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破解离心率的解法圆锥曲线离心率是解析几何中的重要几何量，它直接与曲线的参数,,a b c 联系，又与圆锥曲线的第二定义及双曲线渐近线亲近和谐。
所以求离心率的值也成了各种考试中的一个热点。
从近几年高考试题来看，离心率的求解在各种题型中都有体现，但小题居多，其难易程度属于中低档。
本文就离心率的解法作些归类，供同学们参考。
一、中规中矩，套用公式——公式法例1、过双曲线222:1y M x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且AB BC =，则双曲线M 的离心率是A 105、103 D 、52 分析：这里的21,1a c b ==+2b ，利用公式c e a=即可求解。
解：易知()1,0A -，则直线l 的方程为1y x =+，与两条渐近线y bx =-和y bx =的交点分别为1,11b B b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，1,11b C b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，又AB BC =，即B 为AC 的中点，利用中点坐标公式可解得29,b =则10c =，故有c e a==10 A 评注：已知标准方程或a ，c 易求时，可套用离心率公式c e a =来解决。
二、追本溯源，回归定义——定义法例2、设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是分析：本题考查了圆锥曲线的统一定义，知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到相应准线的距离之比。
解：根据椭圆的第二定义，结合图形知111122PQ PF e PK F R === 评注：该题若想求出a ，c 的值，再求离心率，则相当麻烦。
而先画图，利用圆锥曲线的统一定义求解，则会收到事半功倍的效果。
三、目标方程，经常使用——方程法例3、椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，求椭圆的离心率 分析：由对称性，不妨设2F 为右焦点，可求得2F P ，则由已知可得122F F F P =解：设椭圆方程()222210x y a b a b +=>>，则易得22,b F P a =所以22b c a=， 化简得222,a c ac -=则2210e e +-=，解得椭圆的离心率21e =-，21e =--（舍）评注：建立关于a 、c （或b ）的一个齐次方程是解决这类问题的通用方法，此方程可称为目标方程；如果欲求的是范围，则必须构建有关的目标不等式或目标函数。
求解含直角三角形的椭圆离心率教学目标： 1.深刻理解椭圆定义，牢抓椭圆上点到两焦点距离只和为长轴长这一定义式；2.充分运用椭圆中各个量之间的关系——ac e c b a =+=,2223.熟练运用直角三角形各边与各角之间的关系；4.灵活运用基本不等式、三角形正、余弦定理、函数单调性等手段求椭圆离心率 教学重难点：重 点—— 求一类含直角三角形的椭圆离心率难 点—— 当直角三角形勾股定理无法适用时，如何根据三角形余弦定理结合函数单调性求解椭圆离心率；突破方式—— 通过数形结合、师生讨论、“陷阱”构造等方法，逐步剖析问题本质，找到解决问题的线索，逐个突破，以点带面，达到教学目标。
教学过程：二．典例剖析：例1.在椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 内有一点P ，且1PF ⊥求椭圆离心率取值范围。
【说明斜边为直径的圆的知识点，获得当椭圆内点P 运动到y 轴上时得到椭圆的半焦距和短半轴长之间b c <的大小关系，进而得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⇒<⇒>+=22,021222222e e c c b a 的结论。
变式1.若椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 短轴端点为P 满足1PF 求椭圆离心率。
【说明】变式1试图让学生用运动的观点，承接例1落在短轴端点时，该椭圆半焦距、短半轴长的相等关系，2221222222=⇒=⇒=+=e e c c b a 的结论。
变式 2.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P ，若21PF PF ⊥，求椭圆离心率取值范围。
【说明】本题试图让学生用运动的观点，承接例1与变式1的解题思路获得动点P 在椭圆上时b c OP >=，进而得到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⇒>⇒<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。
例1和它的两个变式构成一个体系——所要求离心率的椭圆内含直角三角形，且该直角三角形均是以两焦点所在线段为斜边，21PF F ∠为直角。
