《边界元法》
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11_边界元法
u1 u U 2 un
q1 q Q 2 qn
=
(2.38)
8
2012/10/22
以细线为参考，导入下列部分矩阵
H11 H H1 = 21 H n1 H12 H1l H 22 H 2l H n 2 H nl
2012/10/22
按积分中值公式 θ 其中的 α (2.22)
等号右边的第二项 lim
→ ∗ ∗
, , Γ
Γ (2.25)
为圆弧上某一点。又因为 lim ln
→
1
0
(2.23)
等号右边的第四项 lim
→ ∗
所以 lim
→ ∗
,
Γ Γ (2.26)
, ln 1 α
Γ 0 (2.24)
lim
→
1 lim → 2
0 P Q ， P=Q
(1.3)
它的值由 (观察点)和 (源点)两点的相对位置决 定，所以叫做二点函数。二维、三维场合，拉克 函数的性质可以写成 =1
一维狄拉克 函数如图所示， 点(观察点)和 点(源 点)的坐标分别以 和 表示。它具有下列性质：
(1.6) (1.7)
在区域 内 不在区域 内 二维时为面积分，三维时为体积分。
lim
→
1 1 ln 2 1 1 ln 2
和 的方向相同，有 1 所以， lim
→ ∗
等号右边的第五项 lim
→ ∗
, ,
Γ Γ
(2.28)
, 1
Γ
lim
→
∗
lim
→
1 2 1 2 ′ α
把上述结果代入式（2.20），得 (2.27)
边界元法-详解
边界元法-详解边界元法（boundary element method）目录• 1 什么是边界元法• 2 边界元法的特点• 3 边界元法的发展• 4 相关条目什么是边界元法边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
边界元法的特点边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法。
又称边界积分方程-边界元法。
它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。
由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
边界元法的发展经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。
在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。
声波边界元法
声波边界元法
（1）边界元法：用于模拟声辐射或声散射，其与有限元法在连续体域划分单元的思想不同，只是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，具有单元个数少、数据准备简单的优势；
（2）无限元法：几何上趋于无穷的单元，是一种特殊的有限元，也是对有限元求解无界域问题上的有效补充，并可实现与有限元间的无缝连接；
（3）声波吸收层法：试图在边界外建立一个薄层，使声波在该层内快速衰减；
（4）无反射边界法：是把无限剩余的计算域中声波，用其在边界上的未知解及其导数的关系式表示。
声波是机械波，其传播过程是能量的传播过程。
传播时引起周围介质质点振动，振动质点又引起其他周围质点的振动，这样振动就在介质中传播开来。
根据振源不同，可将声分为机械声和气动声，前者指机械振动产生的声，后者指流体流动或物体在流体中运动引起流体振动产生的声，如风中的电线杆，因此气动声是研究声和流动流体的相互作用。
边界元法 chapter 01—概述
1.1 边界元方法的发展 边界元方法的发展
可分为两个阶段：
第一阶段: 19世纪各种积分方程的出现
Helmholtz (1859), Rayleigh(1889), Kirchhoff(1882)提出各种边界积分方程. 第二阶段: 20世纪边界元方法的出现
对于复杂的问题, 很难得到边界积分方程的解析解. 随着计算机技术的发展, 并借
边界元法
武汉大学水利水电学院 王桥
教学内容
边界元法基本理论
参考教材 1、 姚振汉等. 边界元法.高等教育出版社，2010 2、 高效伟等. 高等边界元法-理论与程序. 科学出版社 ，2015
第一章 概述
本章主要内容：
1.1 边界元法的发展 1.2 边界元法的特点
1.3 边界元法的应用
1.1 边界元方法的发展 工程的数值方法
Engineering Analysis with Boundary Element International Journal of Solids and Structures Journal of Applied Mechanics, ASME.
Mechanics of Materials
International Journal of Fracture 国内刊物有: 力学学报, 固体力学学报, 计算力学学报
鉴有限元方法, 边界元方法发展成熟. 边界元方法就是边界积分方程的离散形式.
1.1 边界元方法的发展 边界元方法的发展
弹性力学边界元方法具有里程碑 意义的两篇文章: 1969年, Rizzo FJ.发表了第一篇边界元文章(Quarterly Applied Mathematics 25(1):83-95), 形成有效的分元数值计算方法.研究对象为2D弹性力学问题. 1976年, Lachat JC 和 Waston JO 提出了有效的3D弹性力学的边界元数值 方法(Int. J. Numer. Meth. Engng 1976; 10:991-1005).
51416018-《边界元法》
《边界元法》课程教学大纲课程名称：边界元法英文名称：boundary element method课程编码：51416018学时/学分：36/2课程性质：必修适用专业：工程力学先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等一、课程的目的与任务本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
二、教学内容及基本要求第一章引言教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界元法的基础条件。
教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。
难点怎么利用积分法解微分方程的基本解。
教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。
课时安排：1学时教学内容：第一节边界元法的数学基础第二节边界元法的发展历史第三节我国边界元法研究概况第四节边界元法研究的最新进展第五节边界元法的应用举例第六节边界元法的优缺点第七节本书的内容安排复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。
第二章位势问题的边界积分方程与边界元法教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问题中的边界条件，了解珀松方程的基本概念。
要求学生能够利用微积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应用于格林(Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方程。
边界元法
表 量曲E面外(外r)其 n它，电且荷为产已生知的量电。位(5移.9矢)式量把在边曲界面面上上的的法未向分知
电荷之间的关系以及与其它已知电荷之间的关系联系在
一起。
(先r)用的边分界 布，元再法取解积T＝分l方的程(5式.8()5式.9计)，算求区得域面V'电内荷的密场度。
如果考查区内只有带电导体而无其它电荷分布，应去
( yi ( yi ( yi ( yi
y j ) yi y j )2
y j ) yi y j )2
, ,
x
i
a cos
i
0.5
N
,
yi
a sin
i
0.5 ,
N
(5.13)
(5.12)式的这 8 个线性代数方程是齐次的，必有一个方程是不独
立的。我们还差一个方程。把(5.10)式在 r=0 处作相似的离散处
r V ' S'
得：T (r )
1
4
V'
(r') dV '
R
1
4
S'
(r' )n'
R R3
1 R
(r' )
n'
dS'
(6)
当r V '时T 1的这个公式在电动力学教科书中都能找到。(6) 式 场就(r是)与与边泊界松上方的程场对应(r的')及格林(函r'数) 联积系分在形一式起解。。它把区域内的
T (r)
1
4
V '
边界元法课件
模拟算例
耦合轧制接触模型－边界元法
陈一鸣在肖宏和黄庆学等人基础上 给出3维弹塑性摩擦接触边界元法及滚动轧
制FORTRAN源程序 将板带的弹塑性变形同轧辊弹性变形耦联
起来，“同时”、“并行”模拟轧制过 程 给出了9组不同轧制参数、宽厚比为200板 带冷轧过程数值模拟结果 带材边部出现了明显的“猫耳”形凸峰
弹塑性BEM
陈政清博士给出弹塑性大变形边界元法 完成了拉伸试件颈缩定量数值模拟
肖宏博士建立三维弹塑性有限形变边界元 法和轧制过程模拟边界元法源程序
给出板带轧制过程变形－面力－应力场 很好的处理奇异问题
规模局限性
典型边界元法计算结构（边界积分方程－影响系 数数值积分－矩阵方程及消去法求解）局限性
系数积分计算和方程组的求解时间长，占用大量 的计算机内存和主机CPU的时间
裂纹的生成及扩展 流体运动 骨骼生长
接触问题等研究领域
Байду номын сангаас
国内简史
在国内，1978年起步 杜庆华院士
率先推动工程中边界元法
冯康、胡海昌、何广乾院士等 加入到边界元法的研究者行列
我国边界元法研究得到了迅速的发展
研究起点和热点
我国大部分工程中边界元法 固体力学方面开始
后迅速转入非线性问题领域 出版自然边界元法1993
户泽－石川轧制模型
柳本－木内轧制模型
20世纪90年代初 柳本潤和木内学给出拉格朗日乘数3维刚塑性有
限元法和流线速度接触弹性有限元法耦合计算 宽厚比为15和238 给出变形区内三维6个应力分量分布 单位轧制压力分布图中看到 “猫耳”形凸峰趋
势 显出变形区入口和出口单位轧制压力不等于零 （刚塑性有限元法模拟带钢变形的结果）
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法摘要：一、泰勒展开简介1.泰勒展开的定义2.泰勒级数的重要性质二、边界元法简介1.边界元法的定义2.边界元法的基本原理3.边界元法与其他数值方法的比较三、泰勒展开边界元法1.泰勒展开边界元法的定义2.泰勒展开边界元法的基本原理3.泰勒展开边界元法的应用领域4.泰勒展开边界元法的优点与局限性正文：泰勒展开边界元法是一种将泰勒展开应用于边界元法的数值计算方法。
泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数展开成一系列项的级数，可以近似表示函数。
边界元法是一种求解偏微分方程的数值方法，它将问题转化为求解边界上的积分方程。
将泰勒展开应用于边界元法，可以提高计算效率和精度。
泰勒展开的定义是：给定一个函数f(x)，如果存在一个正整数n 和一个正数R，使得对于x 的所有值，有|f(x) - f(x0)| < R，其中x0 是x 的一个展开点，那么f(x) 可以写成一个关于x0 的泰勒级数：f(x) = f(x0) + f"(x0)(x - x0) + ...+ R^n f^(n)(x0)/n!(x - x0)^n。
泰勒级数的重要性质是，当展开点x0 与x 接近时，泰勒级数的值可以很好地近似函数f(x)。
边界元法是一种求解偏微分方程的数值方法，其基本原理是将偏微分方程转化为边界上的积分方程。
通过求解这些积分方程，可以得到问题的解。
与其他数值方法相比，边界元法具有较高的精度和计算效率，尤其适用于复杂几何和材料特性问题。
泰勒展开边界元法是将泰勒展开应用于边界元法的一种数值计算方法。
泰勒展开边界元法的基本原理是将边界元法中的边界积分方程用泰勒级数展开来近似。
这样，原本复杂的积分方程可以简化为容易求解的多项式方程。
泰勒展开边界元法可以应用于各种边界值问题，如热传导、电磁场计算等。
泰勒展开边界元法具有以下优点：1.提高计算效率：通过泰勒展开，可以将复杂的边界积分方程简化为多项式方程，降低计算难度。
《边界元法》
《边界元法》课程教学大纲课程名称：边界元法英文名称：boundary element method课程编码：51416018学时/学分：36/2课程性质：必修适用专业：工程力学先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等一、课程的目的与任务本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
二、教学内容及基本要求第一章引言教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界元法的基础条件。
教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。
难点怎么利用积分法解微分方程的基本解。
教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。
课时安排：1学时教学内容：第一节边界元法的数学基础第二节边界元法的发展历史第三节我国边界元法研究概况第四节边界元法研究的最新进展第五节边界元法的应用举例第六节边界元法的优缺点第七节本书的内容安排复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。
第二章位势问题的边界积分方程与边界元法教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问题中的边界条件，了解珀松方程的基本概念。
要求学生能够利用微积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应用于格林(Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方程。
数值方法课件_边界元法
ห้องสมุดไป่ตู้
第四讲 边界元法
直接法 直接法
土
工
数
值
计
算
方
法
4.5 理论基础 论基础
第四讲 边界元法
• • • • • • • • • • • •
定解问题 加权余量法 变分法 函数 Dir Dirac 基本解 格林公式及其应 格林公式及其应用 积分方程 边界积分方程 广义傅里叶展开 特征函数及基本 特征函数及基本解 积分的算术化 二重积分的离散 二重积分的离散计算
线 理 处 题 问 性
土
工
数
值
计
算
方
法
4.1 优点与局限 点与局限性
第四讲 边界元法
1 变系数 数 线 性 及 时 1 变系 变系数 数 非 非 线 性 及 时 变系 相 关问题较 较 难适应 间 关问题 间 相 关问题较 较 难适应 关问题 2 所求解的 的 方程有 基于 所求解 2 基于所求解 基于所求解 所求解的 的 方程有 基于 所求解 无 基 本解 无 基 本解
土
工
数
值
计
算
方
法
4.1 优点与局限 点与局限性
和其他数值方法如有 其他数值方法 如有 限元法联用 广泛应 用于岩土工程有无限 域 半无限域的问题 及流体力学问题中
第四讲 边界元法
显示了巨 巨 大的优越 越 性 要 体现在: : 显示了 大的优 体现在 显示了巨 巨 大的优越 越 性 主 主 体现在: : 显示了 大的优 要 体现在 算 简单 问题降 降 维 求解 1 问题 1 计 计 简单 将 将 问题降 降 维 求解 算 问题 2 算 精度高 应力 与 位 移 具有 2 计 计 算 应力与 与 位 移 具有 精度高 应力与 应力 同 样 精度 同 样 精度 3 处 理 无限域 域 和 半无限 限 域 问题 无限 半无 3 可 可 处 理 无限域 域 和 半无限 限 域 问题 无限 半无
第四讲 边界元法
直接法 直接法
土
工
数
值
计
算
方
法
4.5 理论基础 论基础
第四讲 边界元法
• • • • • • • • • • • •
定解问题 加权余量法 变分法 函数 Dir Dirac 基本解 格林公式及其应 格林公式及其应用 积分方程 边界积分方程 广义傅里叶展开 特征函数及基本 特征函数及基本解 积分的算术化 二重积分的离散 二重积分的离散计算
线 理 处 题 问 性
土
工
数
值
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方
法
4.1 优点与局限 点与局限性
第四讲 边界元法
1 变系数 数 线 性 及 时 1 变系 变系数 数 非 非 线 性 及 时 变系 相 关问题较 较 难适应 间 关问题 间 相 关问题较 较 难适应 关问题 2 所求解的 的 方程有 基于 所求解 2 基于所求解 基于所求解 所求解的 的 方程有 基于 所求解 无 基 本解 无 基 本解
土
工
数
值
计
算
方
法
4.1 优点与局限 点与局限性
和其他数值方法如有 其他数值方法 如有 限元法联用 广泛应 用于岩土工程有无限 域 半无限域的问题 及流体力学问题中
第四讲 边界元法
显示了巨 巨 大的优越 越 性 要 体现在: : 显示了 大的优 体现在 显示了巨 巨 大的优越 越 性 主 主 体现在: : 显示了 大的优 要 体现在 算 简单 问题降 降 维 求解 1 问题 1 计 计 简单 将 将 问题降 降 维 求解 算 问题 2 算 精度高 应力 与 位 移 具有 2 计 计 算 应力与 与 位 移 具有 精度高 应力与 应力 同 样 精度 同 样 精度 3 处 理 无限域 域 和 半无限 限 域 问题 无限 半无 3 可 可 处 理 无限域 域 和 半无限 限 域 问题 无限 半无
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法1. 引言泰勒展开边界元法（Taylor Expansion Boundary Element Method，TEBEM）是一种用于解决边界值问题的数值计算方法。
它结合了泰勒展开和边界元法两种技术，能够高效、精确地求解各种物理问题的边界条件。
本文将详细介绍泰勒展开边界元法的原理和应用，并探讨其优缺点以及未来发展方向。
2. 泰勒展开原理泰勒展开是一种将一个函数在某个点附近进行多项式逼近的方法。
对于一个在点x0处连续可导的函数f(x)，其在x0附近的泰勒展开式可以表示为：其中，f^(n)(x0)表示函数f(x)在点x0处的n阶导数。
利用泰勒展开，我们可以将一个复杂的函数逼近为多项式形式，从而简化计算和分析。
3. 边界元法原理边界元法是一种求解偏微分方程边值问题的数值计算方法。
它基于格林第二定理，将偏微分方程转化为积分形式，并利用物理量在边界上的边界条件进行求解。
边界元法的基本思想是将求解域分为内部区域和边界两部分，通过在边界上离散化物理量，并利用格林第二定理建立方程组。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域的物理量分布。
4. 泰勒展开边界元法原理泰勒展开边界元法将泰勒展开和边界元法相结合，利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个点附近进行多项式逼近，然后利用边界元法求解逼近后的方程。
具体而言，泰勒展开边界元法首先利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个参考点附近进行多项式逼近。
然后，在该参考点附近进行网格划分，并在每个网格点上离散化物理量。
接下来，根据边界条件建立方程组，并利用格林第二定理和离散化后的物理量进行积分计算。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域各点的物理量分布。
5. 泰勒展开边界元法应用泰勒展开边界元法在各个领域都有广泛的应用，如流体力学、电磁学、弹性力学等。
在流体力学中，泰勒展开边界元法可以用于求解空气动力学问题、水波传播问题等。
通过将流体的速度和压力进行多项式逼近，并利用边界条件建立方程组，可以得到流体内部各点的速度和压力分布。
边界元法3_40190812
2 1 2 1 z 2 Arz ur 3 u 0 u z A 3 R R R R
1 2 z 3r 2 z 1 2 z rr 2GA 5 2GA 3 R3 R R 1 2 z 3 z 3 1 2 r 3rz 2 zz 2GA 5 rz 2GA 5 3 R3 R R R r z 0
ti Kij u j ci
x S
K ij —为约束弹性常数；
ci —为与初始位移有关的参数。
Zheng Xiaoping 2014
3. 弹性力学问题边界积分方程
3.1 弹性力学问题的基本方程
边界条件 另外，对于包含两种不同材料交界面的弹性问 题，在交界面上还要提出连续条件，包括位移 连续条件和面力连续条件
2 Vz 2 u z 21 Vz 2 z
Love应变函数必须为双调和函数，并且无穷远处应力趋 于零、原点处应力奇异性。满足这些条件的一个函数是
Zheng Xiaoping 2014
3. 弹性力学问题边界积分方程
无限弹性体内一点受集中力作用的Kelvin解
Vz AR
——Kelvin 问题 Zheng Xiaoping
2014
3. 弹性力学问题边界积分方程
3.2 Betti互易 定理和Kelvin 基本解
Kelvin 基本解
S uij (P; Q)—在任意P点（源点）沿 xi 方向作用单
位集中力在三维域内任意点Q（场点） 处引起的x j 方向的位移分量。
Kelvin问题的基本解（如何得到）：
于是
Arz ur 3 R u 0 2 1 2 1 z 2 uz A 3 R R R
1 2 z 3r 2 z 1 2 z rr 2GA 5 2GA 3 R3 R R 1 2 z 3 z 3 1 2 r 3rz 2 zz 2GA 5 rz 2GA 5 3 R3 R R R r z 0
ti Kij u j ci
x S
K ij —为约束弹性常数；
ci —为与初始位移有关的参数。
Zheng Xiaoping 2014
3. 弹性力学问题边界积分方程
3.1 弹性力学问题的基本方程
边界条件 另外，对于包含两种不同材料交界面的弹性问 题，在交界面上还要提出连续条件，包括位移 连续条件和面力连续条件
2 Vz 2 u z 21 Vz 2 z
Love应变函数必须为双调和函数，并且无穷远处应力趋 于零、原点处应力奇异性。满足这些条件的一个函数是
Zheng Xiaoping 2014
3. 弹性力学问题边界积分方程
无限弹性体内一点受集中力作用的Kelvin解
Vz AR
——Kelvin 问题 Zheng Xiaoping
2014
3. 弹性力学问题边界积分方程
3.2 Betti互易 定理和Kelvin 基本解
Kelvin 基本解
S uij (P; Q)—在任意P点（源点）沿 xi 方向作用单
位集中力在三维域内任意点Q（场点） 处引起的x j 方向的位移分量。
Kelvin问题的基本解（如何得到）：
于是
Arz ur 3 R u 0 2 1 2 1 z 2 uz A 3 R R R
边界元法
∂φ (
−
q )φ *dΓ
−
(φ − φ ) ∂φ * dΓ
Ω
Γ2 ∂n
Γ1
∂n
（2.3a）
上式中最后一项是用边界 Γ1 上的条件加权得到的。对上式中的关于区域 Ω 内的积分项，进
行两次分部积分运算后，得到
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (∇2φ * )φ ds = φ ∂φ * dΓ − ∂φ φ *dΓ + φ ∂φ * dΓ − qφ *dΓ
边界元法有直接法和间接法两种。直接法通常是用格林恒等式或加权残值理论来表述， 采用的变量物理意义明确，并能通过边界积分方程数值离散后直接求解，是边界元法的主要 方法。间接法则是利用位势理论来推导公式，使用的变量物理意义不太清楚。当然，间接法 仍有它的可取优点。
本章将介绍这两种方法的主要思想和实现过程。
ε →0 Γε ∂n
ε →0 Γε ∂n 4πε
ε →0 Γε ∂n 4π
（2.10a）
∫ ∫ lim
ε →0
φ ∂ ( 1 )dΓ = − lim
Γε ∂ε 4πε
ε →0
Γε
φ
1 4πε
2
dΓ
=
−
θi 4π
ui
（2.10b）
上式中利用了 d Γ = ε 2 dθ ，θi 表示鼓起部分球面对点 i 所张的立体角。当 ε → 0 时，部分 球面收缩于点 i 时，边界 Γ′ 趋向于原来的 Γ 。对于二维问题，可以类似地进行处理。
最后，（2.9）可以表示为
∫ ∫ ciφi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
（2.11）
并且
ci
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法引言泰勒展开边界元法（Taylor expansion boundary element method）是一种数值计算方法，用于求解边界值问题。
它将边界元法和泰勒展开法相结合，通过对问题进行近似求解，得到边界上的物理量分布。
本文将详细介绍泰勒展开边界元法的原理、步骤以及应用领域。
原理泰勒展开边界元法的核心思想是将待求解的物理量在边界上进行泰勒展开，然后利用边界元法求解展开后的边界积分方程。
通过逐级逼近，可以得到边界上的物理量分布。
具体来说，我们假设待求解的物理量为U(x,y)，其中(x,y)为边界上的点。
根据泰勒展开的思想，我们可以将U(x,y)在某一点(x0,y0)处进行展开，展开式为：U(x,y) = U(x0,y0) + (x - x0)∂U/∂x + (y - y0)∂U/∂y + …其中，∂U/∂x和∂U/∂y分别为U(x,y)对x和y的偏导数。
展开式中的每一项都可以通过求解边界元法得到。
步骤泰勒展开边界元法的求解步骤如下：1.确定边界条件：根据具体问题，确定边界条件，包括边界上的物理量和边界上的边界条件。
2.离散化边界：将边界分割成若干个小段，每个小段上选择一个节点作为边界上的离散点。
3.泰勒展开：对每个离散点，利用泰勒展开的方法，将待求解的物理量展开成一系列项的和。
4.边界元法求解：将展开后的边界积分方程转化为线性方程组，利用边界元法求解得到每个离散点上的物理量。
5.迭代计算：根据边界上的物理量分布，更新边界上的离散点的物理量，然后重新进行边界元法求解，直到收敛。
应用领域泰勒展开边界元法在许多领域都有广泛的应用，包括电磁学、声学、弹性力学等。
下面以电磁学为例，介绍泰勒展开边界元法在该领域的应用。
在电磁学中，泰勒展开边界元法可以用于求解电磁场分布、电磁辐射、电磁散射等问题。
通过对边界上的电磁场进行泰勒展开，可以得到边界上的电磁场分布。
然后利用边界元法求解得到边界上的电磁场分布，从而得到整个区域内的电磁场分布。
边界元法
（二） 方法应用方面。包括边界元方法的完善和应用范围的拓宽。20 世纪 70 年代以前， 边界元法的研究只限于解决以下几个方面的问题：势问题、弹性静力学、瞬态弹性动力学、 波的传播、断裂力学、流体力学、板弯曲问题等，而且对一些问题的研究只是初步尝试。现 在，边界元法的发展已涉及工程科学的很多领域，边界元法的应用也已经规范化。对非线性 问题，其方法亦趋于成熟。在工程和工业技术领域，边界元法的应用已涉及到水工、土建、 公路、桥梁、机械、电力、地震、汽车、航空航天等诸多方面。
∫Ω (∇ 2φ * )φ ds = −φi
（2.7）
从而（2.3b）式可写成
∫ ∫ ∫ ∫ φi +
φ ∂φ * dΓ + Γ1 ∂n
φ ∂φ * dΓ = Γ2 ∂n
∂φ φ *dΓ + Γ1 ∂n
qφ *dΓ
Γ2
（2.8a）
或者
∫ ∫ φi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
边界元法的研究在经过对弹性力学和塑性力学问题的初步尝试后，没有能够得到满意的 计算结果。边界积分方程和从有限元法借鉴来的边界离散技术两者不是一试就灵的。较为完 整的、可以实际应用的边界元法是 20 世纪 70 年代才建立起来的。先后解决了边界积分方程 中含有的奇异积分的精度问题，对于不带奇异性的积分，只要用普通的高斯数值积分法就可 以获得足够的精确度，从而使边界元法固有的精度得以显露出来。20 世纪 80 年代可称是边 界元法蓬勃发展和丰收年代。
程，方程中全部的量均为边界上的物理量。
§3 间接边界元法
在边界解法中，最简单的一种解法即为间接法。这种方法简单而且适用，对于许多实际 问题能够给出较好的结果。但直接法与之比较，则更为一般，应用范围更加广泛。
∫Ω (∇ 2φ * )φ ds = −φi
（2.7）
从而（2.3b）式可写成
∫ ∫ ∫ ∫ φi +
φ ∂φ * dΓ + Γ1 ∂n
φ ∂φ * dΓ = Γ2 ∂n
∂φ φ *dΓ + Γ1 ∂n
qφ *dΓ
Γ2
（2.8a）
或者
∫ ∫ φi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
边界元法的研究在经过对弹性力学和塑性力学问题的初步尝试后，没有能够得到满意的 计算结果。边界积分方程和从有限元法借鉴来的边界离散技术两者不是一试就灵的。较为完 整的、可以实际应用的边界元法是 20 世纪 70 年代才建立起来的。先后解决了边界积分方程 中含有的奇异积分的精度问题，对于不带奇异性的积分，只要用普通的高斯数值积分法就可 以获得足够的精确度，从而使边界元法固有的精度得以显露出来。20 世纪 80 年代可称是边 界元法蓬勃发展和丰收年代。
程，方程中全部的量均为边界上的物理量。
§3 间接边界元法
在边界解法中，最简单的一种解法即为间接法。这种方法简单而且适用，对于许多实际 问题能够给出较好的结果。但直接法与之比较，则更为一般，应用范围更加广泛。
边界元法
表曲面外其它电荷产生的电位移矢量在曲面上的法向分 量 E外 ( r ) n ，且为已知量。 (5.9)式把边界面上的未知 电荷之间的关系以及与其它已知电荷之间的关系联系在 一起。 先用边界元法解积分方程式 (5.9) ，求得面电荷密度 (r ) 的分布，再取 T＝l 的(5.8)式计算区域 V' 内的场。 如果考查区内只有带电导体而无其它电荷分布，应去 掉(5.7)(5.8)(5.9)中的体积分。
(5.22)
设计程序时的计算步骤如下： a.输入参数 0，d ，a，N ； b.计算线性代数方程组的系数Aij，Bi ； c. 选列主元高斯消去法解方程组，求得面电荷 i 并与理论结果比较。 d.计算任一点(x，y)处的电势值，并与理论结果比 较。 e.计算电容C，并与理论结果比较。 习题：p127: 五.1 实验二
自由空间中的格林函数
V' r V ' 1 T 0 .5 r S ' (5.5) 0 r V ' S '
得：T ( r )
4 V'
1
(r ' ) 1 dV ' R 4
1 ( r ' ) ( r ' )n' 3 dS' (6) R n' R S'
a R 1 ij n a R 2 ij n 1 , 2 2 2 R 2 ij R 1 ij a R n (d x i x j ) x i ( yi y j ) yi 3 ij , 2 2 2 R 3 ij (d x i x j ) ( yi y j ) a R 4 ij n (d x i x j ) x i ( yi y j ) yi , 2 2 2 (d x i x j ) ( yi y j ) R 4 ij i 0 .5 x i a cos i 0 . 5 , y i a sin , N N
边界元法4_555405058
4.3 边界积分方程的离散化
在有些实际问题中，更关心边界点的切向和法向 位移(u1 , u2 ) 和面力(t1 , t2 ) ，这就需要把方程的 形式稍加改变。 两套变量的坐标变换公式如下 u ua t ta 其中
11 cos( n, x1 ) 21 cos( n, x2 ) 12 cos( n, x2 ) 22 cos( n, x1 )
在每个单元上对边界未知量进行插值，为简单 起见将边界给定量也作同样的插值（当然也可 以直接采用给定的精确值进行处理）。得到
ua ( ) N
l 1 m l 1 m (m) l
( )u (l )
ua ( ) N l( m ) ( )u (l ) ta ( ) N l( m ) ( ) t (l )
这时弧长对于自然坐标的导数不再是常数
dx1 dx 2 dS ( ) d d d
2 2
各种单元的特点，几何保形的意义，Schwarz反例….
Zheng Xiaoping 2014
4. 弹性力学问题的边界元法
4.2 边界单元插值
将边界分成Ne个单元
j
j 1 Ne
Zheng Xiaoping 2014
4. 弹性力学问题的边界元法
4.3 边界积分方程的离散化
S S C ( p)u u u ( p, q)t (q)d(q) t u ( p, q) t (q)d(q) S S u t ( p, q)u (q)d(q) t t ( p, q)u (q)d(q)
4.6 边界元方程的求解
4.7 边界应力、内点位移和应力的确定
本章介绍弹性力学平面问题边界元法的步骤 及关键技术。
在有些实际问题中，更关心边界点的切向和法向 位移(u1 , u2 ) 和面力(t1 , t2 ) ，这就需要把方程的 形式稍加改变。 两套变量的坐标变换公式如下 u ua t ta 其中
11 cos( n, x1 ) 21 cos( n, x2 ) 12 cos( n, x2 ) 22 cos( n, x1 )
在每个单元上对边界未知量进行插值，为简单 起见将边界给定量也作同样的插值（当然也可 以直接采用给定的精确值进行处理）。得到
ua ( ) N
l 1 m l 1 m (m) l
( )u (l )
ua ( ) N l( m ) ( )u (l ) ta ( ) N l( m ) ( ) t (l )
这时弧长对于自然坐标的导数不再是常数
dx1 dx 2 dS ( ) d d d
2 2
各种单元的特点，几何保形的意义，Schwarz反例….
Zheng Xiaoping 2014
4. 弹性力学问题的边界元法
4.2 边界单元插值
将边界分成Ne个单元
j
j 1 Ne
Zheng Xiaoping 2014
4. 弹性力学问题的边界元法
4.3 边界积分方程的离散化
S S C ( p)u u u ( p, q)t (q)d(q) t u ( p, q) t (q)d(q) S S u t ( p, q)u (q)d(q) t t ( p, q)u (q)d(q)
4.6 边界元方程的求解
4.7 边界应力、内点位移和应力的确定
本章介绍弹性力学平面问题边界元法的步骤 及关键技术。
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第二章位势问题的边界积分方程与边界元法
教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯（Ｌaplａce)方程的解法，位势问题中的边界条件,了解珀松方程的基本概念。要求学生能够利用微积分知识推导拉普拉斯方程的基本解,并将它应用于格林(Gｒeeｎ)定理,得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方程。能够熟练的采用最简单的常用单元说明边界积分方程的离散化方法。能够熟练的简述珀松(Ｐoisson）方程和多连域问题的边界元法。
教学重点和难点:本章重点掌握弹性裂纹问题的对偶边界积分方程和位势问题的间接法边界积分方程。重点域外回线虚载荷法建立的回线积分方程和域外奇点法建立的边界积分方程求解方法。
教学方法与手段:采用多媒体教学。
课时安排:4学时
教学内容：
第一节 核函数的扩充
第二节回转体问题
4.２．1变截面轴的扭转问题
４．2.2轴对称问题
二、教学内容及基本要求
第一章引言
教学目的和要求:掌握边界元的基本概念;了解边界元法的分类和学习边界元法的基础条件。
教学重点和难点:重点掌握边界元法的基本解题思路。难点怎么利用积分法解微分方程的基本解。
教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法相比，具有自己的特点,即力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。
4.５．2半平面问题
第六节位势问题的间接法边界积分方程
第七节 虚应力法建立的边界积分方程
第八节位移间断法建立的边界积分方程
第九节域外回线虚载荷法建立的回线积分方程
第十节 域积分方程的正则化和基本解的恒等式
复习与作业要求:全面复习全章内容,作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业１~2题。
－《边界元法》
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:
《边界元法》课程教学大纲
课程名称:边界元法
英文名称：boundaｒy eｌｅmｅｎｔmethod
课程编码:
学时/学分:36/2
课程性质:必修
适用专业：工程力学
考核知识点：弹性薄板弯曲问题、半空间、半平面问题。
第五章二维问题的边界元数值方法与程序实现
教学目的和要求：了解和掌握流动相和二维问题边界元数值方法和计算程序的现实。
教学重点和难点:一般了解流二维边界条件的离散化方法,边界积分方程的离散化、核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分、方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定。难点边界元法计算误差的一种直接估计和边界元子域法。
先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等
一、课程的目的与任务
本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时,遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性,使求解遇到困难。
4．２．3回转体的弯曲问题
第三节弹性薄板弯曲问题
4．３.1弹性薄板弯曲问题的微分提法
4．3.2弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程
4．3.3弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程
第四节弹性裂纹问题的对偶边界积分方程
4.4.1位移边界积分方程
４.4.2面力边界积分方程
第五节半空间、半平面问题
4.5.１ 半空间问题
教学重点和难点：重点讲解求解多连域珀松方程问题的计算程序和数值计算，以及数值积分所使用的一维、二维高斯方程积分公式。难点求解方程的方法和计算程序的确定。
教学方法与手段：采用多媒体教学,结合实例。
课时安排:4学时
教学内容：
第一节 调和方程的基本定解问题
第二节Greｅn等式、基本解及解的积分表达式
第三节边界积分方程的建立
课时安排：1学时
教学内容:
第一节边界元法的数学基础
第二节边界元法的发展历史
第三节我国边界元法研究概况
第四节 边界元法研究的最新进展
第五节边界元法的应用举例
第六节边界元法的优缺点
第七节本书的内容安排
复习与作业要求:全面复习全章内容,作业要求独立、按时完成,平均每学时布置作业１～2题。
考核知识点:边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。
教学重点和难点：重点掌握线弹性问题的边界元的解法，能够利用弹性力学知识求平面弹性问题。难点弹性问题中的应力、应变和位移等矢量场的确定,以及积分和微分方程的求解方法。
教学方法与手段：采用多媒体教学。
课时安排:6学时
教学内容:
第一节线弹性静力学定解问题的微分提法
第二节Beｔti定理、Ｋelｖｉn解及Ｓomiglｉana等式
第三节线弹性静力学的边界积分方程
第四节建立基本解的一种一般方法
复习与作业要求:全面复习全章内容,作业要求独立、按时完成,平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：Bｅtｔi定理、Kelviｎ解及Somｉｇliana等式,线弹性静力学的边界积分方程。
第四章几种常见的直接法和间接法边界积分方程
教学目的和要求:掌握核函数的扩充，变截面轴的扭转问题,弹性薄板弯曲问题，半空间、半平面问题，位势问题的间接法边界积分方程，位移间断法建立的边界积分方程等知识。要求学生能熟练的求解弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程和弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程。
第四节对于一般问题的推广
第五节位势问题的边界元法简介
复习与作业要求:全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1~2题。
考核知识点:拉普拉斯(Laplace)方程的求解方法、格林(Ｇreen)定理和珀松（Poiｓｓoｎ)方程。
第三章线弹性静力学问题的边界积分方程
教学目的和要求:掌握静力学线弹性问题的边界元方法,理解和掌握根据基本解的物理意义，能够利用弹性力学方法求出平面弹性问题的基本解。能够由按位移求解平面弹性问题的基本方程和基本解出发，应用积分定理，求解积分方程和边界积分方程,并用常用单位进行离散化求解。了解具有体积力的弹性问题解法，以及对无限域问题进行讨论。
教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯（Ｌaplａce)方程的解法，位势问题中的边界条件,了解珀松方程的基本概念。要求学生能够利用微积分知识推导拉普拉斯方程的基本解,并将它应用于格林(Gｒeeｎ)定理,得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方程。能够熟练的采用最简单的常用单元说明边界积分方程的离散化方法。能够熟练的简述珀松(Ｐoisson）方程和多连域问题的边界元法。
教学重点和难点:本章重点掌握弹性裂纹问题的对偶边界积分方程和位势问题的间接法边界积分方程。重点域外回线虚载荷法建立的回线积分方程和域外奇点法建立的边界积分方程求解方法。
教学方法与手段:采用多媒体教学。
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教学内容：
第一节 核函数的扩充
第二节回转体问题
4.２．1变截面轴的扭转问题
４．2.2轴对称问题
二、教学内容及基本要求
第一章引言
教学目的和要求:掌握边界元的基本概念;了解边界元法的分类和学习边界元法的基础条件。
教学重点和难点:重点掌握边界元法的基本解题思路。难点怎么利用积分法解微分方程的基本解。
教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法相比，具有自己的特点,即力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。
4.５．2半平面问题
第六节位势问题的间接法边界积分方程
第七节 虚应力法建立的边界积分方程
第八节位移间断法建立的边界积分方程
第九节域外回线虚载荷法建立的回线积分方程
第十节 域积分方程的正则化和基本解的恒等式
复习与作业要求:全面复习全章内容,作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业１~2题。
－《边界元法》
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:
《边界元法》课程教学大纲
课程名称:边界元法
英文名称：boundaｒy eｌｅmｅｎｔmethod
课程编码:
学时/学分:36/2
课程性质:必修
适用专业：工程力学
考核知识点：弹性薄板弯曲问题、半空间、半平面问题。
第五章二维问题的边界元数值方法与程序实现
教学目的和要求：了解和掌握流动相和二维问题边界元数值方法和计算程序的现实。
教学重点和难点:一般了解流二维边界条件的离散化方法,边界积分方程的离散化、核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分、方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定。难点边界元法计算误差的一种直接估计和边界元子域法。
先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等
一、课程的目的与任务
本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时,遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性,使求解遇到困难。
4．２．3回转体的弯曲问题
第三节弹性薄板弯曲问题
4．３.1弹性薄板弯曲问题的微分提法
4．3.2弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程
4．3.3弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程
第四节弹性裂纹问题的对偶边界积分方程
4.4.1位移边界积分方程
４.4.2面力边界积分方程
第五节半空间、半平面问题
4.5.１ 半空间问题
教学重点和难点：重点讲解求解多连域珀松方程问题的计算程序和数值计算，以及数值积分所使用的一维、二维高斯方程积分公式。难点求解方程的方法和计算程序的确定。
教学方法与手段：采用多媒体教学,结合实例。
课时安排:4学时
教学内容：
第一节 调和方程的基本定解问题
第二节Greｅn等式、基本解及解的积分表达式
第三节边界积分方程的建立
课时安排：1学时
教学内容:
第一节边界元法的数学基础
第二节边界元法的发展历史
第三节我国边界元法研究概况
第四节 边界元法研究的最新进展
第五节边界元法的应用举例
第六节边界元法的优缺点
第七节本书的内容安排
复习与作业要求:全面复习全章内容,作业要求独立、按时完成,平均每学时布置作业１～2题。
考核知识点:边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。
教学重点和难点：重点掌握线弹性问题的边界元的解法，能够利用弹性力学知识求平面弹性问题。难点弹性问题中的应力、应变和位移等矢量场的确定,以及积分和微分方程的求解方法。
教学方法与手段：采用多媒体教学。
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第一节线弹性静力学定解问题的微分提法
第二节Beｔti定理、Ｋelｖｉn解及Ｓomiglｉana等式
第三节线弹性静力学的边界积分方程
第四节建立基本解的一种一般方法
复习与作业要求:全面复习全章内容,作业要求独立、按时完成,平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：Bｅtｔi定理、Kelviｎ解及Somｉｇliana等式,线弹性静力学的边界积分方程。
第四章几种常见的直接法和间接法边界积分方程
教学目的和要求:掌握核函数的扩充，变截面轴的扭转问题,弹性薄板弯曲问题，半空间、半平面问题，位势问题的间接法边界积分方程，位移间断法建立的边界积分方程等知识。要求学生能熟练的求解弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程和弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程。
第四节对于一般问题的推广
第五节位势问题的边界元法简介
复习与作业要求:全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1~2题。
考核知识点:拉普拉斯(Laplace)方程的求解方法、格林(Ｇreen)定理和珀松（Poiｓｓoｎ)方程。
第三章线弹性静力学问题的边界积分方程
教学目的和要求:掌握静力学线弹性问题的边界元方法,理解和掌握根据基本解的物理意义，能够利用弹性力学方法求出平面弹性问题的基本解。能够由按位移求解平面弹性问题的基本方程和基本解出发，应用积分定理，求解积分方程和边界积分方程,并用常用单位进行离散化求解。了解具有体积力的弹性问题解法，以及对无限域问题进行讨论。