平行四边形全部讲义

学习必备 欢迎下载辅导讲义平行四边形及其性质1理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证.2理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题.1平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用.3平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用.教学内容，基础知识(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)表示：平行四边形用符号“来表示.如图，在四边形ABCD 中，AB // DC , AD // BC ,那么四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形ABCD 记作“Q ABCD ，读作 平行四边形ABCD .① ••• AB//DC ,AD//BC ，二四边形ABCD 是平行四边形(判定)； ② •••四边形ABCD 是平行四边形••• AB//DC ， AD//BC (性质).注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边， 邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角(3)由定义知道，平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为 补角.(4)、平行四边形的对边相等、对角相等证明结论:重点、难点2综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算2.教学目标2、能综合考点及考试要求平行四边形性质，有关的论证和计算A已知：如图口ABCD ,求证：AB = CD , CB = AD , / B = / D, / BAD =/ BCD .分析：作口ABCD的对角线AC,它将平行四边形分成△ ABC和^CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论.（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题.）证明：连接AC,AB // CD, AD // BC ,/ 1 = / 3,/ 2=/4.又AC = CA ,△ ABC CDA (ASA ).AB = CD, CB = AD , / B = / D .又 / 1 + / 4=/ 2+/3,/ BAD = / BCD .由此得到:平行四边形性质1 平行四边形的对边相等.平行四边形性质2 平行四边形的对角相等.五、例习题分析例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF, 求证：AF=CE .分析：要证AF=CE，需证△ ADF◎△ CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有/ D= / B ,AD=BC , AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF .由“边角边” 可得出所需要的结论.证明:六、随堂练习1. 填空:在口ABCD 中，/ A=50。

平行四边形全章复习【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：边：（1）平行四边形的对边平行且相等；角：（2）平行四边形的对角相等；邻角互补；边与角：（3）平行四边形的对角线互相平分；对称性：（4）平行四边形不是轴对称图形.3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.拓展：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等；（3）三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：边：（1）矩形的对边平行且相等；角：（2）矩形的四个角都是直角；对角线：（3）矩形的对角线互相平分且相等；对称性：（4）矩形是轴对称图形. 对称轴为____________________________；3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：角：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线：（2）对角线相等的平行四边形是矩形.角：（3）有三个角是直角的四边形是矩形.拓展：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：边：（1）菱形的对边平行；边：（2）菱形的四条边相等；角：（3）菱形的对角相等；邻角互补；对角线：（4）菱形的两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 对称性：（5）菱形是轴对称图形.对称轴为________________________________；3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：边：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线：（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；边：（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形；或：_______________________________.2．性质：边：（1）正方形的对边平行；边：（2）正方形的四条边都相等；角：（3）正方形的四个角都是直角；对角线：（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；对角线：（5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；对称性：（6）正方形是轴对称图形. 对称轴为____________________________；3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：边：（1）一组邻边相等的矩形是正方形；角：（2）有一个角是直角的菱形是正方形；对角线：（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线：（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）四条边都相等，三个角都是直角的四边形是正方形；（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.。

平行四边形的性质讲义1
【根底知识】
1.平行四边形的定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质
性质1：平行四边形的对边平行
性质2：平行四边形的对边相等
性质3：平行四边形的对角相等
3.回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路是什么？给出图形定义一研究图形性质一探索图形判定条件
(1)有关四边形的问题常常转化为三角形问题解决；
(2)平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；
【例题讲解】
1.平行四边形4¾力的周长为32,AB=4,那么BC=( )
A.4
B.12
C.24
D.28
2.如图，平行四边形力腼的对角线力。

与即相交于点0,JZLL4C,假设1后4,AC=6,那么勿的长是( )
A.8
B.9
C.10
D.11
3.在平行四边形4?四中，如果N4+NQ140°,那么NC等于( )
A.20°
B.40o
C.60o
D.700
4.如图.，在平行四边形4809中,DE平分NADC,ADK,BE=2,那么平行.四边形力四的周长是.
5.平行四边形40中，乙仿。

的平分线交/1〃于点£,且力斤2,小1,那么平行四边形ZlM?的周长等于.
6.如图，在平行四边形的切中,E、£分别为边4反5的中点,连接应、BF,求证：XADE^RCBF.。

学习好资料欢迎下载(1) 演变关系 :(2)从属关系:（一）平行四边形的性质1.平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等 ;（2）平行四边形的对角相等 , 邻角互补 ;（3）平行四边形的对角线互相平分 .（4）平行四边形是中心对称图形 , 对角线的交点是它的对称中心 ;3.平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.( 二) 平行四边形的判定1.平行四边形的判定方法 5 种：两组对边分别平行从边看一组对边平行且相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形从角看 ------两组对角分别相等从对角线看 --- 对角线互相平分2.三角形中位线定理定义 :连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.定理 :三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.结论 :三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一;（三）矩形1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质（1）矩形对边平行且相等；（ 2）矩形四个角都是直角； (3) 矩形对角线互相平分且相等；（4）矩形是轴对称图形 , 有２条对称轴，对称轴是对边中点所在直线；是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.3.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4.矩形的判定方法（1）有一个角是直角的平行四边形 ;（2）有三个角是直角的四边形 ;（3）对角线相等的平行四边形 .5.矩形的面积公式（类比平行四边形）：矩形面积=底×高（四）菱形1.定义 : 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.性质 : 菱形具有平行四边形的一切性质：（1）菱形四条边都相等; （ 2）菱形对角相等（3）菱形对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形 , 有２条对称轴，对称轴是对角线所在直线；是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点 .3.判定 : （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形；4.菱形的面积 :（1）类比平行四边形面积公式:底×高（2）两条对角线乘积的一半. 若a、b分别表示两条对角线的长,则S菱形=1ab2（五）正方形1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.性质：（ 1）边 ------- 四条边都相等 , 对边平行 ;（2）角 -------四个角都相等且都是直角;（ 3）对角线 ----① 相等；② 互相垂直平分；③ 每一条对角线平分一组对角；④两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形.（4）是轴对称图形 , 有 4 条对称轴；是中心对称图形 , 对称中心是两条对角线的交点 .3.判定：（ 1）先证它是矩形 , 再证一组邻边相等；（ 2）先证它是菱形 , 再证一个角是直角 .4.面积：（ 1）正方形的面积等于边长的平方；（2）正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半.结论：周长相等的四边形中,正方形的面积最大.（六）梯形知识点1.定义：一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形.特殊梯形的定义：①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.2.等腰梯形的性质 : （ 1）等腰梯形两腰相等 , 两底平行；（2）等腰梯形同一底上的两个角相等；（3）等腰梯形两条对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形 , 有一条对称轴 , 过两底中点的直线是它的对称轴 .3.等腰梯形的判定 : （ 1）定义：即先判定梯形 , 再证明两腰相等；（2）同一底上的两角相等的梯形；（3）对角线相等的梯形 .4.梯形的中位线定理（ 1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．※（ 2）结论：梯形的中位线平行于两底, 且等于两底和的一半 .5. 梯形的面积公式 : （1）S= 1( 上底+下底) ×高2※（ 2）S= 中位线×高解决梯形问题常用的方法在研究梯形的问题中,常通过添加辅助线将其转化为三角形和特殊的四边形．梯形中常用的辅助线：① 平移腰② 作高③ 平移对角线④ 延长两腰⑤有一腰中点时 ,作另一腰的平行线⑥有一腰中点时 ,常把一底的端点与中点连接并延长,与另一底的延长线相交⑦有底的中点时 ,常过中点作两腰的平行线A DE A DMMB FC B C EAD A DEB EC B C练习 11 ．菱形的定义： __________________ 的平行四边形叫做菱形．2 ．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______ ：还有：菱形的四条边 ______ ；菱形的对角线 ______ ，并且每一条对角线平分______ ；菱形的面积等于 __________________ ，它的对称轴是______________________________ ．3.若菱形的两条对角线长分别是 6cm ， 8cm ，则它的周长为 ______cm ，面积为______cm 2．4.如图，在菱形 ABCD中， E、F 分别是 AB、AC 的中点，如果 EF＝2，那么菱形ABCD的周长是5.如图，在菱形 ABCD中， E 是 AB 的中点，且 DE⊥ AB， AB＝4．求： (1) ∠ABC的度数； (2) 菱形ABCD的面积．6、菱形的两条对角线的长分别是6cm和 8cm，求菱形的周长和面积7、如图，已知四边形ABCD是菱形，点 E、 F 分别是边 CD、AD的中点，求证： AE=CFA FDEB C练习 21．正方形的定义：有一组邻边______ 并且有一个角是______ 的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______ ，又是一个特殊的有一个角是直角的 ______ ．2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都 ______ ；四条边都 ______ 且__________________；正方形的两条对角线 ______ ，并且互相 ______ ，每条对角线平分______ 对角．它有 ______ 条对称轴．3.若正方形的边长为 a，则其对角线长为______4、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为cm2．5、如图，正方形ABCD的边 CD在正方形ECGF的边 CE上，连接 BE、 DG，求证： BE=DGE FA DB C G6、已知：如图，正方形中，点、、N 分别在、、边上，＝，ABCD E M AB BC AD CE MN ∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．7．已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交 BC于F．求证： BF＝EC．练习 31．梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______ 的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按______ 分别叫做上底、下底(与位置无关 ) ，梯形中不平行的两边叫做 ______ ，两底间的 ______ 叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______ ；两腰 ______ 的梯形叫做等腰梯形．2. 已知：如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，∠B=72°，∠C=36°，AD=6cm，BC=15cm，求 CD的长A DB C3.在梯形 ABCD中， AD∥BC，对角线 AC⊥BD，且 AC=5cm， BD=12cm，则梯形中位线的长等于多少4. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知底AD=6cm ，BC=11cm ，腰 CD=12cm ，求这个直角梯形的周长．练习题 41.等腰梯形的性质：等腰梯形中 ______ 的两个角相等，两腰 ______ ，两对角线______ ，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______ 就是它的对称轴．2．等腰梯形的判定：______ 的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______ 的梯形是等腰梯形．3.等腰梯形的上、下底和腰分别是4cm、 10cm和 5cm，则此梯形的高为 ___________，面积为 ____________4、等腰梯形两底之和是10，两底差是4，一底角是45°，则其面积是多少 ?5、已知：如图，梯形ABCD中， AD∥BC， AB＝CD，延长 CB到 E，使 EB＝ AD，连结AE．求证： AE＝CA．四边形期末复习一、选填题1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取 DE=DC，则∠ECB的度数是.2、如图，在ABCD中，已知 AB=9㎝， AD=6㎝， BE平分∠ABC交 DC边于点 E，则 DE等于㎝.2 题1题3、已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①AB // CD ；② AB CD ；③ BC // AD ；④ BC AD ．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（）（A）6 种（B）5种（C）4种（D）3种4、如图，在△ ABC 中，点D、 E、 F 分别在边AB 、BC 、 CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥ BA ．下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果BAC 90 ，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC 且AB AC ，那么四边形AEDF 是菱形其中，正确的有. （只填写序号）5、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于 O， AE⊥ BD于 E，∠DAE∶∠ BAE=3∶1，则∠EAC=_______.6、矩形ABCD的对角线AC、 BD交于 O，若△ ABC的周长比△ AOB的周长大10cm，则边AD的长是 _______.7、如图 , 菱形 ABCD边长为 4, ∠A=60°,E 、 F 分别为 AD、 BD的中点，点G在 DC上，△EGF的面积为．AECF．若AB＝3，则BC的长为8、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形（）2D．3A．1 B．2 C．学习好资料欢迎下载DCGE FA B5题7 题8 题9、等腰梯形的下底是上底的 3 倍，上底与高相等，则下底角的度数为.10、等腰梯形中位线等于它的腰长，若腰长等于5，则等腰梯形的周长是.11、等腰梯形ABCD中， AD∥BC， BD平分∠ ABC， BD⊥ CD于 D，若梯形的周长为35cm，则AD的长为cm.12、如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O1、 O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.O2O113、如图，正方形ABCD 中，M 是BC的中点， CM 2 ，点P是BD上一动点，则PM PC 的最小值是.14、如图，平行四边形中， E 是 CD的中点， F 是 AE的中点，FC与 BE交于 G．求证： GF＝ GC．15、若矩形ABCD的一条角平分线BE分 AD边为5cm和4cm两部分，求BE长和矩形 ABCD的面积 .学习好资料欢迎下载A D17、如图，在矩形ABCD中， E、 F 分别是边 BC、AB上的点，且EF＝ED， EF⊥ ED．GEB FC求证： AE平分∠BAD．18、 Rt △ABC，∠A=90°，∠B 的平分线交AC于 D，自 A 作 BC的垂线交BD于 E，自 D?作 DF?⊥BC，求证：四边形AEFD为菱形．19 、如图，已知ABCD 中，AE平分BAD，交DC于 E，DF BC于F，交AE于 G，且DF AD .（1）试说明DE BC ；（2 ）试问 AB 与DG FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由.20、如图，等腰梯形ABCD中， AD∥BC， AB=DC， AC⊥ BD，过 D 点作 DE∥AC交 BC的延长线于A DE点。

平行四边形专题讲义一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。

三、本章知识结构图1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。

2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。

3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。

4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。

四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边 ，对边 ； （2）从角看：对角 ，邻角 ； （3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。

2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。

（定义）（2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。

（3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。

（4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。

（5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。

【基础练习】1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____．2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __.3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（ ）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜44.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.ABCD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24【典型例题】例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F DA OA B CDOA DDC AB E F M NBE F C AD例2、 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。

平边四边形知识点一．知识框架二．知识概念平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

矩形是特殊的平行四边形。

矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形；梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。

等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

梯形常用辅助线：平行四边形的判定及性质巩固练习题1、如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD•是平行四边形．2、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.3、有一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.求证：此四边形是平行四边形．4、□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，求证：BE=DF5、(变式练习2)□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，BM=DN求证：四边形MFNE是平行四边形6、 (变式练习3)如图，平行四边形ABCD中，E、F是AC上两点，且AE=CF，又点M、N分别在AB、CD上，且MF∥EN，MN交AC 于O。

平行四边形的性质和判定【知识梳理】一、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形就是平行四边形．如图四边形ABCD ，AB CD AD BC ∥，∥，四边形ABCD 就是平行四边形二、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对称性平行四边形是中心对称图形平行四边形的周长与面积周长：邻边之和的2倍面积：底乘高（常利用面积相等来求线段的长）三、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形四、三角形中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边长的一半判定：点E 是三角形ABC △的中点，且DE BC ∥，则点D 为AB 中点【诊断自测】1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．3．四边形ABCD中，AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，当AD=cm时，四边形ABCD 是平行四边形．4．如图所示，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有个平行四边形．【考点突破】类型一：平行四边形的性质例1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13B．17C．20D．26答案：B解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．例2、如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．答案：50°．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．例3、如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．答案：1＜a＜7．解析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．例4、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．类型二:平行四边形的判定例5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A 出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s答案：B解析：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，根据题意得到12﹣3t=t，解得：t=3，故选B．例6、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①∠ABC=∠ADC，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC，其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组B．3组C．2组D．1组答案：B解析：如图，①∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形；②∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；③∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形；④∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．∴其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有3组．故选B．例7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．例8、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．类型三：平行四边形的性质和判定例9、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．答案：见解析解析：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．例10、如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．例11、如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．答案：见解析解析：证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．类型三：中位线定理例12、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE答案：B解析：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．例13、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．答案：见解析解析：证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【易错精选】1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°2．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．63．已知：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（0，﹣1）．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有个．4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=时，四边形ADFE是平行四边形．【精华提炼】一、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形是中心对称图形二、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形【本节训练】训练【1】如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC ⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm训练【2】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DCB．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE训练【3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．训练【4】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．基础巩固一．填空题1．如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE 的面积为cm2．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是cm．3．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．5．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．二、选择题1．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5B．7C．9D．112．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm3．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（）A．30B．36C．54D．724．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE 的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（）A．0.5B．1C．D．2三、简答题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=2DE，连接CF．判断四边形BCFE的形状，并证明．2．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB=12，AC=20．（1）求证：BD=DE；（2）求DM的长．巅峰突破1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，AH⊥CD于H，M为AD的中点，MN ∥AB，连接NH，如果∠D=68°，则∠CHN=．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF 分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案【诊断自测】1、D解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．2、解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．3、5．解：当AD=5cm时，四边形ABCD是平行四边形，∵AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，AD=5cm，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：5．4、3个.解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有▱ADFE、▱BFED、▱CFDE三个．故答案为：3个【易错精选】1、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．2、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．3、3解：如图，D点共有3个，故答案为：3．4、．解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．【本节训练】1、B解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．2、D解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．3、4解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为4．4、2解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2．基础巩固一、填空题1、解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面积为12cm2，∴△ADE的面积为3cm2，∴梯形DBCE的面积=12﹣3=9cm2，故答案为：9．2、解：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．3、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案为：．4、解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．5、解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12．二、选择题1、解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B．2、解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．3、解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，∴DE=AM=9，ME=AD=10，又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，过D作DF⊥BE于F，则DF==，∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．故选D．4、解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．5、解：过点M作MG∥AB交AD于点G，∵AD∥BC，AB∥MG，∴四边形ABMG是平行四边形，∴∠AGM=∠ABM．∵AM平分∠BAD，∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG．在△AGM与△ABM中，，∴△AGM≌△ABM，∴AB=AG=3，∴四边形ABMG是菱形，∴MC=5﹣3=2．∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，∴NF是△DCM的中位线，∴NF=MC=1．故选B．三、简答题1、证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．2、（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE∵AD⊥BD∴∠ADB=∠ADE=90°在△ADB与△ADE中∴△ADB≌△ADE∴BD=DE（2）∵△ADB≌△ADE∴AE=AB=12∴EC=AC﹣AE=8∵M是BC的中点，BD=DEDM=EC=4巅峰突破1、解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．2．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．3．解：连接MH，∵AH⊥CD于H，M为AD的中点，∴MH=AD=DM，∴∠D=∠MHD=68°，∵MN∥AB，∴∠NMH=∠MHD=68°，又∵MN=AB=AD，∴MN=MH，∴∠MHN=（180°﹣68°）÷2=56°，∴∠CHN=180°﹣∠DHM﹣∠MHN=56°．故答案为：56°4．解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ=CP当P从B运动到C时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=21﹣2t∴16﹣t=21﹣2t解得t=5当P从C运动到B时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=2t﹣21∴16﹣t=2t﹣21，解得t=，∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，即解得t=9（秒）若点P返回时，CP=2（t﹣），则解得t=15（秒）．故当t=9或15秒时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等60cm 2；（3）当PQ=PD 时作PH ⊥AD 于H ，则HQ=HD∵QH=HD=QD=（16﹣t ）由AH=BP 得解得秒；当PQ=QD 时QH=AH ﹣AQ=BP ﹣AQ=2t ﹣t=t ，QD=16﹣t ，∵QD 2=PQ 2=t 2+122∴（16﹣t ）2=122+t 2解得（秒）；当QD=PD 时DH=AD ﹣AH=AD ﹣BP=16﹣2t ，∵QD 2=PD 2=PH 2+HD 2=122+（16﹣2t ）2∴（16﹣t ）2=122+（16﹣2t ）2即3t 2﹣32t+144=0∵△＜0，∴方程无实根，当点P 从C 向B 运动时，观察图象可知，只有PQ=PD ，由题意：2t ﹣26=（16﹣t ），t=．综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．第３１／３１页。

平行四边形1、平行四边形的性质考点一、平行四边形的概念（1）定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2） "表示，平行四边形ABCD ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。

（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质.①由定义知平行四边形两组对边分别平行；②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

（4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。

例1中，EF∥AB，GH∥BC,EF、GH相交于点P，写出图中的平行四边形.A E DG P HB F C考点二、平行四边形的性质（1）边的性质:平行四边形的对边平行且相等。

（2）角的性质:平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）对角线性质:平行四边形的对角线互相平分。

例2中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.A BC D 考点三、平行四边形的对角线的性质（1）平行四边形的对角线互相平分.例3中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10,则△OAB 的周长为_______。

练习题 一、感受理解1．已知 ABCD 的对角线交点,AC=10cm ，BD=18cm ，AD=•12cm ，•则△BOC•的周长是_______．2的对角线AC,BD 交于点O,△AOB 的面积为2,那么平行四边形ABCD 的面积为_____．3．已知平行四边形的两邻边之比为2:3，周长为20cm ，•则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________．4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1。

平行四边形(基础)1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．【要点梳理】【高清课堂平行四边形知识要点】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形ABCD 记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD"。

要点诠释:平行四边形的基本元素：边、角、对角线。

相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边,有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角,有两对;对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质:平行四边形两组对边平行且相等;2．角的性质:平行四边形邻角互补，对角相等;3．对角线性质:平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择。

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题,在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决。

要点三、平行四边形的判定1。

两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法。

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据。