高考数学(精讲 精练 精析)专题 函数的基本性质试题(江苏)(含解析)

【最新考纲解读】【考点深度剖析】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式． 【课前检测训练】 [判一判](1)函数y ＝(x ＋1)3，y ＝x3＋1，y ＝x 都是幂函数.( )解析 错误.根据幂函数的定义可知，y ＝x 是幂函数，而y ＝(x ＋1)3和y ＝x3＋1都不是幂函数.(2)二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n]的最值一定是4ac －b24a.( ) (3)二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数.( ) 解析 错误.当b ＝0时，二次函数为偶函数. (4)幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0).( ) 解析 错误.y ＝1x是幂函数，但图像不过点(0,0).(5)当n>0时，幂函数y ＝xn 是(0，＋∞)上的增函数.( ) 解析 正确.由幂函数的图像可知.(6)关于x 的不等式ax2＋bx ＋c>0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，b2－4ac<0。

( )解析 错误.当a ＝0，b ＝0，c>0时也恒成立.ax2＋bx ＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0。

[练一练] 1．已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f(x)的图像上，则f(x)的表达式为_______ 解析 设f(x)＝xα，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，∴α＝－2，即f(x)＝x －2. 答案 f(x)＝x －22．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则_______答案 C a ≤－23．函数f(x)＝x2－4x ＋3，x ∈[0,4]，则f(x)的最大值、最小值分别为________、________. 解析 因为f(x)＝(x －2)2－1，x ∈[0,4]，所以x ＝2时，f(x)min ＝－1，f(x)max ＝f(0)＝f(4)＝3.4．二次函数f(x)的图像与x 轴有两个交点A(1,0)，B(－2,0)，且图像过点(0,3)，则f(x)＝__________.解析 设f(x)＝a(x －1)(x ＋2)，又因为f(0)＝3，所以－2a ＝3，故a ＝－32，即f(x)＝－32(x －1)(x ＋2).答案 f(x)＝－32(x －1)(x ＋2)【经典例题精析】 考点1 函数单调性的判断【1-1】“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的__________条件. 【答案】充分必要【解析】本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a ＝0时，f(x)＝|(ax －1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图 (2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0. 即“a≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件． 【1-2】函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．【答案】(1，＋∞)【1-3】讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．【答案】f(x)在(－1,1)上为减函数 【解析】设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－x 22－＝a x 2－x 1x 1x 2＋x 21－x 22－.∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数【1-4】函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. 求证：f (x )在R 上是增函数； 【答案】详见解析【基础知识】函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示. 【思想方法】判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．【温馨提醒】在研究函数的单调性时，应注意以下两方面的问题：一是必须在定义域的范围内研究单调性，超出了定义域范围的单调区间是没有意义的，二是单调区间的表述要正确．如函数f (x )＝1x 的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)[或(－∞，0)，(0，＋∞)]，而不能表述为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 考点2 函数单调性的应用【2-1】如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】－14≤a ≤0【解析】当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述得－14≤a ≤0.【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为________．【答案】(－1,4)【解析】作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．【2-3】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x x ，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 【答案】[4,8)【基础知识】单调性的应用主要体现在利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用． 【思想方法】1.含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2.当要比较的函数值不在对称轴的同一侧，即不在同一单调区间上时，可通过比较相应自变量值与对称轴的距离的大小进行判断．【温馨提醒】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 【易错问题大揭秘】分段函数的单调性问题，一定要保证各段上同增（减）和上、下段间端点值间的大小关系．如：(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是_______． 【分析】因为()f x 是R 上的单调递增函数，所以1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<，所以实数a 的取值范围是[)4,8．【易错点】忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而致误． 【练一练】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________. 【答案】 (0，2]。

第2讲函数的概念、图象与性质[考向导航]考点扫描三年考情考向预测1．函数及其表示第4题江苏高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，通过数形结合的思想解决问题．对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，常以填空题的形式考查，难度较大．分段函数往往是试题的载体．2．函数的图象3．函数的性质第14题第9题4．分段函数第14题第14题1．必记的概念与定理(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．(2)单调性：利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．由几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(3)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(4)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．2．记住几个常用的公式与结论图象变换规则(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．(3)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(4)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(5)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(6)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(7)要得到y ＝f (|x |)的图象，可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0时的图象．(8)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0．(9)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．3．需要关注的易错易混点(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集．(2)从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．(3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．(4)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件．函数及其表示 [典型例题](1)(·高考江苏卷)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，－x 2＋1，x >0的值域为________．【解析】 (1)要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1，7]．(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2x 单调递增，此时函数f (x )的值域为(0，1]；当x >0时，函数f (x )＝－x 2＋1单调递减，此时函数f (x )的值域为(－∞，1)．故函数f (x )的值域为(－∞，1]．【答案】 (1)[－1，7] (2)(－∞，1]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．[对点训练]1．(·高考江苏卷)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．[解析] 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2，则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞)2．(·南京四校第一学期联考)函数f (x )＝x 2－5x ＋6lg （2x －3）的定义域为________．[解析] 要使f (x )有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0lg （2x －3）≠0x 2－5x ＋6≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x ≠2x ≥3或x ≤2，所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫32，2∪[3，＋∞)．[答案] ⎝⎛⎭⎫32，2∪[3，＋∞)函数的图象及应用[典型例题](1)函数f (x )＝e xx的图象大致为________．(2)(·镇江市高三调研考试)已知函数y ＝2x ＋12x ＋1与函数y ＝x ＋1x 的图象共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑i ＝1k(x i ＋y i )＝________．【解析】 (1)由f (x )＝e xx ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝（x －1）e x x 2，则当x ∈(－∞，0)和x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，故②正确．(2)函数y ＝f (x )＝2x ＋12x ＋1满足f (x )＋f (－x )＝2，则函数f (x )的图象关于点(0，1)对称，且f (x )在R 上单调递增，所以f (x )∈(0，2)．又函数y ＝x ＋1x 的图象也关于点(0，1)对称，且在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，画出两函数的大致图象如图所示，所以两个函数的图象共有2个公共点，A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，且这两个交点关于点(0，1)对称，则∑i ＝12(x i ＋y i )＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2．【答案】 (1)②(2)2(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性．(2)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数问题；利用此法也可由解的个数求参数值．[对点训练]3．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f （3）的值等于________．[解析] 因为由图象知f (3)＝1，所以1f （3）＝1．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2．[答案] 2函数的性质 [典型例题](1)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于________．(2)(·泰州模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤k ，k ，f （x ）＞k ，取函数f (x )＝2－|x |．当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为______．【解析】 (1)f (x )＝2·（2|x |＋1）＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，因为g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0．因为M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ， 所以M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4．(2)由f (x )>12，得－1<x <1．由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1．所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1．故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．【答案】 (1)4 (2)(－∞，－1)(1)求函数的单调区间的常用方法①利用已知初等函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．③图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．(2)函数奇偶性与单调性分别是函数整体与局部的性质，它们往往在研究函数中“并驾”而行，解题时往往先通过函数奇偶性进行变形，再利用单调性求解．[对点训练]4．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0．若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________． [解析] 因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3．[答案] (－1，3)分段函数 [典型例题](·高考江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________． 【解析】 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4．因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2．⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22． 【答案】22求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[对点训练]5． (·江苏省高考名校联考(三))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x ，x ≥0，－ax 2＋x ，x ＜0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－14，14时，恒有f (x ＋a )＜f (x )，则实数a 的取值范围是________．[解析] 显然a ≠0，故考虑a ＞0和a ＜0两种情形．①当a ＞0时，画图知，函数f (x )在R 上单调递增，故f (x ＋a )＞f (x )，不符合题意；②当a ＜0时，此时f (x )的图象如图所示，由于不等式f (x ＋a )＜f (x )中两个函数值对应的自变量相差为－a ，因此用弦长为－a 的线段“削峰填谷”，可得⎣⎡⎦⎤－14，14⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋－a 2，－12a ＋－a 2，即12a －a 2＜－14，即2a 2－a －2＜0，解得1－174＜a ＜0．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫1－174，06．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ．若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． [解析] 由题意可得f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25． [答案] －251．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________．[解析] 由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2． [答案] 22．(·江苏省六市高三调研)函数f (x )＝lg （5－x 2）的定义域是________．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg （5－x 2）≥0，5－x 2＞0，解得－2≤x ≤2，所以所求函数的定义域为[－2，2]．[答案] [－2，2]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． [解析] 因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数， 所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13．又f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，所以a ＋b ＝13．[答案] 134．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝________． [解析] 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1．①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1．② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，即f (x )＝x ＋1． [答案] x ＋15．(·江苏省高考名校联考信息(八))已知a ∈R ，函数f (x )＝a －24x ＋1的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫12，13，则关于x 的不等式f (x 2＋x )＋f (x －8)<0的解集为______．[解析] 因为函数f (x )＝a －24x ＋1的图象经过点A (12，13)，所以f (12)＝a －23＝13，解得a ＝1，所以f (x )＝1－24x ＋1＝4x －14x ＋1，易知函数f (x )是R 上的增函数．又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是R上的奇函数，所以关于x 的不等式f (x 2＋x )＋f (x －8)<0可转化为f (x 2＋x )<f (8－x )，所以x 2＋x <8－x ，即x 2＋2x －8<0，解得－4<x <2．[答案] －4<x <26．(·江苏省名校高三入学摸底卷)已知定义在[0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＝12f (x ＋2)，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝x 2＋1，则log 2 f (8)＝______．[解析] 由题意得f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (8)＝2f (6)＝4f (4)＝8f (2)＝16f (0)＝16，所以log 2f (8)＝log 216＝4．[答案] 47．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．[解析] 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2．因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． 所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6． [答案] 68．(·江苏省高考名校联考(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2－x ＋2，x ＞0，2，x ≤0，则不等式f (－x 2－1)≤f (－x 2＋5x )的解集为________．[解析] 因为－x 2－1≤－1＜0，所以f (－x 2－1)＝2，当－x 2＋5x ≤0时，f (－x 2－1)＝f (－x 2＋5x )＝2，原不等式成立，此时，x ≥5或x ≤0；当－x 2＋5x ＞0时，则需f (－x 2＋5x )≥2，即14(－x 2＋5x )2－(－x 2＋5x )＋2≥2，－x 2＋5x ≥4，得1≤x ≤4．故原不等式的解集为(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)．[答案] (－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)9．(·江苏省高考名校联考(五))已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－mx (m ∈R )．若函数y ＝f (x )在区间(－2，1)上单调递减，则实数m 的最小值为________．[解析] 当x ＞0时，f (x )＝x 2－mx ＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m24，所以当m ≤0时，函数y ＝f (x )在区间(－2，1)上不可能单调递减，所以不满足条件；当m ＞0时，根据函数的图象可知，函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫－m 2，m 2上单调递减，所以⎩⎨⎧－m2≤－2，m2≥1，即m ≥4，所以实数m 的最小值为4． [答案] 410．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为________(填序号)．[解析] 当x ∈[0，π4]时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除①，③．当x ∈[π4，3π4]时，f (π4)＝f (3π4)＝1＋5，f (π2)＝22．因为22＜1＋5，所以f (π2)＜f (π4)＝f (3π4)，从而排除④．[答案] ②11．若函数f (x )＝x ax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．[解] 由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2xx ＋2．12．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)． (1)若f (x )的图象如图(1)所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图(2)所示，求a 、b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．[解] (1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)， 所以a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2， 解得a ＝3，b ＝－3．(2)由题图(2)知，f (x )单调递减，所以0<a <1， 又f (0)<0，即a 0＋b <0，所以b <－1．(3)画出y ＝|f (x )|的草图，如图所示，知当m ＝0或m ≥3时，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解．13．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝e x －e －x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－e －x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数且是奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立，f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立，x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立，t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R恒成立，t 2＋t ≤(x 2＋x )min 对一切x ∈R 恒成立，即t 2＋t ≤－14，(2t ＋1)2≤0，所以t ＝－12． 即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． 14．(·扬州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )．(1)求f (2 016)的值；(2)求证：函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(3)若f (x )在区间[0，2]上是增函数，试比较f (－25)，f (11)，f (80)的大小．[解] (1)因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x －4)＝－{－f [(x －4)－4]}＝f (x －8)，知函数f (x )的周期为T ＝8．所以f (2 016)＝f (252×8)＝f (0)．又f (x )为定义在R 上的奇函数．所以f (0)＝0，故f (2 016)＝0．(2)证明：因为f (x )＝－f (x －4)，所以f (x ＋2)＝－f [(x ＋2)－4]＝－f (x －2)＝f (2－x )，即f (2＋x )＝f (2－x )成立． 故函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称．(3)由(1)知f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (－25)＝f [(－3)×8－1]＝f (－1)，f (11)＝f (8＋3)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．又f(x)在[0，2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2，2]上为增函数，则有f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．。

江苏高考数学解析版绝对精华卷高考数学是每个考生都不可避免的一门科目，而江苏高考数学更是一门备受关注的学科。

为了帮助考生更好地应对江苏高考数学，特编写本文，详细解析江苏高考数学的重要考点和解题技巧，以便考生能够在考试中取得优异成绩。

一、代数与函数1. 二次函数与一次函数江苏高考数学中，二次函数与一次函数是必考的重要内容。

二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a≠0。

一般来说，要求考生能够熟练掌握二次函数的顶点、开口方向和对称轴等基本性质。

同时，考生还需要能够运用函数性质解决实际问题，例如求最值、求解方程等。

2. 不等式与绝对值在江苏高考数学中，不等式与绝对值也是常见的考点。

考生需要理解不等式的含义，并掌握不等式的性质，如两边加减同一个数是否改变不等关系、乘除同一个正数是否改变不等关系等。

此外，考生还需要熟练掌握如何解一元一次不等式和二次不等式，以及如何求解带有绝对值的不等式。

二、数与空间1. 三角函数江苏高考数学的三角函数是一个重要的考点，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

考生需要熟悉三角函数的定义和性质，如周期性、奇偶性等。

在解题过程中，考生需要能够灵活运用三角函数解决相关的实际问题。

2. 空间几何空间几何也是江苏高考数学的常见考点之一。

考生需要掌握空间几何的基本概念和性质，如点、线、面、体等。

此外，考生还需要理解空间几何与平面几何的联系，并能够解决与空间几何有关的实际问题。

三、概率与统计1. 随机事件概率与统计是江苏高考数学的另一个重要内容。

考生需要了解随机事件的基本概念和性质，如试验、样本空间、随机事件等。

在解题过程中，考生需要熟练掌握如何计算事件的概率，并能够应用概率解决实际问题。

2. 统计分析统计分析也是江苏高考数学中的一个考点。

考生需要了解统计分析的基本内容，如样本调查、数据收集、数据整理和数据分析等。

在解题过程中，考生需要掌握如何计算样本的均值、方差和标准差，并能够应用统计分析解决实际问题。

专题04 函数的性质问题考点预测高考函数的性质常以基础题或中档题以上的题型出现，尤其对函数的零点的考察近几年常以压轴题型出现.常用的结论如下：1. 一般地，对于定义在区间D 上的函数y =f(x)（1）若存在x 0∈D ,使得f(x 0)=x 0,则称x 0是函数y =f(x)的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在x 0∈D ,使f(f(x 0))=x 0,则称x 0是函数y =f(x)的二阶不动点,简称稳定点；2. 函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,①，则是以为周期的周期函数；②，则是以为周期的周期函数；③，则是以为周期的周期函数； ④，则是以为周期的周期函数；⑤，则是以为周期的周期函数. ⑥，则是以为周期的周期函数. ⑦，则是以为周期的周期函数. ⑧函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为()y f x =x a ()()f x f x a =+()y f x =T a =()()f x a f x +=-()x f 2T a =()()1f x a f x +=±()x f 2T a =()()f x a f x a +=-()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=+()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=-+()x f 4T a =1()()1()f x f x a f x ++=-()x f 4T a =()y f x =()()f a x f a x +=-0a >()f x 4T a =()f x偶函数，则其周期为.3. 常见几个奇函数：典型例题 例1.设f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，满足：＞0，且f （2）＝4，则不等式f （x ）﹣＞0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）B ．（﹣2，0）∪（0，2）C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）D ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【答案】A 【分析】令F （x ）＝xf （x ），由已知可得函数F （x ）的奇偶性与单调性，将不等式转化为＞0，利用单调性及奇偶性即可求解．【解答】解：令F （x ）＝xf （x ），由f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，可得F （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数， 由对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，满足：＞0，可得F （x ）＝xf （x ）在（0，+∞）上单调递增，由f （2）＝4，可得F （2）＝8，所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且F （﹣2）＝8，不等式f （x ）﹣＞0，即为＞0，即＞0，2T a =(1log ,log,1a x x a x a a x a y mx y y a +⎛⎫ ⎪-⎝⎭+=+==-可得或，即或解得x＞2或﹣2＜x＜0．故选：A．【知识点】奇偶性与单调性的综合例2.设函数，则使得f（x）≤f（3x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，]⊂[，+∞）D．【答案】D【分析】根据函数解析式的特点，判断函数f（x）的奇偶性以及在区间[0，+∞）上的单调性，利用函数的性质将不等式合理转化求解即可．【解答】解：＝（1+x2）++，f（﹣x）＝（1+x2）++＝f（x），即函数f（x）为偶函数，在区间[0，+∞）上，y＝（1+x2）为减函数，y＝为减函数，y＝为减函数，故函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，则f（x）≤f（3x﹣1）⇔f（|x|）≤f（|3x﹣1|）⇔|x|≥|3x﹣1|，解可得≤x≤，即不等式的解集为[，]．【知识点】奇偶性与单调性的综合例3.函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，若关于x的方程f （2x）﹣mg（x）＝0在区间（0，2]内有解，则实数m的最小值为（）A．4B．4C．8D．8【答案】B【分析】由函数的奇偶性，构造方程可解得，原方程有解可转化为在（0，2]有解，换元t＝e x﹣e﹣x∈（0，e2﹣e﹣2]，求函数的最小值即可．【解答】解：∵f（x）+2g（x）＝e x，∴f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，又函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，∴f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，∴，∵f（2x）﹣mg（x）＝0在区间（0，2]内有解，∴在区间（0，2]内有解，令t＝e x﹣e﹣x∈（0，e2﹣e﹣2]，则在（0，e2﹣e﹣2]内有解，又，当且仅当时取等号，∴m的最小值为．【知识点】奇偶性与单调性的综合、函数的零点与方程根的关系专项突破1.已知函数f（x）＝+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣1，3）【答案】B【分析】设F（x）＝f（x）﹣＝+2x+1﹣＝+2x，分析函数F（（x）的奇偶性，单调性，f（a2）+f（2a）＞3，转化为F（a2）＞﹣F（2a），即可解出答案．【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）﹣＝+2x+1﹣＝+2x，则F（0）＝f（0）﹣＝0，又由F（﹣x）＝+2（﹣x）＝﹣（+2x）＝﹣F（x），即函数F（x）为奇函数；又由F′（x）＝＝＝＞0，所以函数F（x）单调递增，若f（a2）+f（2a）＞3，则f（a2）﹣＞，f（a2）﹣＞﹣[f（2a）﹣]，F（a2）＞﹣F（2a），F（a2）＞F（﹣2a），所以a2＞﹣2a，解得，a＜﹣2或a＞0，故选：B．【知识点】奇偶性与单调性的综合2.己知f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x cos x﹣sin x+，则满足不等式f（log2m）+f（m）＜2f（1）的实数m的取值范围为（）A．（，2）B．（0，2）C．（0，）∪（1，2）D．（2，+∞）【答案】A【分析】求导可知，函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，进而把原问题等价为f（log2m）＜f（1），则﹣1＜log2m＜1，解出即可．【解答】解：当x≥0时，f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x+x2＝x2﹣x sin x＝x（x﹣sin x）＞0，即函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（log2m）+f（m）＜2f（1）等价为f（log2m）+f（﹣log2m）＜2f（1），即f（log2m）＜f（1），∴﹣1＜log2m＜1，∴．故选：A．【知识点】奇偶性与单调性的综合3.若函数f（x）＝+tan x的定义域为[﹣1，1]，且f（0）＝0，则满足f（2x﹣1）＜f（x﹣m+1）的实数x的取值范围是（）A．（0，1]B．（﹣1，0）C．[1，2）D．[0，1）【答案】D【分析】由f（0）＝0，可求m，进而可求f（x），结合函数的奇偶性及单调性即可求解不等式．【解答】解：∵f（x）＝+tan x，由f（0）＝＝0，可得m＝1，故f（x）＝+tan x，∴f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，∵f（x）＝+tan x＝1﹣+tan x在[﹣1，1]上单调递增，则由f（2x﹣1）＜f（x）可得，﹣1≤2x﹣1＜x≤1，解可得，0≤x＜1，故选：D．【知识点】奇偶性与单调性的综合4.已知函数y＝f（x）的定义域为R，y＝f（x+1）为偶函数，对任意x1，x2，当x1＞x2≥1时，f（x）单调递增，则关于a的不等式f（9a+1）＜f（3a﹣5）的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，log32）C．（1，log32）D．（1，+∞）【答案】B【分析】由函数y为偶函数求出函数f（x）的对称轴，再由题意函数在区间的单调性可得自变量离x＝1的距离的大小，进而求出不等式的解集．【解答】解，由函数y＝f（x）的定义域为R，y＝f（x+1）为偶函数，所以f（﹣x+1）＝f（x+1），即f（x）＝f（﹣x+2），所以f（x）关于x＝1对称，又当x1＞x2≥1时，f（x）单调递增，f（9a+1）＜f（3a﹣5），所以|9a+1﹣1|＜|3a﹣5﹣1|，即9a＜|3a﹣6|，当3a≥6时，即a≥log36时，9a＜3a﹣6，即（3a）2﹣3a+6＜0，解集为空集，当3a＜6时，即a＜log36，9a＜6﹣3a，即（3a）2+3a﹣6＜0，解得﹣3＜3a＜2，解得a＜log32，综上所述，不等式的解集为：（﹣∞，log32），故选：B．【知识点】奇偶性与单调性的综合5.已知函数f（x+3）为奇函数，且对任意不相等的实数a，b，都有成立，则不等式f（3x+1）+f（﹣x+6）＞0的解集为（）A．（﹣∞，）B．（，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【答案】A【分析】根据题意可知f（x）在R上单调递减，再根据f（x+3）是奇函数即可将原不等式化成f（3x+1）＞f（x），从而得出3x+1＜x，解出x的范围即可．【解答】解：∵对任意不相等的实数a，b，都有成立，∴f（x）在R上单调递减，且f（x+3）为奇函数，∴原不等式可化成f（3x+1）＞f[﹣（﹣x+3）+3]，∴f（3x+1）＞f（x），∴3x+1＜x，解得x，∴原不等式的解集为．故选：A．【知识点】奇偶性与单调性的综合6.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2﹣x﹣1，若f（a2﹣3）+f（2a）≤0，则实数a的数值范围（）A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）B．[﹣3，1]C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【答案】A【分析】根据f（x）是R上的奇函数可得出f（0）＝0，从而根据x＜0时的f（x）解析式可判断出f（x）在R上是减函数，从而根据f（a2﹣3）+f（2a）≤0可得出a2﹣3≥﹣2a，解出a的范围即可．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，且x＜0时，f（x）＝2﹣x﹣1是减函数，∴f（x）在R上是减函数，∴由f（a2﹣3）+f（2a）≤0得，f（a2﹣3）≤f（﹣2a），∴a2﹣3≥﹣2a，解得a≤﹣3或a≥1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．故选：A．【知识点】奇偶性与单调性的综合7.已知定义在R上的函数f（x）＝﹣（x﹣1）3，则不等式f（2x+3）+f（x﹣2）≥0的解集为（）A．（﹣∞，]B．（0，]C．（﹣∞，3]D．（0，3]【答案】A【分析】利用复合函数关系判断g（x）＝f（x+1）是奇函数，同时也是减函数，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可．【解答】解：令t＝x﹣1，则f（t+1）＝，则f（t+1）是奇函数，则当t≥0时，y＝＝﹣t3＝﹣t3＝﹣t3＝﹣1﹣t3，为减函数，∴当x≥1时，f（x）为减函数，即g（x）＝f（x+1）是奇函数，则f（2x+3）+f（x﹣2）≥0等价为f（2x+2+1）+f（x﹣3+1）≥0，即g（2x+2）+g（x﹣3）≥0，则g（2x+2）≥﹣g（x﹣3）＝g（3﹣x），则2x+2≤3﹣x，得3x≤1，x≤，即原不等式的解集为（﹣∞，]，故选：A．【知识点】奇偶性与单调性的综合8.已知函数f（x）＝+x+sin x﹣1，若f（a﹣1）+f（2a2）≤﹣2，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）C．[﹣，1]D．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）【答案】A【分析】令g（x）＝f（x）+1＝+x+sin x，求出g（x）的单调性和奇偶性，再将不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤﹣2转化为g（a﹣1）≤﹣g（2a2），利用单调性及奇偶性去掉“g”可得关于a的不等式，求解即可得结论．【解答】解：由题意可知函数f（x）＝+x+sin x﹣1的定义域为R，令g（x）＝f（x）+1＝+x+sin x，则g（﹣x）＝+（﹣x）+sin（﹣x）＝﹣（+x+sin x）＝﹣g（x），所以g（x）为奇函数，g′（x）＝+1+cos x＞0在R上恒成立，所以g（x）在R上单调递增，不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤﹣2，则f（a﹣1）+1≤﹣（f（2a2）+1），即g（a﹣1）≤﹣g（2a2），即g（a﹣1）≤g（﹣2a2），所以a﹣1≤﹣2a2，解得﹣1≤a≤．故选：A．【知识点】函数单调性的性质与判断、奇偶性与单调性的综合9.已知函数y＝f（x）的定义域为R，f（x+1）为偶函数，且对∀x1＜x2≤1，满足，若f（3）＝1，则不等式f（log2x）＜1的解集为（）A．（，8）B．（1，8）C．（0，）∪（8，+∞）D．（﹣∞，1）∪（8，+∞）【答案】A【分析】f（x+1）为R上的偶函数，可得f（﹣x+1）＝f（x+1），即函数f（x）关于直线x＝1对称．对∀x1＜x2≤1，满足＜0，等价于∀x1＜x2≤1，f（x2）＜f（x1），可得函数f（x）在x≤1时的x）单调性．由f（3）＝1，可得不等式f（log2x）＜1⇔f（log2x）＜f（3）．即可得出．【解答】解：∵f（x+1）为R上的偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），∴函数f（x）关于直线x＝1对称．对∀x1＜x2≤1，满足＜0，等价于∀x1＜x2≤1，f（x2）＜f（x1），即函数f（x）在x≤1时，函数f（x）单调递减．若f（3）＝1，则不等式f（log2x）＜1⇔f（log2x）＜f（3）．∴3＞log2x＞﹣1，解得：8．∴不等式f（log2x）＜1的解集为．故选：A．【知识点】奇偶性与单调性的综合10.定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）＝﹣1在[0，1）上有实数根，则方程f（x）＝1在区间[﹣1，11]上所有实根之和是（）A．30B．14C．12D．6【答案】A【分析】根据条件可得出f（x）的图象关于x＝1对称，f（x）的周期为4，从而可考虑f（x）的一个周期，利用[﹣1，3]，根据f（x）在[0，1）上是减函数可得出f（x）在（1，2]上是增函数，f（x）在（﹣1，0）上是减函数，在[2，3）上是增函数，然后根据f（x）＝﹣1在[0，1）上有实数根，可判断该实数根是唯一的．并可判断f（x）＝﹣1在一个周期[﹣1，3]内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出f（x）＝﹣1在区间[﹣1，11]这三个周期内上有6个实数根，和为30．【解答】解：由f（2﹣x）＝f（x）知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，∵f（2﹣x）＝f（x），f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）＝f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝f（x），∴f（x）的周期为4，考虑f（x）的一个周期，例如[﹣1，3]，由f（x）在[0，1）上是减函数知f（x）在（1，2]上是增函数，f（x）在（﹣1，0]上是减函数，f（x）在[2，3）上是增函数，对于奇函数f（x）有f（0）＝0，f（2）＝f（2﹣2）＝f（0）＝0，故当x∈（0，1）时，f（x）＜f（0）＝0，当x∈（1，2）时，f（x）＜f（2）＝0，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞f（0）＝0，当x∈（2，3）时，f（x）＞f（2）＝0，方程f（x）＝﹣1在[0，1）上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f（x）在（0，1）上是单调函数，则由于f（2﹣x）＝f（x），故方程f（x）＝﹣1在（1，2）上有唯一实数，在（﹣1，0）和（2，3）上f（x）＞0，则方程f（x）＝﹣1在（﹣1，0）和（2，3）上没有实数根，从而方程f（x）＝﹣1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈[﹣1，3]，方程f（x）＝﹣1的两实数根之和为x+2﹣x＝2，当x∈[﹣1，11]，方程f（x）＝﹣1的所有6个实数根之和为x+2﹣x+4+x+4+2﹣x+x+8+2﹣x+8＝2+8+2+8+2+8＝30．故选：A．【知识点】奇偶性与单调性的综合11.已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝1﹣2|x﹣|，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）＝1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，+∞）C．（﹣﹣ln2，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣﹣ln2，0）∪（0，+∞）【答案】D【分析】根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式，然后作出函数的图象，对m进行分类讨论进行求解即可．【解答】解：若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，则f（﹣x）＝1﹣2|﹣x﹣|＝1﹣2|x+|，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝1﹣2|x+|＝﹣f（x），则f（x）＝2|x+|﹣1，x∈[﹣1，0]，若x∈[1，+∞），则﹣x∈（﹣∞，﹣1]，则f（﹣x）＝1﹣e﹣1+x＝﹣f（x），则f（x）＝e﹣1+x﹣1，x∈[1，+∞），作出函数f（x）的图象如图：当m＞0时，f（x+m）的图象向左平移，此时f（x+m）＞f（x）有解，满足条件．当m＜0时，f（x+m）的图象向右平移，当f（x+m）的图象与f（x）在x＞1相切时，f′（x）＝e x﹣1，此时对应直线斜率k＝2，由e x﹣1＝2，即x﹣1＝ln2，得x＝ln2+1．此时y＝e x﹣1﹣1＝e ln2+1﹣1﹣1＝2﹣1＝1，即切点坐标为（1+ln2，1），设直线方程为y＝2（x﹣a）此时1＝2（1+ln2﹣a），即＝1+ln2﹣a，得a＝+ln2，0＜﹣m＜+ln2，得﹣﹣ln2＜m＜0，综上﹣﹣ln2＜m＜0或m＞0综上m的取值范围是（﹣﹣ln2，0）∪（0，+∞），故选：D．【知识点】奇偶性与单调性的综合12.定义在R的函数f（x），已知y＝f（x+2）是奇函数，当x＞2时，f（x）单调递增，若x1+x2＞4且（x1﹣2）•（x2﹣2）＜0，且f（x1）+f（x2）值（）A．恒大于0B．恒小于0C．可正可负D．可能为0【答案】A【分析】根据y＝f（x+2）为奇函数可得y＝f（x）关于点（2，0）对称，并由x＞2时f（x）单调递增，得出x＜2时单调递减，并得出x＞2时，f（x）图象在x轴上方，x＜2时，f（x）图象在x轴下方．由（x1﹣2）•（x2﹣2）＜0可得出x1＞2，x2＜2，再由x1+x2＞4即可得出|x1﹣2|＞|2﹣x2|，这样根据f （x）的对称性即可得出f（x1）+f（x2）＞0．【解答】解：∵y＝f（x+2）是奇函数；∴y＝f（x）的图象关于点（2，0）对称；∵当x＞2时，f（x）单调递增；∴当x＜2时单调递增；∵（x1﹣2）•（x2﹣2）＜0，不妨设x1＞2，x2＜2；∴由x1+x2＞4得，x1﹣2＞2﹣x2，即|x1﹣2|＞|2﹣x2|；又f（x1）＞0，f（x2）＜0；∴结合函数对称性可知f（x1）+f（x2）＞0．故选：A．【知识点】奇偶性与单调性的综合13.已知函数f（x）=x2+2|x|﹣2018，则使得f（）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（）A．（1﹣，）B．（﹣∞，1﹣）∪（，+∞）C．（1﹣，1+）D．（﹣∞，1﹣）∪（1+，+∞）【答案】D【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得函数f（x）为偶函数，当x≥0时，有f（x）=x2+2x﹣2018，分析可得函数f（x）为增函数，据此可以将原不等式转化为|x|＞|x+2|，变形可得：x2﹣2x﹣2＞0，解饿看的x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x2+2|x|﹣2018，有f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，当x≥0时，有f（x）=x2+2x﹣2018，分析可得函数f（x）为增函数，若f（）＞f（x+2），则有|x|＞|x+2|，变形可得：x2﹣2x﹣2＞0，解可得：x＜1﹣或x＞1+，即x的取值范围：（﹣∞，1﹣）∪（1+，+∞）；故选：D．【知识点】奇偶性与单调性的综合14.（多选题）下列函数中既是定义域上的偶函数，又是（0，+∞）上的增函数为（）A．B．C．y＝|lnx|D．y＝e|x||【答案】BD【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及单调性，综合即可得答案．【解答】解：y＝在（0，+∞）上为减函数，不符合题意，y＝|lnx|为非奇非偶函数，不符合题意，y＝和y＝e|x|为偶函数，且在在（0，+∞）上为增函数，故选：BD．【知识点】奇偶性与单调性的综合15.（多选题）定义在R上的奇函数f（x）为减函数，偶函数g（x）在区间[0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，则下列不等式中成立为（）A．f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）B．f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）C．f（a）+f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a）D．f（a）+f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）【答案】AC【分析】由于函数f（x）为定义在R上的奇函数且为单调递减函数，偶函数g（x）在区间[0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，根据a＞b＞0得出f（0）＝0，f（a）＜f（b）＜0，f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），利用作差判断即可．【解答】解：函数f（x）为R上的奇函数，且为单调减函数，偶函数g（x）在区间[0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，由a＞b＞0，得f（a）＜f（b）＜0；对于A，f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）﹣g（a）+g（b）＝2f（b）＜0 （因为f（a）＝g（a）在a＞0上），所以A正确；对于B，f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）﹣g（a）+g（b）＝2f（b）＞0，这与f（b）＜0矛盾，所以B错误；对于C，f（a）+f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a）⇔f（a）﹣f（b）﹣g（b）+g（a）＝2[f（a）﹣f（b）]＜0，这与f（a）＜f（b）符合，所以C正确；对于D，f（a）+f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（a）﹣f（b）﹣g（b）+g（a）＝2[f（a）﹣f（b）]＞0，这与f（a）＜f（b）矛盾，所以D错误．故选：AC．【知识点】奇偶性与单调性的综合16.定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）＝4x，下列结论正确的有（）A．，且0＜f（1）＜g（2）B．∀x∈R，总有[g（x）]2﹣[f（x）]2＝1C．∀x∈R，总有f（﹣x）g（﹣x）+f（x）g（x）＝0D．∃x0∈R，使得f（2x0）＞2f（x0）g（x0）【答案】ABC【分析】求出f（x）和g（x）的解析式，利用解析式代入计算判断．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）＝4x，又f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，得﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，所以f（x）＝，g（x）＝，f（0）＝0＜f（1）＝＜g（2）＝4+，故A成立，[g（x）]2﹣[f（x）]2＝＝1，故B成立，根据奇偶性，f（﹣x）g（﹣x）+f（x）g（x）＝﹣f（x）g（x）+f（x）g（x）＝0，故C成立，f（2x0）﹣2f（x0）g（x0）＝＝0，故D不成立，故选：ABC．【知识点】奇偶性与单调性的综合。

2.2 函数的基本性质挖命题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例 考向 关联考点函数的奇偶性与周期性1.函数奇偶性的判断2.函数奇偶性的运用3.函数周期性的判断与应用★★☆函数的单调性与最值1.函数单调性的判断2.函数单调性的运用3.求函数的最大值、最小值★★☆分析解读 函数的基本性质是研究函数的基础,是高考的重点和热点.通常会考查函数的单调性及其应用,填空和解答题都会涉及.对于奇偶性,则会结合单调性和周期性一起进行考查.破考点 【考点集训】考点一 函数的奇偶性与周期性1.(2019届江苏宝应中学检测)已知f(x)为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f(x)=2x+m,则f(-2)= . 答案 -32.已知函数f(x)=(m-2)x 2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m 的值为 . 答案 13.(2018江苏盐城上学期期中,11)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x ∈[-1,0)时, f(x)=2x,则f(log 220)= . 答案 -45考点二 函数的单调性与最值1.若函数f(x)=(2a-1)x+b 是R 上的减函数,则a 的取值范围为 . 答案 (-∞,12)2.(2018江苏南通中学高三数学练习)已知函数f(x)={a x ,x <0,(a -3)x +4a,x ≥0满足对任意x 1≠x 2,都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0成立,则a 的取值范围是 .答案 0<a ≤143.(2019届江苏扬州中学检测)函数f(x)={1x,x≥1,-x 2+2,x <1的最大值为 .答案 24.若函数f(x)=1x在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为34,则a= . 答案 4炼技法 【方法集训】方法一 用单调性求解与抽象函数有关的不等式的策略1.(2018江苏南京高三年级学情调研)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且在(-∞,0]上为单调增函数.若f(-1)=-2,则满足f(2x-3)≤2的x 的取值范围是 . 答案 x ≤22.已知函数f(x)为区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f (12)的实数x 的取值范围为 . 答案 [-1,12)方法二 利用单调性求最值的策略1.(2019届江苏南京外国语学校检测)设函数f(x)=2xx -2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则m 2M= .答案832.函数f(x)=2x -1在[-2,0]上的最大值与最小值之差为 .答案43方法三 已知函数奇偶性求参数(求值)1.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,并且f(x+2)=-1f(x),当2≤x ≤3时, f(x)=x,则f(105.5)= .答案 2.52.(2019届江苏启东中学检测)已知函数f(x)={x -1,0<x ≤2,-1,-2≤x ≤0,若g(x)=f(x)+ax,x ∈[-2,2]为偶函数,则实数a= .。

专题2 函数的基本性质【三年高考】1. 【2016高考江苏11】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，,10,()2,01,5xa x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【考点】分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否可以取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数分界点处的函数值.2．【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③ 【解析】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y x f x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222(,)y xx y x y-++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.考点：对新定义的理解、函数的对称性.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．3．【2016高考山东理数改编】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= ． 【答案】2 【解析】 试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦．考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.4．【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．5．【2016高考上海理数改编】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，则命题①②的真假是①为，②为 ． 【答案】假，真 【解析】试题分析：①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故①为假，②真.考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等. 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.6．【2016高考新课标2文数改编】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x )图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑ ．【答案】m考点： 函数的奇偶性，对称性.【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.7．【2016高考四川文科】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= . 【答案】-2 【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1)0,(1)(12)(1)0f f f f f -=-=-=-+==，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性．属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利用周期性()()f x f x T =+，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间再利用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可．8．【2014江苏，理10】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m的取值范围为 . 【答案】2(2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得202m -<<． 9.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】已知()f x 是定义在R 上的奇函数. 当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为 .【答案】 (5,0)(5,)-+∞10．【2012江苏，理10】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝1,10,2,01,1ax xbxxx+-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a，b∈R.若13()()22f f=，则a＋3b的值为__________．【答案】－10【解析】根据题意，可得(1)(1),1331()()(2)(),2222f ff f f f-=⎧⎪⎨==-=-⎪⎩即21,212121,322baba+⎧-=⎪⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎪⎩解得2,4,ab=⎧⎨=-⎩故310a b+=-.11．【2015高考山东，文8】若函数21()2xxf xa+=-是奇函数，则使3f x>（）成立的x的取值范围为______. 【答案】0,1（）12.【2015高考广东，理3改编】判断下列函数的奇偶性：①： ；②：；③： ；④： ．【答案】既不是奇函数也不是偶函数，奇函数，偶函数，偶函数． 【解析】记，则，，那么，，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知②③④依次是奇函数、偶函数、偶函数．13.【2014高考湖南卷第3题】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ___________.【答案】1【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=和()()111f g ---=,因为函数)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,所以()()()()11,11f f g g -=-=-,即()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=.14.【2014高考湖南卷第10题】已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是_________________. 【答案】),(e -∞15．【2014高考湖北卷理第10题】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为________.xe x y +=x x y 1+=x x y 212+=21x y +=()xf x x e =+()11f e=+()111f e --=-+()()11f f -≠()()11f f -≠-xy x e =+【答案】]66,66[-【解析】当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤≤-=2222223,32,0,)(a x a x a x a a a x x x f ，由)(x f 是奇函数，可作出)(x f 的图像，如下图所示.又因为R x ∈∀，)1(-x f )(x f ≤，所以)1(-x f 的图像恒在)(x f 图像的下方，即将)(x f 的图像往右平移一个单位后恒在)(x f 图像的下方，所以22313a a ≥+-，解得]66,66[-∈a .【2017年高考命题预测】纵观2014－2016各地高考试题，对函数性质的考查是高考命题的主线索，不管是何种函数，都要与函数性质联系起来，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性以及几方面的综合，高考中一般以选择题和填空的形式考查，或者结合导数研究函数性质的大题.单调性（区间）问题，热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式；函数单调性，此部分知识在高考命题中以选择题和填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的单调性，求函数的单调区间，以及求函数值域（最值），确定参数范围，作为把关题存在.函数奇偶性与函数的周期性，此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，一般难度不大，只要会判断简单函数的奇偶性，而函数的周期性，有时和数列结合出些周期数列问题，可用归纳推理得到.即对函数单调性的考察.在函数值的比较大小，求函数的值域，解相关的不等式方面有着重要的应用.对函数奇偶性的考察，一个是图形一个是方程的形式.对函数周期性的考察，周期性主要研究函数值有规律的出现，在解决三角函数里面体现的更明显．而且"奇偶性"+"关于直线x=k"对称，求出函数周期的题型逐年增加.2017年函数性质的复习，首先要在定义上下功夫，其次要从数形结合的角度认识函数的单性质，深化对函数性质几何特征的理解和运用，同时要注意以下方面： 1.性质通过数学语言给出的这类问题一般没有解析式，也没有函数方程，有的是常见的函数性质语言比如:单调递增，奇函数等等，它通常和不等式联立在一起考查，处理方式主要是通过它所给的性质画出函数的草图然后解决就可以了. 2.性质通过方程和不等式给出的这类问题通常是考查的抽象函数有关问题，抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么. 3. 性质通过解析式给出的这类问题有解析式，但考虑的方向不是代人求值问题，而是通过观察解析的特点，从而得到函数的性质，用性质去解决相关问题，考虑的性质一般是先看看函数的对称性，再看看单调性，进一步作出相关的草图就可以解决了.【2017年高考考点定位】高考对函数性质的考查有三种主要形式：一是考察单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；二是考察奇偶性，要从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；三是对称性和周期性结合，用以考察函数值重复出现的特征以及求解析式. 【考点1】函数的单调性 【备考知识梳理】1.单调性定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A . 区间A I ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有12()(),f x f x ＜那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x ＝的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有)()(21x f x f >，那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x ＝的单调减区间．2.利用图象判断函数单调性：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减． 【规律方法技巧】一．判断函数单调性的方法：1. 定义及变形：设,,21x x 是函数()y f x ＝定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量，若1212(x )(x )0f f x x -<-，则函数在该区间内单调递减；若1212(x )(x )0f f x x ->-，则函数在该区间内单调递增.常见结论: （1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.二．单调区间的求法1.利用基本初等函数的单调区间；2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递减.4.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 三．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意1x 、2x 在所给区间内比较()()12f x f x -与0的大小，或()()12f x f x 与1的大小（要求()1f x 与()2f x 同号）．有时根据需要，需作适当的变形：如1122x x x x =⋅或()1122x x x x =+-等. 【考点针对训练】1. 【江苏省清江中学数学2016模拟试卷】已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，则1(21)()3f x f -<的x 的取值范围 .【答案】12(,)33【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式1(21)()3f x f -<得1(21)()3f x f -<，又()f x 在[0,)+∞上是增函数，所以1213x -<，解得1233x <<． 2.若函数2()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】[4,0]-.【考点2】函数的奇偶性 【备考知识梳理】 1．函数的奇偶性的定义：对于函数)(x f 定义域内定义域内任意一个x ，若有()()f x f x -=-，则函数)(x f 为奇函数；若有()()f x f x -=，那么函数)(x f 为偶函数2.奇偶函数的性质：⑴ 定义域关于原点对称； ⑵ 偶函数的图象关于y 轴对称； ⑶ 奇函数的图象关于原点对称；⑷ 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． ⑸ ()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=． ⑹ 若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 【规律方法技巧】1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数． 4．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)； (2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑； (3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论． 5．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．6．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()f x f (x)0±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．7．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 【考点针对训练】1. 【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当x<0时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是 . 【答案】35,[0,)22⎛⎫-∞-⎪⎝⎭2.下列幂函数中：①12y x =；②2y x -=；③43y x =；④13y x =；其中既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递增的函数是 .（填相应函数的序号）. 【答案】③【解析】函数12y x =的定义域为），∞+[0，所以函数不是偶函数，故函数①不符合题意；函数2y x -=定义域为{}0≠∈x R x x ,,显然为偶函数，但在区间），（∞+0单调递减，所以函数②不符合题意；函数43y x =定义域为R ，为偶函数且在区间），（∞+0单调递增，故函数③符合题意；函数13y x =定义域为R ，为奇函数且在R 上单调递增，故函数④不符合题意。

专题2.1 函数的概念及其表示方法【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 以下属于函数的有________．(填序号) ①y ＝〒x ；②y 2＝x －1；③y ＝x －2＋1－x ； ④y ＝x 2－2(x ∈N )． 【答案】④2．[教材改编] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －2，x >0，x ＋a ，x ≤0，若f [f (e)]＝2a ，则实数a ＝________．【答案】－1【解析】因为f (e)＝ln e －2＝－1，所以f [f (e)]＝f (－1)＝－1＋a ＝2a ，解得a ＝－1. 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________．【答案】(－≦，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－≦，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________． ①f ：x →y ＝12x; ②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x; ④f ：x →y ＝x .【答案】③【解析】 ③中当x ＝4时，y ＝23〓4＝83∉Q .5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为______________．【答案】x ≤－2或0≤x ≤106．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________． 【答案】f (x )＝x 2－1(x ≥0)【解析】令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】9【解析】设函数y ＝x 2的定义域为D ，其值域为{1，4}，易知D 的所有情形的个数，即是同族函数的个数．D 的所有情形为{－1，2}，{－1，－2}，{1，2}，{1，－2}，{－1，1，2}，{－1，1，－2}，{－1，2，－2}，{1，2，－2}，{－1，1，2，－2}，共9个，故答案为9. 题组三 常考题8． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2. 9． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 3（3－x ），x <1，x 2＋2，x ≥1，则f (－6)＋f (2)＝________.【答案】9【解析】 f (－6)＝1＋log 3(3＋6)＝1＋log 39＝1＋2＝3，f (2)＝22＋2＝6， 所以f (－6)＋f (2)＝3＋6＝9.【知识清单】1．函数映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【考点深度剖析】本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像，仍是2018年高考考查的重要内容．【重点难点突破】考点1 函数与映射的概念 【1-1】 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0 －1， x <0 表示同一个函数．(2)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数． (3)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 【答案】(2)．【1-2】 给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －3＋2－x是函数；③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线；④f (x )＝x 2x 与g (x )＝x 是同一个函数．其中正确的有________． 【答案】①【解析】由函数的定义知①正确．②中满足f(x)＝x－3＋2－x的x不存在，所以②不正确．③中y＝2x(x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．【1-3】(1)(2017·南通调研)函数f(x)＝lnxx－1＋的定义域为________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 017]，则函数g(x)＝f x＋1x－1的定义域是____________．【答案】(1)(1，＋≦)(2){x|0≤x≤2 016，且x≠1}规律方法【思想方法】一、①判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A中元素的任意性，集合B中元素的唯一性”．②判断一个对应f：A→B是否为函数，一看是否为映射；二看A，B是否为非空数集．若是函数，则A是定义域，而值域是B的子集．③函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．二、求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知f(x)的定义域为[a ，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b 求出；若已知f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a ，b]时的值域．【温馨提醒】不要混淆“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数． 考点2 求函数的解析式【2-1】 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 【答案】f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．【2-2】 已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－1(x ≥1)．【2-3】定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．【答案】f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．【解析】当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)，得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．【思想方法】1.求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )． 2.分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【温馨提醒】解决函数的一些问题时，要注意“定义域优先”的原则．当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 考点三 分段函数【3－1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.【答案】9【解析】根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.【3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(1)12(2)(－≦，8]【思想方法】(1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【温馨提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【易错试题常警惕】1．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.【答案】x2－1(x≥1)【解析】令x＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．点睛：复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射便不是函数．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________． 【答案】 (－≦，8]点睛：分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．。

【最新考纲解读】要求备注内容A CB对知识的考察要求挨次分为认识、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A 、B、C 表示） .函数概念与认识：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解基本初等函√决有关的简单问题.函数的图像与性质数Ⅰ理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.【考点深度分析】1.函数在 12-14 年均是以填空题、解答题的形式进行考察，波及到函数与方程、分类议论和数形联合的思想，题目多为中高档题，侧重考察学生运算求解能力、推理论证能力及分析问题和解决问题的能力.函数常与导数、方程、不等式等联合考察，有时独自设置题目.2.关于函数复习，一要明确函数的定义域和值域，二要锻炼分析问题和解决问题的能力，三要从数和形两个角度理解函数的性质，注意增强对函数与方程、数形联合数学和分类议论思想的运用 .函数知识属于要点知识，考察的难点中等偏上，复习时应以中档题为主，适合难题为辅，增强对函数的性质、分段函数、对数函数的图像与性质和函数的模型及其应用的题目的训练 .【课前检测训练】[判一判 ](1)log a x2＝ 2log a x.()分析错误 .当 x>0 时，等式建立.(2) 函数 y＝ log2(x＋ 1)是对数函数 .()分析错误 .由对数函数的定义可知y＝ log2(x ＋1) 不是对数函数 .(3) 函数 y＝ ln 1＋x与 y＝ ln(1 ＋ x)－ ln(1－ x)是同一个函数 .() 1－ x分析正确 .经求解可知，定义域同样 .(4) 若 log a m<log a n，则 m<n.()分析错误 .若 a>1，则 m<n；若 0<a<1，则 m>n.(5) 若 log a M 2＝ log a N2，则 M ＝ N；若 M ＝N ，则 log a M 2＝ log a N2.()分析222222错误 .若 log a M ＝ log a N ，则M ＝N ，即 |M|＝|N|；当 M＝N≠0时， log a M＝ log a N .[练一练 ]1－2，则 a,b,c 的大小次序是 ________ 1．设 a＝ log 2π， b＝ log π， c＝π22．若函数 y＝ f(x) 是函数 y＝ 2x的反函数，则f(2) 的值是 ________分析y＝ 2x的反函数为 y＝log 2x，即 f(x) ＝ log 2x，∴ f(2) ＝ log22＝ 1.答案12log23 ＋log433．计算： log 22＝ ________， 2＝ ________.分析log2211log23 ＋log43＝ 2log23 2log43·＝3×2log23 3. 2＝－ log22＝－； 2＝ 322答案－1， 33 24．函数 y＝ log a(x－ 1)＋ 2(a>0，a≠ 1)的图像恒过必定点是________.分析依题意，当 x＝ 2 时，函数 y＝ log a(x－ 1)＋ 2(a>0， a≠ 1)的值为2，所以其图像恒过定点 (2,2).答案(2,2)。

函数的基本性质§2.2考纲解读五年高考统计常考题型预测热度考点内容解读要求20172013 2014 2015 2016函数奇偶性的判断填空题1. 1.函数的奇偶性 B ★★☆函数奇偶性的运用解答题2. 11函数单调性的判断题填空题1. 2.函数的单调性 B★★☆解答题分 52.函数单调性的运用江苏高考常会考查函数的,,是研究函数的基础分析解读函数的奇偶性和函数的单调性是函数的最基本性质.一般会在解答题中综合考查单调性及其应用, 五年高考函数的奇偶性考点一, f(x)=6,若当x∈[-3,0]时分1.(2017山东文,14,5)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且-x则f(x+4)=f(x-2). f(919)= .6答案上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log)2.(2017天津理改编,6,5分已知0.8),c=g(3),5.1),b=g(2奇函数f(x)在R2用“<”连接) .( 则a,b,c的大小关系为b<a<c答案,0<x<1时, f(x)=4)四川,14,5分若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当3.(2016 x则. f+f(2)=-2答案 . 分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= 4.(2015课标Ⅰ,13,51答案6)—教师用书专用(523则+x+1,,)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数且f(x)-g(x)=x分5.(2014湖南改编,3,5 . f(1)+g(1)=1答案222若).(|x-a, f(x)=|+|x-2aR6.(2014湖北改编,10,5分)已知函数f(x)是定义在上的奇函数,当x≥0时|-3a . 1)≤f(x),则实数?x∈R, f(x-a的取值范围为答案函数的单调性考点二-若f(1)=-1,则满足∞,+∞)上单调递减)函数f(x)在(-,且为奇函数.课标全国Ⅰ理改编1.(2017,5,5分的x的取值范围是 . 1≤f(x-2)≤1[1,3]答案≤0,则实数若是自然对数的底数其中-f(x)=x),11,52.(2017江苏分已知函数2x3af(a-1)+f(2a)-2x+e,e. 的取值范围是 .1答案3.(2013安徽理改编,4,5分)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)·x|在区间(0,+∞)内单调递增”的条件.答案充分必要教师用书专用(4)f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).)设函数若曲线y=sin x上存在点4.(2013四川理改编,10,5分(x,y)使得f(f(y))=y,则a的取值范围是 . 0000答案 [1,e]三年模拟A组 2016—2018年模拟·基础题组考点一函数的奇偶性f(x)=(a∈R)为奇函数,则f(a)= 1.(2018江苏姜堰中学高三期中)若函数 .答案 02.(2018江苏盐城时杨中学高三月考)函数x=f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(a)≥f(4),则实数a的取值范围是 .答案 -4≤a≤4苏教必1,三,15,变式)若f(x)=ln(e+1)+ax是偶函数,则a= .3x3.(- 答案则当x>0时, f(x)=24.(2017江苏苏州学情调研,7)f(x)是定义在R上的奇函数,x2f(0)+f(--x,. 1)=-1答案则不等式, f(x)=logx,上的奇函数,当x∈(0,+∞)时是定义在5.(2017江苏南京高淳质检,9)已知f(x)R2 . f(x)<-1的解集是2)∪- 答案 (-∞,f(x)=(a>0,b>0)为奇函数,则f(a+b)的值为 . 6.(2016江苏南通一模,9)若函数-1答案考点二函数的单调性江苏无锡高三基础检测)已知函数f(x)=x+ax-2的单调递减区间为(-∞,1),则实数a的27.(2018值为 .答案 -2f(x)=在区间(-已知函数∞,a]上单调递减,在(a,+∞)上单调8.(2017江苏徐州沛县中学质检,7)递增,则实数a的取值范围是 .答案 [-1,0]江苏南京三模,14)已知a,t为正实数,函数f(x)=x-2x+a,且对任意的x∈[0,t],都有f(x) 29.(2016∈[-a,a].若对每一个正实数a,记t的最大值为g(a),则函数g(a)的值域为 .2答案 (0,1)∪{2}江苏如东高级中学高三学情检测)已知函数f(x)=ax-2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有210.(2018最大值5,最小值2.(1)求a,b的值;若b<1,g(x)=f(x)-2x在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.m(2)(1)f(x)=a(x-1)+2+b-a,2解析①当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,解得所以故②当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,解得所以故或故因为b<1,所以a=1,b=0,即f(x)=x-2x+2,2(2)2m2m g(x)=x-2x+2-2x=x-(2+2)x+2.或≥4. 则≤2若g(x)在[2,4]上单调,mm所以2≤2或2≥6,即m≤1或m≥log6.m的取值范围是(-∞,1]∪[log6,+∞). 2B组 2016—2018年模拟·提升题组2故实数(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)的解集为已知函数江苏无锡高三期中测试) f(x)= -,则f(a+1)+f(a1.(20182 . -1)>0(-1,0)答案>0的解集,且f(2)=0,则不等式2.(2018江苏常熟高三调研试卷)已知奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减 . 是2,0)∪(1,2)答案 (-f(x)+g(x)=.,且若存,14)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数3.(2017江苏南京学情调研∈,使得等式af(x)+g(2x)=0成立,则实数a的取值范围是 . 在x000答案江苏扬州中学开学考试,13)已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且当x∈(0,2]x4.(2016时,f(x)=2-1,函数2g(x)=x-2x+m.如果?x∈[-2,2],?x∈[-2,2],使得g(x)=f(x),则实数m的取值范围是 . 1221答案 [-5,-2]3二、解答题(共15分)其中a∈R.-4·25.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知函数f(x)=x -ax+1,g(x)=4(1)当2xx-a,a=0时,求函数g(x)的值域;(2)若对任意x∈[0,2],均有|f(x)|≤2,求a的取值范围;-,求实数a的值,设.h(x)=若h(x)的最小值为(3)当a<0时x2-4,-2)a=0时,g(x)=(2解析 (1)当x>0,因为2所以g(x)≥g(1)=-4,g(x)的值域为[-4,+∞).(2)若x=0,则对任意的a∈R,f(x)=1,符合题意.≤2,-2≤x 若x∈(0,2],|f(x)|≤2可化为22≤a≤x+,2-ax+1x--1≤ax≤x所以+3,即x的最大值为,y=x-在(0,2]上为增函数,因为所以函数y=x-时取“=”x=因为, x+x=≥2,即=2当且仅当a∈的取值范围是.所以a xx-a,-时,h(x)=44·2(3)因为h(x)=所以当x≤a2xa--,t∈(0,2记],p(t)=t,令t=2t=aa-4,0).,p(t)∈[4<因为22+1-,时,h(x)=xh(x)=-ax+1,即当x>a>a,h(x)∈所以.因为a<0,a-,的最小值为符合题意1-=.>-若4,h(x)-4=-,,a=-此时a a=-. ,此时4所以实数-4=,-4<-不符合题意,,若1-=-即a=-3C组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 函数单调性的判断4g(x)=f(x)+在(0,3]上是增函数还是减函数,并加已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)>0,f(3)=1.判断1.以证明.解析函数g(x)在(0,3]上是减函数.证明如下:任取x,x∈(0,3],且x<x,则2121-)-g(x )=g(x21)].=[f(x)-f(x21∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)-f(x)<0. 21又∵f(x)>0,f(3)=1,∴0<f(x)<f(x)≤f(3)=1. 21∴0<f(x)f(x)<1,>1,21∴-<0.∴1∴g(x)-g(x)>0,在(0,3]上是减函数∴函数.21g(x)=f(x)+方法2 函数单调性的应用的解集是已知函数. f(x)=,则f(x 江苏姜堰中学期中2.(2018)2-2x)>f(3x-4)答案 (2,4)f(x)=若f(x)在(0,+∞)上单调递增,已知函数3.(2016江苏镇江模拟)则实数a的取值范围为 .答案 (1,2]方法3 函数奇偶性的应用则实数a+2x,若f(2-a当f(x)是定义在R上的奇函数,x≥0时,f(x)=x的取值范围4.已22)>f(a),知是 .答案 (-2,1)方法4 函数周期性的应用则-1,0)时,f(x)=2,f(x)期中)设函数是以4为周期的奇函数当x∈[)(5.(2018江苏盐城高三上x,f(log20)= . 2- 答案56.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当x∈(-2,0)x时,f(x)=e,则f(2 017)+f(2 018)= .- 答案,时,f(x)=8当上周期为f(x)是定义在R2的奇函数,0<x<1已知函数江苏苏州期中7.(2017,7) x则f= .答案 -2620XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。

2022高考数学二轮专项限时集训(一)：函数的性质（江苏专用）[专题一 函数的性质](时刻：45分钟)一、填空题1．函数f(x)＝log a2＋2(2x ＋1)的单调增区间是________．2．已知函数y ＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于________．3．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则满足f (log 18x )＞0的x 的取值范畴是________．4．函数f (x )在定义域R 上不是常数函数，且f (x )满足条件：对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，f (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是________(填序号)．①奇函数但非偶函数；②偶函数但非奇函数； ③既是奇函数又是偶函数；④是非奇非偶函数．5．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范畴是________．6．设函数f (x )＝x (x －1)2，x >0，若0<a ≤1，记f (x )在(0，a ]上的最大值为F (a )，则函数G (a )＝F (a )a 的最小值为________．二、解答题7．已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最值； (2)求函数f (x )的单调区间．8．已知函数f (x )＝2x ＋a ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝x ＋2，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间(0，e]上的最小值．专题限时集训(一)B[专题一 函数的性质](时刻：45分钟)一、填空题1．设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝________. 3．设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．(请将正确命题的序号都填上)①当b >0时，函数f (x )在R 上是单调增函数； ②当b <0时，函数f (x )在R 上有最小值； ③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0可能有三个实数根．4．若函数f (x )＝x ＋13－2tx (t ∈N *)的最大值是正整数M ，则M ＝________.5．对任意实数a ，b ，定义：F (a ，b )＝12(a ＋b －|a －b |)，假如函数f (x )＝x 2，g (x )＝52x ＋32，h (x )＝－x ＋2，那么函数G (x )＝F (F (f (x )，g (x ))，h (x ))的最大值等于________．6．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别给出下面几个结论： ①等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f (x )的值域为(－1,1)；③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有________．(请将你认为正确的结论的序号都填上) 二、解答题7．设函数f (x )＝mx －mx －2ln x (m ∈R )． (1)当m ＝1，x >1时，求证：f (x )>0；(2)若关于x ∈[1，3]，均有f (x )<2成立，求实数m 的取值范畴．8．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)假如x ∈[1,4]，求函数h (x )＝(f (x )＋1)g (x )的值域； (2)求函数M (x )＝f (x )＋g (x )－|f (x )－g (x )|2的最大值； (3)假如对不等式f (x 2)f (x )>kg (x )中的任意x ∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范畴．专题限时集训(一)A1.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 【解析】 因为a 2＋2≥2，因此y ＝log a 2＋2x 为增函数，故原函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.2．－lg2 【解析】 因为f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，因此f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－f (2)＝－lg2.3.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 【解析】由f (x )＝f (－x )＝f (|x |)得f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪log 18x >f ⎝⎛⎭⎫13.又函数f (x )在[0，＋∞)上递增，因此⎪⎪⎪⎪log 18x >13，解得log 18x >13或log 18x <－13，即x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 4．② 【解析】 f (x ＋2)＝f [1＋(1＋x )]＝－f (1＋x )＝f (x )，即f (x )是周期函数，T ＝2，又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因此f (x )的图象关于y 轴对称，是偶函数．5．[－2，－1] 【解析】 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.① 又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3.② 由①②解得m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2. 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，因此t ∈[－2，－1]．6.427 【解析】 f ′(x )＝(3x －1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x 1＝13，x 2＝1，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减，因此当x ＝13时，有极大值f ⎝⎛⎭⎫13＝427；当x ＝1时，有极小值f (1)＝0，因此当0<a ≤13时，F (a )＝f (a )，G (a )＝F (a )a ＝(a －1)2≥49，专门当a ＝13时，有G (a )min ＝49；当13<a ≤1时，F (a )＝f ⎝⎛⎭⎫13，则G (a )＝f ⎝⎛⎭⎫13a ＝427a ≥427，因此对任意的0<a ≤1，G (a )min ＝427.7．【解答】 (1)函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )的定义域是(1，＋∞)． 当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －ln(x －1)，f ′(x )＝2x －1－1x －1＝2x ⎝⎛⎭⎫x －32x －1，因此f (x )在⎝⎛⎭⎫1，32上为减函数，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上为增函数， 因此函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫32＝34＋ln2，无最大值．(2)f ′(x )＝2x －a －ax －1＝2x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋22x －1，若a ≤0，则a ＋22≤1，f ′(x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋22x －1>0在(1，＋∞)上恒成立，因此f (x )的增区间为(1，＋∞)．若a >0，则a ＋22>1，故当x ∈⎝⎛⎦⎤1，a ＋22时，f ′(x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋22x －1≤0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a ＋22，＋∞时，f ′(x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋22x －1>0，因此a >0时f (x )的减区间为⎝⎛⎦⎤1，a ＋22，增区间为⎝⎛⎭⎫a ＋22，＋∞.8．【解答】 (1)直线y ＝x ＋2的斜率为1. 函数y ＝f (x )的导数为f ′(x )＝－2x 2＋a x ， 则f ′(1)＝－212＋a1＝－1，因此a ＝1. (2)f ′(x )＝ax －2x 2，x ∈(0，＋∞)．①当a ＝0时，在区间(0，e]上f ′(x )＝－2x 2<0，现在f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝2e . ②当2a <0，即a <0时，在区间(0，e]上f ′(x )<0，现在f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝2e ＋a . ③当0<2a <e ，即a >2e 时，在区间⎝⎛⎭⎫0，2a 上f ′(x )<0，现在f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减；在区间⎝⎛⎦⎤2a ，e 上f ′(x )>0，现在f (x )在区间⎝⎛⎦⎤2a ，e 上单调递增，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝a ＋a ln 2a .④当2a ≥e ，即0<a ≤2e 时，在区间(0，e]上f ′(x )≤0，现在f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝2e ＋a . 综上所述，当a ≤2e 时，f (x )在区间(0，e]上的最小值为2e ＋a ； 当a >2e 时，f (x )在区间(0，e]上的最小值为a ＋a ln 2a .专题限时集训(一)B1．－3 【解析】 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x .又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.2．－4或2 【解析】 当α>0时，α2＝4⇒α＝2；当α≤0时，－α＝4⇒α＝－4.3．①③④ 【解析】 由b 的取值画出分段函数的图象，即可得①③④正确，②错误．4．7 【解析】 本题采纳整体换元法求解，令u ＝13－2tx (t ∈N *)，u ≥0⇒x ＝13－u 22t (u ≥0)，∴f (u )＝13－u 22t ＋u ＝－12t (u －t )2＋12⎝⎛⎭⎫t ＋13t (t ∈N *，u ≥0)．由题知原函数的最大值即为函数f (u )＝－12t (u －t )2＋12⎝⎛⎭⎫t ＋13t (t ∈N *，u ≥0)的最大值，∴12⎝⎛⎭⎫t ＋13t ＝M ，∵M 为正整数，因此t ＋13t (t ∈N *)必须能被2整除，因此当t ＝1或t ＝13时取到最大值M ＝7.5．1 【解析】 方法一：由F (a ，b )＝12(a ＋b －|a －b |)＝⎩⎪⎨⎪⎧b (a ≥b )，a (a <b )，因此F (f (x )，g (x ))＝12(f (x )＋g (x )－|f (x )－g (x )|)＝12⎝⎛⎭⎫x 2＋52x ＋32－⎪⎪⎪⎪x 2－52x －32＝⎩⎨⎧x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，3，52x ＋32，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(3，＋∞)，则G (x )＝F (F (f (x )，g (x ))，h (x ))＝⎩⎨⎧x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，52x ＋32，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12，－x ＋2，x ∈(1，＋∞)，故G (x )的最大值等于1.方法二：依题意可知F (a ，b )＝12(a ＋b －|a －b |)＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，事实上质即为求F (a ，b )的最小值．从而G (x )＝F (F (f (x )，g (x ))，h (x ))即为函数f (x )＝x 2，g (x )＝52x ＋32，h (x )＝－x ＋2的最小值．在同一直角坐标系中作出三个函数的图象，由图象可知G (x )的最大值等于1.6．①②③ 【解析】 ①正确；②当x ≠0时|f (x )|＝11|x |＋1∈(0,1)，当x ＝0时，f (0)＝0，因此0≤|f (x )|<1，正确；③当x ≥0时，f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1≥0且是增函数，当x <0时，f (x )＝x 1－x ＝11－x －1<0且是增函数，即f (x )在R 上是增函数，因此，x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)，正确；④由g (x )＝f (x )－x ＝0得x ＝0，只有一个零点，不正确．7．【解答】 (1)证明：当m ＝1时，f (x )＝x －1x －2ln x ， f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝(x －1)2x 2， 对∀x ∈(1，＋∞)，有f ′(x )>0，∴f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数， 又f (x )在(1，＋∞)上的图象不间断， ∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0.(2)对任意x ∈[1，3]，f (x )<2恒成立等价于f (x )max <2(x ∈[1，3])．(*)①当m ＝0时，∵f ′(x )＝－2x <0，∴f (x )在[1，3]上是减函数．∴f (x )max ＝f (1)＝0<2，即(*)式成立．②当m <0时，对任意x ∈[1，3]，f ′(x )＝mx 2－2x ＋mx 2<0， 同①知(*)式成立．③当m >0时，f ′(x )＝mx 2－2x ＋mx 2. (a)当4－4m 2≤0，即m ≥1时，f ′(x )>0关于任意的x ∈(1，3)恒成立，∴f (x )在[1，3]上是增函数，∴f (x )max ＝f (3)＝m ⎝⎛⎭⎫3－13－2ln 3.由m ⎝⎛⎭⎫3－13－2ln 3<2，解得m <3(1＋ln 3)， ∴1≤m <3(1＋ln 3)．(b)当4－4m 2>0，即0<m <1时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1－m 2m <1(舍去)，x 2＝1＋1－m 2m >1， 令1＋1－m 2m＝3，得m ＝32. (i)当0<m ≤32时，x 2＝1m ＋1m 2－1≥23＋⎝⎛⎭⎫232－1＝3，又f (x )在(1，x 2)上是减函数，∴f (x )在[1，3]上也是减函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝0<2，即(*)式成立． (ii)当32<m <1时，x 2＝1m ＋1m 2－1<3，则f (x )在(1，x 2)上是减函数，在(x 2，3)上是增函数， ∴当x ＝1或x ＝3时，f (x )取得最大值，要使(*)式成立，只需⎩⎨⎧f (1)<2，f (3)<2，即m <3(1＋ln 3)，∴32<m <1，综上，m 的取值范畴是(－∞，3(1＋ln 3))． 8．【解答】 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， ∵x ∈[1,4]，∴log 2x ∈[0,2]， ∴h (x )的值域为[0,2]．(2)法一：f (x )－g (x )＝3(1－log 2x )．当x >2时，f (x )<g (x )；当0<x ≤2时，f (x )≥g (x )．∴M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )，f (x )≥g (x )f (x )，f (x )<g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，3－2log 2x ，x >2，当0<x ≤2时，M (x )最大值为1；当x >2时，M (x )<1；综上：当x ＝2时，M (x )取到最大值为1.法二：∵M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，f (x )<g (x )， 设f (x )，g (x )中的较小值为M ，①t ≥M ，②3－2t ≥M ，①×2＋②得：3M ≤3，M ≤1， 当t ＝1，x ＝2时，M ＝1，∴M (x )max ＝1. (3)由f (x 2)f (x )>kg (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，∵x ∈[1,4]，∴t ∈[0,2]，∴(3－4t )(3－t )>kt 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t －15， ∵4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号． ∴4t ＋9t －15的最小值为－3.∴k <－3. 综上：k <－3.。

专题3 函数的基本性质函数的单调性和奇偶性1.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当x<0时，，那么不等式的解集是 .【答案】2.下列幂函数中：①12y x =；②2y x -=；③43y x =；④13y x =；其中既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递增的函数是 .（填相应函数的序号）. 【答案】③【解析】函数12y x =的定义域为），∞+[0，所以函数不是偶函数，故函数①不符合题意；函数2y x -=定义域为,显然为偶函数，但在区间），（∞+0单调递减，所以函数②不符合题意；函数43y x =定义域为R ，为偶函数且在区间），（∞+0单调递增，故函数③符合题意；函数13y x =定义域为R ，为奇函数且在R 上单调递增，故函数④不符合题意。

综上知，符合题意的幂函数为③周期性和对称性【备考知识梳理】1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3.关于函数周期性常用的结论(1)若满足，则，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(2)若满足，则1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(3)若函数满足，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠).（4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么．（5）函数图像关于b x a x ==,轴对称． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称．【规律方法技巧】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 【考点针对训练】1.设定义在R 上的函数()f x 满足，若(1)2f =，则(99)f = .【答案】1322．定义在R 上的函数()f x 满足，当1x >时，()f x 单调递增，如果122x x +>且，则与0的大小关系是 .【答案】【解析】∵，∴函数()f x 的图象关于(1,0)对称，∵当1x >时，()f x 单调递增，∴函数()f x 在R 上单调递增且(1)0f =，∵122x x +>，∴，∵，∴不妨设12x x <，则11x <，21x >，且，由函数的对称性，∴.专题训练1．【江苏省苏州市2019届高三调研测试（三）数学试题】如果函数在其定义域内总存在三个不同实数，满足，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则实数的取值范围为__________. 【答案】【解析】分析：将题意转化为在R 上有三个不同的实数根.，设，由导数与函数单调性的关系，大致判断的单调性，由大致图象即可求出.解析：由题意知：若具有性质，则在定义域内有3个不同的实数根，点睛：（1）零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．（2）求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.2．【2019年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】函数满足，且在区间上，则的值为____．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.3．【江苏省南京师大附中2019届高三高考考前模拟考试数学试题】已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】分析：利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．详解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：，，点睛：本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．4．【江苏省海门中学2019届高三5月考试（最后一卷）数学试题】已知函数，则不等式的解集为______.【答案】（0，2）.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．5．【江苏省扬州树人学校2019届高三模拟考试（四）数学试题】已知函数的最小值为，则实数的取值集合为__________．【答案】.【解析】分析：通过讨论与0,1的大小关系化简函数解析式，判断出函数在两区间和上的最小值，然后根据题意得到关于的方程，求解可得结果．详解：①若，即时，则，∴在上单调递减，最小值为；在上的最小值为．∵函数最小值为，∴．②当，即时，则，∴在上上先减后增，最小值为；在上的最小值为．点睛：本题考查分段函数的最值，解题的关键是根据与0,1的大小关系进行分类讨论，然后通过讨论函数的单调性得到最小值，再根据函数的最小值为可得所求．6．【江苏省苏州市第五中学校2019届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知，则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性和取值范围，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】当时，，则函数在上为增函数；当时，，则函数在上为增函数.作出函数图象，如图：【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断函数的单调性的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解是解决本题的关键.7．【江苏省苏州市第五中学校2019届高三上学期期初考试数学（文）试题】函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案.【详解】由，得，函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题.8．【江苏省南京市2019届高三第三次模拟考试数学试题】若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为_________．【答案】点睛：本题主要考查函数的周期性和分段函数求值，意在考查对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.9．【江苏省苏锡常镇四市2018-2019学年度高三教学情况调研（二）数学试题】已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．【答案】.【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6,＜c ＜e 2；其三是能够想到构造函数g （c ）=（c ﹣6）lnc ，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.10．【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2019届高三联考数学调研测试试题】设()f x是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(]2,2-上，其函数解析式是，其中a R ∈.若，则()2f a 的值是__________．【答案】1【解析】∵()f x 是周期为4的函数，，∴， ∴10a -+=， ∴1a =． ∴，∴． 答案：1 11.已知函数，则对任意实数，与0的大小关系为_______________. 【答案】【讲解】本题考查函数的性质、单调性、奇偶性，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力．本题初次接触会有茫然无头绪的感觉，但是能从题干提取函数性质的信息，就会有豁然开朗的感觉，此题构思巧妙，的确是一个好题，故选此题.12.若函数()f x 满足对任意x R ∈，都有，如图表示该函数在区间(2,1]-上的图像，则(2014)f ＋(2015)f ＝（ ）【答案】3【讲解】本题考查函数的周期性，考查数形结合思想，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力．此题立意新，通过数形结合，找出函数值，再利用周期性求解，难度不大，体现小题综合性的高考出题方向，故选此题.13.已知R a ∈，若不等式对于任意()1,x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围为________.【答案】1a ≤-【讲解】本题考查导数与函数的单调性，利用导数求函数的最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．利用导数研究函数的单调性，是高考常考的题型，而恒成立问题高考多次考查，此题是单调性的应用，比较典型，故选此题.14函数的定义域为 ▲ ．分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞. 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.15.已知函数, 其中e 是自然对数的底数. 若, 则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内16函数y =的定义域是 .【答案】[]3,1- 【解析】。

专题1 三角函数的图象与性质【三年高考】1.【2016高考江苏9】定义在区间[0，3π]上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 . 【答案】7【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x ∈π，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=故两函数图象的交点个数是7. 【考点】三角函数图象【名师点睛】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度. 2．【2013江苏，理1】函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 【答案】π．【解析】函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==.. 3.【2014江苏，理5】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 . 【答案】6π． 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．4．【2016高考新课标1卷改编】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 ． 【答案】9考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-. 5.【2016年高考四川理数改编】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向 平行移动 个单位长度． 【答案】右，6π． 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位． 考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变换有两种顺序：一种y sin x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把y sin x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y ωx =的图象，向左平移φω个单位得sin()y ωx φ=+的图象．6．【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则t = ，s 的最小值为 ． 【答案】12，6π．考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换7．【2016高考浙江理数】已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________． 【答案】2 1 【解析】试题分析：22cos sin 22sin(2)14x x x π+=++，所以2, 1.A b ==考点：1、降幂公式；2、辅助角公式．【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．8.【2016高考新课标3理数】函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．9．【2016高考新课标1文数改编】若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为 ．【答案】y =2sin(2x –π3)【解析】试题分析：函数y 2sin(2x )6π=+的周期为π,将函数y 2sin(2x )6π=+的图像向右平移14个周期即4π个单位,所得函数为y 2sin[2(x ))]2sin(2x )463πππ=-+=-．考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数.10.【2016高考天津文数改编】已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是 ．【答案】]85,41[]81,0( 【解析】 试题分析：1cos sin 12()sin(x )22224x x f x ωωπω-=+-=-，()0sin(x )04f x πω=⇒-=，所以4(,2),(k z)k x ππππω+=∉∈，因此115599115115(,)(,)(,)(,)(,)(0,][,]848484848848ωω∉=+∞⇒∈． 考点：解简单三角方程【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式． 11．【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为________________.【答案】8【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=．12.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则(2),(0),(2)f f f -的大小关系是_________________. 【答案】()()()220f f f <-<【解析】由题意，()()sin (0,0,0)f x x A ωϕωϕ=A +>>>，22||T πππωω===，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=A +，而当23x π=时，2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()sin 2(0)6f x x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭，则当2262x k πππ+=+，即,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值.要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2,2,0-与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0,2与6π比较近，2-与56π-比较近，所以，当0k =时，6x π=，此时|0|0.526π-，|2| 1.476π-，当1k =-时，56x π=-，此时5|2()|0.66π---，所以(2)(2)(0)f f f <-<. 13.【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=____________.【答案】6π14.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,．（1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos )1.5m ( 【答案】(Ⅰ) f()2sin x x ，(k Z).2x k；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x 的图像，再将y 2cos x 的图像向右平移2个单位长度后得到y 2cos()2x的图像，故f()2sin x x ，从而函数f()2sin x x 图像的对称轴方程为(k Z).2x k(2)1) f()g()2sin cos 5(sin cos )55x x x x x x 5sin()x（其中sin,cos 55），依题意，sin()=5x 在区间[0,2)内有两个不同的解,当且仅当|1，故m 的取值范围是(5,5).2)因为,)=m x在区间[0,2)内有两个不同的解，所以sin()=5，sin()=5.当1m<5时，+=2(),2();2当5<m<1时,3+=2(),32();2所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m (15.【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-．．．．．．．．．．．（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图 象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ12π37π125π6 13π12sin()A x ωϕ+50 5-且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.16．【2014高考上海理科第12题】设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .【答案】73π17.【2014高考天津第15题】已知函数()23cos sin 3cos 3f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【解析】略【2017年高考命题预测】纵观近几年高考，我们可以发现，每年几乎所有的省都涉及到一道三角函数性质图像的题目，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中、低档；分值为5分，或12分，高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的图象与性质是本章复习的重点. 从今年的高考试题来看，三角函数的周期性,单调性,对称性,最值,图像变换等是高考的热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．其特点如下：(1)考小题，重基础：小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)．(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法. 预测2017年高考仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性为主要考点，重点考查运算与恒等变换能力，江苏卷解答题第一题一般与三角函数有关．【2017年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下，而小题目综合化是这部分内容的考查一种趋势.【考点1】三角函数的图象与性质 【备考知识梳理】 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便.以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==.我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有：cos OM x α== 同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段. 如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有：tan yAT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.2.正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x = tan y x =图象3.（五点法），先列表，令0,,,,222x ωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图像.【规律方法技巧】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 【考点针对训练】1.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象可能是下列A 、B 、C 、D 中的 ．【答案】B2.函数()lg |sin |f x x =是___________函数（填空奇或偶），它的最小正周期为____________. 【答案】偶，π【 解析】易知函数的定义域为R ，又()()lg sin lg sin lg sin ()f x x x x f x -=-=-==，所以f(x)是偶函数，又函数sin y x =的周期为π，所以函数()lg |sin |f x x =是最小正周期为π的偶函数． 【考点2】三角函数图象的变换 【备考知识梳理】1.函数图像的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像;把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图像; 把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y f x ωω=>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像. 2.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 【规律方法技巧】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身. 【考点针对训练】1. 【江苏省清江中学数学模拟试卷】将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6y x π=-的图象，则ϕ等于 .【答案】116π【解析】因为11sin()sin(2)sin()666y x x x ππππ=-=-+=+，所以116πϕ=． 2．下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点向_________平移____________个单位长度，再把所得各点的横坐标______________到原来的_______________倍，纵坐标不变.【答案】左，π3，缩短，12【解析】由题意1,(),22362T A T ππππω==--=∴==，又由图2063ππϕϕ⎛⎫⋅-=∴= ⎪⎝⎭＋即()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变. 【考点3】求三角函数解析式 【备考知识梳理】1. 由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 2.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 【规律方法技巧】1.根据()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；(3) ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；(4)φ的确定：由函数()sin y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【考点针对训练】1. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】函数)sin(2)(ϕω+=x x f )0(>ω的部分图像如图所示，若5=AB ，则ω的值为 ．【答案】3π【解析】2254()2TAB ==+,解得26,3T ππωω===． 2.将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数()cos y f x x =⋅的图象，则()f x 的表达式是____________________.（填一个正确的即可） 【答案】()2sin f x x =-【解析】将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数x x x y 2sin )22cos()]4(2cos[-=+=+=ππ的 图像，因为x x x cos sin 22sin -=-，所以x x f sin 2)(-=. 【考点4】三角函数的单调性 【备考知识梳理】 1.三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，2.复合函数的单调性设()y f u =，()[][],,,,u g x x a b u m n =∈∈都是单调函数，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在[],a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表()y f u =()u g x =()y f g x =⎡⎤⎣⎦增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增【规律方法技巧】1. 求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2. 如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3.求函数sin()y A x ωϕ=+ (或cos()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=+)的单调区间的步骤： (1)将ω化为正．(2)将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 5．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“k z ∈”. 【考点针对训练】1. 【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】函数()sin 3cos (0)f x x x x π=--≤≤的单调增区间是________ 【答案】[,0]6π-【解析】因为()sin 3cos 2sin()3f x x x x π=-=-，所以由22()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得522()66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又0x π-≤≤，因此单调增区间是[,0]6π-.2. 【江苏省苏锡常镇四市2015届高三调研（一）】设函数π()sin()3cos()(0,)2f x ωx φωx φωφ=+++><的最小正周期为π，且满足()()f x f x -=，则函数()f x 的单调增区间为 ．【答案】π[π,π],()2k k k -+∈Z【考点5】三角函数的奇偶性【备考知识梳理】1．函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意x ，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．5. sin y x =为奇函数，cos y x =为偶函数，tan y x =为奇函数. 【规律方法技巧】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【考点针对训练】1. 【江苏歌风中学（如皋办学）高三数学九月月考】已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.若()(0)2y f x πϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ= .【答案】3π 【解析】()sin[2()]sin(22)66f x x x ππϕϕϕ-=-+=-+为偶函数，则262k ππϕπ-+=+（k Z ∈），因为02πϕ<<，所以3πϕ=．2.将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值是 ． 【答案】()34k k Z πϕπ=+∈【考点6】三角函数的周期性 【备考知识梳理】 1. 周期函数的定义一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都有()()f x T f x += ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 2.最小正周期对于一个周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做()f x 的最小正周期．2. sin y x =,cos y x =周期为2π,tan y x =周期为π. 【规律方法技巧】 1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T)=f (x ).利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值. 【考点针对训练】1. 【江苏歌风中学（如皋办学）高三数学九月月考】函数()cos sin 222x x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期为 ．【答案】2【解析】21()cossin sin cos )22222x x x f x x x ==-+sin()32x π=--，所以最小正周期为2T π=．2. 【2015届新高考单科综合调研卷（浙江卷）】函数()sin cos f x x x x =+的最小正周期是 ．【答案】π.【解析】1()sin cos 2sin 22sin(2)23f x x x x x x x π===+，所以最小正周期22T ππ==. 【考点7】三角函数的最值 【备考知识sin y x =,cos y x =的值域为[]1,1-,tan y x =的值域为R .【规律方法技巧】掌握三种类型，顺利求解三角最值:三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：（1）可化为sin)y A x B ωϕ=++（型函数值域： 利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到sin )y A x B ωϕ=++（的形式，然后借助题目中给定的x的范围，确定x ωϕ+的范围，最后利用sin y x =的图象确定函数的值域. 如：①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之；②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角2222(cos ,sin )a ba bϕϕϕ==++，化为22sin()y a b x c ϕ=+++求解方法同类型①；(2)可化为(sin )y f x =型求函数的值域：首先借助三角公式，把函数化成(sin )y f x =型，然后采用换元法，即令sin [1,1]t x =∈-，构造关于t 的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：2sin sin y a x b x c =++,化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+,设sin cos t x x =±化为二次函数2(1)2a t y bt c -=++±在闭区间[2,2]t ∈-上的最值求之；xax y sin sin +=，tan cot y a x b x =+可转化为对号函数求值域.(3)利用数性结合思想求函数的值域：此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at by t+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平均值定理求最值；sin sin a x by c x d+=+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”，转化为直线的斜率的几何含义求解.[易错提示] (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x 的范围对最值的影响，往往结合图象求解．(2)求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，只有当ω＞0时，才可整体代入并求其解，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解．【考点针对训练】1.函数],0[,sin cos )(π∈+=x x x x f 的最大值是 . 【答案】2【解析】因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2sin cos )(πx x x x f 且[]π,0∈x ，所以当4π=x 时，有最大值2.2.函数()|sin |2|cos |f x x x =+的值域为____________． 【答案】5]【考点8】求函数sin )y A x B ωϕ=++（的对称性（对称轴和对称中心） 【备考知识梳理】 1.对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+k Z ∈；tan y x =对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭k Z ∈. 2.对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭． 3.相邻两对称轴间的距离为T2，相邻两对称中心间的距离也为T2,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．【规律方法技巧】先化成sin)y A x ωϕ=+（的形式再求解．其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．。