第5讲 直棱柱及表面展开图

直棱柱的表面展开图立方体是常见的特殊的直四棱柱，下面我们以它为代表来复习直棱柱的表面展开图.一、知识要点1. 立方体的表面展开图(1)概念:将立方体沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，这样展开后的平面图形称为立方体的表面展开图.(2)类型:立方体的表面展开图共有11种不同的情形，可归纳为4种基本类型. ① 1—4—1型，如图(1)～(6)，包括下列6种情形:(6)(5)(4)(3)(2)(1)说明:(a)每个图形都由三行组成，从上到下每行分别有1个，4个，1个小正方形； (b)以图(1)为基准，将第1行或第3行的小正方形左右平移即可得图(2)～(6)；(c)若两个图形可通过轴对称变换得到的，就认为是同一种情形，如图(甲)与图(乙)所示.② 1—3—2型，如图(7)～(9)，包括下列3种情形:(9)(8)(7)说明:每个图形都由三行组成，从上到下每行分别有1个，3个，2个小正方形； ③2—2—2型，如图(10)，只有1种情形.说明:这个图形由三行组成，从上到下每行都有2个小正方形；(乙)(甲)(10)(11)④3—0—3型，如图(11)，只有1种情形.说明:这个图形可看作由三行组成，从上到下每行分别有3个，0个，3个小正方形，这样便于统一编写、记忆它们的型号.(3)注意点:①展开图的面与面之间必须以棱相连接，不能以顶点相连接；②行与行之间，不能同时有两对或两对以上的小正方形具有公共边；③有下列情形之一者，肯定不是立方体的表面展开图:(a)小正方形的个数不足6个或超过6 个; (b)行数是1行或超过3行(经旋转变换的图形除外)；(c)图中包含“田”字型部份；(d)整个图形呈“L”字型.2.直棱柱的侧面展开图直棱柱的侧面展开图是由若干个长方形或正方形组合而成的，整个图形是一个长方形或正方形.3.直棱柱的表面积与侧面积计算直棱柱的表面积与侧面积，实质上就是利用长方形或正方形的面积公式进行面积计算.二、典例赏析例1 如图是某些多面体的平面展开图，说出这些多面体的名称.解:因为图(1)是由6个正方形组成的多面体的平面展开图，所以它是立方体；图(2)是由2个直角三角形，3个长方形组成的多面体的平面展开图，所以它是直三棱柱.析解:(1)根据平面展开图中所给图形的形状，先判断几何体的底面是什么图形，从而确定是哪一种多面体.(2) 如图，图(1)可看作由上述“1—3—2型”的基本图形(8)旋转变换而得.例2 如图是一个几何体的三视图，主视图与左视图是大小相同的长方形，俯视图是等边三角形.(1) 任意画出它的一种表面展开图；(2)若长方形的长为10cm,等边三角形的边长为4cm,求这个几何体的表面积. 解:(1) 如图是该几何体的一种表面展开图.(2)这个几何体的表面积为3×(10×4)+)24421(222-⨯⨯⨯ =120+83(cm 2). 析解:整个图形是一个不规则的图形，不能直接利用公式来计算，可用分割法把它转化为规则图形的面积来计算.例3 如图甲，有一个棱长为10cm 的立方体盒子，在盒子底部A 处有一只蚂蚁，欲吃顶点C 1处的一粒熟米.问蚂蚁应沿什么路径爬行，才能在最短的间内吃到这粒熟米?求出蚂蚁爬行的最短路径长.解：如图乙，它是立方体盒子沿侧棱展开的平面图形之一. 观察图形，根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段AC 1爬行的路径最短，所用时间最短.在Rt △AB 1C 1中，AB 1=20cm ，B 1C 1=10cm.由勾股定理得AC 12=AB 12+B 1C 12=202+102=400+100=500,∴AC 1=105(cm). 因此，蚂蚁沿着路径AC 1爬行，才能在最短的时间内吃到熟米，最短路径长为105cm. 析解：因为蚂蚁必须沿着立方体盒子的侧面爬行，所以要想在最短时间内吃到熟米，必须选择最短的路径.此时A 、C 1两点不在同一个面内，须将它展开转化为平面图形来解决.图乙是立方体盒子沿侧棱展开的平面图形之一.观察图形可知，蚂蚁沿线段AC 1爬行的路径最短，所用时间最短.。

第5讲直棱柱及表面展开图【知识要点】1.由若干个平面围成的几何体叫多面体；多面体上相邻两个面之间的交线叫多面体的棱；几个面的公共顶点叫多面体的顶点。

2.棱柱的上下底面平行且全等，每个侧面都是平行四边形。

3.根据侧棱与底面是否垂直，棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的每个侧面都是长方形（含正方形）。

4.根据底面多边形的边数，直棱柱可分为直三棱柱、直四棱柱……长方体和正方体都是直四棱柱。

5.欧拉公式：V+F－E=2(V:顶点数，F: 面数，E: 棱数）。

6.几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）7.常见的几种几何体的表面积的计算公式①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）②长方体表面积：2（ab+ah+bh）（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高③正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）8.几何体的展开图：（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，立体图形的展开图是平面图形。

（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．9.正方体相对两个面上文字：（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想像。

（2）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．【典型例题】〖讨论1〗在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是____________．〖讨论2〗如图是一个正方体纸盒的展开图，当折叠成正方体纸盒时，A点与_______点重合,C点与_______点重合.〖讨论3〗一个简单多面体的各个面都是三角形，请你说明它的顶点数V和面数F之间的关系为F=2V－4.学力训练一．选择题（共15小题）1．下列各几何体中，直棱柱的个数是（）A．5B．4C．3D．22．七棱柱的侧面是（）第3题A．长方形B．七边形C．三角形D．正方形3．如图所示，在长方体中，与棱AB平行的棱有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．下列关于棱柱的说法：①棱柱的所有面都是平面；②棱柱的所有棱长都相等；③棱柱的所以侧面都是长方形或正方形；④棱柱的侧面个数与底面边数相等；⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（）A．10个B．9个C．8个D．7个6．一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是（）A．十八边形B．八边形C．六边形D．四边形7．（2012•台湾）如图1为图2中三角柱ABCEFG的展开图，其中AE、BF、CG、DH是三角柱的边．若图1中，AD=10，CD=2，则下列何者可为AB长度？（）A. 2B. 3C. 4D. 5第7题第8题第9题8．（2012•佛山）一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥9．（2011•台湾）若下列只有一个图形不是右图的展开图，则此图为何？（）A．B．C．D．10．（2011•呼和浩特）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）A．B．C．D．11. （2012•德州）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（）A．B．C．D．12．（2011•河北）将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（）A．面CDHE B．面BCEF C．面ABFG D．面ADHG13．（2010•宁波）骰子是一种特的数字立方体（见图），它符合规则：相对两面的点数之和总是7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）14．已知三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱，…，由此可以推测n 棱柱有_________个面，_________个顶点，棱有_________条．15．一个直棱柱有7个面，则它有________个顶点，________条棱，表面上至少有______个直角．三．解答题（共6小题）16．（2010•宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体 4 4长方体8 6 12正八面体8 12正十二面体20 12 30你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_________．（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_________．（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．17..下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块．图号顶点数x 棱数y 面数z（a）8 12 6（b）（c）（d）（e）（1）我们知道，图（a）的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表；（2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式．18．如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条？（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？19．如图，是一个无盖立方体盒子，请把下列不完整的展开图补充完整．（请画出三种）20.马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示）21.如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．22.一个简单多面体的各个面都是五边形，请你说明它的顶点数V和面数F满足以下关系式：2V=3F+4。

第五讲第4章立体的投影（一）本讲的学习目标：掌握平面立体（棱柱、棱锥）的形状特点，掌握曲面立体（圆柱、圆锥、圆球）的形成原理；熟练掌握基本形体的投影特征以及形体表面上点和线的求解方法。

学习的重点：基本形体的投影特征以及形体表面上点和线的求解方法4.1 平面立体的投影图4-1 房屋形体的分析图4-2 水塔形体的分析基本形体：组成形体的最简单但又规则的几何体，叫做基本形体。

基本形体的分类：根据表面的组成情况，基本形体可分为平面立体和曲面立体两种。

平面立体：表面由若干平面围成的基本体，叫做平面立体。

平面立体类型：有棱柱、棱锥、棱台等。

平面体的投影：作平面立体的投影，就是作出组成平面立体的各平面的投影。

4.1.1 棱柱4.1.1.1 棱柱的投影如图4-3所示，有两个三角形平面互相平行，其余各平面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些平面所围成的基本体称为棱柱。

图4-3 三棱柱体当底面为三角形、四边形、五边形……时，所组成的棱柱分别为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

（a）立体图（b）投影图图4-4 三棱柱的三面投影分析其三面投影图：W投影：投影为三角形。

H投影：投影为两个矩形。

V投影：投影为一个矩形。

4.1.1.2 棱柱表面定点和定线【例4-1】如图4-5所示，已知三棱柱上直线AB、BC的V投影，求另外两个投影。

（a）已知条件（b）作图图4-5 三棱柱表面上的点和线【例4-2】如图4-5所示，已知四棱柱表面上点K的V投影和点M的V投影，求它们的另外两投影。

（a）立体图（b）已知条件（c）作图图4-6 四棱柱表面上的点4.1.2 棱锥定义：由一个多边形平面与多个有公共顶点的三角形平面所围成的几何体称为棱锥。

如图4-6所示为三棱锥。

图4-7-1 三棱锥根据不同形状的底面，棱锥有三棱锥、四棱锥和五棱锥等。

当棱锥底面为正n边形时，称为正n棱锥。

4.1.2.1 棱锥的投影1. 棱锥如图4-7所示为一正三棱锥,三棱锥底面ABC是水平面，后棱面SAC是侧垂面，其它两个侧面都是一般面；棱线SB为侧平线，其它两条棱线为一般线。

初中数学直棱柱的展开图知识点总结关于初中数学直棱柱的展开图知识点总结初中数学直棱柱的展开图知识点总结直棱柱作为构成物体的基本几何形体之一，它有很多独特的性质。

直棱柱的展开图展开图是指空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形。

直棱柱展开图的特点如果沿着直棱柱的两个底面和一条棱线将其展开，则会得到右图所示的展开图。

从图中不难得出棱柱展开图的特点：(1)棱柱的所有侧面都是矩形且都有一边相等。

(2)棱柱体两个底面的边展开后形成两条平行且相等的线段，与棱柱所有棱线垂直。

直棱柱展开图绘制方法根据直棱柱展开图的特点，可以绘制出直棱柱的展开图。

1.找出棱柱体的两个底面，依据透视原理画出它们其中一个的真形。

2.确定棱柱体的高度，过棱柱体底面的最高水平边的端点向上作两条与棱柱体的高度等长的线段。

3.向两边延长棱柱体底面的最高水平边，过两条垂线段的较高端点作一条直线，构成一组平行线。

在靠下的直线上依次截取与棱柱体底面各边(底面的最高水平边除外)等长的线段(注意对应关系)，得到几个直线上的点，过这些点向上作垂线，交上面的水平直线于几点上。

棱柱体的侧面就画好了。

4.将各条垂线段的中点找出，过这些点作一条直线，以这条直线为对称轴作棱柱体底面的轴对称图形。

直棱柱展开图的绘制对于模型和空心工件的制作有重要作用。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。