平行四边形的性质与判定讲义精品

A BECFD ABOCDE AB E CFD ABCDF EG平行四边形性质与判定综合应用(2)6.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，且∠EAD ＝∠BAF 。

① 求证：ΔCEF 是等腰三角形；② 观察图形，ΔCEF 的哪两边之和恰好等于ABCD 的周长？并说明理由。

7.如图所示，ABCD 中的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 经过点O 与AD 延长线交于E ，与CB 延长线交于F ， 求证：OE=OF8.如图所示，在ΔABC 中，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，DE ∥AC 交AB 于D ， 过D 作DF ∥BC 交AC 于F 。

求证： AD=FC 9.如图,ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,100=∠DGE .(1) 求证：DF=BG ; (2)求AFD ∠的度数.10. 如图，平行四边形ABCD 的相邻边AD ：AB=5：4，过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AE=4cm ，求AF 的长．CDBAFOMNDCBANMQ PDCB AF E DBA11、如图，已知AC 是□ABCD 的一条对角线，BM ⊥AC 于M ，DN ⊥AC 于N ，求证：四边形BMDN 是平行四边形.12. 如图,在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是OA,OC 的中点,O 为对角线AC 与BD 的交点,试问四边形BMDN 是平行四边形吗?说说你的理由.13、如图4.2-7,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P,Q.(1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP 与QN 能相等吗?14、□ABCD 中，E 、F 在AC 上，AE=CF ，求证：四边形DEBF 是平行四边形.ABCDE15.如图，AC ∥ED ，点B 在AC 上且AB=ED=BC ,找出图中的平行四边形。

平行四边形的判定讲义1
【根底知识】
判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形
【名师点睛】
1 .平行四边形的判定方法有定义、三个判定定理，分别从对边、对角和对.角线来研究.
2 .方法上：将四边形转化为三角形是一般方法，表达了转化思想；
平行四边形的性质和判定定理是互逆.命题，今后研究其他图形会类比这个研究方法进行；
先从简单问题入手研究，再扩展到淇他问题，由简单到复杂.
【例题讲解】
1 .如下图,在□ABCD中,对角线4C,切相交于点0,£,厂是对角线〃'上的两点，当£/满足以下哪个条件时.，四边形的即不一定是平行四边形( )
A.OE=OF
B.DE=BF
C.AADE=ACBF
D.AABE=ΛCDF
2 .能判定四边形力腼为平行四边形的题设是( )
A.AB=AD,CB=CD
B.AB=CD.AD=BC
C.∕A=∕B,/俏/〃
D.AB//CD,AD=BC
3 .如图，在四边形被力中,AEIBD于E,CFIBD于F,AE=CF,BF=DE.求证：四边形力戈力是平行四边形.
4 .如图，四边形4灰》是平行四边形，KN是对角线切上的两点,且BM=DM求证：四边形4觉”是平行四边形.
5 .：如图，平行四边形4809中，力反L4C,对角线“'、BD交于。

点、,将直线然绕点。

顺时针旋转，分别交比、AD 于点、E、F.
(1)当旋转角为90。

时，求证：四边形力戚是平行四边形；
(2)求证：在旋转过,程中,AF=EC.。

平行四边形的性质讲义1
【根底知识】
1.平行四边形的定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质
性质1：平行四边形的对边平行
性质2：平行四边形的对边相等
性质3：平行四边形的对角相等
3.回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路是什么？给出图形定义一研究图形性质一探索图形判定条件
(1)有关四边形的问题常常转化为三角形问题解决；
(2)平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；
【例题讲解】
1.平行四边形4¾力的周长为32,AB=4,那么BC=( )
A.4
B.12
C.24
D.28
2.如图，平行四边形力腼的对角线力。

与即相交于点0,JZLL4C,假设1后4,AC=6,那么勿的长是( )
A.8
B.9
C.10
D.11
3.在平行四边形4?四中，如果N4+NQ140°,那么NC等于( )
A.20°
B.40o
C.60o
D.700
4.如图.，在平行四边形4809中,DE平分NADC,ADK,BE=2,那么平行.四边形力四的周长是.
5.平行四边形40中，乙仿。

的平分线交/1〃于点£,且力斤2,小1,那么平行四边形ZlM?的周长等于.
6.如图，在平行四边形的切中,E、£分别为边4反5的中点,连接应、BF,求证：XADE^RCBF.。

平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。

2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。

3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。

4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。

5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。

6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。

二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5.相邻角互补的四边形是平行四边形。

6.对边角相等的四边形是平行四边形。

7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。

8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。

9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。

10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。

四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。

2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。

3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。

知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。

答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。

解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。

2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。

答案：∠D的度数为120°。

解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。

CFBE D A 平行四边形一、知识梳理1．平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。

(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．例1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，则ABCD 的周长为 ．例2．在ABCD 中，∠C=60º,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ．（1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7，则ABCD 周长= ; 例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ .例4。

.中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________．变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少？例5、如图，在□ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 的直线交AB 于E ，交DC 于F ，图中全等三角形共有 （ ）A ．2B ．3对C ．6对D ．8对OFEDC B A 3．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． (2)两平行线间的距离处处相等．例6、有以下四个说法：①两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长．②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值．③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值．④两条平行线间的距离不是定值其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．平行四边形的面积：(1)如图①，．(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，有公共边BC，则．例7、如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10，AD=8，AC BC,求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积变式训练：1、平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．2、平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的面积。

一、知识回顾与归纳1、平行四边形的性质有哪些？平行四边形的性质边平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补角对角线平行四边形的对角线互相平分两组对边分别平行的四边形2、平行四边形的判定方法有哪些？平行四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边平行且相等的四边形 对角线互相平分的四边形两组对角分别相等的四边形 边 角 对角线二、专题讲解专题一运用性质、判定定理进行计算例1、(1)如图，在□ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为( )A．4cm B．5cmC．6cm D．8cm例1、(2)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE到F，使EF=DE，若AB=10，BC=8，则四边形BCFD的周长是 .专题二判定方法的灵活选用例2、如图，E、F是□ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形.例2、如图，E、F是□ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形.O例2、如图，E、F是□ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形.专题三判定与性质的综合运用例3、如图，已知点P为△ABC外一点，点M为AB的中点，以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM.连接DE.猜想线段DE与BC之间有何关系？证明你的结论.课堂小结1、平行四边形的性质与判定间的关系2、判定平行四边形的方法较多，在判定平行四边形时，要先看它已满足何条件，再证明它所缺少的条件，选择此方法往往较为简单.课后练习：1、如图，在□ABCD中，∠BAD=2∠B，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则△EBC是三角形.2、如图，□ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延长线于点F，若BC=2AB，∠FBC=70°，则∠EBC的度数为 .2343 3、如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4， ∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG =1，则AE 的长为（ ）A ．B. C.4 D.8。

平行四边形的性质与判定ＤＡＢＤＡＢD AE OFCB3124定理:已知如图，四边形ABCD 为平行四边形，试证明平行四边形的两组对边分别相等、平行四边形的对角线互相平分、平行四边形的对角相等。

例1 已知：如图， ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ． 求证：OE ＝OF ，AE=CF ，BE=DF ．※【引申】若例1中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例1的结论是否成立，说明你的理由．例2 已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝10cm ，AD ＝8cm ，AC ⊥BC ，求BC 、CD 、AC 、OA 的长以及ABCD 的面积。

例3 如图2-32所示．在ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，DN=BM ．求证：EF 与MN 互相平分．5题图例4如图2-33所示．Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，BG 平分∠ABC ，EF ∥BC 且交AC 于F ．求证：AE=CF ．例5如图2-34所示．ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BM=MC=DC ．求证：∠EMC=3∠BEM ．课堂练习1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长。

2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ．5．判断对错（1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等。

平行四边形的性质和判定【知识梳理】一、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形就是平行四边形．如图四边形ABCD ，AB CD AD BC ∥，∥，四边形ABCD 就是平行四边形二、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对称性平行四边形是中心对称图形平行四边形的周长与面积周长：邻边之和的2倍面积：底乘高（常利用面积相等来求线段的长）三、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形四、三角形中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边长的一半判定：点E 是三角形ABC △的中点，且DE BC ∥，则点D 为AB 中点【诊断自测】1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．3．四边形ABCD中，AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，当AD=cm时，四边形ABCD 是平行四边形．4．如图所示，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有个平行四边形．【考点突破】类型一：平行四边形的性质例1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13B．17C．20D．26答案：B解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．例2、如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．答案：50°．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．例3、如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．答案：1＜a＜7．解析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．例4、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．类型二:平行四边形的判定例5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A 出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s答案：B解析：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，根据题意得到12﹣3t=t，解得：t=3，故选B．例6、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①∠ABC=∠ADC，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC，其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组B．3组C．2组D．1组答案：B解析：如图，①∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形；②∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；③∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形；④∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．∴其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有3组．故选B．例7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．例8、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．类型三：平行四边形的性质和判定例9、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．答案：见解析解析：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．例10、如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．例11、如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．答案：见解析解析：证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．类型三：中位线定理例12、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE答案：B解析：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．例13、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．答案：见解析解析：证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【易错精选】1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°2．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．63．已知：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（0，﹣1）．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有个．4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=时，四边形ADFE是平行四边形．【精华提炼】一、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形是中心对称图形二、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形【本节训练】训练【1】如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC ⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm训练【2】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DCB．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE训练【3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．训练【4】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．基础巩固一．填空题1．如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE 的面积为cm2．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是cm．3．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．5．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．二、选择题1．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5B．7C．9D．112．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm3．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（）A．30B．36C．54D．724．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE 的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（）A．0.5B．1C．D．2三、简答题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=2DE，连接CF．判断四边形BCFE的形状，并证明．2．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB=12，AC=20．（1）求证：BD=DE；（2）求DM的长．巅峰突破1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，AH⊥CD于H，M为AD的中点，MN ∥AB，连接NH，如果∠D=68°，则∠CHN=．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF 分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案【诊断自测】1、D解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．2、解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．3、5．解：当AD=5cm时，四边形ABCD是平行四边形，∵AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，AD=5cm，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：5．4、3个.解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有▱ADFE、▱BFED、▱CFDE三个．故答案为：3个【易错精选】1、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．2、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．3、3解：如图，D点共有3个，故答案为：3．4、．解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．【本节训练】1、B解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．2、D解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．3、4解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为4．4、2解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2．基础巩固一、填空题1、解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面积为12cm2，∴△ADE的面积为3cm2，∴梯形DBCE的面积=12﹣3=9cm2，故答案为：9．2、解：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．3、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案为：．4、解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．5、解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12．二、选择题1、解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B．2、解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．3、解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，∴DE=AM=9，ME=AD=10，又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，过D作DF⊥BE于F，则DF==，∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．故选D．4、解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．5、解：过点M作MG∥AB交AD于点G，∵AD∥BC，AB∥MG，∴四边形ABMG是平行四边形，∴∠AGM=∠ABM．∵AM平分∠BAD，∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG．在△AGM与△ABM中，，∴△AGM≌△ABM，∴AB=AG=3，∴四边形ABMG是菱形，∴MC=5﹣3=2．∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，∴NF是△DCM的中位线，∴NF=MC=1．故选B．三、简答题1、证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．2、（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE∵AD⊥BD∴∠ADB=∠ADE=90°在△ADB与△ADE中∴△ADB≌△ADE∴BD=DE（2）∵△ADB≌△ADE∴AE=AB=12∴EC=AC﹣AE=8∵M是BC的中点，BD=DEDM=EC=4巅峰突破1、解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．2．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．3．解：连接MH，∵AH⊥CD于H，M为AD的中点，∴MH=AD=DM，∴∠D=∠MHD=68°，∵MN∥AB，∴∠NMH=∠MHD=68°，又∵MN=AB=AD，∴MN=MH，∴∠MHN=（180°﹣68°）÷2=56°，∴∠CHN=180°﹣∠DHM﹣∠MHN=56°．故答案为：56°4．解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ=CP当P从B运动到C时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=21﹣2t∴16﹣t=21﹣2t解得t=5当P从C运动到B时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=2t﹣21∴16﹣t=2t﹣21，解得t=，∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，即解得t=9（秒）若点P返回时，CP=2（t﹣），则解得t=15（秒）．故当t=9或15秒时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等60cm 2；（3）当PQ=PD 时作PH ⊥AD 于H ，则HQ=HD∵QH=HD=QD=（16﹣t ）由AH=BP 得解得秒；当PQ=QD 时QH=AH ﹣AQ=BP ﹣AQ=2t ﹣t=t ，QD=16﹣t ，∵QD 2=PQ 2=t 2+122∴（16﹣t ）2=122+t 2解得（秒）；当QD=PD 时DH=AD ﹣AH=AD ﹣BP=16﹣2t ，∵QD 2=PD 2=PH 2+HD 2=122+（16﹣2t ）2∴（16﹣t ）2=122+（16﹣2t ）2即3t 2﹣32t+144=0∵△＜0，∴方程无实根，当点P 从C 向B 运动时，观察图象可知，只有PQ=PD ，由题意：2t ﹣26=（16﹣t ），t=．综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．第３１／３１页。

EOABD C平行四边形的性质及判定一、知识提要1.定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD.2.平行四边形的性质：对边相等,对角相等,对角线互相平分.3.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.4.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的，其中，两条平行线间最短的线段长度叫做平行线间的距离.5.平行四边形的判定：共5个①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.二、精讲精练1.(2011广东)已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A. 4B. 12C. 24D. 282.在平行四边形中，四个角之比可以成立的是( )A．1:2:3:4 B．2:2:3:3 C．2:3:3:2 D．2:3:2:33.（2011江苏）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC=6，则线段AO的长度等于________.4.（2011山东）如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，3OE cm，则AD的长是＿＿cm.5.（2011湖南）如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不．正确．．的是( )A．AC⊥BD B．AB=CDC．BO=OD D．∠BAD=∠BCD6.在平行四边形ABCD中,∠B-∠A=20°,则∠D的度数是_______.7.平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必( )A．大于1 B．大于1且小于7C．小于7 D．大于7或小于1A DCOB8. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______.10. 在□ABCD 中，AB =3，BC =5，∠B 的平分线AE 交AD 于点E ，则DE 的长为__________.11. 在平面内和直线l 距离为8 cm 的直线有______条. 12. 平行四边形的一组对角的平分线( )A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线13. （2011湖南）如图．下列四组条件中．不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB =DC ， AD =BCB ．AB ∥DC ，AD ∥BC C ．AB ∥DC ，AD =BCD ．AB ∥DC ，AB =DC14. 如图，平行四边形ABCD 中，AE =CG ， DH =BF ，连结E ，F ，G ，H ，E ，则四边形EFGH 是_____．15. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，则四边形BEDF 是___________．16. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，则图中共有平行四边形的个数是( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 617. （2011天津）如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，连接DE 、EF 、FD ．则图中平行四边形的个数为__________.18. 已知四边形ABCD ，有以下四个条件，①AB ∥CD ；②AB =CD ；③BC ∥AD ；④BC =AD .从这四个条件中，任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6FEDCBA DCBAHGA BCDEFF EDCBA FA BCDEABECFD 19. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF =CE ．求证：四边形ACEF 是平行四边形．20. （2011湖北）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F . （1）证明：∠DFE =∠CBE ； （2）证明：△DFE ≌△CBE ．21. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD =12，AB =13，BD ⊥AD ，求BC ，CD及OB 的长．22. (2011四川)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，且AF =CE ，BH =DG ，求证：EG ∥HF .OD CBAH G O E DCBA F E DCB A F三、测试提高【板块一】平行四边形的性质1. （2011重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB ≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO =BO ；②OE =OF ； ③△ODM ≌△OBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④2. （2011辽宁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE ∥DF ，若∠EBF =45°，则∠EDF 的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．55° D ．75°3. （2011浙江）如图，已知E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中有几对全等三角形（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 如图，EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，并交AD 于点E ，交BC 于F ，若AB =4，BC =6，OE =2，那么四边形EFCD 的周长是（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10N MFE ODC BAFEDCBA O ABCDE FF E ODCB A【板块二】平行四边形的判定5. （2011广西）如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AD ， HN ∥AB ，则图中的平行四边形的个数共有( ) A ．12个 B ．9个 C ．7个 D ．5个四、课后作业1. 在□ABCD 中，∠A = 2∠B ，则∠C =________.2. 在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）. A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶13. 已知平行四边形ABCD 的周长是100cm, AB :BC =4:1,则AB 的长是__________.4. 在平行四边形ABCD 中,∠A :∠B =3:2,则∠C =_______度，∠D =____度.5. 用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的短边长为____.6. 平行四边形ABCD 的周长32, 5AB =3BC ,则对角线AC 的取值范围为_______.7. 在平行四边形ABCD 中,∠A =65°,则∠D 的度数是_______8. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ).A.周长B. 一腰的长C.周长的一半D. 两腰的和 9. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( ). A. 一组对角相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 一对邻角的和为180°10. 关于四边形ABCD ：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有两组角相等④对角线AC 和BD 相等.以上四个条件中，可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有______个.11. 四边形ABCD 中,AD ∥BC ,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ). A. ∠A +∠C =180° B. ∠B +∠D =180° C. ∠A +∠B =180° D. ∠A +∠D =180°12. 已知平行四边形ABCD 中，AB = 12，AB 边上的高为3，BC 边上的高为6，则平行四边形ABCD 的周长为 .NHE D CBA F13.已知：如图，△ABC中，AB=AC，DE//AC，DF//AB．求证：DE+DF=AB14.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，E，F是BD上的点，BE⊥EC，DF⊥AF，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？15.（2010江苏）如图，在□ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．16.（2011福建）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F.求证：AE=CF.FAB C DE OEDCB AFC ABD EFB DAFCE。

高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年级：辅导科目：学科教师：五块石1 上课时间授课主题第03讲_平行四边形的性质与判定平行四边形一．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用“□”表示．如右图，平行四边形ABCD记作“□ABCD”．（字母顺序须按顺时针或逆时针的顺序书写）二．平行四边形的性质1．边的性质：对边平行且相等．如下图：AB CD∥　，AB CD=　，AD BC∥，AD BC=．2．角的性质：平行四边形的对角相等．如下图：ABC ADC∠=∠，BAD BCD∠=∠．3．对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．如下图：OA OC=，OB OD=．知识图谱错题回顾知识精讲三．平行四边形的判定1．与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2．与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．3．与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．3．对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．如下图：OA OC =，OB OD =．一．考点：1．平行四边形的性质；2．平行四边形的判定．二．重难点：1．利用相关性质，求线段角度问题；2．选取合适的方法，灵活证明平行四边形．三．易错点：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，比如梯形．题模一：平行四边形的性质例1.1.1如图，▱ABCD 的周长为28，对角线AC 、BD 相交于点O ．点E 是CD 的中点，BD=10，则△DOE 的周长为（ ）A ．28B ．24C ．12D ．17【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC ，OB=OD=12BD=5， 三点剖析题模精讲∵▱ABCD 的周长为28，∴CD+BC=14，∵点E 是CD 的中点，∴DE=12CD ，OE 是△BCD 的中位线， ∴OE=12BC ， ∴DE+OE=12（CD+BC ）=7， ∴△DOE 的周长=OD+DE+OE=5+7=12；例1.1.2如图，在平行四边形ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边三角形ABE ∆、ADF ∆，延长CB 交AE 于点G （点G 在点A 、E 之间），连接CE 、CF 、EF ，则以下四个结论中，正确的个数是（ ）①CDF EBC ∆∆≌；② CDF EAF ∠=∠；③CEF ∆是等边三角形；④ CG AE ⊥ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】在ABCD 中，ADC ABC ∠=∠，AD BC =，CD AB =，∵ABE ∆、ADF ∆都是等边三角形，∴AD DF =，AB EB =，60ADF ABE ∠=∠=︒，∴DF BC =，CD BC =，∴36060300CDF ADC ADC ∠=︒-∠-︒=︒-∠，36060300EBC ABC ABC ∠=︒-∠-︒=︒-∠， ∴CDF EBC ∠=∠，在CDF ∆和EBC ∆中，DF BC CDF EBC CD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CDF EBC SAS ∆∆≌，故①正确 在ABCD 中，180DAB ADC ∠=︒-∠，∴1806060300EAF DAB DAF BAE ADC ADC ∠=∠+∠+∠=︒-∠+︒+︒=︒-∠，∴CDF EAF ∠=∠，故②正确同理可证CDF EAF ∆∆≌，∴EF CF =，∵CDF EBC ∆∆≌，∴CE CF =，∴EC CF EF ==，∴ECF ∆是等边三角形，故③正确当CG AE ⊥时，∵ABE ∆是等边三角形，∴30ABG ∠=︒，∴18030150ABC ∠=︒-︒=︒，∵150ABC ∠=︒无法求出，故④错误；综上所述，正确的结论有①②③，共3个故答案为C 选项．例1.1.3如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．（1）求证：BE=CD ；（2）连接BF ，若BF ⊥AE ，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）43．【解析】（1）证明：AEB DAE ∠=∠，BAE DAE ∠=∠，∴BAE AEB ∠=∠，∴AB BE CD ==．（2）解：23BF =，()ADF ECF AAS △≌△，∴114234322ABCD ABE S S AE BF ===⨯⨯=△． 题模二：平行四边形的判定例1.2.1四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件：①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种【答案】B【解析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．①①组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形； ①①组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；①①可证明①ADO①①CBO ，进而得到AD=CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；①①可证明①ADO①①CBO ，进而得到AD=CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；①有4种可能使四边形ABCD 为平行四边形．故选：B ．例 1.2.2如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．点E 、F 分别在边AB 、AC 上，且BE AF =，FG AB ∥交线段AD 于点G ，连接BG 、EF ．求证：四边形BGFE 是平行四边形．【答案】见解析【解析】FG AB ∥，∴BAD AGF ∠=∠．BAD GAF ∠=∠，∴AGF GAF ∠=∠，∴AF GF =． BE AF =，∴FG BE =．又FG BE ∥，∴四边形BGFE 为平行四边形例1.2.3如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连结DE ．（1）证明DE CB ∥；（2）探索AC 与AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形．【答案】（1）见解析（2）2AB AC =【解析】（1）连结CE ．∵点E 为Rt ACB ∆的斜边AB 的中点，12CE AB AE == ∵ACD ∆是等边三角形，∴AD CD =在ADE ∆与CDE ∆中，AD DC DE DE AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ADE CDE ∆∆≌SSS （），∴30ADE CDE ∠=∠=︒．∵150DCB ∠=︒，∴180EDC DCB ∠+∠=︒．∴DE CB ∥（2）∵150DCB ∠=︒，若四边形DCBE 是平行四边形，则DC BE ∥，180DCB B ∠+∠=︒．∴30B ∠=︒．在Rt ACB ∆中，sin AC B AB =，1sin302AC AB ︒==，2AB AC = ∴当2AB AC =时，四边形DCBE 是平行四边形．随练 1.1如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．12C ．20D ．24【答案】D【解析】解：在Rt △BCE 中，由勾股定理，得CE=222234BC BE +=+=5． ∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD 是平行四边形．四边形ABCD 的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，随练1.2如图， ABCD □的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AD 、BC 分别相较于点E 、F ，若4AB =，5BC =， 1.5OE =，那么四边形EFCD 的周长为（ ）A ．16B ．14C ．12 C ．10【答案】C 【解析】该题考查全等三角形．在△OBE 和△ODF 中，ODF OBE OB ODFOD BOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩随堂练习ABF D E OC∴△OBE ≌△ODF∴四边形EFCD 的周长为452 1.512DF EF CD CE +++=++⨯=故答案选C随练1.3如图，在ABCD □中，3AB =，4AD =，60ABC ∠=︒，过BC 的中点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF △的面积是（ ）A ．23B ．43C.33+C ．623+ 【答案】A【解析】该题考查的是．由题意，11222BE EC BC AD ==== 60B ∠=︒则112BF BE ==，33EF BF ==在Rt △BEF 和Rt △CEH 中，FEB CEH BE CE ∠=∠⎧⎨=⎩Rt △BEF ≌Rt △CEH （AAS ）则BF CH =，FE EH =()()11131323222DEF DEH S S EH DH EF CD BF ∆∆==⋅⋅=⋅⋅+=⨯⨯+= 故选A随练1.4如图，平行四边形 ABCD 中，E 为BC 中点，过点E 作AB 的垂线交AB 于点G ，交DC 的延长线于点H ，连接DG ．若10BC =，45GDH ∠=︒，82DG =，求CH 的长及平行四边形ABCD 的周长．AB CD EFH【答案】30【解析】该题考查的是平行四边形的综合．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD=，AB∥CD，AD BC=．∵HG⊥AB于点G，∴90BGH H∠=∠=︒．在△DHG中，90H∠=︒，45GDH∠=︒，82DG=，∴8DH GH==．-------------------------1分∵E为BC中点，10BC=，∴5BE EC==．∵BEG CEH∠=∠∴BEG CEH∆∆≌∴142GE HE GH===．-------------------------3分在EHC∆中，90H∠=︒，5CE=，4EH=，∴3CH=-------------------------4分∴5AB CD==∴30AB BC CD AD+++=∴四边形ABCD的周长为30-------------------------5分随练1.5如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．【答案】（1）见解析；（2）23【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M、N分别是AD，BC的中点，∴BN=DM，∵在△ABN和△CDM中，DHGAB CD B CDM BN DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABN ≌△CDM （SAS ）；（2）∵M 是AD 的中点，∠AND=90°，∴MN=MD=12AD ， ∴∠1=∠MND ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠CND ，∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC ，∵CE ⊥MN ，∴∠CEN=90°，∠END+∠CNP+∠2=180°﹣∠CEN=90°又∵∠END=∠CNP=∠2∴∠2=∠PNE=30°，∵PE=1，∴PN=2PE=2，∴CE=PC+PE=3， ∴CN=cos30CE ︒=23， ∵∠MNC=60°，CN=MN=MD ，∴△CNM 是等边三角形，∵△ABN ≌△CDM ， ∴AN=CM=23．随练1.6四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB=CD ，AD=BC ；③AO=CO ，BO=DO ；④AB ∥CD ，AD=BC ．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【答案】C【解析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是做题的关键．根据平行四边形的判断定理可作出判断．①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；①根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；①根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知①不能判断这个四边形是平行四边形；故给出下列四组条件中，①①①能判断这个四边形是平行四边形，故选：C，随练1.7已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．【答案】见解析【解析】如图，连接BD设对角线交于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵AE=CF，OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF．∴四边形BEDF是平行四边形．随练 1.8如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．（1）首先Rt①ABC 中，由①BAC=30°可以得到AB=2BC ，又因为①ABE 是等边三角形，EF①AB ，由此得到AE=2AF ，并且AB=2AF ，然后即可证明①AFE①①BCA ，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF ；（2）根据（1）知道EF=AC ，而①ACD 是等边三角形，所以EF=AC=AD ，并且AD①AB ，而EF①AB ，由此得到EF①AD ，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE 是平行四边形． 证明：（1）①Rt①ABC 中，①BAC=30°，①AB=2BC ，又①①ABE 是等边三角形，EF①AB ，①AB=2AF①AF=BC ，在Rt①AFE 和Rt①BCA 中，AF BC AE BA =⎧⎨=⎩， ①①AFE①①BCA （HL ），①AC=EF ；（2）①①ACD 是等边三角形，①①DAC=60°，AC=AD ，①①DAB=①DAC+①BAC=90°①EF①AD ，①AC=EF ，AC=AD ，①EF=AD ，①四边形ADFE 是平行四边形．自我总结作业1如图，在▱ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）A．4B．3C．52D．2【答案】B【解析】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE=AE=DC．根据平行四边形性质得出AB=DC，AD①BC，推出①DEC=①BCE，求出①DEC=①DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可．①四边形ABCD是平行四边形，①AB=DC，AD①BC，①①DEC=①BCE，①CE平分①DCB，①①DCE=①BCE，①①DEC=①DCE，①DE=DC=AB，①AD=2AB=2CD，CD=DE，①AD=2DE，课后作业①AE=DE=3，①DC=AB=DE=3，故选B ．作业2已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为（-3，3），则点C 的坐标为（）A ．（-3，3）B ．（-3，-3）C ．（3，-3）D ．（3，-3）【答案】D【解析】该题考查的是平行四边的性质与坐标系．平行四边形的对角线相互平分，平行四边形的对角线交于平面直角坐标系的原点，故点A 和点C 关于原点成中心对称，横纵坐标都互为相反数，点A 的坐标()3,3-，则点C 的坐标为()3,3-．故选D ．作业3如图，过▱ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的▱AEMG 的面积S 1与▱HCFM 的面积S 2的大小关系是（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1=S 2D ．2S 1=S 2【答案】C【解析】 ①四边形ABCD 是平行四边形，EF①BC ，HG①AB ，①AD=BC ，AB=CD ，AB①GH①CD ，AD①EF①BC ，①四边形HBEM 、GMFD 是平行四边形，在①ABD 和①CDB 中；①AB CDBD DB DA CB ，①①ABD①①CDB ，即①ABD 和①CDB 的面积相等；同理①BEM 和①MHB 的面积相等，①GMD 和①FDM 的面积相等，故四边形AEMG 和四边形HCFM 的面积相等，即S 1=S 2．故选C ．作业4在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A．11+1132B．11-1132C．11+1132或11-1132D．11+1132或1+32【答案】D【解析】①四边形ABCD是平行四边形，①AB=CD=5，BC=AD=6，①如图：过点A作AE①BC垂足为E，过点A作AF①DC垂足为F，由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=15，求出AE=52，AF=3，在Rt①ABE和Rt①ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=5，AE=52代入求出BE=532，同理DF=33＞5，即F在DC的延长线上（如上图），①CE=6-532，CF=33-5，即CE+CF=1+32，①如图：①AB=5，AE=52，在①ABE中，由勾股定理得：BE=532，同理DF=33，由①知：CE=6+532，CF=5+33，①CE+CF=11+1132． 故选D ．作业5如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB=AC ．（1）求证：△BAD ≌△AEC ；（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积．【答案】（1）见解析（2）503+50【解析】（1）证明：①AB=AC ，①①B=①ACB ．又①四边形ABDE 是平行四边形①AE①BD ，AE=BD ，①①ACB=①CAE=①B ，在①DBA 和①AEC 中AB AC B EAC BD AE ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DBA①①AEC （SAS ）；（2）解：过A 作AG①BC ，垂足为G ．设AG=x ，在Rt①AGD 中，①①ADC=45°，①AG=DG=x ，在Rt①AGB 中，①①B=30°，①BG=3x ，又①BD=10．①BG -DG=BD ，即3x -x=10，解得AG=x=1031-=53+5，①S 平行四边形ABDE =BD•AG=10×（53+5）=503+50．作业6下列条件中，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．∠A=∠C ，∠B=∠DB ．AB ∥CD ，AB=CDC ．AB=CD ，AD ∥BC D ．AB ∥CD ，AD ∥BC【答案】C【解析】解：A 、∵∠A=∠C ，∠B=∠D ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，正确，故本选项错误；B 、∵AB ∥CD ，AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，正确，故本选项错误；C 、根据AB=CD ，AD ∥BC 可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD 是平行四边形，错误，故本选项正确；D 、∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，正确，故本选项错误；故选C ．作业7如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE AC ∥，在BG 上取点E ，联结DE 交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF EF =；（2）如果2AD =，60ADC ∠=︒，AC DC ⊥于点C ，2AC CF =，求BE 的长．【答案】（1）见解析（2）23【解析】该题考察的是四边形综合AD FC B EG联结BD 交AC 于点O ．（1）∵□ABCD ，∴OB =OD ，…1分∵BG ∥AF ，∴DF =EF ．……2分（2）∵AC ⊥DC ，∠ADC =60°，AD =2， ∴AC 3 ……3分∵OF 是△DBE 的中位线，∴BE = 2OF ．．……4分∵OF = OC +CF ，∴BE = 2OC +2CF ．∵□ABCD ，∴AC =2OC ．∵AC =2CF ，∴BE = 2AC =3…… 5分OG E AB C DF。

数学学科辅导讲义【知识点1平行四边形的对角线互相平分】 【例1】•如图，在口ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，下列结论错误的是（）A • AB #CD B • AB =CDC • AC =BD D • OA =OCBC=5，对角线AC ，BD 相交于点O ，则UOA 的取值范围是 解答题：如图所示，在ABCD 中，对角线AC 与BD相交于点O,点M, N 在对角线AC 上，且AM=CN,求证【例1】•如图，^^ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，若^AOD 的面积是5，则口ABCD 的面积是（）A •10 B. 15 C. 20 D. 25练1：如图，在口 ABCD 中，已知20口人=90 AC=10 cm ，BD = 6 cm ，则AD 的长为（A • 4 cmB. 5 cm C • 6 cm【例2】•如图，口ABCD 的对角线交于点O ，且AB = 5，AOCD 的周长为23，则口ABCD的两条对角线的和是（A • 18B. 28 C • 36 D. 46 练1. o ABCD 的对角线 AC BD 交于点O ，若两条对角线长的和为20 cm ，且BC 长为6 cm ，则4AOD 的周长为cm. 练 2. ^^ABCD 中，AB = 3 ：BM 〃DN.知识点2 平行四边形的面积.3*练 2 •如图，^^ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，若 DO = 1.5 cm ，AB = 5 cm ，BC=4 cm.练3.如图，o ABCD 的对角线交于点O ，＜AB = 5，AOCD 的周长为23，贝U^ABCD 的A -B. 28 C • D. 46【例2】•如图，=ABCD 面积为)A - 60 B C • 20 D. 16 cm 2 例1 •如图，o ABCD 中分的面积为A • 6 C. 12 D. 24B. 求D ABCD 的面积.D两条对角线的和是（）H 口练1 •（柳州中考）如图，^^ABCD 的面积为20，BC=5，则边AD 与BC 间的距离为 A D ，AC ，BD 为对角线，BC=6，BC 边上的高为4，则阴影部 的对角线AC 的长为10 cm ，NCAB = 30° ，AB 的长为6 cm ，则=ABCD 的随堂检测△AEF 与4DFC 是否全等？为什么？课后练习1.如图，已知BE 〃DF,NADF=NCBE, AF=CE.求证：四边形DEBF 是平行四边形.1.已知□ABCD 的周长为32, AB=4,则U BC= ( A. 4B. 12C. 24 )D. 28 2.如图，OABCD 的对角线交于点O,且AB = 5,AOCD 的周长为23,则 ABCD 的两条对角线的和是 （）3.4. 5. 6. A. 18 C. 36 D. 46 在□ABCD 中，AB = 6 cm, BC = 8 cm 如图 如图 如图 在□ABCD 中，NA=120°,则ND = 在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,若AC=14, BD = 8, AB = 10,则^OAB 的周长为 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE=AD,^ F 在AD 上，AF=AB.那么 Q2.如图，已知D是4ABC的边AB上一点，CE〃AB, DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段 AE的大小关系和位置关系，并证明你的结论.第12。

平行四边形的性质与判定【知识回顾】（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分.（3）判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【典题讲练】一、平行四边形的性质【例】1、如图，在ABCD中，5=，则ABCD的周长为cm．BC cm=，3AB cm2、如图，在ABCD中，120∠=︒．∠=︒，则CA3、如图，在四边形ABCD中，//AD BC，AC、BD相交于点0．若6AC=，则线段AO的长度等AB CD，//于．4、如图，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子一定成立的是()A．AC BD==D．OA OC⊥B．AO OD=C．AC BD【练】1、平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝．2、如图，在ABCD中，CE AB∠=．⊥，垂足为E，若120∠=︒，则BCEA3、如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，若8∆的周长等于．AB=，6∆的周长是16，则A O BBC=，AOD4、如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中不一定成立的是( ) A ．//AB CD B ．OA OC = C ．180ABC BCD ∠+∠=︒ D ．AB BC =5、如图，平行四边形ABCD 的周长为20cm ，AB AD ≠，AC 、BD 相交于点O ，EO BD ⊥交AD 于点E ，则ABE ∆的周长为 ．二、平行四边形的性质综合【例】1、如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠交DC 于点E ，6AD cm =，9AB cm =，求EC 的长．2、如图所示， 在ABCD 中，AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ，求证：BE DF =．3、如图，ABCD 和EBFD 的顶点A ，C ，E ，F 在同一条直线上，求证：AE CF =．（提示：连接BD ，用对角线的性质，也可以全等证明）【练】1、如图，点E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：BEF DGH ∆≅∆．2、如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AD ，BC 分别相交于点E ，F ．求证：OE OF =．3、如图，ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE CF =．求证：BE DF =．二、平行四边形的判定【例】1、如图，E ，F 是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE =，DF BE =，//DF BE ． 求证：（1）AFD CEB ∆≅∆；（2）四边形ABCD 是平行四边形．2、如图，在ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，求证：AF CE=．3、如图所示，AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．4、已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE CF=．求证：四边形BEDF是平行四边形．【练】1、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD，BC的中点．求证：（1）ABE CDF∆≅∆；（2）四边形BFDE是平行四边形．2、如图，ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．3、如图，在ABCD中，AE平分BAD∠交DC于点E，5AB cm=．AD cm=，8（1）求EC的长．（2）作BCD∠的平分线交AB于F，求证：四边形AECF为平行四边形．4、如图在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，AE BD⊥，CF BD⊥，垂足分别为E、F，求证：四边形AECF为平行四边形．。

1、平行四边形的定义2、平行四边形的对边相等重点：使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=BC例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE。

练习1、平行四边形的周长等于56cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为3.平行四边形的对角相等重点：使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D例1、已知中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。

求证：∠ADF=∠CBE。

练习1、在中，∠A、∠B的度数之比为5：4，则∠C等于（）A、 B、 C、 D、4、平行四边形的对角线互相平分重点：使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD例1. 如图，，过其对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，求四边形ABEF的周长。

练习1.如图，已知：中，AC、BD相交于O点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF。

例2、如图，如果的周长之差为8，而AB:AD=3:2，那么的周长为多少？练习2、如图，已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长长8cm，求这个四边形各边长.5、平行四边形的面积1）、如图（1），，也就是边长×高=ah2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

如图（2），例1. 中，∠A=150°，AB=8cm，BC=10cm，求：四边形ABCD的面积。

练习1.如图，已知的对角线相交于O，是等边三角形，AB=4cm，求这个四边形的面积。

6、平行四边形的判定定理（1）两组对边分别平行的四变形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

例1.如图在四边形ABCD中，BC∥AD，AE∥DC，AB=DC，求证：∠B=∠C。