《名校学案》高中数学人教A(选修2-2)课件：第一章导数及其应用阶段复习课.

1.5.3 定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃb a f (x )d x <0，－ʃb a f (x )d x 等于曲边梯形的面积．知识点三 定积分的性质思考你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)吗？答案直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.梳理(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)．(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x.(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．1．ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)2．ʃb a f(x)d x的值一定是一个正数．(×)3．ʃb a⎣⎡⎦⎤x3＋⎝⎛⎭⎫12x d x＝ʃb a x3d x＋ʃb a⎝⎛⎭⎫12x d x.(√)类型一利用定积分的定义求定积分例1利用定积分的定义，计算ʃ21(3x＋2)d x的值．考点定积分的概念题点定积分的概念解令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、求和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i －1)n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n. (3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n，[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋i n ，i ＝1,2，…，n .取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in .则∑ni ＝1f (ξi )Δx i＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4＋i n ·1n＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4n ＋i n 2＝n ·4n ＋1＋2＋…＋n n 2＝4＋n ＋12n.∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x .考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －x d x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值．(1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3，S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2. ∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6 D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 由定积分的概念可知， ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6. 3．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 B解析 ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16. 4．由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A ．ʃ10(－x )d xB ．ʃ10|－x |d xC ．ʃ0－1x d xD ．－ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 B解析 由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为 S ＝ʃ10|－x |d x .5．计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x . 考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb a f (x )d x是一个和式 i ＝1n b －anf (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n B ．lim n →∞ ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n C.∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n D ．lim n →∞ ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D 解析根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n .2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d x B ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d x D ．ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12， B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A. 3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃb a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝⎛⎦⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义答案 B解析 定积分S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝⎛⎭⎫12，12.由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ1013x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用答案A解析根据定积分的几何意义，易知ʃ10x3d x<ʃ10x2d x<ʃ1013x d x，即a>b>c，故选A.8．若ʃa－a|56x|d x≤2 016，则正数a的最大值为() A．6 B．56C．36 D．2 016考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案A解析由ʃa－a|56x|d x＝56ʃa－a|x|d x≤2 016，得ʃa－a|x|d x≤36，∵ʃa－a|x|d x＝a2，∴a2≤36，即0<a≤6.故正数a的最大值为6.二、填空题9．若ʃ1012f(x)d x＝1，ʃ0－13f(x)d x＝2，则ʃ1－1f(x)d x＝________.考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用答案8 3解析∵ʃ1012f(x)d x＝12ʃ10f(x)d x＝1，∴ʃ10f(x)d x＝2.又ʃ0－13f(x)d x＝3ʃ0－1f(x)d x＝2，∴ʃ0－1f(x)d x＝2 3.∴ʃ1－1f(x)d x＝ʃ0－1f(x)d x＋ʃ10f(x)d x＝23＋2＝83.10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x 11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x .因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1， 得⎩⎨⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题 13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1. 15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π， 求ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2， 得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . ∵圆的面积为8π， ∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·⎝⎛⎭⎫14＋16π＝2π＋43. 由定积分的几何意义得，ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝12ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。

§1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( × ) 3．f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x4.( √ )类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝sin π6；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(3)y ＝lg x ；(4)y ＝x 2x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 解 (1)y ′＝0.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝1x ln 10.(4)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝3212x ＝32x .(5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思与感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝1x 3，则f ′(－3)等于( )A ．81B ．243C ．－243D ．－127(2)已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝ .考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 (1)D (2)1 解析 (1)因为f (x )＝x －3， 所以f ′(x )＝－3x －4＝－3x 4，所以f ′(－3)＝－3(－3)4＝－127.(2)因为f (x )＝ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝1x，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.类型二 利用导数公式研究切线问题 命题角度1 求切线方程或切线斜率例2 已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x ，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，得两曲线的交点坐标为(1,1)．两条曲线切线的斜率分别为f ′(1)＝12，g ′(1)＝－1.易得两切线方程分别为y －1＝12(x －1)，y －1＝－(x －1)，即y ＝12x ＋12与y ＝－x ＋2.其与x 轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，所以两切线与x 轴所围成的三角形面积为12×1×|2－(－1)|＝32.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2 已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝ . 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意得0=|x x y'＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e .命题角度2 求切点坐标问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用解 设切点坐标为(x 0，x 20)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用解 由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得P (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.故P (1,1)点即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大.1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则=3|x y'＝－227.A ．1B ．2C ．3D ．4考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 C解析 ①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确． 2．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 B解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 20＝1， ∴x 0＝±33.故斜率等于1的切线有2条． 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝ . 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 1解析 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x ，f ′(x )－g ′(x )＝1，即2x －1x ＝1，解得x ＝1或－12.因为x >0，所以x ＝1.4．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 (1，e) e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 切线的斜率为0=|x x y'＝0e x， 则0e x ＝y 0－0x 0－0，①又y 0＝0e x，② 由①②可得x 0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.5．求过曲线y ＝sin x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与在该点处的切线垂直的直线方程． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用解 曲线y ＝sin x 在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处切线的斜率 k ＝π=6|x y'＝cos π6＝32， 则与切线垂直的直线的斜率为－233，∴所求直线方程为y －12＝－233⎝⎛⎭⎫x －π6， 即123x ＋18y －23π－9＝0.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1．下列各式中正确的个数是( )①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③⎝⎛⎭⎫1x ′＝－12x －32；④(5x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A ．3 B ．4 C ．5 D ．6考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 B解析 ∵②(x －1)′＝－x －2； ⑥(cos 2)′＝0. ∴②⑥不正确，故选B.2．已知函数f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5D ．－5考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.3．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523 B.110523C.25523 D.110523 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 B解析 ∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.4．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( )A.⎝⎛⎭⎫π3，32 B.⎝⎛⎭⎫－π3，－32或⎝⎛⎭⎫π3，32C.⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，32(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，32或⎝⎛⎭⎫2k π－π3，－32(k ∈Z )考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 D解析 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵0=|x x y'＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或－32. 5．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 C解析 ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.6．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( ) A ．f (x )＝e x B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用 答案 D解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A 项中，(e x )′＝e x >0，B 项中，(x 3)′＝3x 2≥0，C 项中，x >0，即(ln x )′＝1x >0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.7．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A.1n B.1n ＋1 C.n n ＋1D ．1考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 B解析 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)·x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1， ∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)． 令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.二、填空题 8．若曲线y ＝12x -在点(a ，12a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝ .考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用 答案 64 解析 ∵y ＝12x-，∴y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a-)处的切线斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a -＝－1232a -(x －a )． 令x ＝0，得y ＝3212a -；令y ＝0，得x ＝3a ， ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·3212a -＝9412a ＝18， ∴a ＝64.9．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ．考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．10．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是 ．考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 4解析 ∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a(x －a )， 令x ＝0，得y ＝a 2，令y ＝0，得x ＝－a ， 由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 11．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝ . 考点 正弦、余弦函数的导数题点 正弦、余弦函数的运算法则答案 cos x解析 由已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…依次类推可得，f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .12．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ．考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 三、解答题13．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，所以0e x ＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 四、探究与拓展14．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.15．求证：双曲线xy ＝a 2(a ≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用证明 设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝2a 2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0. 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。