高中数学必修4第一章课件_1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象

5、把函数y f ( x )的图像沿x轴向右平移

8
个单位,
1 再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 , 2 恰好得到y cos x的图像, 求函数f ( x ).
解 : 设y f ( x ),向右平移

8
则得到y f ( x

8
),
1 横坐标缩短为原来的 则得到y f ( 2 x ) 2 8 t 由f ( 2 x ) cos x，设t 2 x ，则x 8 8 2 16 t x f ( t ) cos( ) f ( x ) cos( ) 2 16 2 16


.
(2)左右伸缩变换
(3)上下ห้องสมุดไป่ตู้缩变换
2
一、复习回顾 由y sin x 到y A sin( x )的图象变换步骤 步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 步骤5
画出y sin x在0， 2 上的简图
沿 x轴 横坐标 纵坐标
平行移动 伸长或缩短 伸长或缩短
得到y sin( x )在长度为2的区间内的简图
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往 复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式。 y/cm E 2 · A ·
O
0.4 B
D. 0.8 · C
1.2 F
x/s
9
10
四、例题分析
例2、已知函数y A sin( x )( A 0, 0, ) 2 在一个周期内的简图(如图)，求其相应的函数表达 式，并说明它是由y sin x的图像怎么变换得到的。
(平移 个单位)
6
三、针对性练习

变式训练 1
1 用“五点法”作出函数 y＝ cos2x 的简图． 2
解
列表 2x x 1 2cos2x 0 0 1 2 π 2 π 4 0 π π 2 1 －2 3 π 2 3 π 4 0 2π π 1 2
描点连线，如下图所示．
将这个函数在一个周期内的图像向左、右扩展，即得 y 1 ＝2cos2x 的图像．
π y＝sinx－3的图像， 再把 π y＝sinx－3的图像上各点的横坐标 1 π y＝sin2x－3的图像，
伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 最后把
1 π y＝sin2x－3的图像上各点纵坐标伸长到原来的 1 π y＝2sin2x－3的图像．
解 列表 1 π 2x＋6 x
1 π 2sin2x＋6
0 π － 3 0
π 2 2 π 3 2
π 5 π 3 0
3 2π 8 π 3 －2
2π 11 π 3 0
描点连线，如下图所示．
将这个函数在一个周期内的图像向左、右两边平移即得
1 π y＝2sin2x＋6的图像．
特别提醒：①注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别； ②在作图像时，提倡先相位变换再周期变换．不论哪一 种变换，都是对字母 x 而言的，即看“变量”起多大变化， 而不是“角变化”多少.
典例剖析
类型一 例1
作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
1 π 用“五点法”画出y＝2sin2x＋6的图像．
第一章
三角函数
§1.5 函数 y＝Asin(ω x＋φ )的图像
课前热身
名师讲解
典例剖析
考题精选
技能提升
课前热身
1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的两种画法 π 3π (1)五点法：①列表(ωx＋φ 通常取 0， ，π， ，2π 这五 2 2 个值)；②描点；③________.

)
图 1－3－2
π π π π 2x＋6＝sin2x＋3＝cos2－2x＋3
π π ＝cos－2x＋6＝cos2x－6，故选
B.
(2)因为函数
π y＝2sinx＋3的图象向左平移
m 个单位长度，
法二
由图象知
π 5π A＝3，且图象过点3，0和 6 ，0，
π ω＋φ＝π， 3· 根据五点作图法原理，有 5π· ω＋φ＝2π， 6
π π 解得 ω＝2，φ＝ ，∴y＝3sin2x＋3. 3
法三 由图象，知 A＝3，T＝π，又图象过点
π π π 令 2kπ － 2 ≤x － 3 ≤2kπ ＋ 2 (k ∈ Z) 得 原 函 数 的 增 区 间 为
π 5 2kπ－ ，2kπ＋ π(k∈Z). 6 6
π π 3 令 2kπ ＋ 2 ≤x － 3 ≤2kπ ＋ 2 π ， (k ∈ Z) 得原函数的减区间为
5 11 2kπ＋ π，2kπ＋ π(k∈Z). 6 6
的图象，并写
出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间和 对称轴方程.
【分析】 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期 的图象，左、右扩展可得图象，然后根据图象研究性质.
【解析】
①列表： π 5 4 11 7 x π π π π 3 6 3 6 3 π π 3 0 π x－ π 2π 3 2 2 y 3 5 3 1 3
(2)五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一
φ 个零点－ω，0 作为突破口.“五点”的
ωx＋φ 的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； π “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝ ； 2 “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； 3π “第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ＝ ； 2 “第五点”为 ωx＋φ＝2π.

横向
y=f(x)
y=f(ax)
【智勇大冲关-----初级】
合作探究
【智勇大冲关-----中级】
1.已知函数y 3sin(x )的图象为C.
5
为了得到函数y 3sin(2x )的图象, 只要
5
把C上所有的点 B
( A)横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的1 倍, 纵坐标不变
解：可逆向思考如下
y 1 sin x 2
向右平移 个单位
y
1 2
s
in(x
2
)
横坐标变为本来的一半 即得解析式为y 1 sin(2x )
2
2
3、已知函数y 1 cos(2x )的图像为C，为了得到
5
3
B 函数y 1 sin(2x 2 )的图像， 只需把C上所有点( )
5
3
(A)向左平移 个单位长度 分析：
沿x轴
平移
φ
ω
个单位
y sin(x )
y sin(x )
纵坐标 变为本来的A倍
纵坐标 变为本来的A倍
得y A sin(x )图象,再由周期性扩充到 R上
【智勇大冲关-----高级】
2、函数f(x)的横坐标伸长到本来的两倍，再向左平
移 个单位，所得到的曲线是
的图象，试
求函数y=f(x)的解析式.
3
(B)向右平移 个单位长度 12
(C)向左平移 个单位长度 12
(D)向右平移 个单位长度 6
课堂感悟
➢ 1、“五点法”作函数图象 ——注意取好关键点；
➢ 2、正弦曲线变换得到函数的图象 ——顺序可任意，平移要注意；
➢ 3、余弦曲线变换得到函数的图象 ——作法全相同.