人教版高中数学选修1-1习题课件第二章 微专题2 离心率的求法

探索－嫦娥奔月
2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实 现第 二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度 约210公里，远月点高度约8600公里，且以月球 的球心为一个焦点的 椭圆形轨道。已知月 球半径约3475公里，
试求“嫦娥”二号卫 星运行的轨迹方程。
三）如何定义椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
M
F1
F2
(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离 和是个定值
（2）点M到两个定点的距离和要大于两个定点 之间的距离
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之和
的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细绳
拉紧，在板上慢慢移动看 看画出的 图形
1. 改变两图钉之间的距离， 使其与绳长相等，画出的图 形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距 离吗？
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
厦门海沧实验中学 韩耀辉
一、复习回顾
1.圆的定义是什么？圆的标准方程是 什么形式？
2.请同学们回答生活中各种椭圆的实 际图片
二、开始新课
一）列举生活中常见的椭圆形状
1.家具等等上面椭圆
2.车标上的椭圆 如福特、丰田
3.行星等天体的运行轨道
“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空

2c

c
2a a
利用上面的结论，说明离心率对椭圆圆扁 程度的影响。
例2：请比较适合下列条件的椭 圆的圆扁程度：

数学 选修1-1 2.1椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程
一.画椭圆
♦自然界处处存在着椭圆,我们如何画 出椭圆呢?
同桌俩人合作，完成图形
§(1)取一条细绳，在纸板上定两个点F1,F2； §(2)把细绳的两端固定在纸上的两点F1、F2 §(3)用铅笔尖（P）把细绳拉紧，在纸上慢慢移动看看画
出的图形
数学
M
F1
F2
1、F1、F2是两个不同的定点； 2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数； 3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）； 4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
三. 推导椭圆方程
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于
|F1F2|）的点的集合叫做椭圆。
2a
两定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（一般用2c表示）
椭圆定义的符号表述：
(2a>2c)
§问题1：定义中的常数为什么要大于 焦距 |F1F2 |？
若2a＝|F1F2|
若2a<|F1F2|
几点说明：
特 （4）a、b、c都有特定的意义，
a为椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c为半焦距.
点 恒有关系式 a2 b2 c2 成立。
▪ 问题2：回顾圆的轨迹方程是如何求的？
建系，设点，列式，化简
问题3：以四种建系方式，哪一种针对求椭圆
的标准方程比较好？
y
y
y
y
x
O
x
O
O
x
x
O
探究：如何建立椭圆的方程？

6 3.
解得 a＝2 3.
又 b2＝a2－c2＝4，所以椭圆 G 的方程为1x22＋y42＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，
y＝x＋m，
由1x22＋y42＝1，得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0.
①
设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB 中点为
三点，F 是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( ) A．x1，x2，x3 成等差数列 B．y1，y2，y3 成等差数列 C．x1，x3，x2 成等差数列 D．y1，y3，y2 成等差数列 解析：如图，过 A、B、C 分别作准线的 垂线，垂足分别为 A′，B′，C′， 由抛物线定义得， |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
5．如图，已知椭圆 C1 的中心为原点 O，长轴 左、右端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短 轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直 线 l⊥MN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于 两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D. (1)设 e＝12，求|BC|与|AD|的比值； (2)当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BO∥AN，并说明 理由．
[典例 2] 已知椭圆3xm22＋5yn22＝1 和双曲线2xm22－3yn22＝1 有公
共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
()
A．x＝±
15 2y
B．y＝±
15 2x
C．x＝± 43y
D．y＝± 43x
解析：由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上， ∴椭圆焦点(± 3m2－5n2，0)， 双曲线焦点(± 2m2＋3n2，0)， ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，即|m|＝2 2|n|. 又双曲线渐近线为 y＝± 62·|m||n|·x， 将|m|＝2 2|n|代入上式，得 y＝±43x. 答案：D

还是在短轴上吗？
提示：椭圆的焦点在椭圆的长轴上.
2.能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示：可以，由于 e 又c , c a2 b2 ,
a
故ec
a
a2 b2 a
1
b2 a2
.
3.椭圆16x2+9y2=144的长轴长是_______;短轴长是_______;离
心率是_______.
【解析】先将椭圆16x2+9y2=144化为标准形式
F（1__0_,__-_c__）_,F（2 _0__,_c__）_ |F1F2|=__2_c_
顶点
焦点在x轴上
A1(_-_a_,_0_)_,A2（——a,—0—）—; B（1—0—,—-—b）—,B2—(—0—,b—)—
焦点在y轴上
A（1_0_,_-_a_）_,A2—(—0,—a—)—; B1(—-—b—,0—)—,B2—(b—,—0—)—
【想一想】通过本题中求离心率的过程，你掌握了哪种分析问 题的思想方法？ 提示：由于题设条件图形特征强，a，b，c相对于e的关系复杂， 因此我们在分析问题时要借助于图形来寻找与e有关的量的关 系，即要注重数形结合的方法分析和解决问题.
【规范解答】利用椭圆几何性质求解最值问题
【典例】(12分)（2012·淄博高二检测）中心在原点,焦点在
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x 3a 上一点，△F2PF1是底
2
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
（A） 1
2
（B）2
3
（C）3
4
（D）4
5
2.已知B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦 点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为______. 3.A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角 形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．

答案： A
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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3．椭圆的短轴长等于 2，长轴端点与短轴端点间的距离等 于 5，则此椭圆的标准方程是______________．
解析： 设椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，焦距为 2c， 则 b＝1，a2＋b2＝( 5)2，即 a2＝4.
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第二章 圆锥曲线与方程
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由方程确定椭圆的性质
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36. (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离 心率； (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
解析： (1)由题意：因为 2c＝8，所以 c＝4；又因为ac＝0.8， 所以 a＝5，b2＝9，焦点在 x 轴上时椭圆标准方程：2x52 ＋y92＝1； 焦点在 y 轴上时椭圆标准方程：2y52 ＋x92＝1.
(2)由题意可知 2b＝2 3，∴b＝ 3，
焦点为(0，－1)，∴焦点在 y 轴上且 c＝1，
准确理解椭圆的离心率 椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁平 程度． 由ba＝ a2－a2 c2＝ 1－e2(0<e<1)可知，当 e 越趋近于 1 时， ba越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时，ba越趋近于 1，椭 圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，两焦点重合，图形变 为圆，方程为 x2＋y2＝a2.

于C.x 4 2＋y 2 2＝1
)
B.x 4 2＋ y2 3＝1 D.x 4 2＋y 3 2＝1
F(1,0)，离心率等
【解析】 右焦点为 F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴上；c＝1. 又离心率为ac＝12， 故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故椭圆的方程为x42＋y32＝1，故选 D.
(1)如图 2－1－1 所示，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上
点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离
心率；
(2)椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点为 F1(－c,0)、F2(c,0)，M 是椭圆上
一点，满足F→1M·F→2M＝0.求离心率 e 的取值范围．
(2)已知椭圆x92＋y m2＝1 的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，焦 点坐标，离心率及其余的顶点．
【解】
∵(0,5)是椭圆x92＋y m2＝1 的顶点，∴m＝25.
∴椭圆方程为x92＋2y5 2 ＝1，∴a2＝25，b2＝9.∴c2＝a2－b2＝16.
∴长轴长 2a＝10，短轴长 2b＝6，焦点为(0，－4)，(0,4)，
2.1椭圆的简单几何性质
2.1椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
学
2.1椭圆的简单几何性质
业分2.1椭圆的简单几何性质
层
测
第1课时 椭圆的简单几何性质
评第1课时椭圆的简单几何性质
1．掌握椭圆的简单几何性质．(重点) 2．掌握椭圆离心率的求法及 a，b，c 的几何意义．(难点) 3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易 混点)

破解离心率的解法圆锥曲线离心率是解析几何中的重要几何量，它直接与曲线的参数,,a b c 联系，又与圆锥曲线的第二定义及双曲线渐近线亲近和谐。

所以求离心率的值也成了各种考试中的一个热点。

从近几年高考试题来看，离心率的求解在各种题型中都有体现，但小题居多，其难易程度属于中低档。

本文就离心率的解法作些归类，供同学们参考。

一、中规中矩，套用公式——公式法例1、过双曲线222:1y M x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且AB BC =，则双曲线M 的离心率是A 105、103 D 、52 分析：这里的21,1a c b ==+2b ，利用公式c e a=即可求解。

解：易知()1,0A -，则直线l 的方程为1y x =+，与两条渐近线y bx =-和y bx =的交点分别为1,11b B b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，1,11b C b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，又AB BC =，即B 为AC 的中点，利用中点坐标公式可解得29,b =则10c =，故有c e a==10 A 评注：已知标准方程或a ，c 易求时，可套用离心率公式c e a =来解决。

二、追本溯源，回归定义——定义法例2、设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是分析：本题考查了圆锥曲线的统一定义，知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到相应准线的距离之比。

解：根据椭圆的第二定义，结合图形知111122PQ PF e PK F R === 评注：该题若想求出a ，c 的值，再求离心率，则相当麻烦。

而先画图，利用圆锥曲线的统一定义求解，则会收到事半功倍的效果。

三、目标方程，经常使用——方程法例3、椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，求椭圆的离心率 分析：由对称性，不妨设2F 为右焦点，可求得2F P ，则由已知可得122F F F P =解：设椭圆方程()222210x y a b a b +=>>，则易得22,b F P a =所以22b c a=， 化简得222,a c ac -=则2210e e +-=，解得椭圆的离心率21e =-，21e =--（舍）评注：建立关于a 、c （或b ）的一个齐次方程是解决这类问题的通用方法，此方程可称为目标方程；如果欲求的是范围，则必须构建有关的目标不等式或目标函数。

解：将 9x2－y2＝81 变形为x92－8y12 ＝1，即x322－9y22＝1. 所以 实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝18；顶点坐标为(3， 0)，(－3，0)；焦点坐标为(3 10，0)，(－3 10，0)，离 心率 e＝ 10；渐近线方程为 y＝±3x.
类型 2 根据双曲线的几何性质求解标准方程 [典例 2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为153； (2)渐近线方程为 y＝±12x，且经过点 A(2，－3)．
略判断Δ是否大于 0，导致错误．
防范措施：研究直线与椭圆、双曲线相交问题时，一 定要注意Δ＞0.若关于Δ＞0 的不等式很复杂，可以先求 出参数的值，再代入验证Δ是否大于零．
解：设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－1)，
代入 C 的方程，并整理，得 (2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0.①
设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由根与系数的关系， 得 x1＋x2＝－65m，x1x2＝130(m2＋2)， 又 y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m， 所以 y1－y2＝2(x1－x2)，
所以 |AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝ 5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[3265m2－4×130(m2＋2)]． 因为|AB|＝4，所以 356m2－6(m2＋2)＝16. 所以 3m2＝70，m＝± 2310. 由(*)式得Δ＝24m3－240，
y1－y2
所以直线 AB 的斜率为 k＝
＝1.
x1－x2
将 k＝1 代入方程①，经验证判别式Δ≥0.
所以这样的直线存在，方程为 y＝x＋1.
(2)假设弦 AB 以 Q 为中点，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 2x21－y21＝2，2x22－y22＝2.

求解含直角三角形的椭圆离心率教学目标： 1.深刻理解椭圆定义，牢抓椭圆上点到两焦点距离只和为长轴长这一定义式；2.充分运用椭圆中各个量之间的关系——ac e c b a =+=,2223.熟练运用直角三角形各边与各角之间的关系；4.灵活运用基本不等式、三角形正、余弦定理、函数单调性等手段求椭圆离心率 教学重难点：重 点—— 求一类含直角三角形的椭圆离心率难 点—— 当直角三角形勾股定理无法适用时，如何根据三角形余弦定理结合函数单调性求解椭圆离心率；突破方式—— 通过数形结合、师生讨论、“陷阱”构造等方法，逐步剖析问题本质，找到解决问题的线索，逐个突破，以点带面，达到教学目标。

教学过程：二．典例剖析：例1.在椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 内有一点P ，且1PF ⊥求椭圆离心率取值范围。

【说明斜边为直径的圆的知识点，获得当椭圆内点P 运动到y 轴上时得到椭圆的半焦距和短半轴长之间b c <的大小关系，进而得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⇒<⇒>+=22,021222222e e c c b a 的结论。

变式1.若椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 短轴端点为P 满足1PF 求椭圆离心率。

【说明】变式1试图让学生用运动的观点，承接例1落在短轴端点时，该椭圆半焦距、短半轴长的相等关系，2221222222=⇒=⇒=+=e e c c b a 的结论。

变式 2.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P ，若21PF PF ⊥，求椭圆离心率取值范围。

【说明】本题试图让学生用运动的观点，承接例1与变式1的解题思路获得动点P 在椭圆上时b c OP >=，进而得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⇒>⇒<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。

例1和它的两个变式构成一个体系——所要求离心率的椭圆内含直角三角形，且该直角三角形均是以两焦点所在线段为斜边，21PF F ∠为直角。

椭圆的离心率
一、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比,
（1）e范围：0 c a ，∴0<e<1
y
(2)e越接近1，椭圆越扁；
e越接近于0，椭圆越接近于圆.
o
x
(3)计算离心率e的常见情势
①
e c 2c a 2a
F1F2 PF1 PF2
P
c c2
a2 b2
b2
② e a a2 a2 1 a2
2
3
D. 3 4
B1
例2-5
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的左焦点为F，过原点的直线l与椭圆交于P、Q两点，
PF 3QF , PFQ 1200,则椭圆的离心率为
例2-6
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF
是正三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率为
.
e2
( c )2 a
a2 b2 a2
1
b2 a2
由题可知
b
a
2b.即
b a
1 2
,1
e2
1
b2 a2
0,
3 4
标准方程
练 习图 象
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
5
x
x
范围
小结 讨论6： 对 称 性
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
sin( )
sin 900
1
e sin sin sin 300 sin 600 1

努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、 关照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有 超世之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎? 心中有理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮 水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏 宇宙之机，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之 乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不 学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人 谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份 担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。 地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事， 不立志，难成！海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇 者不惧。”真正努力精进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学 问和学技术，都需要无数次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害 过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦 了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福 却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程， 最难的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而 开始追寻他内心世界的真正财富。人若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩 了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说 我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、 相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于 人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待 明天，期待阳光，人就会从卑微中站起来，带着封存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。 过去的习惯，决定今天的你，所以，过去的懒惰，决定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有 多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避或绕开它们，而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前， 不知道做什么，却又不想关掉它。做不了决定的时候，让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇 气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存 在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽， 犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。意志的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼 的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。即使遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东 西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志， 凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关 的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持 续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。

择决定命运，环境造就人生！
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，

离心率问题出题位置大多在选填的压轴题号
2019年1卷：理科第16题 2019年1卷：文科第10题 2019年2卷：理科第11题
2019年2卷：文科第12题 2018年2卷：理科第12题 2018年2卷：文科第11题
2018年3卷：理科第11题 2018年3卷：文科第10题 2017年2卷：理科第 9 题
2017年2卷：文科第 Байду номын сангаас题 2017年3卷：理科第10题 2017年3卷：文科第11题
从这些高考题中我们可以看出：
1.离心率问题出题频率较高；
2.离心率问题出题位置大多在选填的 压轴题号；
3.离心率问题难度较大。
知识回顾：
1.离心率的公式：
2.离心率的范围：
3.离心率的几何意义：
①.椭圆：用来描述椭圆扁平程度； ②.双曲线：用来描述双曲线“张口”大小。
椭圆 动画 演示
双曲 线动 画演 示
【典型例题】
方法一：解析法

第一篇圆锥曲线专题05离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有,,a b c 或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。

1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了,a c 的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。

例1：如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面1224AF AF a +==在12RT AF F ∆中满足2221212+=AF AF F F ，解得12AF AF则在双曲线中a c ==62e =例2：设椭圆的两个焦点分别是12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。

例3：已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形且顶角为120︒，则E 的离心率为_________.上图中A,B 两点不是焦点，2AB a =,且条件中没有b 和c 的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,a b 的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M 的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。

【解析】从M 点作x 轴的垂线，垂足为C ，因为2,60BM a MBC ︒=∠=所以,BC a MC ==，所以点M 的坐标为(2)a 代入到双曲线中得2222(2)(3)1a a b -=整理得e =例4：设12,F F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率。

Y PB
A
F1
F2
X
10、已知椭圆两焦点为F1、F2，A为椭圆 上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1=60° 求此椭圆的离心率；
11、设M点是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一
点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果
∠MF1F2=750， ∠MF1F2=150,求此椭
圆的离心率.
感悟：
1、在求离心率时，一般寻找a、c 的等量关系；
2、直接找a、c的不等关系，包括与b的 不等关系。
组卷网
2、除了用b2=a2-c2外还可用 的代换，通过方程思想求e
e
c a
3、在椭圆中涉及焦点三角形的问 题的时候，要充分利用椭圆的定义、 正弦定理、余弦定理和相似全等三 角形等知识
12、椭圆
x2 a2
y2 b2
1的两焦点为
F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足
向量MF1与向量MF2 的数量积等于0
的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？
13、设M点是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一
点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果
∠F1MF2=900，求此椭圆离心率的范围
Y M
F1 O F2
X
1、从等式中找不等式：先找a、c的等 量关系，再利用基本不等式（放缩）或 椭圆的x、y的范围找到a、c的不等式。
Y
F1
O F2 X
8、椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左
焦点F1 （-c，0），A（-a，0）和B（0，
b）
是椭圆的两个顶点，如果F1到直线AB 的距离是 b ，求椭圆的离心率；
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9、如图所示椭圆的中心在原点，焦点 F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点， P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴，学科网 PF2∥AB，求此椭圆的离心率；