高中数学-函数模型及其应用夯基提能作业

第九节函数模型及其应用A组基础题组1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多10元；方案三:第一天回报0。

4元，以后每天的回报是前一天的两倍.若投资的时间为10天,为使投资的回报最多,你会选择哪种方案投资？( )A.方案一B.方案二C.方案三D.都可以答案 B 方案一:投资10天的回报为40×10=400元；方案二:投资10天的回报为10×10+×10=550元;方案三:投资10天的回报为=409。

2元.投资回报最多的为方案二，故选B。

2.汽车的“燃油效率"是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。

下列叙述中正确的是（）A。

消耗1升汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于A选项：由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则A错；对于B选项:由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10=8（升)，则C错；对于D选项：当行驶速度小于80 km/h时，在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D对。

综上,选D.3.（2016北京丰台一模)经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格（自变量)，用横轴表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等)的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量,价格会上升为P2;当产品价格P2高于均衡价格P0时,供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此波动下去,产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0。

2018届高三数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用夯基提能作业本文2018届高三数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018届高三数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018届高三数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用夯基提能作业本文的全部内容。

2018届高三数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用夯基提能作业本文第九节函数模型及其应用A组基础题组1.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案。

据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预期的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（)2。

某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量（升）加油时的累计里程(千米）2016年10月1日1235 0002016年10月15日4835 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程。

在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为（)A。

6升B。

8升 C.10升D。

12升3.已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为（)A。

800米B。

900米C。

1 000米 D.1 200米4.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A.118元B。

105元 C.106元D。

2.9 函数模型及其应用A组基础题组1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示,正确的是( )答案 A 依题意,前3年年产量的增长速度越来越快,说明总产量C的增长速度越来越快,只有选项A中的图象符合要求,故选A.3.(2018临沂模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 平方米,且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为( )A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]答案 B 根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)·x,得BC=-,由-0得2≤x<6,所以y=BC+2x=+(2≤x<6),由+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x的范围是[3,4].4.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟答案 B 由已知得60解得-0-∴p=-0.2t2+1.5t-2=--+6,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.5.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份( )A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x(x>0),由题意可得 m+ a=m×( + )8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×( + )4=(),因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故5月份甲食堂的营业额较高.6.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的重要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)答案4解析设n小时后他可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.7.A、B两艘船分别从东西方向上相距145km的甲、乙两地开出.A船从甲地自东向西行驶,B 船从乙地自北向南行驶,A船的速度是40km/h,B船的速度是16km/h,经过h,A、B两艘船之间的距离最短.答案解析设经过xh,A、B两艘船之间的距离为ykm,由题意可得=时,y取得最小值,即A、B y=( - 0)( 6 )= (6 - 00 ),易知当x=-- 006两艘船之间的距离最短.8.(2018杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,则当这艘轮船的速度为 海里/时时,总费用最小. 答案 40解析 设每小时的总费用为y 元,行驶10海里的总费用为W 元,则y=kv 2+96,又当v=10时 k× 02=6,解得k=0.06,所以y=0.06v 2+96,又匀速行驶10海里所用的时间为 0小时,故W= 0y= 0(0.06v 2+96)=0.6v+60≥2 0 6 ·60=48,当且仅当0.6v=60,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.9.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 小时. 答案 24解析 依题意有192=e b,48=e22k+b=e 22k ·e b,所以e 22k= = =,所以e 11k= 或-(舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e 11k )3·e b=× = (小时).10.某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元~0.75元之间(包含0.55元和0.75元),经测算,若电价调至x 元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反比.又当x=0.65时,y=0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)若每千瓦时电的成本为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)] 解析 (1)因为y 与(x-0.4)成反比, 所以可设y=-0 (k ≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式得0.8=0 6 -0,解得k=0.2,所以y=-0 =-,则y 与x 之间的函数关系式为y=-(0.55≤x ≤0.75).(2)根据题意,得-(x-0 )= ×(0 -0 )×( + 0%) 整理得x2-1.1x+0.3=0.解得x1=0.5,x2=0.6,因为x的取值范围是[0.55,0.75],所以x=0.5不符合题意,舍去,则x=0.6,所以当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%.11.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得00解得 000 0( )①由(1)知,y= 000(5≤x≤20),则点P的坐标为 000,y'=- 000,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,l的方程为y- 000=- 000(x-t),由此得A0 ,B 0000.故f(t)= 000=06,t ∈[5,20]. ②设g(t)=t 2+ 06, 则g'(t)=2t-6 06.令g'(t)=0,解得t=10 .当t ∈(5,10 )时,g'(t)<0,g(t)是减函数; 当t ∈(10 ,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数. 从而,当t=10 时,函数g(t)有极小值,也是最小值, 所以g(t)min =300, 此时f(t)min =15 .答:当t=10 时,公路l 的长度最短,最短长度为15 千米.B 组 提升题组1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.B.( )( )-C. D. ( )( )-1答案 D 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,所以x= ( )( )-1,故选D.2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食,则y 关于x 的解析式为( ) A.y=360 0 0- B y= 60× 0 xC.y=60 0 0D.y=360 0 0答案 D 设该乡镇现在人口总量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克,1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口总量为 M(1+1.2%),则人均占有粮食 60 ( %)( %)千克,2年后,人均占有粮食 60( %)( %)千克,……,x年后,人均占有粮食 60( %)( %)千克,即所求解析式为y=360 0.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80km/h的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80km/h.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80km/h的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油 0× ÷ 0= (L) 则C错;对于D选项:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.4.某公司为了实现1000万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过销售利润的25%,则下列函数最符合要求的是( )A.y=xB.y=lgx+1C.y=D.y=答案 B 由题意知,x∈[10,1000],符合公司要求的模型需同时满足:①函数为增函数;②函数的最大值不超过 ;③y≤x·25%.对于y=x,易知满足① 但当x>20时,y>5,不满足要求;对于y=,易知满足① 因为>5,故当x>4时,不满足要求;对于y=,易知满足① 但当x>25时,y>5,不满足要求;对于y=lgx+1,易知满足① 当x∈[10,1000]时,2≤y≤4,满足②再证明lgx+1≤x·25%,即4lgx+4-x≤0,设F(x)=4lgx+4-x,则F'(x)=-1<0,x∈[10,1000],所以F(x)为减函数,f(x)max=F(10)=4lg10+4-10=-2<0,满足③ 故选B.5.(2019汤溪中学月考)某远程教育网推出两种上网学习卡收取佣金的方案:A方案是先收取20元学习佣金,再按上网学习的累计时间收取佣金,B方案是直接按上网学习的累计时间收取佣金.已知一个月的学习累计时间t(小时)与上网费用s(元)的函数关系如图所示,则当累计学习150小时时,这两种方案收取的佣金相差元.答案10解析设A方案对应的函数解析式为s 1=k1t+20,B方案对应的函数解析式为s2=k2t,当t=100时,100k1+20=100k2 ∴k2-k1=,当t=150时,150k2-150k1- 0= 0×-20=10.6.(2018辽宁抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解析( )∵甲大棚投入了50万元,∴乙大棚投入了150万元,∴f( 0)= 0+ 0+× 0+ 0=(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得00- 0⇒20≤x≤180,故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).令t=,则t∈[2,6],f(t)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.。

3.4.2函数模型及其应用明目标、知重点 1.能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题.2.通过函数知识的应用，复习巩固已学过的基本初等函数的知识.3.通过实例了解函数模型的广泛应用，进一步巩固函数的应用问题，进一步熟悉用函数解题的步骤和方法．1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)2.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题．[情境导学]我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等等，它们在实际生活中有着广泛的应用．今天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知识来解决一个实际问题．探究点一一次函数模型的应用例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，每台计算机的售价为5 000元．分别写出总成本C (万元)、单位成本P (万元)、销售收入R (万元)以及利润L (万元)关于总产量x (台)的函数关系式． 解 总成本C (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为C ＝200＋0.3x ，x ∈N *.单位成本P (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为P ＝200x ＋0.3，x ∈N *.销售收入R (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为R ＝0.5x ，x ∈N *. 利润L (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为L ＝R －C ＝0.2x －200，x ∈N *.反思与感悟 信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等． 跟踪训练1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求火车离开北京2 h 内行驶的路程．解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶时间t h 所行驶路程为120t ，所以，火车运行总路程s 与匀速行驶时间t 之间的关系是s ＝13＋120t (0≤t ≤115)．2 h 内火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233 (km)．探究点二 指数型函数模型的应用例2 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T α＝(T 0－T α)·(12)th ，其中T α表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)? 解 由题意知40－24＝(88－24)·(12)20h，即14＝(12)20h，解之，得h ＝10，故T －24＝(88－24)·(12)10t，当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·(12)10t，即(12)10t＝1164，两边取对数，用计算器求得t ≈25.4. 因此，约需要25.4 min ，可降温到35℃.反思与感悟 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解．本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要借助计算器进行计算．跟踪训练2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y ＝y 0e rt ，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料：(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解 (1)设1951～1959年的人口增长率分别为r 1，r 2，…，r 9.由55 196·(1＋ r 1) ＝ 56 300，可得1951年的人口增长率r 1≈0.020 0.同理可得，r 2≈0.021 0，r 3≈0.022 9，r 4≈0.025 0，r 5≈0.019 7，r 6≈0.022 3，r 7≈0.027 6，r 8≈0.022 2，r 9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r ＝(r 1＋r 2＋…＋r 9)÷9≈0.022 1.令y 0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y ＝55 196e 0.022 1t ，t ∈N .根据表中的数据作出散点图，并作出函数y ＝55 196e 0.022 1t (t ∈N )的图象．由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合． (2)将y ＝130 000代入y ＝55 196e 0.022 1t ，由计算器可得t ≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．探究点三 二次函数模型的应用例3 在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台(x ∈N *)的收入函数为R (x )＝3 000x －20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )＝500x ＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(2)利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )是否具有相同的最大值？ 解 由题意知，x ∈[1,100]，且x ∈N *.(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝3 000x －20x 2－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000， MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000－[－20x 2＋2 500x －4 000] ＝2 480－40x .(2)P (x )＝－20x 2＋2 500x －4 000＝－20(x －1252)2＋74 125，当x ＝62或x ＝63时，P (x )的最大值为74 120元．因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，MP (x )的最大值为2 440元．因此，利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值． 反思与感悟 数学应用题的一般求解程序：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；(2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得到数学结论；(4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．跟踪训练3 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3 600元，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，∴租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金为x (x ≥3 000)元，则租赁公司月收益为y ＝(100－x －3 00050)(x －150)－x －3 00050×50，整理后得：y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，∴当x ＝4 050时，y 的最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．1．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式为________．答案 y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000) 解析 由题意得：y ＝0.2x ＋0.3(4 000－x ) ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)．2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180(8≤y <24)．∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.3．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案 甲解析 将x ＝3分别代入y ＝x 2＋1及y ＝3x －1，得y ＝32＋1＝10，y ＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．4．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少x2，则面积最大．此时x ＝________，面积S ＝________.答案 1 252解析 根据题目条件0<x2<3，即0<x <6，所以S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3－x 2 ＝－12(x 2－2x －24)＝252－12(x －1)2(0<x <6)．故当x ＝1时，S 取得最大值252.[呈重点、现规律]解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.一、基础过关1．一等腰三角形的周长为20，底边y 是关于腰x 的函数，它的解析式为__________________． 答案 y ＝20－2x (5＜x ＜10)解析 由题意得2x ＋y ＝20，所以y ＝20－2x . ∵y ＞0，∴20－2x ＞0，∴x ＜10. 又∵三角形两边之和大于第三边， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞y ，y ＝20－2x ，解得x ＞5，∴5＜x ＜10.2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元． 答案 300解析 由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为________元． 答案 42解析 设每天获得的利润为y 元，则 y ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432， ∴当x ＝42时，获得利润最大，应定价为42元．4．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费S (元)的函数关系如图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元． 答案 10解析 设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ；当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150分钟时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10(元)．5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元． 答案 45.6解析 依题意，可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0且x ∈N )． ∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．6．已知某皮鞋厂一天的生产成本C (元)与生产数量n (双)之间的函数关系是C ＝4 000＋50n .若每双皮鞋的售价为90元，且生产的皮鞋全部售出．则每天至少生产________双皮鞋，才能不亏本． 答案 100解析 由题意得：P ＝90n －(4 000＋50n )＝40n －4 000(n ∈N *)． 要不亏本，必须P ≥0，解得n ≥100. 故每天至少生产100双鞋，才能不亏本．7.为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y ＝ax ＋b 或y ＝a x ＋b (a ，b 为常数，且a >0)来模拟这种电脑元件的月产量y 千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由． 解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)．∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48. 当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54； 当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56. 由于56与53.9的误差较大， ∴选y ＝ax ＋b 较好． 二、能力提升8．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件． 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．9．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm 2. 答案 2 3解析 设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm.∴S ＝34(x 3)2＋34(4－x 3)2＝318(x －6)2＋23≥2 3.10．已知甲、乙两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s 表示为时间t 的函数，则此函数表达式为____________________________． 答案 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150 (2.5＜t ＜3.5)325－50t (3.5≤t ≤6.5)解析 当0≤t ≤2.5时s ＝60t ，当2.5＜t ＜3.5时s ＝150，当3.5≤t ≤6.5时s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t ，综上所述，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150 (2.5＜t ＜3.5)，325－50t (3.5≤t ≤6.5).11．某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6 000包，每包进价为2.8元，销售价为3.4元，全年分若干次进货，每次进货均为x 包，已知每次进货运输费为62.5元，全年保管费为1.5x元，求使利润最大的x 的值，并求出最大利润？ 解 设获得利润为y 元，则y ＝(3.4－2.8)×6 000－6 000x×62.5－1.5x＝－1.5(x ＋400×625x)＋3 600，(x ∈N *,0＜x ≤6 000)．由于函数g ＝x ＋400×625x 在(0,500]上递减，在[500，＋∞)上递增，所以x ＝500时，g min ＝1000.所以y max ＝－1.5×1 000＋3 600＝2 100(元)．答 每次进货均为500包全年利润最大，最大利润为2 100元．12.在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？解 设每件棉衣日租金提高x 个5元，即提高5x 元，则每天棉衣减少6x 件，又设棉衣日租金的总收入为y 元． ∴y ＝(50＋5x )×(120－6x )， ∴y ＝－30(x －5)2＋6 750 ∴当x ＝5时，y max ＝6 750，这里每件棉衣日租金为50＋5x ＝50＋5×5＝75(元)，∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元． 三、探究与拓展13.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨，3x 吨． (1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨， 即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增；当x ∈[0，45]时，y ≤f (45)<26.4；当x ∈(45，43]时，y ≤f (43)<26.4；当x ∈(43，＋∞)时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5(吨)； 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5(吨)， 付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元).。

第九节函数模型及应用A组基础题组1.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是( )A.118元B.105元C.106元D.108元2.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时,交通灯由红变绿,汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走,那么( )A.人可在7 s内追上汽车B.人可在10 s内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5 mD.人追不上汽车,其间距最少为7 m3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:则对x,y最适合的拟合函数是( )A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x4.(2016北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是( )A.15B.16C.17D.185.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae nt.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,又过了m分钟后甲桶中的水只有升,则m的值为( )A.7B.8C.9D.106.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.根据预算得羊皮手套的年利润L万元与年广告费x万元之间的函数解析式为L=-(x>0).则当年广告费投入万元时,该公司的年利润最大.7.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301,lg 3≈0.477 1)8.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4≤x≤20时,v是x的一次函数;当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数表达式;(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.9.(2017黑龙江牡丹江十五中期末)有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y=k·f(x),其中f(x)=若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.B组提升题组10.(2016山东威海模拟)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如下表所示:则下列说法正确的是( )①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多.A.①③B.①④C.②③D.②④11.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花100元的日常维修等费用(租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为( )A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为.13.里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.14.已知某物体的温度θ(单位:℃)随时间t(单位:min)的变化规律是θ=m·2t+21-t(t≥0且m>0).(1)如果m=2,求经过多长时间物体的温度为5 ℃;(2)若物体的温度总不低于2 ℃,求m的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.D 设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108,故选D.2.D 设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值,为7(m).3.D 根据x=0.50,y=-0.99,代入各选项计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入各选项计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.4.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t(万元),则由解得0<x≤.因为x∈N*,所以x的最大值为16.5.D 令a=ae nt,则=e nt,由已知得=e5n,故=e15n,∴t=15,m=15-5=10.6.答案 4解析L=-=-×(x>0).当-=0,即x=4时,L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时,该公司的年利润最大.7.答案8解析设过滤n次能达到市场要求,则2%≤0.1%,即≤,所以nlg≤-1-lg 2,即n(lg 2-lg 3)≤-1-lg 2,所以n≥7.39,又n∈N*,所以n的最小值为8.8.解析(1)由题意得当0<x≤4时,v=2;当4≤x≤20时,设v=ax+b,显然v=ax+b在[4,20]内是减函数,由已知得解得所以v=-x+,故函数v=(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=当0<x≤4时, f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=4×2=8;当4<x≤20时, f(x)=-x2+x=-(x2-20x)=-(x-10)2+, f(x)max=f(10)=12.5.所以当0<x≤20时, f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.9.解析(1)由题意知k=3,∴k=1.(2)因为k=4,所以y=当0≤x≤4时,由-4≥4,解得-4≤x<8,所以0≤x≤4.当4<x≤14时,由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12.综上可知,当y≥4时,0≤x≤12,所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.(3)能,理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×+1×=5(克/升),又5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.B组提升题组10.D 买小包装时每克费用为元,买大包装每克费用为=元,而>,所以买大包装实惠,卖3小包的利润为3×(3-1.8-0.5)=2.1(元),卖1大包的利润为8.4-1.8×3-0.7=2.3(元).而2.3>2.1,所以卖1大包盈利多,故选D.11.B 设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N*),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每套房月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.12.答案180解析依题意知:=(0<x≤20,8≤y<24),即x=(24-y),∴阴影部分的面积S=xy=(24-y)·y=(-y2+24y)=-(y-12)2+180(8≤y<24).∴当y=12时,S取最大值180.13.答案6;10 000-3,则M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6.解析由题意,A=1 000=103,A设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A9,A5,则lg A9-9=lg A5-5,得lg A9-lg A5=4,即lg=4,∴=10 000.14.解析(1)若m=2,则θ=2·2t+21-t=2,当θ=5时,2t+=,令x=2t,x≥1,则x+=,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=(舍去),当x=2时,t=1.故经过1 min,物体的温度为5 ℃.(2)物体的温度总不低于2 ℃等价于对于任意的t∈[0,+∞),θ≥2恒成立,即m·2t+≥2(t≥0)恒成立,亦即m≥2(t≥0)恒成立.令y=,则0<y≤1,故对于任意的y∈(0,1],m≥2(y-y2)恒成立,因为y-y2=-+≤,所以m≥.因此,当物体的温度总不低于2 ℃时,m的取值范围是.。

(十六)函数模型及其应用A级——夯基保分练1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件解析：选B设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．∴当x＝4时，y max＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B．2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x 0.500.99 2.01 3.98y －0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：选D根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D．3．烟台某中学的研究性小组为了考察长岛县的旅游开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回，设t为出发后某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象能大致表示S＝f(t)的函数关系的是()解析：选C因为该汽艇中途停靠岸边考察，此时间段S不变，故排除A、B，因为S 为汽艇与码头在时刻t的距离，其图象能表示S＝f(t)的函数关系，而D图表示的不是函数关系，故排除D ．故选C ．4．(2021·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用____________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4.化简得x －6×0.9x ＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：45．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为____________米． 解析：设这个广场的长为x 米， 则宽为40 000x 米．所以其周长为l ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋40 000x ≥800， 当且仅当x ＝200时取等号． 答案：800B 级——达标综合练6．某电信公司推出两种电话费收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D ．403元解析：选A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元．选A ．7．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0＜a ＜12)，4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的最大面积为S ，若将这棵树围在花圃内，则函数S ＝f (a )(单位：m 2)的图象大致是( )解析：选C 设AD 长为x ，则CD 长为16－x ， 又因为要将P 点围在矩形ABCD 内， 所以a ≤x ≤12，则矩形ABCD 的面积为x (16－x )， 当0＜a ≤8时，当且仅当x ＝8时，S ＝64， 当8＜a ＜12时，S ＝a (16－a )，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0<a ≤8，a (16－a )，8<a <12，分段画出函数图象可得其形状与C 接近，故选C ．8．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.9．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%解析：选C 设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.10．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.11．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1解析：选A 由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lgE 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A ． 12．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为____________．解析：依题意知20－x 20＝y －824－8，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180.∴当y ＝12时，S 有最大值为180. 答案：18013．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为____________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥ 3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4]14．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为____________．解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x ＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元)．②由题意知，当x 确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大．而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x )元，所以(120－x )×80%≥120×0.7，所以x ≤15.即x 的最大值为15.答案：①130 ②1515．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值． 解：(1)如图作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米， EQ ＝(x －4)米． 又△EPQ ∽△EDF ， 所以EQ PQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．C 级——拔高创新练16．(2021·河南省郑州市高三质量检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如果已知函数f (x )＝x 4|4x －1|，则函数f (x )的图象大致是( )解析：选D 根据题意，函数f (x )＝x 4|4x －1|，则f (－x )＝(－x )4|4－x －1|＝x 4·4x|4x －1|，易得f (x )为非奇非偶函数，排除A 、B ；当x →－∞时，f (x )＝x 41－4x→＋∞，排除C ．故选D ．。

第一节函数及其表示A组基础题组1.函数g(x)=x+3+log2(6-x)的定义域是( )A.{x|x>6}B.{x|-3<x<6}C.{x|x>-3}D.{x|-3≤x<6}2.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是( )A.g(x)=2x+1B.g(x)=2x-1C.g(x)=2x-3D.g(x)=2x+73.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( )A.g(x)=2x2-3xB.g(x)=3x2-2xC.g(x)=3x2+2xD.g(x)=-3x2-2x4.已知f(x)=-cos πx,x>0,f(x+1)+1,x≤0,则f 43+f -43的值等于( )A.1B.2C.3D.-25.具有性质:f 1x=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y=x-1x ;②y=x+1x;③y=f(x)=x(0<x<1),0 (x=1),-1x(x>1)中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.②③C.①③D.只有①6.(2015湖北,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgn x=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则( )A.|x|=x|sgn x|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgn xD.|x|=xsgn x7.设函数f(x)= 3x -b ,x <1,2x ,x ≥1.若f f 56 =4,则b= . 8.如果函数f(x)满足:对任意实数a,b 都有f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=1,则f (2)f (1)+f (3)f (2)+f (4)f (3)+f (5)f (4)+…+f (2 017)f (2 016)= .9.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)= x <a, a ≥a(a,c 为常数).已知此工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a 件产品用时15分钟,那么c 和a 的值分别是 , .10.根据如图所示的函数y=f(x)(x ∈[-3,2))的图象,写出函数的解析式.11.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x 2-2)的值域.。

第九节函数模型及其应用命题导航考试要点命题预测(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.考向预测:主要考查根据材料背景以及相关数据,获取信息,分析数据,得出结论,并解决问题的能力.2.学科素养:主要考查数学建模、数学运算的核心素养.1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,且a≠0)反比例函数模型f(x)=ax+b(a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)指数函数模型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blog a x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)幂函数模型f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,且a≠0)2.三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性①增函数②增函数③增函数增长速度④越来越快⑤越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥y轴平行随x增大逐渐表现为与⑦x轴平行随α值变化而不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x<xα<a x3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:知识拓展形如f(x)=x+ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(-∞,-√a)和(√a,+∞)上单调递增,在[-√a,0)和(0,√a]上单调递减.(2)当x>0时,在x=√a处取最小值2√a,当x<0时,在x=-√a处取最大值-2√a.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(✕)(2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0,b>1)增长速度越来越快的形象比喻.(√)(3)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,三个函数的增长速度大小为g(x)>f(x)>h(x).(√)(4)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大.(✕)(5)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.(√)2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x答案D3.前两年某商品的价格每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是()A.减少7.84%B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案A4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为.答案35.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.答案10246.某城市客运公司确定客票价格的方法:如果行程不超过100km,那么票价是0.5元/km,如果超过100km,那么超过100km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是.答案y={0.5x,0<x≤100 0.4x+10,x>100二次函数、分段函数模型典例1某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120√6t吨(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)当蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?解析(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-120√6t,令√6t =x,则x 2=6t,即y=400+10x 2-120x=10(x-6)2+40, 所以当x=6, 即t=6时,y min =40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨. (2)由(1)及题意有400+10x 2-120x<80, 得x 2-12x+32<0,解得4<x<8, 即4<√6t <8,83<t<323,由323-83=8小时,得每天约有8小时供水紧张.典例2 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)={10.8-130x 2,0<x ≤10,108x-1 0003x 2,x >10.(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)解析 (1)当0<x ≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-x 330-10;当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-1 0003x-2.7x.∴W={8.1x -x 330-10,0<x ≤10,98-1 0003x -2.7x,x >10.(2)①当0<x ≤10时,令W'=8.1-x 210=0,得x=9,可知当x ∈(0,9)时,W'>0,当x ∈(9,10]时,W'<0, ∴当x=9时,W 取极大值,即最大值, 且W max =8.1×9-130×93-10=38.6.②当x>10时,W=98-(1 0003x +2.7x)≤98-2√1 0003x·2.7x=38,当且仅当1 0003x=2.7x,即x=1009时,W=38,故当x=1009时,W取最大值38(当1000x取整数时,W一定小于38).综合①②知,当x=9时,W取最大值,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.1-1为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,那么国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?解析设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-(12x2-200x+80 000)=-12x2+300x-80000=-12(x-300)2-35000,因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损.指数函数模型典例3某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式;(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.解析 (1)由题图,设y=kt,0≤t ≤1, 当t=1时,由y=4,得k=4,则y=4t. 由(12)1-a=4,得a=3.所以y={4t,0≤t ≤1,(12)t -3,t >1.(2)由y ≥0.25得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12)t -3≥0.25,解得116≤t ≤5,故服药一次后治疗疾病有效的时间是5-116=7916(小时).对数函数模型典例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v=a+blog 3Q10(其中a,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a,b 的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? 解析 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,则a+blog 33010=0,即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,则a+blog 39010=1, 整理得a+2b=1. 解方程组{a +b =0,a +2b =1,得{a =-1,b =1.(2)由(1)知,v=a+blog 3Q10=-1+log 3Q10. 所以要使飞行速度不低于2 m/s,则v ≥2,所以-1+log 3Q10≥2,即log 3Q10≥3,解得Q10≥27,即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位. 规律方法构建数学模型解决实际问题时,要正确理解题意,分清条件和结论,理清数量关系,将文字语言转化为数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制. 3-1 (1)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 ( ) A.16小时 B.20小时C.24小时D.28小时(2)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案 (1)C (2)D解析 (1)由已知得192=e b ,① 48=e 22k+b =e 22k ·e b ,②将①代入②得e 22k =14,则e 11k =12,当x=33时,y=e 33k+b=e 33k ·e b=(12)3×192=24,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时.故选C.(2)设第n(n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 根据题意得130(1+12%)n-1>200, 则lg[130(1+12%)n-1]>lg 200, ∴lg 130+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>245, 又∵n ∈N *,∴n ≥5,∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2021年.故选D.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 . 答案 (1)130 (2)15解析(1)x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.(2)设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.根据题意得(m-x)80%≥m×70%,所以x≤m8,且m≥120,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤(m8)min,而(m8)min=15,所以x≤15.所以x的最大值为15.A组基础题组1.下列函数中,随x的增大,y的增大速度最快的是()A.y=0.001e xB.y=1000ln xC.y=x1000D.y=1000·2x答案A2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3米B.4米C.6米D.12米答案A设隔墙的长为x(0<x<6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x×24-4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.故选A.3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x 1.99234 5.15 6.126y 1.517 4.04187.51218.01A.y=2x-2B.y=12(x2-1)C.y=log2xD.y=lo g12x答案B4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10m3的,按m元/m3收费;用水超过10m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为()A.13m3B.14m3C.18m3D.26m3答案A5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两邻边长x,y应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14答案A如图,由三角形相似得24-y24-8=x20,得x=54(24-y),所以S=xy=-54(y-12)2+180,所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.检验符合题意.6.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至少应过滤 次才能达到市场要求.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 答案 8解析 设过滤n 次,则2%(1-13)n≤0.1%, 即(23)n≤120, 所以nlg 23≤-1-lg 2, 所以n ≥7.39, 所以n=8.7.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v 的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为 海里/小时时,总费用最小. 答案 40解析 设每小时的总费用为y 元, 则y=kv 2+96,又当v=10时,k×102=6, 解得k=0.06,所以每小时的总费用y=0.06v 2+96,匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时,故总费用W=10v y=10v (0.06v 2+96)=0.6v+960v≥2√0.6v ×960v=48,当且仅当0.6v=960v,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时.8.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克.答案1909解析 前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b(k ≠0),将点(1,10)和(10,30)代入函数解析式得{10=k +b,30=10k +b,解得k=209,b=709,所以y=209x+709,则当x=6时,y=1909.9.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律可用表达式y=e kt (其中k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数)表示,则经过5小时,1个病毒能繁殖为 个. 答案 1 024解析 当t=0.5时,y=2,所以2=e 12k ,所以k=2ln 2,所以y=e 2tln 2,当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024. 10.某产品原来的成本为1 000元/件,售价为1 200元/件,年销售量为1万件,由于市场饱和,顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级.据市场调查,若投入x 万元,每件产品的成本将降低34x 元,在售价不变的情况下,年销售量将减少2x 万件,按上述方式进行产品升级和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为f(x)(单位:万元). (1)求f(x)的函数解析式;(2)求f(x)的最大值,以及f(x)取得最大值时x 的值. 解析 (1)依题意,产品升级后,每件的成本为(1 000-3x4)元,利润为(200+3x 4)元,年销售量为(1-2x )万件,则纯利润f(x)=(200+3x4)(1-2x )-x=198.5-400x-x 4.(2)f(x)=198.5-400x-x 4≤198.5-2×√400x×x 4=178.5,当且仅当400x=x 4,即x=40时等号成立.所以f(x)取最大值时的x 的值为40.11.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM,使点P 在边DE 上. (1)设MP=x 米,PN=y 米,将y 表示成x 的函数,并求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM 面积的最大值.解析 (1)如图,作PQ ⊥AF 于Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4,在△EDF 中,EQ PQ =EFFD ,所以x -48-y =42, 所以y=-12x+10,定义域为{x|4≤x ≤8}. (2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米, 则S(x)=xy=x (10-x2)=-12(x-10)2+50,所以S(x)是关于x 的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线x=10, 所以当x ∈[4,8]时,S(x)单调递增,所以当x=8时,矩形BNPM 的面积取得最大值,最大值为48平方米.B 组 提升题组1.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”;定义y={x}({x}表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x 小时,则李刚应付费为(单位:元)( ) A.2[x+1]B.2([x]+1)C.2{x}D.{2x}答案 C 如x=1时,应付费2元,而2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除A 、B;当x=0.5时,付费为2元,此时{2x}=1,排除D,故选C.2.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A.8 B.9 C.10D.11答案 C 设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n(n ∈N *)个“半衰期”后的含量为(12)n,由(12)n<11 000得n ≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”.故选C.3.某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80千件时,C(x)=13x 2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解析 (1)由题意可得,当0<x<80时,L(x)=0.05×1 000x-(13x 2+10x +250), 当x ≥80时,L(x)=0.05×1 000x-(51x +10 000x-1 450+250),即L(x)={-13x 2+40x -250,0<x <80,1 200-(x +10 000x ),x ≥80.(2)当0<x<80时,L(x)=-13(x-60)2+950, ∴当x=60时,L(x)取得最大值950. 当x ≥80时,L(x)=1 200-(x +10 000x)≤1 200-2√x ·10 000x=1 200-200=1 000,∴当且仅当x=10 000x,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1 000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.4.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a(单位:万元)满足P=80+4√2a ,Q=14a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大? 解析 (1)由题意知甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元, 故f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5(万元). (2)f(x)=80+4√2x +14(200-x)+120=-14x+4√2x +250,依题意得{x ≥20,200-x ≥20,解得20≤x ≤180,故f(x)=-14x+4√2x +250(20≤x ≤180). 令t=√x ,则t ∈[2√5,6√5], y=-14t 2+4√2t+250=-14(t-8√2)2+282,当t=8√2,即x=128时, f(x)取得最大值,f(x)max =282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元. 素养拓展 5.恩格尔系数n=食品消费支出总额消费支出总额×100%,国际上常用恩格尔系数n 来衡量一个地区家庭的富裕程度.某地区家庭2018年底恩格尔系数n 为50%,刚达到小康水平,预计从2019年起该地区家庭每年消费支出总额增加10%,食品消费支出总额增加5%,依据以上数据,预计该地区家庭恩格尔系数n 满足30%<n ≤40%即达到富裕水平至少要经过(参考数据:lg 0.6≈-0.22,lg 0.8≈-0.09,lg 21≈1.32,lg 22≈1.34)( ) A.4年 B.5年 C.11年 D.12年答案 B 设该地区2018年底的食品消费支出总额为a,则消费支出总额为2a.设x 年后达到富裕水平,则n=a(1+0.05)x2a(1+0.1)x ×100%=12×(2122)x×100%,∴30%<12×(2122)x×100%≤40%,即0.6<(2122)x≤0.8,两边同取对数得lg 0.6<x(lg 21-lg 22)≤lg 0.8,即lg0.8lg21-lg22≤x<lg0.6lg21-lg22,而lg0.8lg21-lg22≈4.5,lg0.6lg21-lg22≈11,故最少需要5年.6.某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t 百万元,可增加销售额约为(-t 2+7t)百万元.(1)若该公司一年的广告费至多为4百万元,则应投入多少广告费,才能使该公司由此增加的收益最大?(2)现该公司准备共投入5百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(1≤x ≤5)百万元时,可增加的销售额约为(12x 2+4lnx)百万元.请设计一个资金分配方案,使该公司由此增加的收益最大.(注:收益=销售额-投放,这里除了广告费和技术改造费,不考虑其他的投入)解析 (1)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元,则有f(t)=-t 2+7t-t=-t 2+6t=-(t-3)2+9(0≤t ≤4),所以当t=3时,f(t)取得最大值,最大值为9百万元. 即投入3百万元的广告费时,该公司由此增加的收益最大.(2)若用于技术改造的资金为x 百万元,则用于广告促销的资金为(5-x)百万元,设由此增加的收益为g(x)百万元,则g(x)=12x 2+4ln x+[-(5-x)2+7(5-x)]-5=-12x 2+3x+4ln x+5(1≤x ≤5), 所以g'(x)=-x+3+4x =-x 2-3x -4x=-(x -4)(x+1)x(1≤x ≤5).令g'(x)=0,解得x=4或x=-1(舍去). 所以当1<x<4时,g'(x)>0,g(x)是增函数; 当4<x<5时,g'(x)<0,g(x)是减函数. 所以当x=4时,g(x)取到最大值.即将4百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销时,该公司由此增加的收益最大.。

第九节函数模型及其应用A组基础题组1.下表是在某个投资方案中,整理到的投入资金x(万元)与收益y(万元)的统计表.你认为投入资金x与收益y选择下列哪个模拟函数比较恰当( )A.y=ax+b(a≠0)B.y=a·b x(a≠0,b>0且b≠1)C.y=ax2+bx+c(a≠0)D.y=blog a x+c(b≠0,b>0且a≠1)2.某工厂6年来生产某种产品的情况:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系的图象正确的是( )3.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按m元/m3收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为( )A.13 m3B.14 m3C.18 m3D.26 m34.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是( )A.[4,8]B.[6,10]C.[4%,8%]D.[6%,10%]5.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时6.某航空公司规定,乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)的关系由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.7.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为升.8.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了km.9.某医药研究所研发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式;(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病的有效时间.10.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.B组提升题组1.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m 的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.2.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元,则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?3.(2017山西孝义模拟)为了迎接世博会,某旅游区提倡低碳生活,在景区提供自行车出租.该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每超出1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;(2)当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?答案精解精析A组基础题组1.B 画出大致散点图如图所示,根据散点图可知选B.2.A 前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A、C图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.3.A 设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,由题意得y=则10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13.4.A 根据题意,要使附加税不少于128万元,需×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8,即R∈[4,8].5.C 由已知得192=e b,①48=e22k+b=e22k·e b,②将①代入②得e22k=,则e11k=,当x=33时,y=e33k+b=e33k·e b=×192=24,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时.故选C.6.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y=30x-570,令30x-570=0,解得x=19.7.答案8解析因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35600-35 000=600(千米),故每100千米平均耗油量为48÷6=8(升).8.答案9解析设出租车行驶x km时,付费y元,则y=由y=22.6,解得x=9.9.解析(1)由题图,设y=当t=1时,由y=4得k=4,由=4得a=3.所以y=(2)由y≥0.25得或解得≤t≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-=(小时).10.解析(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.B组提升题组1.答案 4.24解析∵m=6.5,∴[m]=6,则所需通话费为1.06×(0.5×6+1)=4.24(元).2.解析设该单位每月获利为S(单位:元),则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000,因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40 000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能使该单位不亏损.3.解析(1)当x≤6时,y=50x-115.令50x-115>0,解得x>2.3.∵x∈N*,∴3≤x≤6,x∈N*.当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115.令[50-3(x-6)]x-115>0,有3x2-68x+115<0.又x∈N*,∴6<x≤20(x∈N*),故y=(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈N*),显然当x=6时,y max=185(元).对于y=-3x2+68x-115=-3+(6<x≤20,x∈N*),当x=11时,y max=270(元).又∵270>185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.。

高中数学练习：函数模型及其应用基础巩固(时间：30分钟)1。

一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( B )解析：由题意知h=20-5t(0≤t≤4)，图象为B。

2。

某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( C )(A)y=100x (B)y=50x2-50x+100x+100(C)y=50×2x(D)y=100log2解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应选C。

3。

某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费;用水超过10 m3的，超过部分加倍收费。

某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( A )(A)13 m3(B)14 m3(C)18 m3(D)26 m3解析：设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意，得y=则10m+(x-10)·2m=16m，解得x=13。

4。

当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。

当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了。

若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( C )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为()n，则()n<，得n≥10。

所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”。

5。

设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)。

公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产。

第九节函数模型及应用A组基础题组1.(2017北京东城二模,7)动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是( )2.某地区在六年内第x年的生产总值y(单位:亿元)与x之间的关系如图所示,则下列四个时段中,生产总值的年平均增长率最高的是( )A.第一年到第三年B.第二年到第四年C.第三年到第五年D.第四年到第六年3.一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠券,每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优惠券1:若标价超过50元,则付款时减免标价的10%;优惠券2:若标价超过100元,则付款时减免20元;优惠券3:若标价超过100元,则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后,使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多,则他购买的商品的标价可能为( )A.179元B.199元C.219元D.239元4.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是( )A.15B.16C.17D.185.(2017北京顺义二模,8)某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、培养学生的创新能力和实践能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人,当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )A.y=B.y=C.y=D.y=6.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y=k f(x),其中f(x)=--(),-()若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.B组提升题组7.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油8.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花100元的日常维修等费用(租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为( )A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元9.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为.10.已知某物体的温度θ(单位:℃)随时间t(单位:min)的变化规律是θ=m 2t+21-t(t≥0且m>0). (1)如果m=2,求经过多长时间物体的温度为5 ℃;(2)若物体的温度总不低于2 ℃,求m的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.D 对于A,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于B,在椭圆中,y与x的函数关系的图象不是对称的,不符合题意;对于C,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于D,当点P运动到AP是直径时,y最大,此时,x=,符合题意.故选D.2.A 设年平均增长率为P,a n为第n年的生产总值,因为a n(1+P)2=a n+2,所以P=-1,由图象比较,,,的大小可知,的值最大,故选A.3.C 设商品标价为x元(x>100),有,(-) ,解得200<x<225,故选C.4.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t(万元),则由,(-)( ),解得0<x≤.因为x∈N*,所以x的最大值为16.5.B 采用特值法.令余数分别为7或8,将两个临界值代入选项加以判断.=0,=0,排除A;=0,=1,B符合;=1,=1,排除C;=1,=1,排除D.故选B.6.解析(1)由题意知k--1=3,∴k=1.(2)因为k=4,所以y=--4(04),2 -2(414)当0≤x≤4时,由--4≥4,解得-4≤x< ,所以0≤x≤4当4<x≤14时,由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12综上可知,当y≥4时,0≤x≤12,所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.(3)能,理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×-1212+1×24-(12-10)-1=5(克/升),又5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.B组提升题组7.D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5 km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油0×1÷10= (升),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.8.B 设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤ 0,x∈N*),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50 5 0-22 ,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每套房月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.9.答案180解析依题意知:20-=--(0<x≤20, ≤y<24),即x=(24-y),∴阴影部分的面积S=xy=(24-y) y=(-y2+24y)=-(y-12)2+1 0( ≤y<24)∴当y=12时,S取最大值180.10.解析(1)若m=2,则θ=2 2t+21-t=2,当θ=5时,2t+=,令x=2t,x≥1,则x+=,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=(舍去),当x=2时,t=1.故经过1 min,物体的温度为5 ℃.(2)物体的温度总不低于2 ℃等价于对于任意的t∈[0,+∞),θ≥2恒成立, 即m 2t+≥2(t≥0)恒成立,亦即m≥2-(t≥0)恒成立.令y=,则0<y≤1,故对于任意的y∈(0,1],m≥2(y-y2)恒成立,因为y-y2=--+≤,所以m≥.因此,当物体的温度总不低于2 ℃时,m的取值范围是,∞.。

第九节函数模型及其应用A组基础题组1.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( )A.6升B.8升C.10升D.12升2.(2014北京昌平二模)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天的回报比前一天多10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报是前一天的两倍.若投资的时间为10天,为使投资的回报最多,你会选择哪种方案投资?( )A.方案一B.方案二C.方案三D.都可以3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油4.(2016北京丰台一模)经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),用横轴表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响下,市场会自发调解供求关系:当产品价格P1低于均衡价格P0时,需求量大于供应量,价格会上升为P2;当产品价格P2高于均衡价格P0时,供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此波动下去,产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图象是( )5.(2014北京海淀一模)某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型:①f(x)=p·q x(q>0,且q≠1);②f(x)=log p x+q(p>0,且p≠1);③f(x)=x2+px+q.能较准确地反映商场月销售额f(x)与月份x之间的关系的函数模型为(填写相应函数的序号);若所选函数满足f(1)=10, f(3)=2,则f(x)= .6.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.B组提升题组7.某工厂八年来某产品总产量y与时间t(年)的函数关系如图所示,则下列说法中正确的是( )①前三年总产量增长速度越来越慢;②前三年总产量增长速度越来越快;③第三年后,这种产品年产量保持不变;④第三年后,这种产品停止生产.A.①③B.①④C.②③D.②④8.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是( )A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元9.(2017北京西城一模)函数f(x)的图象上任意一点A(x,y)的坐标满足条件|x|≥|y|,称函数f(x)具有性质P,下列函数中,具有性质P的是( )A. f(x)=x2B. f(x)=C. f(x)=sin xD. f(x)=ln(x+1)10.(2015北京东城一模)C是曲线y=(-1≤x≤0)上一点,CD垂直于y轴,D是垂足,点A的坐标是(-1,0).设∠CAO=θ(其中O表示原点),将AC+CD表示成关于θ的函数f(θ),则f(θ)= , f(θ)的最大值为.11.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖权以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时,扣除职工最低生活费后的月利润余额最大?并求最大余额;(2)若企业乙只依靠该店,则其最早可望在几年后脱贫?12.小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子商品需投入年固定成本3万元,每生产x万件,需另投入流动成本W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)=x2+x;在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+-38.每件商品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?答案精解精析A组基础题组1. B 因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600-35 000=600(千米),故每100千米平均耗油量为48÷6=8(升).2.B 方案一:投资10天的回报为40×10=400元;方案二:投资10天的回报为10×10+×10=550元;方案三:投资10天的回报为=409.2元.投资回报最多的为方案二,故选B.3.D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5 km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.4.D 由题意可将B、C排除.选项A、D的区别在于两条曲线的斜率变化得快慢.当价格为P2时,供应量大于需求量,价格下降为P3,此时供应量小于需求量,价格会上升为P4,在价格由P1到P4的变化过程中,选项A和选项D如图:发现选项A的价格会越来越远离P0,选项D越来越靠近P0.故选D.5.答案③;x2-8x+17(1≤x≤12,且x∈N*)解析①②中的函数都是单调函数,故选③;由得p=-8,q=17,因此f(x)=x2-8x+17(1≤x≤12,且x∈N*).6.解析(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40,因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10).(2)f(x)=6x+10+-10≥2-10=70,当且仅当6x+10=,即x=5时等号成立.所以当隔热层厚度为5 cm时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.B组提升题组7.D 由题图知,前三年产品总产量与时间的函数图象越来越陡,说明总产量增长的速度越来越快;三年后总产量与时间的函数图象平行于横轴,说明该产品不再生产了,故选D.8.C 设总利润为y万元,公司在A地销售该品牌的汽车为x辆,则在B地销售该品牌的汽车为(16-x)辆,所以可得利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1+0.1×+32.因为x∈[0,16]且x∈N,所以当x=10或11时,能获得最大利润,且最大利润为43万元.9.C 要使函数具有性质P,则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内,画出|x|≥|y|的区域并作出A、B、C、D的函数图象(图略),可知满足条件的只有函数f(x)=sin x.故选C.10.答案2cos θ-cos 2θ,θ∈;解析易知∠COA=π-2θ,θ∈,∴AC2=OC2+OA2-2OA·OC·cos∠COA=2-2cos(π-2θ)=4cos2θ,∴AC=2cos θ,又CD=OC·cos(π-2θ)=cos(π-2θ),∴f(θ)=2cos θ+cos(π-2θ) =2cos θ-cos 2θ,θ∈.f(θ)=2cos θ-cos 2θ=-2cos2θ+2cos θ+1=-2+.当cos θ=,即θ=时, f(θ)max=.11.解析设该店月利润余额为L元,则由题设得L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,(*)由题图易得Q=代入(*)得L=(1)当14≤P≤20时,L max=450,此时P=19.5;当20<P≤26时,L max=,此时P=.故当P=19.5元时,月利润余额最大,为450元.(2)设可在n年后脱贫,依题意有12n×450-50 000-58 000≥0,解得n≥20.故若企业乙只依靠该店,则其最早可望在20年后脱贫.12.解析(1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元.依题意得,当0<x<8时,L(x)=5x--3=-x2+4x-3;当x≥8时,L(x)=5x--3=35-.所以L(x)=(2)当0<x<8时,L(x)=-(x-6)2+9,当x=6时,L(x)取得最大值L(6)=9.当x≥8时,L(x)=35-≤35-2=35-20=15.当且仅当x=,即x=10时,L(x)取得最大值15.因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.。