寒冷地区地层温度解析算法及工程应用
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度按 线性 分布 。即 ， 过 简 化 可形 成 以下 的 定解 问 通 题：
地面 ０
的设 计参 考指 标 。给排 水管 线通 常需 埋设在 地层 的 最 大冻结 深 度之下 ； 油输 送 管 线 埋设 时也 要 考 虑 石
地层 的冻 深 ； 建筑 物 的 基础 和 路 基 设计 时也 要 考 虑
年平 均气 温 （ 地表温 度 ）
一
地表 温度 的平均 振幅
卜 地表 温度变 化周 期 （ Ｔ一３ ５ ） ６ ｄ Ｕ （） ｚ ￡ 一地 表 以下 一 定 深 度 处 的稳 定 温 度 ， ： 取
２ ｔ 一 （）
数 ， 考虑 地层 中的含水量 及 水 的相 变 等复杂 因素 ， 不
数 值方 法 。这些 数 值 方法 常需 准 备 大 量 的数 据 ， 计
ｆ“ ａ ３ ２
图 ｌ 物 理模 型
ｌ 一 ａ
算 结 果 的分 析有 时 也 很 不方 便 ， 求 工 程 技术 人员 要 必 须熟 悉相 应 的数值 方法 。本 文 以一维 热传导 方程
为基 础 ， 过对 工程 条件 的简 化处理 ， 出 了在 简化 通 导 定 解条 件 下 的解 析解 ， 方便地 用 于推算 地层 冻深 。 可 为 了验证解 析解 的正 确性 ， 用有 限元解 做 了对 比 。 还 寒 冷 地 区隧 道 的 中央 排 水 管 通 常 需 设 在 冻 结 线 之
公路 隧道
２ １ 第 ３期 （ ０ ２年 总第 ７ ９期）
寒 冷 地 区地 层 温 度解 析算 法及 工程 应 用
吕康 成 马超 超 吉 哲 许 鹏
（ 长安 大学 公路 学 院 西安 ７０ ６ ） １ ０ ４
摘 要
寒冷地区的土建工程易因冻融现象而产生病害。本文假定地表温度按正弦规律变化， 地层一定深度处
关键 词
地层温度 冻结深度 热传导 解析法
１ 引 言
在寒 冷地 区的交通 土建 等工 程均 不可避 免地 会
遇 到土壤 冻结 ［ ， 季地 层 的冻 结 深度 是 一 项 重 要 １冬 ］
方程 ； 求解 热传 导方 程 时的边界 条件 有两 个 ： 一是在
地表 假定 温度 与气 温 相 同 ， 以一 年 ３ ５天 为周 期 且 ６ 按 正弦规 律变 化 ； 二是 在 地 层 一定 深 度 处 温 度 常年 不 变 。求 解 时初始 条件 为在地 表与 恒温 深度 之问温
１ｆ。“￡ ｆ 一 ） 一 ） “￡ 一 （ ． （ ＿
ｌｌ ｏ “ 一 （ ｚ）
～
（ ）
温 度 ， Ｘ ｔ 函数 是 ，的
ｚ 由地表 向下 的深度 （ ～ ｍ）
ｆ 时间 （ ） ～ ｄ
下 ， 为工 程用 例 ， 作 尝试 用解析 法估算 东 北某 隧道｝ 同 口路 面下 的冻 结深 度 。
气 象 学 的气 温 空间 差 值方 法 ， 间接 获 取 Ｔ 程 地 点 的
气 温估 数 ， 利用 气温 与冻结 深度 的相 关性 ， 推算 工程
恒温线
地 点 的冻结 深度 。在 根据 气温 等资 料推算 冻结 深度 的方 法 中 ， 用 的 是 有 限差 分 法［ 和 有 限元 ｌ ］ 常 ５ ］ ６ 等
ｓ 十 ｌ ｎ
∞ 了 一
Ｊ
导 出 的结果表 示 ， 在地 表温度 按正 弦规 律变化 ， 地 下一定 深 度温度 为恒 温 ， 始温 度按 线性分 布 ， 初 传
热 介质较 单 一 的情 况 下 ， 层 内 的温度 仍 按 一 定 的 地
作代 换并 引入 边 界条件 ， 导后 可 将 函数 ｕ ｘ 推 （，
温度常年恒温 ， 在地表与恒温层之 间初始温度呈线性分布 ， 通过参数变易法和拉普 拉斯变换法 等 ， 立了单一介质 建 热传 导定解 问题 的解 析解 ， 以分析地层温度随时 问的变 化规律 ， 借 并为 确定特定 地 区的地 层冻结 深度提供 简便手 段 。为了检验推导过程的正确性 ， 还将 同一 问题 的解析解与有 限元解做 了比较 。
ｔ表示 为 ： ）
复 杂规律 变化 着 ， 解 为 级数 解 。故如 欲 求 具 体工 其
程 点 的地 层 温度分 布 ， 将 初 始 条件 和边 界 条 件带 需
“（ ，） ｚ ￡ 一Ｖ （ ＋ 孚 Ｅ２￡一“（） ＋ ，） ｕ （） １ ］ １
（ ）（ ｔ ２）
人式 （ ） 并取 级数 的前 若 干项 进 行 计 算 ， 能得 出 ８， 就
假 定地 层 内 的温度 变化 服从导 温 系数为 ａ的热 传导
・
２ ・ ２
吕康 成等
寒 冷地 区地 层 温度 解析算 法及 工程应 用
（ ） ｘ轴 上 的初始 温 度 ， 虑 在 地 表 与 恒 温 ｚ 考
层间按线性变化。 取 （ ） ＋手（ — ） ｚ一
定解 问题 求解 ：
ｎ ～土 的导 温系 数 “ （） 地表 的温度 函数 ， ￡一 取
１ 一 ＋ ｓｎ （） ｉ
２ 模 型 的 建 立
地层 温度 可通 过一 维热传 导 理论进 行分 析 。为
了方 便分 析 ， 立 图 １所示 的坐 标 系 ， 建 Ｘ轴 的 ０点 为
地表， 向下 为 正 ； 地层 温 度 ｕ是 坐标 Ｘ和 时 间 ｔ 函 的
冰 冻地 层 的融沉影 响 。由于地层 的最 大冻 结深 度需
经 过多 年 的长期 观 测 方 能取 得 ， 很 多 情况 下 只能 在
Ｉ Ｕ （ ｔ Ｉ 作 大 致估 计 ｌ ， 此做 法 常 ２如 ］ 会 导致 一些 工 程设计 不够 科学 合理 。鉴 于工程 地 点 的气 温资 料 相 对 冻 深 资料 容 易 获 得 ［ ］ 或 者 采 用 ３ ，
具体 的地 层 温 度 分 布 结 果 。以 下 为 具 体 的计 算 示
例。
整理 ， 可得 新 的定解 问题 ：
ｌ 以 十 ｘ） ｆ 一 ＋ （ｔ 一 八 ／，
地面 ０
的设 计参 考指 标 。给排 水管 线通 常需 埋设在 地层 的 最 大冻结 深 度之下 ； 油输 送 管 线 埋设 时也 要 考 虑 石
地层 的冻 深 ； 建筑 物 的 基础 和 路 基 设计 时也 要 考 虑
年平 均气 温 （ 地表温 度 ）
一
地表 温度 的平均 振幅
卜 地表 温度变 化周 期 （ Ｔ一３ ５ ） ６ ｄ Ｕ （） ｚ ￡ 一地 表 以下 一 定 深 度 处 的稳 定 温 度 ， ： 取
２ ｔ 一 （）
数 ， 考虑 地层 中的含水量 及 水 的相 变 等复杂 因素 ， 不
数 值方 法 。这些 数 值 方法 常需 准 备 大 量 的数 据 ， 计
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图 ｌ 物 理模 型
ｌ 一 ａ
算 结 果 的分 析有 时 也 很 不方 便 ， 求 工 程 技术 人员 要 必 须熟 悉相 应 的数值 方法 。本 文 以一维 热传导 方程
为基 础 ， 过对 工程 条件 的简 化处理 ， 出 了在 简化 通 导 定 解条 件 下 的解 析解 ， 方便地 用 于推算 地层 冻深 。 可 为 了验证解 析解 的正 确性 ， 用有 限元解 做 了对 比 。 还 寒 冷 地 区隧 道 的 中央 排 水 管 通 常 需 设 在 冻 结 线 之
公路 隧道
２ １ 第 ３期 （ ０ ２年 总第 ７ ９期）
寒 冷 地 区地 层 温 度解 析算 法及 工程 应 用
吕康 成 马超 超 吉 哲 许 鹏
（ 长安 大学 公路 学 院 西安 ７０ ６ ） １ ０ ４
摘 要
寒冷地区的土建工程易因冻融现象而产生病害。本文假定地表温度按正弦规律变化， 地层一定深度处
关键 词
地层温度 冻结深度 热传导 解析法
１ 引 言
在寒 冷地 区的交通 土建 等工 程均 不可避 免地 会
遇 到土壤 冻结 ［ ， 季地 层 的冻 结 深度 是 一 项 重 要 １冬 ］
方程 ； 求解 热传 导方 程 时的边界 条件 有两 个 ： 一是在
地表 假定 温度 与气 温 相 同 ， 以一 年 ３ ５天 为周 期 且 ６ 按 正弦规 律变 化 ； 二是 在 地 层 一定 深 度 处 温 度 常年 不 变 。求 解 时初始 条件 为在地 表与 恒温 深度 之问温
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下 ， 为工 程用 例 ， 作 尝试 用解析 法估算 东 北某 隧道｝ 同 口路 面下 的冻 结深 度 。
气 象 学 的气 温 空间 差 值方 法 ， 间接 获 取 Ｔ 程 地 点 的
气 温估 数 ， 利用 气温 与冻结 深度 的相 关性 ， 推算 工程
恒温线
地 点 的冻结 深度 。在 根据 气温 等资 料推算 冻结 深度 的方 法 中 ， 用 的 是 有 限差 分 法［ 和 有 限元 ｌ ］ 常 ５ ］ ６ 等
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导 出 的结果表 示 ， 在地 表温度 按正 弦规 律变化 ， 地 下一定 深 度温度 为恒 温 ， 始温 度按 线性分 布 ， 初 传
热 介质较 单 一 的情 况 下 ， 层 内 的温度 仍 按 一 定 的 地
作代 换并 引入 边 界条件 ， 导后 可 将 函数 ｕ ｘ 推 （，
温度常年恒温 ， 在地表与恒温层之 间初始温度呈线性分布 ， 通过参数变易法和拉普 拉斯变换法 等 ， 立了单一介质 建 热传 导定解 问题 的解 析解 ， 以分析地层温度随时 问的变 化规律 ， 借 并为 确定特定 地 区的地 层冻结 深度提供 简便手 段 。为了检验推导过程的正确性 ， 还将 同一 问题 的解析解与有 限元解做 了比较 。
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复 杂规律 变化 着 ， 解 为 级数 解 。故如 欲 求 具 体工 其
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人式 （ ） 并取 级数 的前 若 干项 进 行 计 算 ， 能得 出 ８， 就
假 定地 层 内 的温度 变化 服从导 温 系数为 ａ的热 传导
・
２ ・ ２
吕康 成等
寒 冷地 区地 层 温度 解析算 法及 工程应 用
（ ） ｘ轴 上 的初始 温 度 ， 虑 在 地 表 与 恒 温 ｚ 考
层间按线性变化。 取 （ ） ＋手（ — ） ｚ一
定解 问题 求解 ：
ｎ ～土 的导 温系 数 “ （） 地表 的温度 函数 ， ￡一 取
１ 一 ＋ ｓｎ （） ｉ
２ 模 型 的 建 立
地层 温度 可通 过一 维热传 导 理论进 行分 析 。为
了方 便分 析 ， 立 图 １所示 的坐 标 系 ， 建 Ｘ轴 的 ０点 为
地表， 向下 为 正 ； 地层 温 度 ｕ是 坐标 Ｘ和 时 间 ｔ 函 的
冰 冻地 层 的融沉影 响 。由于地层 的最 大冻 结深 度需
经 过多 年 的长期 观 测 方 能取 得 ， 很 多 情况 下 只能 在
Ｉ Ｕ （ ｔ Ｉ 作 大 致估 计 ｌ ， 此做 法 常 ２如 ］ 会 导致 一些 工 程设计 不够 科学 合理 。鉴 于工程 地 点 的气 温资 料 相 对 冻 深 资料 容 易 获 得 ［ ］ 或 者 采 用 ３ ，
具体 的地 层 温 度 分 布 结 果 。以 下 为 具 体 的计 算 示
例。
整理 ， 可得 新 的定解 问题 ：
ｌ 以 十 ｘ） ｆ 一 ＋ （ｔ 一 八 ／，
