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高考数学总复习基础知识第六章第二节一元二次不等式及其解法理1、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型、2、通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系、3、会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图、知识梳理一、一元二次不等式的概念1、我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式、2、使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集、二、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2＝有两相等实根x1＝x2＝－没有实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0 (a>0){x|x<x1或x>x2}(x1＜x2)Rax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1<x<x2}(x1＜x2)∅∅三、求解一元二次不等式的程序框图四、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集的确定受a的符号和b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，求得不等式的解集、若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2(x1<x2)，此时Δ＝b2－4ac>0，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求得解集、五、高次不等式与分式不等式的解法1、高次不等式的解法：先将最高次项的系数化为正数，然后分解因式，将相应方程的所有根画在数轴上，采取“数轴标根”法(或称穿针引线法)得出不等式的解集、数轴标根法的操作过程：(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式；(2)各因式中x的系数全部变为1，约去偶次因式；(3)把各个根从小到大依次排好标出，从数轴最左端向右端依次取根判断，并“引线”；(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内、2、分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，通过“穿针引线”法得出不等式的解集、>0(<0)可转化为f(x)g(x)>0(<0)；≥0(≤0)可以转化为,基础自测1、不等式x2>x的解集是()A、B、C、D、∪解析：由x2>x得x(x－1)>0，所以解集为∪、故选D、答案：D2、(xx青海质检)不等式x2－4>3|x|的解集是()A、(－∞，－4)∪(4，＋∞)B、(－∞，－1)∪(4，＋∞)C、(－∞，－4)∪(1，＋∞)D、(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：因为|x|2－3|x|－4>0，所以(|x|－4)(|x|＋1)>0，所以|x|>4，得x>4或x<－4，故选A、答案：A3、不等式>1的解集是________________、解析：∵>1⇒－1>0⇒>0，∴x＋2<0⇒x<－2、答案：4、(xx江西卷改编)若全集U＝{x∈R|x2≤4}，则集合A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集∁UA为__________、解析：因为全集U ＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，所以∁UA＝{x∈R|0<x≤2}、答案：{x|0<x≤2}1、(xx安徽卷)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为()A、{x|x<－1或x>－lg2}B、{x|－1<x<－lg2}C、{x|x>－lg2}D、{x|x<－lg2}解析：由已知条件知不等式f(x)＞0的解集为x，所以－1＜10x＜，但10x＞0，所以有0＜10x＜，解得x＜lg ＝－lg2、答案：D2、(xx重庆卷)不等式≤0的解集为()A、B、C、∪D、∪解析：≤0⇒⇒－<x≤1、故选A、答案：A1、(xx韶关二模)已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x|x2－6x＋8＜0}，则∁UA∩B等于()A、(2,3)B、[2,3]C、(2,3]D、(－2,3]解析：A＝{x|x＞3或x＜－1}，∁UA＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以(∁UA)∩B＝(2,3]，故选C、答案：C2、已知函数f(x)＝若f(6－a2)>f(5a)，则实数a的取值范围是________、解析：∵f(x)为定义在R上的单调递增函数，∴6－a2>5a，即a2＋5a－6<0，解得－6<a<1、答案：(－6,1)。
高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。
【重点难点】1。
教学重点：会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2。
教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m，m＋1],都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．解析［由题可得f（x）<0对于x∈［m，m＋1］恒成立，即错误!解得－错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理：知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ＝0Δ数＋a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2＋bx＋c＝0（a>0)的根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－错误!ax2＋bx＋c〉0 （a>0)的解集｛x|x〈x1或x〉x2｝{x｜x≠x1}Rax2＋bx＋c<0 （a〉0）的解集{x|x1〈x<x2｝∅∅知识点2 用程序框图表示ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程1．必会结论；（1)（x－a）(x－b）〉0或(x－a)(x－b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
由常见问题的解决和总结，使学。
第六篇不等式、推理与证明专题6.2 一元二次不等式及其解法【考纲要求】1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.【命题趋势】对一元二次不等式的考查，主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等．另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也是热点.【核心素养】本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养.【素养清单•基础知识】三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅【素养清单•常用结论】(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法不等式解集a ＜ba ＝b a ＞b (x －a )· (x －b )＞0 {x |x ＜a 或x ＞b }{x |x ≠a }{x |x ＞a 或x ＜b }(x －a )·(x －b )＜0{x |a ＜x ＜b }∅{x |b ＜x ＜a }不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0 . (2)ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac ＜0【真题体验】1.【2018年高考全国I 卷理数】已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B ．2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －13－x ＞0，集合B ＝{x |}y ＝4－2x ，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．[2,3) D ．(1,2] 【答案】D【解析】 因为x －13－x ＞0，所以(x －1)(x －3)＜0，所以1＜x ＜3.又因为4－2x ≥0，所以4≥2x ，所以x ≤2，所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．故选D.3．不等式x (2－x )＞0的解集为__________． 【答案】 (0,2)【解析】 因为x (2－x )＞0，所以x (x －2)＜0，所以0＜x ＜2，故解集为(0,2)．4．(2019·海安中学期中)若不等式x 2＋px ＋2＜0的解集为(1,2)，则p ＝__________. 【答案】 －3【解析】 由题意可知1和2是方程x 2＋px ＋2＝0的两个根，所以1＋2＝－p ，即p ＝－3. 5．不等式x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 (－∞，－4]∪[4，＋∞)【解析】 由题意可知Δ＝a 2－16≥0，解得a ≥4或a ≤－4. 【考法解码•题型拓展】考法一 一元二次不等式的解法 归纳总结(1)解一元二次不等式的一般步骤①化为标准形式(二次项系数大于0)；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ<0，则对应的二次方程无实根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论①二次项中若含有参数，应讨论是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；②当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与零的关系；③确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【例1】 (1)(2019·山东实验中学诊断)不等式－x 2＋|x |＋2＜0的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1} 【答案】B【解析】原不等式化为|x |2－|x |－2>0，所以(|x |－2)(|x |＋1)>0.因为|x |＋1＞0，所以|x |－2＞0，即|x |＞2，解得x ＜－2或x ＞2.故选B.(2)(2019·长春外国语学校质检)若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bx x －1＞0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 【答案】B【解析】关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，所以a ＜0，ba ＝－2，所以b ＝－2a ，所以ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1.因为a ＜0，所以x 2－2xx －1＜0，解得x ＜0或1＜x ＜2.故选B.(3)(2019·泉州中学月考)若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12＜x ＜13，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的解集是__________． 【答案】{x |－2＜x ＜3}【解析】由题意知－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a ＜0，所以⎩⎨⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0，即2x 2－2x －12＜0，所以x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3. 考法二 一元二次不等式恒成立问题 解题技巧:不等式恒成立问题的求解方法(1)x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．(2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围． (3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 【例2】 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求x 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 (1)因为x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，所以－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，满足条件，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有2个交点，但在x ∈ [－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2＜－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4(3－a )>0，－a2＜－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a ＞4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2＞2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2＞2，7＋a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a ＜－4，a ≥－7，所以－7≤a <－6.综上，得－7≤a ≤2，即a 的取值范围是[－7,2]． (3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3，当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6， 故x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)． 考法三 一元二次不等式的实际应用 答题模板：求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读、理解、审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型． (3)解不等式，得出数学结论，并注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．【例3】 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润． 【答案】见解析【解析】 (1)根据题意得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10，故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元，即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元． 【易错警示】易错点 不能正确转换简单的分式不等式【典例】 (2019·襄阳五中月考)已知R 是实数集，集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －62x －1≥0，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1,6)B ．[－1,2]C.⎣⎡⎦⎤12，2D.⎝⎛⎦⎤12，2【错解】：由x 2－x －2≤0可得A ＝{x |－1≤x ≤2}．由x －62x －1≥0可得(2x －1)(x －6)≥0，所以B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤12或x ≥6，所以∁R B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫12＜x ＜6，所以A ∩(∁R B )＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12＜x ≤2.故选D.【错因分析】：本例的解答错在x －62x －1≥0的转化上，这里显然x ≠12，转化过程不等价，因而导致错误． 【正解答案】：C【正解】：由x 2－x －2≤0可得A ＝{x |－1≤x ≤2}．由x －62x －1≥0得⎩⎪⎨⎪⎧(x －6)(2x －1)≥0，2x －1≠0，所以B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜12或x ≥6，所以∁R B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ＜6，所以A ∩(∁R B )＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤2.故选C.归纳总结 ：解分式不等式的方法就是将其转换为整式不等式再求解．常见的转换方式为f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0；f (x )g (x )＞0(＜0)⇔f (x )g (x )＞0(＜0)，但转换时一定要注意判断条件是否有改变． 【跟踪训练】 不等式3x －12－x ≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫34≤x ≤2B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫34≤x ＜2C.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ≤34D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥34 【答案】B【解析】 3x －12－x ≥1⇒4x －32－x ≥0⇒34≤x ＜2.故选B.【递进题组】1．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{}x |2＜x ＜4，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为( )A ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12 B ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜14C ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫14＜x ＜12 D ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜14 【答案】D【解析】 由已知得a ＜0且2,4为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，得－b a ＝2＋4 ①，ca ＝2×4 ②.①除以②得－b c ＝34，由②得a c ＝18.因为a ＜0，所以c ＜0，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＜0⇔x 2＋b c x ＋a c ＞0⇔x 2－34x ＋18＞0⇔⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x －14＞0，所以x ＞12或x ＜14.故选D.2．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0] 【答案】D【解析】 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．故选D.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为__________．【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪[1，＋∞)【解析】 由题意知m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14＋12＝14，所以m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，所以m ≤－14或m ≥1.4．(2019·天津河东一模)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小． 【答案】见解析【解析】 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )． 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0,1－an ＋ax >0.所以f (x )－m <0，即f (x )<m .5．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (单位：m)与车速x (单位：km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2，问：甲、乙两车有无超速现象？ 【答案】见解析【解析】 由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12，即x 2＋10x －1 200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.若x ≥40，则s 甲≥20，但根据题意知刹车距离略超过12 m ．所以甲车车速不超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x －2 000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h ，超过规定限速． 【考卷送检】 一、选择题1．(2019·南昌月考)已知p ：|5x －2|＞3，q ：1x 2＋4x －5≥0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】 由|5x －2|>3，得x <－15或x >1，故p ：x ∈M ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．由1x 2＋4x －5≥0，得{x |x <－5或x >1}，故q ：x ∈N ＝(－∞，－5)∪(1，＋∞)．因为N ⊆M ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B. 2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1,2) 【答案】B【解析】 根据条件，由x ⊙(x －2)<0得(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1.故选B.3．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2} 【答案】C【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，－1≤x ≤1，所以函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为{x |0＜x ≤1}．故选C.4．已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】A【解析】 当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0化为8≥0恒成立；当k ＜0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0不能恒成立；当k ＞0时，要使不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0恒成立，需Δ＝36k 2－4(k 2＋8k )≤0，解得0＜k ≤1.故选A.5．若ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >4}，则对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( ) A ．f (5)<f (2)<f (－1) B ．f (5)<f (－1)<f (2) C ．f (－1)<f (2)<f (5) D ．f (2)<f (－1)<f (5) 【答案】B【解析】 因为ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，所以a ＜0，而且函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝4－22＝1，所以f (－1)＝f (3)．又因为函数f (x )在[1，＋∞)上是减函数，所以f (5)＜f (3)＜f (2)，即f (5)＜f (－1)＜f (2)．故选B.6．若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32【答案】C【解析】 因为x ∈(0,2]，所以a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x .要使a 2－a ≥1x ＋1x 在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ＝12.由a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32. 二、填空题7．某产品的总成本y (单位：万元)与产量x (单位：台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台． 【答案】 150【解析】 设产品的利润为f (x )万元，则f (x )＝25x －y ＝0.1x 2＋5x －3 000，若生产者不亏本，则0.1x 2＋5x －3 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)，即最低产量为150台．8．若对任意实数p ∈[－1,1]，不等式px 2＋(p －3)x －3>0成立，则实数x 的取值范围为________．【答案】 (－3，－1)【解析】 不等式可变形为(x 2＋x )p －3x －3＞0，令f (p )＝(x 2＋x )p －3x －3，p ∈[－1,1]．原不等式成立等价于f (p )＞0(p ∈[－1,1])恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x －3x －3＞0，x 2＋x －3x －3＞0，解得－3＜x ＜－1. 9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若方程f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．【答案】 (－4,0)【解析】 由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－a 4＜1，所以a ＞－4，故－4＜a ＜0.三、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．【答案】见解析【解析】 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)因为f (x )＞b 的解集为(－1,3)，所以方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，所以⎩⎨⎧ (－1)＋3＝a (6－a )3，(－1)×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 11．(2019·扬州中学模拟)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销量就要减少10件，问他将单价定为多少元时，才能使得每天的利润最大？单价定为多少元时，才能保证每天的利润在300元以上？【答案】见解析【解析】 设每件提高x 元(0≤x ≤10)，即每件获利润(2＋x )元，则每天可销售(100－10x )件，每天获总利润为y 元，由题意有y ＝(2＋x )·(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360.当x ＝4时，y 取得最大值360.所以当售价定为14元时，每天所赚利润最大，为360元．要使每天所赚的利润在300元以上，则有－10x 2＋80x ＋200＞300，即x 2－8x ＋10＜0，解得4－6＜x ＜4＋ 6.故每件定价在(14－6)元到(14＋6)元之间时，能确保每天的利润在300元以上．12．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．【答案】见解析【解析】 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0.所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－b a ，－3×2＝－a －ab a⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3＜0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512. 13．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为________．【答案】32 【解析】 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a －2)(a ＋1)对x ∈R 恒成立，因为x 2－x－1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54，所以(a －2)(a ＋1)≤－54，解得－12≤a ≤32，所以a max ＝32.。
