《边界元法》

边界元法-详解边界元法（boundary element method）目录• 1 什么是边界元法• 2 边界元法的特点• 3 边界元法的发展• 4 相关条目什么是边界元法边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。

所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。

但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。

边界元法的特点边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法。

又称边界积分方程-边界元法。

它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。

它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。

又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。

特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。

由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。

边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。

对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。

边界元法的发展经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。

在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。

声波边界元法
（1）边界元法：用于模拟声辐射或声散射，其与有限元法在连续体域划分单元的思想不同，只是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，具有单元个数少、数据准备简单的优势；
（2）无限元法：几何上趋于无穷的单元，是一种特殊的有限元，也是对有限元求解无界域问题上的有效补充，并可实现与有限元间的无缝连接；
（3）声波吸收层法：试图在边界外建立一个薄层，使声波在该层内快速衰减；
（4）无反射边界法：是把无限剩余的计算域中声波，用其在边界上的未知解及其导数的关系式表示。

声波是机械波，其传播过程是能量的传播过程。

传播时引起周围介质质点振动，振动质点又引起其他周围质点的振动，这样振动就在介质中传播开来。

根据振源不同，可将声分为机械声和气动声，前者指机械振动产生的声，后者指流体流动或物体在流体中运动引起流体振动产生的声，如风中的电线杆，因此气动声是研究声和流动流体的相互作用。

《边界元法》课程教学大纲课程名称：边界元法英文名称：boundary element method课程编码：51416018学时/学分：36/2课程性质：必修适用专业：工程力学先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等一、课程的目的与任务本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。

所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。

但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。

二、教学内容及基本要求第一章引言教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界元法的基础条件。

教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。

难点怎么利用积分法解微分方程的基本解。

教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。

课时安排：1学时教学内容：第一节边界元法的数学基础第二节边界元法的发展历史第三节我国边界元法研究概况第四节边界元法研究的最新进展第五节边界元法的应用举例第六节边界元法的优缺点第七节本书的内容安排复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。

考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。

第二章位势问题的边界积分方程与边界元法教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问题中的边界条件，了解珀松方程的基本概念。

要求学生能够利用微积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应用于格林(Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方程。

泰勒展开边界元法摘要：一、泰勒展开简介1.泰勒展开的定义2.泰勒级数的重要性质二、边界元法简介1.边界元法的定义2.边界元法的基本原理3.边界元法与其他数值方法的比较三、泰勒展开边界元法1.泰勒展开边界元法的定义2.泰勒展开边界元法的基本原理3.泰勒展开边界元法的应用领域4.泰勒展开边界元法的优点与局限性正文：泰勒展开边界元法是一种将泰勒展开应用于边界元法的数值计算方法。

泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数展开成一系列项的级数，可以近似表示函数。

边界元法是一种求解偏微分方程的数值方法，它将问题转化为求解边界上的积分方程。

将泰勒展开应用于边界元法，可以提高计算效率和精度。

泰勒展开的定义是：给定一个函数f(x)，如果存在一个正整数n 和一个正数R，使得对于x 的所有值，有|f(x) - f(x0)| < R，其中x0 是x 的一个展开点，那么f(x) 可以写成一个关于x0 的泰勒级数：f(x) = f(x0) + f"(x0)(x - x0) + ...+ R^n f^(n)(x0)/n!(x - x0)^n。

泰勒级数的重要性质是，当展开点x0 与x 接近时，泰勒级数的值可以很好地近似函数f(x)。

边界元法是一种求解偏微分方程的数值方法，其基本原理是将偏微分方程转化为边界上的积分方程。

通过求解这些积分方程，可以得到问题的解。

与其他数值方法相比，边界元法具有较高的精度和计算效率，尤其适用于复杂几何和材料特性问题。

泰勒展开边界元法是将泰勒展开应用于边界元法的一种数值计算方法。

泰勒展开边界元法的基本原理是将边界元法中的边界积分方程用泰勒级数展开来近似。

这样，原本复杂的积分方程可以简化为容易求解的多项式方程。

泰勒展开边界元法可以应用于各种边界值问题，如热传导、电磁场计算等。

泰勒展开边界元法具有以下优点：1.提高计算效率：通过泰勒展开，可以将复杂的边界积分方程简化为多项式方程，降低计算难度。

《边界元法》课程教学大纲课程名称：边界元法英文名称：boundary element method课程编码：51416018学时/学分：36/2课程性质：必修适用专业：工程力学先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等一、课程的目的与任务本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。

所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。

但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。

二、教学内容及基本要求第一章引言教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界元法的基础条件。

教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。

难点怎么利用积分法解微分方程的基本解。

教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。

课时安排：1学时教学内容：第一节边界元法的数学基础第二节边界元法的发展历史第三节我国边界元法研究概况第四节边界元法研究的最新进展第五节边界元法的应用举例第六节边界元法的优缺点第七节本书的内容安排复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。

考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。

第二章位势问题的边界积分方程与边界元法教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问题中的边界条件，了解珀松方程的基本概念。

要求学生能够利用微积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应用于格林(Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方程。