信息熵的性质

通信原理信息熵通信原理中的信息熵是指在信息传输中所包含的信息量的度量。

信息熵的概念最早由克劳德·香农在1948年提出，他定义了信息熵作为信息传输中的不确定性度量。

信息熵通常用来描述一个随机变量中所包含的信息量的平均值。

在通信系统中，信息熵可以用来衡量信息源的不确定性，即信息源产生的符号的平均信息量。

信息熵越高，表示信息源产生的符号越不确定，需要更多的信息来描述。

相反，信息熵越低，表示信息源产生的符号越确定，需要较少的信息来描述。

信息熵的计算公式为H(X) = - Σ P(x) log2 P(x)，其中P(x)为随机变量X取某个值的概率。

这个公式告诉我们，信息熵的计算需要知道每个符号出现的概率。

如果一个符号出现的概率很高，那么它所携带的信息量就很低，因为我们可以预测它的出现。

相反，如果一个符号出现的概率很低，那么它所携带的信息量就很高，因为它的出现是不可预测的。

信息熵的单位是比特（bit），表示信息量的大小。

一个比特表示一个二进制选择的结果，即两种可能性中的一种。

例如，抛一次硬币的结果可以用1比特来表示，因为它有两种可能的结果：正面或反面。

如果我们抛两次硬币，结果可以用2比特来表示，因为它有四种可能的结果：正正、正反、反正、反反。

在通信系统中，信息熵的概念对于设计编码方案和传输协议非常重要。

在编码方案中，我们希望尽可能地利用信息熵的特性，减少冗余信息，提高编码效率。

在传输协议中，我们需要考虑信道容量和传输速率，以确保能够有效地传输信息。

信息熵的概念也与信息压缩和数据压缩密切相关。

在信息压缩中，我们希望通过去除冗余信息来减少数据的存储空间和传输带宽。

信息熵提供了一个理论上的界限，即最低的压缩率。

在数据压缩算法中，我们可以利用信息熵的特性来设计压缩算法，以提高压缩效率。

除了信息熵，通信原理中还有其他重要的概念，如信噪比、传输速率和带宽等。

这些概念共同构成了通信系统的基础知识。

了解和理解这些概念对于设计和优化通信系统非常重要。

信息论基础理论与应用考试题及答案信息论基础理论与应用考试题一﹑填空题（每题2分，共20分）1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的（可靠性）﹑（有效性）﹑保密性和认证性，使信息传输系统达到最优化。

（考点：信息论的研究目的）2.电视屏上约有500×600=3×510个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑，则可组成531010⨯个不同的画面。

按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约为（610bit /画面）。

（考点：信息量的概念及计算）3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 （加性信道）和 （乘性信道）。

（考点：信道按噪声统计特性的分类）4.英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。

若r=2，N=1，即对信源S 的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用 （5）位二元符号编码才行。

（考点：等长码编码位数的计算）5.如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验概率准则）或（最小错误概率准则）。

（考点：错误概率和译码准则的概念）6.按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷积码）。

（考点：纠错码的分类）7.码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4，2））线性分组码。

（考点：线性分组码的基本概念）8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量，即（11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑）。

（考点：平均信息量的定义）9.对于一个（n,k）分组码，其最小距离为d，那么，若能纠正t个随机错误，同时能检测e（e≥t）个随机错误，则要求（d≥t+e+1）。

（考点：线性分组码的纠检错能力概念）10.和离散信道一样，对于固定的连续信道和波形信道都有一个最大的信息传输速率，称之为（信道容量）。

信息熵（informationentropy）百科物理
信息熵（informationentropy）百科物理
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信息熵（informationentropy）
信息熵(informationentropy)
是信息论中信息量的统计表述。

香农(Shannon)定义信息量为：`I=-Ksum_ip_ilnp_i`，表示信息所消除的不确定性(系统有序程度)的量度，K为待定常数，pi为事件出现的概率，$sump_i=1$。

对于N个等概率事件，pi=1/N，系统的信息量为I=-Klnpi=KlnN。

平衡态时系统热力学函数熵的最大值为$S=-ksum_iW_ilnW_i=klnOmega$，k为玻尔兹曼常数，Wi=1/为系统各状态的概率，$sum_iW_i=1$，为系统状态数，熵是无序程度的量度。

信息量I与熵S具有相同的统计意义。

设K为玻尔兹曼常数k，则信息量I可称信息熵，为
$H=-ksum_ip_ilnp_i$，信息给系统带来负熵。

如取K=1，对数底取2，熵的单位为比特(bit);取底为e，则称尼特。

信息熵是生命系统(作为非平衡系统)在形成有序结构耗散结
构时，所接受的负熵的一部分。

由查字典物理网独家提供信息熵(informationentropy)百
科物理，希望给大家提供帮助。

2.2 熵函数的性质熵函数•H(P)是概率矢量P 的函数，称为熵函数。

•表示方法：–用H(x)表示随机变量x 的熵；–用H(P)或H(p 1, p 2 , …, p q )表示概率矢量为P = (p 1, p 2, …, p q )的q 个符号信源的熵。

–若当q =2 时，因为p 1+p 2 = 1, 所以将两个符号的熵函数写成H(p 1)或H(p 2)。

•熵函数H(P)是一种特殊函数，具有以下性质。

2、确定性：H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0…,0)=0•性质说明：这个信源是一个确知信源，其熵等于零。

3、非负性：H(P) ≥0•说明：–这种非负性合适于离散信源的熵，对连续信源来说这一性质并不存在。

以后可看到在相对熵的概念下，可能出现负值。

非负性体现信息是非负的。

4、扩展性•性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率很小(接近于零)，则信源的熵不变。

),...,,(),,...,,(lim 212110q q q q p p p H p p p H =−+→εεε),,,(log 211q q qi i i p p p H p p ⋅⋅⋅=−=∑=}log )log()(log {lim 110εεεεε∑−=→−−−−−=q i q q i i p p p p 所以，上式成立),,,,(lim 2110εεε−⋅⋅⋅+→q q p p p H 因为5、可加性()()(/)()()(/)(|)(|)(/)H X Y H X H Y X H X Y H Y H X Y H X Y Z H X Z H Y X Z =+=+=+统计独立信源X 和Y 的联合信源的熵等于信源X 和Y 各自的熵之和。

H(XY) = H(X)+ H(Y)可加性是熵函数的一个重要特性，正因具有可加性，才使熵函数的形式是唯一的。

222()log ()()log (/)log ()()(/)()(/):()()(/)(/)1i j i i j j i ijiji i j i j yp x y q x p x y p y x q x p x y H Y X H X H Y X p xy q x p y x p y x =−−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦=+==∑∑∑∑∑∑∑利用可加性证明22()()log ()()log [()(/)]i j i j iji j i j i ijH XY p x y p x y p x y q x p y x =−=−∑∑∑∑同理=+H XY Z H X Z H Y XZ(|)(|)(/)复习链式法则()()()|H X Y HX HYX=+()()()()()()121213*********...//.../.../...n n n ni i i H X X X H X H X X H X X X H X X X X H X X X X −−==++++=∑复习熵函数的性质H(p 1,p 2,…, p n )对称性非负性极值性连续性扩展性可加性()()()()()()()()()1222122211111211122112221,,...,,...,,...,,,.,,...,,,..,,,...,||n nn n n n n n m nn i i x m i im i Xm q H q p q p q p H q q q q H p p p H XY H X H Y X p q q q p q p H X q x H q x p Y q p =∈=+=+=+∑∑定理：1. H(X/Y ) ≤H (X )2. H (XY ) ≤H (X )+H (Y )证明：222(/)((/)()log (/)()/)(/)()log ()log ()i j i j ijj ji j i j i j i j j i i p x y p x y p H X Y p x y p x y p y p y H p x X x y =−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎡⎤≤−⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑∑∑()()/j H X y H X 与大小比较?\1211/81/825/81/8x y ()()/j H X y H X 与大小比较?定义概率矢量满足仅K-1个分量独立。

信息熵与热力学熵信息熵与热力学熵December 2nd, 2011化学及热力学中所指的熵，是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数。

熵亦被用于计算一个系统中的失序现象，用来衡量一个系统混乱程度的度量。

热力学熵熵是什么呢？宏观上--体系的熵等于可逆过程吸收或耗散的热量除以它的绝对温度，也就是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数。

微观上--熵是大量微观粒子的位置和速度的分布概率的函数，是描述系统中大量微观粒子的无序性的宏观参数。

举例来讲果我们能看到橡皮筋的分子结构，我们会发现它的结构在拉紧和放松的状态时是不一样的。

放松的时候它的分子结构像一团乱麻交织在一起。

而在把橡皮筋拉长的时候，那些如同链状的分子就会沿着拉伸的方向比较整齐地排列起来。

于是我们可以看到两种状态：一种是自然，或者自发的状态。

在这种状态下结构呈混乱或无序状。

而另一种是在外界的拉力下规则地排列起来的状态。

这种无序的状态还可以从分子的扩散中观察到。

用一个密封的箱子，中间放一个隔板。

在隔板的左边空间注入烟。

我们把隔板去掉，左边的烟就会自然(自发)地向右边扩散，最后均匀地占满整个箱体。

这种状态称为无序。

在物理学里我们可以用熵的概念来描述某一种状态自发变化的方向。

比如把有规则排列的状态称为低熵而混乱的状态对应于高熵而熵则是无序性的定量量度。

热力学第二定律的结论是：一个孤立系统的熵永不减少。

换句话说，物质世界的状态总是自发地转变成无序；从低熵变到高熵。

比如，当外力去除之后，整齐排列的分子就会自然地向紊乱的状态转变；而箱子左边的烟一定会自发地向右边扩散。

这就是著名的熵增定律，熵增原理表示自然界会越来越无序。

信息熵那么信息熵是什么呢？一个 X 值域为x1,...,xn的随机变量的熵值 H 定义为：其中，E 代表了期望函数，而 I(X) 是 X 的信息量（又称为信息本体）。

I(X) 本身是个随机变量。

如果p 代表了X 的机率质量函数（probability mass function），则熵的公式可以表示为：信息熵可以认为是系统中所含有的平均信息量大小，也可以认为是描述一个系统需要的最小存储空间长度，即最少用多少个存储空间就可以描述这个系统。

2012 年 06 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目信息熵及其性质和应用论文内容（需明确列出研究的问题）：研究信息熵的目的就是为了更深入的了解信息熵，更好的了解信息熵的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。

文中介绍了信息熵的定义和性质及其应用。

使我们对信息熵有跟深入的了解。

资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。

文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。

内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。

参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。

发出任务书日期 06月15日完成论文日期 06月25日教研室意见（签字）院长意见（签字）信息熵及其性质和应用信息与计算科学专业指导教师吴慧摘要：信息熵是随机变量不确定性的度量，文中从信息熵的定义出发，结合信息熵的性质，介绍了目前信息熵在具体问题中的应用。

信息是一个十分通俗而又广泛的名词，它是人类认识世界、改造世界的知识源泉。

人类社会发展的速度，在一定程度上取决于人类对信息利用的水平，所以对信息的度量就很有必要。

香农提出信息的一种度量，熵的定义形式，它是随机变量不确定性的度量，文中主要介绍熵的性质及其应用。

关键词；信息熵性质应用Information entropy and its properties and Application Student majoring in Information and Computing Science Specialty dongqiangTutor WuHuiAbstract：information entropy is a measure of uncertainty of random variable, this paper from the definition of information entropy, combined with the nature of information entropy, information entropy, introduced the specific issues in the application rmation is a very popular and widely noun, it is human understanding of the world, transforming the world knowledge source . The human society development speed, depend on on certain level the human make use of information level, so the measurement information is necessary.Shannon put forward the informa-tion a kind of measurement, the definition of entropy form, it is the uncertainty of random variable metric, this paper mainly introduces the property of entropy and its application.Key words:information entropy properties application引言:作为一种通俗的解释，熵是一种不规则性的测量尺度．这一种解释起源于香农在通讯理论的研究中，为确定信息量而提出的一种熵测度．对于离散概率分布p=(p 1,p…，p n )，香农熵定义为H(X)=E[I()]=log 在i x ∑-i p i p p 1+p 2+p 3+…p k =1的条件下，为使H （X ）最大，显然是p i ＝1/k （i=1,2,…，k ），即在等概率分布情况下H(X)达到最大值，换句话说，熵的值与不规则度（如果以等概率分布作为不规则性的极端表现）是一致的．这是熵作为一个概率测度的理论基础．物理学的发展为熵理论提供了更为现实的应用背景，热力学的第二法则既是所谓熵增大的法则，对孤立的系统，系统的热力学状态只能假定在熵增大的方向上起变化，Boltzmann 原理把熵引入了热力学的研究领域，他所提供的著名关系式S=klogw （ｗ是系统状态的概率）是后来Planck 的量变论及爱因斯坦的光量子理论开展的基础．人们对熵的认识和应用很长一段时间内都局限于理论物理领域，直到本世纪中叶，一些人开始注意到熵对系统不确定性度量的一般性，试图在行为科学和社会科学中更广泛地引用熵，对一些复杂现象加以刻划。