角三角函数。

- 在直角三角形中，设一个锐角为α。

- 正弦sinα=(对边)/(斜边)。

例如，在直角三角形ABC中，∠ C = 90^∘，∠A=α，BC为∠ A的对边，AB为斜边，则sinα=(BC)/(AB)。

- 余弦cosα=(邻边)/(斜边)，对于上述三角形，AC为∠ A的邻边，cosα=(AC)/(AB)。

- 正切tanα=(对边)/(邻边)=(BC)/(AC)。

2. 任意角三角函数（单位圆定义）- 设角α终边上一点P(x,y)，r=√(x^2)+y^{2}。

- sinα=(y)/(r)。

- cosα=(x)/(r)。

- tanα=(y)/(x)(x≠0)。

二、三角函数的基本性质。

1. 定义域。

- y = sin x和y=cos x的定义域都是R（全体实数）。

- y=tan x的定义域是<=ft{xx≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z}。

2. 值域。

- y = sin x和y=cos x的值域都是[ - 1,1]。

- y=tan x的值域是R。

3. 周期性。

- y = sin x和y=cos x的最小正周期都是2π。

即sin(x + 2kπ)=sin x，cos(x +2kπ)=cos x，k∈ Z。

- y=tan x的最小正周期是π，tan(x + kπ)=tan x，k∈ Z。

4. 奇偶性。

- y=sin x是奇函数，因为sin(-x)=-sin x。

- y = cos x是偶函数，因为cos(-x)=cos x。

- y=tan x是奇函数，因为tan(-x)=-tan x。

5. 单调性。

- y=sin x在<=ft[-(π)/(2)+2kπ,(π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递增，在<=ft[(π)/(2)+2kπ,(3π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递减。

- y=cos x在[2kπ-π,2kπ](k∈ Z)上单调递增，在[2kπ,2kπ + π](k∈ Z)上单调递减。

《锐角三角函数》(解析版)锐角三角函数一、定义三角函数是数学中一类重要的函数，它们与三角关系密切相关。

而锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90°的三角函数。

1. 正弦函数（sin）正弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。

可以用以下公式表示：sinθ = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）余弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。

可以用以下公式表示：cosθ = 邻边 / 斜边3. 正切函数（tan）正切函数是指在锐角三角形中，对边比邻边的比值。

可以用以下公式表示：tanθ = 对边 / 邻边二、性质1. 值域和定义域正弦函数和余弦函数的值域都在[-1, 1]之间，定义域为锐角三角形中的角度范围。

2. 周期性正弦函数和余弦函数在每个周期内都有相同的波形形状，它们的周期都为360°或2π弧度。

3. 正交性正弦函数和余弦函数之间具有正交性，即它们的乘积积分为0。

4. 切线斜率正切函数的斜率可以表示为tanθ的导数，即：f'(θ) = sec^2(θ)5. 三角恒等式锐角三角函数之间满足一系列的三角恒等式，如：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1三、图像与应用1. 图像正弦函数和余弦函数的图像为周期性的正弦波和余弦波，可以通过函数图像进行可视化。

2. 应用锐角三角函数广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

例如在电路分析中，可以通过正弦函数来表示交流电压的变化；在计算机图形学中，可以通过正弦函数和余弦函数来生成动画效果。

四、常见问题1. 如何计算锐角三角函数的值？通过查阅三角函数表或使用计算器等数学工具，可以准确地计算出锐角三角函数的值。

2. 如何利用锐角三角函数解决实际问题？在实际问题中，可以通过建立三角函数模型并利用已知条件来解决问题。

例如在测量中，可以利用正弦函数或余弦函数计算出某个角度的值。

3. 锐角三角函数与钝角三角函数有什么区别？锐角三角函数与钝角三角函数在定义上有所不同，钝角三角函数可定义为任意角度，而锐角三角函数仅限于小于90°的角度范围。

一、为什么要学习锐角三角函数？
直角三角形里有三条边、两个锐角
C
B
“斜而未倒”
AB=54.5m BC=5.2m
倾斜角α就 可以通过 这两条边 求出来
α
A
二、三角函数的定义
二、锐角三角函数的定义
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ， 2 是一个固定值；
重要提示：三角函数
只与角度的大小有关， 与边的长短无关。
锐角三角函数定义
正弦,余弦,正切:
a sin A , c b cos A , c a tan A , b b sin B , c a cos B , c
b tan B , a
A c
驶向胜利 的彼岸
B
a
b ┌ C
切记：锐角三角函数只有用在直角三角形中
B'
B
A

C
A'

C'
探索
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
Hale Waihona Puke 驶向胜利 的彼岸正弦
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA， 即
B 斜边c A b a C
A的对边 a sin A 斜边 c
B c A a
A的邻边 b cos A 斜边 c
b
C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，作tanA， 即
A的对边 a tan A A的邻边 b
驶向胜利 的彼岸
归纳：锐角三角函数定义

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：如图所示，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 0, ∠A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为a、 b、 c，则∠ A 的正弦可表示为： sinA∠ A 的余弦可表示为： cosA∠ A 的正切可表示为： tanA，它们称为∠ A 的锐角三角函数① sin A ()＝______，斜边②cosA ()＝______，斜边③ tanA ( )＝______，A的邻边【特别提醒： 1、sinA、cosA、 tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关。

2、取值范围<sinA< ，<cosA< ， tanA>例 1. 锐角三角函数求值：在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，若 a＝ 9， b＝ 12，则 c＝ ______，sinA＝ ______， cosA＝ ______， tanA＝______ ，sinB＝ ______， cosB＝ ______， tanB＝______ ．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt△TNM 中，∠ TMN ＝90°， MR⊥ TN 于 R 点， TN＝ 4， MN＝ 3．求： sin∠TMR、 cos∠TMR 、 tan∠ TMR．2．已知：如图，⊙3 O 的半径 OA＝ 16cm， OC⊥AB 于 C 点， sinAOC4求： AB 及 OC 的长．类型二 . 利用角度转化求值：1．已知：如图， Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90°． D 是 AC 边上一点， DE ⊥ AB 于 E 点．DE ∶ AE ＝1∶ 2．求： sinB 、 cosB 、tanB ．2． 如图，直径为 10 的⊙ A 经过点 C (0，5) 和点 O (0，0) ，与 x 轴的正半轴交于点 D ，B 是 y轴右侧圆弧上一点，则 cos ∠ OBC 的值为（ ） A ．1B ．3 C ．3 4 2 2 D ．5 y 5C AOB D x第 8题图3， AC 5.如图， ⊙O 是 △ ABC 的外接圆， AD 是 ⊙O 的直径，若 ⊙O的半径为2 ，则 2sin B 的值是（ ）2 3 3 4 A ． B ． C ． D ． 3 2 4 36. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处．已知AB 8 ， BC 10 ， AB=8,则 tan ∠ EFC 的值为 ( ) A DEＡ． 3 Ｂ． 4Ｃ． 3Ｄ．4 B FC43557. 如图 6，在等腰直角三角形 ABC 中， C90 ， AC6 ， D 为 AC 上一点，若tan DBA 1 ) ，则 AD 的长为 (5A ． 2B． 2C． 1 D ． 2 2类型三 . 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ ABC 中，∠ A=30°，∠ B=45°， AC=2 3 ，求 AB 的长．2．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°，点 D 在 BC 边上，且△ ABD 是等边三角形．若 AB=2 ，求△ ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠ A=60°， AB=6 cm， AC=4cm ，则△ ABC 的面积是（）A.2 3 cm2B.4 3 cm2C.6 3 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）1B．5C．10 D ．2 5A ．2 5 10 5ACO BA B2．如图，△ ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=_______.3．如图， A、 B、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到AC 'B' ，则 tan B' 的值为（）1B. 1 1D. 1A.3 C.4 24．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠ AOB 的值是（）5 2 5 1A ． 5 B. 5 C.2 D. 2知识点二： 特殊角的三角函数值锐角 30° 45° 60°sin cos tan 当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例 1．求下列各式的值．1.计算： tan 60 sin 245 2 cos30－ 1+(2 π－ 1)0－ 3tan30－°tan45 ° 2.计算：3313tan30 0 tan 45 sin 303．计算： 2 cos60 sin 45 4．计算：221 cos60例 2．求适合下列条件的锐角．(1) cos 1 3(3) sin 2 2 (4) 6 cos(16 ) 3 3(2) tan 3 2 2（ ）已知 为锐角，且tan(300 )3 ，求 tan的值（ ）在 ABC 中， cos A 1 (sin B2 )20 ， A ， B 都是锐角，求 C 的度数2 2例 3. 三角函数的增减性1 1．已知∠ A 为锐角，且 sinA < 2，那么∠ A 的取值范围是A. 0 °<A < 30 °B. 30 <°A ＜60°C. 60 <°A < 90 °D.30 <°A < 90 °2. 已知 A 为锐角，且cos A sin 300，则（）A. 0 °<A < 60 °B. 30 <°A < 60 °C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A <90 °类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中， DE ⊥AB 于 E， BE＝16cm， sin A求此菱形的周长．12132．已知：如图， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC BC 3 ，作∠ DAC ＝30°， AD 交 CB 于 D 点，求：(1) ∠ BAD；(2)sin∠ BAD 、 cos∠BAD 和 tan∠BAD ．3. 已知：如图△ ABC 中， D 为 BC 中点，且∠ BAD ＝90°， tan B 1，求： sin∠CAD 、cos 3∠CAD 、 tan∠ CAD ．4. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，sin B 3，点 D 在 BC 边上，DC= AC = 6 ，求 tan∠ BAD 5的值． AB CD5（.本小题 5 分）如图，△ ABC 中，∠A=30°，tan B3 ，2AC 4 3 ．求 AB 的长 . CA B知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示 )：在Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ b，BC＝a， AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________ ．②两锐角之间的关系：_________________________________ _ ．③边与角之间的关系：sinA cosB ______；cos A sin B _______；1_____；1tan A tan B ______．tan B tan A④直角三角形中成比例的线段(如图所示 )．在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， CD ⊥ AB 于 D．CD 2＝ _________； AC2＝ _________；BC 2＝ _________ ；AC· BC＝ _________．例 1．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°．(1) 已知：a 2 3 ，b 2 ，求∠ A、∠ B，c；(2) 已知： sinA2 6 ，求 a、b；， c3（3）．已知：△ ABC 中，∠ A＝ 30°，∠ B＝ 60°， AC＝ 10cm．求 AB 及 BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面 A 、 B 两点的俯角分别是30°、 45°，如果此时热气球C处的高度 CD 为 100 米，点 A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（）A ．200 米B ．200 米C． 220 米D． 100（）米2．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13 所示，某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得 C 在 A 北偏西的方向上，沿31河岸向北前行 20 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45 的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值： tan31 °≈3， sin31 °≈1）5 2图133 .如图，小聪用一块有一个锐角为 30 的直角三角板测量树高， 已知小聪和树都与地面垂直， 且相距 3 3 米，小聪身高AB 为 1.7 米，求这棵树的高度.CA DBE4． 一数学兴趣小组为测量河对岸树 AB 的高，在河岸边选择一点 C ，从 C 处测得树梢 A 的仰角为 45°，沿 BC 方向后退 10 米到点 D ，再次测得点 A 的仰角为 30°．求树高． (结果精 确到 0.1 米．参考数据：2 1.414 ，3 1.732 )A30° 45°DC B5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的 知识检测车速．如图，观测点设在 A 处，离益阳大道的距离（ AC ）为 30 米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间为 8 秒，∠ BAC=75° ．（1）求 B 、 C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米 /小时的限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据： sin75 °≈ 0.9659，cos75°≈ 0.2588， tan75 °≈ 3.732，3 ≈ 1.732， 60 千米 /小时 ≈ 16.7米 /秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3 ，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（）A ． 100mB ．100 3 m C． 150m D ．50 3 m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆 AB 的高度 .如图，老师测得升旗台前斜坡 FC 的坡比为i=1:10 ，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即 CE=35m ）处的 C 点，测得旗杆顶端 B 的仰角为α，已知 tanα= 3，升旗台高AF=1m，小明身高7CD=1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度 .BiFC =1:10ADα FCE3.如图，有两条公路 OM ，ON 相交成 30°角，沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心、 50 米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米 /时 .(1)求对学校 A 的噪声影响最大时 ,卡车 P 与学校 A 的距离 ;(2)求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪影响的时间.NP30°O 80米 A M4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知 BC=4 米， AB=6 米，中间平台宽度DE=1 米，EN、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N、M、B，∠ EAB=31 °，DF ⊥ BC 于 F，∠ CDF =45 °．求 DM 和 BC 的水平距离 BM 的长度．（结果精确到 0.1 米，参考数据： sin31 °≈ 0.，52cos31°≈ 0.86，tan31 °≈ 0.）60CE D 45°F31°A N M B5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o 降为 30o，已知原滑滑板AB 的长为 5 米，点 D 、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

銳角三角函數值的定義陳譽偉相似三角形的性質中，一直角三角形某兩邊的比值，以及另一個相似直角三角形之ㄧ對應邊的邊長，即可求得另對應邊的長直角三角形ABC(其中∠C 為直角)，相異兩邊的比值有下列六個：為了便於稱呼及書寫，我們將這六個比值分別用數學符號表示如下：當∠A 的度數為θ時，我們常用sin θ、cos θ、tan θ、cot θ、sec θ與csc θ分別表示sin A 、cosA 、tanA 、cotA 、secA 、cscA 。

如此一來，給定一個θ的值(0°＜θ＜90°)，則sin θ、cos θ、tan θ、cot θ、sec θ與csc θ的值都隨之定，因此，它們都是θ的函數，依序稱為正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、正割函數與餘割函數，這六個函數統稱為三角函數。

若三角形ABC 中，∠C=90°，∠A 的度數為θ，以 BC =a ，CA =b 與 AB =c 就有BACa(∠A 的對邊) c(斜邊) b(∠A 的鄰邊)三角函數的基本關係倒數、商數、平方關係由上一節的討論，我們不難發現，這六個三角函數並非毫不相干的，他們彼此相互關聯此外我們還可由畢氏定理得出下述平方關係：proof`：111222222222222222222222222222222222cot csc tan sec cos sin ==-=-=-==-=-=-==+=+=+aa ab c a ba cb b b ac bab c c c c b a cbc a θθθθθθ餘角關係sin θ、cos θ、tan θ、cot θ、sec θ及csc θ這六個三角函數之間除了有上述倒數關係、商數關係以及平方關係之外，尚有下面的餘角關係：設△ABC 中，∠C=90°，∠A=θ。

因∠A +∠B=90°，所以∠B=90°-θ，又因∠B 的對邊是∠A 的鄰邊，∠B 的鄰邊是∠A 的對邊，所以有cosAA sin =∠=∠=斜邊長的鄰邊長斜邊長的對邊長B B ，故有sin(90°-θ)=cos θ。