考点19平面向量的数量积及向量的应用1．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作⋅a b ,即⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||c o s θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB 的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 2．平面向量数量积的运算律已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：⋅=⋅a b b a ；②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b =()λ⋅a b ； ③分配律：()+⋅⋅+⋅a b c =a c bc二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角. （1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b . （2）模：||==a （3）夹角：cos ||||θ⋅==a bab .（4）垂直与平行：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.【注】当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时,⋅=a b ||||-a b . （5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔1212||x x y y +≤.三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b .（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b 1221x y x y -0(0)=≠b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ=||||⋅a ba b=,a b 为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=a或||||AB AB ==,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用 （1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算. （2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W =||||cos (θθ⋅=⋅⋅F s F s 为F 和s 的夹角).考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1已知向量()1,2=-a ，向量b 满足，,a b 的夹角为，则⋅=a bA B ．2CD 【答案】A【解析】由题意可得，则c o s5故选A.1．如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且2DF FC =，则AE BF ⋅的值是．考向二平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.典例2 若||1,||2==a b ,=+c a b 且⊥c a ,则向量a 与b 的夹角为________.【答案】120°2．已知向量(2,1),(,1)λ=--=a b ,且a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是.考向三平面向量的模及其应用平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||==a ，或坐标公式||=a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.典例3已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且1co s 3α=，若向量a =3e 1−2e 2，则|a |=________. 【答案】3【解析】因为a 2=(3e 1−2e 2)2=9−2×3×2×cos α＋4=9，所以|a |=3.3．已知向量2==a b ，a 与b 的夹角为π3.若向量m 满足1--=m a b ，则m 的最大值是A ．1B ．1C ．4D 1考向四平面向量的应用1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤： (1)向量与平面几何综合问题的解法 ①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． ②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系.2．利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题. 3．用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.4．常见的向量表示形式：(1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0或1()3PG PA PB PC ++=(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0，则点G 是ABC △的重心． (2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅.反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=HC HA ⋅，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0.反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅||IB AB IC +⋅=0，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=或||||||OA OB OC ==.反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心.典例4 等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A．45-B．35-C．45D．35【答案】A则2244 cos55 ||||AE BF aaAE BFθ⋅-====-⋅.【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.4．对任意,直线与圆交于不同的两点,且存在使 (是坐标原点)成立,那么的取值范围是A ．B ．C ．D ．典例5 设向量a =(2cos α，2sin α)，b =(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若以向量a＋b 与a −2b 为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β−α)=________. 【答案】14【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.5．G 是ABC △的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若33aGA bGB cGC ++=0，则角A = A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°典例6 一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．【答案】【解析】由题意知F 3=−(F 1＋F 2)，∴|F 3|=|F 1＋F 2|， ∴|F 3|2=|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos60°=28，∴|F 3|=6．在水流速度为4km/h 的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8km/h 的速度航行，则船自身航行的速度大小为____________km/h .1．设向量()(),2,1,1x ==-a b ，且()-⊥a b b ，则x 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4 2．已知向量,a b 的夹角为,且,则等于A ．B ．C ．D ．3．已知共点力F 1=(lg 2，lg 2)，F 2=(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s =(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为 A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．24．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-，()2,1AD =，则AD AC ⋅=A ．2B ．3C ．4D ．55．已知向量a ，b 的夹角为，则2-a b 在a 方向上的投影为 A ．2 B ．4 C ．6D ．86．若向量,a b 满足||||1==a b ,且1()2⋅-=a a b ,则向量与的夹角为 A ．B ．C ．D ．7．在ABC △中,若·=·=·,则该三角形是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．已知为非零向量,且,则下列命题正确的个数为(1)若,则 (2)若,则(3)若,则 (4)若,则A ．1B ．2C ．3D ．49．已知向量a =(1,2)，b =(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ满足A ．λ<−B ．λ>−C ．λ>−且λ≠0D ．λ<−且λ≠−510．如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是A ．[]0,3B ．C ．D ．11．设F 为抛物线x y 22=的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为ABC △的重心，FA FB ++FC 的值为A ．1B ．2C ．3D ．412．设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若∥a b ，则|3|+a b 等于. 13．如图,在边长为3的正方形中与交于点则.14．设向量(c o s ,s i n ),(c ααββ==a b ，其中0παβ<<<，若|2||2+=-a b a b ，则βα-=.15．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为.1．（2017年高考新课标Ⅱ卷）设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b2．（2017年高考北京卷）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2017年高考浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =，2·I OB OC =，3·I OC OD =，则A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<4．(2016年高考新课标Ⅲ卷)已知向量1(,22BA =uu r ,1),22BC =uu ur 则ABC ∠= A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．（2017年高考新课标Ⅰ卷）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．6．(2017年高考新课标Ⅲ卷)已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________． 7．（2017年高考天津卷）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________．8．（2017年高考浙江卷）已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．9．（2016年高考新课标Ⅰ卷）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =________． 10．(2016年高考江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．1．【答案】34【解析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则()00A，，)E，)B，2F⎫⎪⎭，∴()2,1AE=，2BF⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴24233AE BF⋅=-+=.2．【答案】1(,2)(2,)2-+∞【解析】∵a与b的夹角为钝角，∴0⋅<a b，即(2,1)(,1)210λλ--⋅=--<，∴12λ>-.又当a与b反向时，夹角为180°，即||||⋅=-a b a b，则21λ+=2λ=.应该排除反向的情形，即排除2λ=，于是实数λ的取值范围为1(,2)(2,)2-+∞.【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,cos10θ=>;当夹角为180°时,cos10θ=-<,这是容易忽略的地方.3．【答案】B【名师点睛】本题可根据已知条件构造坐标系，从而可求得m 的终点的轨迹方程，再根据平面几何知识求解. 4．【答案】C【解析】将直线方程代入圆的方程得：，则由∆得恒成立，即.设点则,,即，平方得0,即,即，即,即有解,即，即,综上可知:.5．【答案】D【解析】因为G 是ABC △的重心，所以有GA GB GC ++=0.又33aGA bGB cGC ++=0，所以a ∶b c =1∶1∶1，设c ，则有a =b =1，由余弦定理可得，cosA ==A =30°，故选D.6．【答案】541．【答案】D【解析】()1,3x -=-a b ，那么()130x -⋅=--=a b b ，解得4x =，故选D. 2．【答案】A 【解析】因为，解得故本题选A.3．【答案】D【解析】由题意，共点力F 1=(lg 2，lg 2)，F 2=(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，其合力为F 1+F 2=（1，2lg2）, 产生位移s =(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W =( F 1+F 2).4．【答案】D【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以()()()1,22,13,1AC AB AD =+=-+=-，所以()23115AD AC ⋅=⨯+⨯-=，故选D ． 5．【答案】C6．【答案】B【解析】设向量,a b 的夹角为,由()1·,||||12-===a a b a b ,可得221·111cos 2θ-=-⨯⨯=a ab ,解得,根据∈,可知.7．【答案】D【解析】设边AB 的中点为D ，则由·=·可得·,则⊥，CA =CB ,同理可证CB =AB ,所以该三角形是等边三角形. 8．【答案】D 【解析】若,则,故(1)正确;若,则,故(2)正确;若,则,即,故(3)正确;若,则,即,故(4)正确.故选D. 9．【答案】C【解析】由题意知，向量a =(1,2)，b =(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则根据向量的数量积可知，a (a ＋λb )＞0，a ２＋λa b ＞0，而a ２=5，a b =1+2=3,则5+3λ>0,同时a ，a ＋λb 不能共线且同向，则λ，解得λ>−且λ≠0，选C.10．【答案】C=.当时,取得最大值5;当时,取得最小值2,即的取值范围是.选C.11．【答案】C【解析】设()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x C ，抛物线x y 22=的焦点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21F ，准线方程为21-=x ，由于F 是ABC △的重心，∴123123320x x x y y y ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，由抛物线的性质得112F A x =+，212FB x =+，312FC x =+，∴FA FB FC ++3212121321=+++++=x x x ，故选C.12．【解析】因为∥a b ，所以()1220y ⋅-⨯-=，解得4,y =-从而3+a b =(1,2),|3|+=a b13．【答案】【解析】由已知可知，,则，，,则22.14．【答案】π215．【答案】7【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设),(n m A ，),(n m C --，),(y x B ，∴(6,)PA PB PC x y ++=-，∴=(PA PB PC x ++的最大值为圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值，从而易得当⎩⎨⎧=-=01y x 时，P A P B P C++的最大值为7.1．【答案】A【解析】由+=-a b a b 平方得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A.【名师点睛】已知1122(,),(,)x y x y ==a b . (1)向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ,11BA AC OA OB λλ=⇔=++1OC λλ+.(2)向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .(3)向量运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b . 2．【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A. 3．【答案】C【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD ∠=∠>，由AB =BC =AD =2，CD =3，可求得OA OC <，OB OD <，进而得到312I I I <<． 4．【答案】A 【解析】因为向量1(,22BA =uu r,1),22BC =uu u r 所以1312222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠==⨯2=，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【名师点睛】（1）平面向量a 与b 的数量积为|||cos |θ⋅＝a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤；（2）由向量的数量积的性质知|a ·cos ||||θ=a ba b ，·0⇔⊥＝a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 5．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 6．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =. 【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. （2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b . 7．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则 12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．8．【答案】4，令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力和最值处理能力有一定的要求． 9．【答案】23-【解析】由题意，20,2(1)0,.3x x x ⋅=++=∴=-a b【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1212x x y y ⋅=+a b .10．【答案】78【解析】因为222211436()()=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==，2211114()()123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-，因此22513,82FD BC ==，所以222114()()224E D BB E CEB--⋅=-⋅--===【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．。
