均值定理

（一） 知识内容1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b 的算术平均值，ab 叫做,a b 的几何平均值． 均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行 转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由 均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==；⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=，∵,AC BC CD AB ⊥⊥ ∴CD AD BD ab =⋅=， 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，有2a bOC CD ab +=>=．当且仅当a b =时，,O D 两点重合，有2a bOC CD ab +===． 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），有以下不等式：22221122a b a b a b ab a b ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭+≥≥≥≥ 其中222a b +称为平方平均数，2a b+称为算术平均数，ab 称为几何平均数，211a b+称为调和平均数．CO DBA均值不等式证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭≥ ∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104⎝⎭≥ ∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立． 2211ab a ba b=++=211a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．（三）典例分析：1.基础不等式【例1】 1．“0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【变式】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥ 1【例2】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【变式】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b +>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =，那么（ ）A ．P Q ≥B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【变式】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥【例3】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例4】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例5】 已知a b c >>2a c-的大小关系是________．【例6】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例7】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是( )A ．12a b+> B ．12b a+> C ．1lg 2a b b + D ．1lg 2b a a +2.不等式最值问题【例8】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例9】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例10】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_________．【例11】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【例12】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例13】 正数a 、b 满足9a b=，则1a b +的最小值是______．【例14】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【变式】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则_________．【变式】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例15】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 .【变式】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 .【例16】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【变式】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例17】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．【例18】 ⑴已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x =______，y =_____时，xy 有最大值为_______．⑵若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_______，此时____,_____.a b ==3.均值与函数最值【例19】 求函数2y =的最小值．【例20】 求函数y =.【例21】 求函数2211()1f x x x x x =++++的最小值．【例22】 已知3x ≥，求4y x x=+的最小值.【变式】 求函数2y =【点评】 当a 、b 为常数，且ab 为定值，a b ≠时，2a b+>般方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形a b +求出a b -之差的最内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用．【变式】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例23】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【变式】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．【点评】 第⑴题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：由21yx y ax x +=++得：2(1)10ax y x y +-+-=，2(42)140y a y a ∆=+-+-≥，且要满足有大于1-的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适．【例24】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．⑵求2y =的最小值．⑶求函数2y =的最值．【例25】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x =-+-的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【变式】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【变式】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例26】 ⑴求函数422331x x y x ++=+的最小值． ⑵解不等式：21log (6)2x x x --->．【例27】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12C D ．1【例28】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【变式】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为_________．【例29】 设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14【例30】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是( ) A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12【点评】 排序不等式知识：定义：设a a a ≤≤≤，b b b ≤≤≤为两组实数，c c c ，，为b b b ，，的任一称1211n n n a b a b a b -++为两个实数组的反序积之和（简称反序和）。

均值定理六个公式的推导一、简单求和公式$$\begin{array}{l}{\text { 已知全体样本的抽样均数 }\overline{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}} \\ {\text { 根据简单求和定理有： } E(X_i)=\overline{X}}\end{array}$$二、方差公式$$\begin{aligned}\text{已知样本方差} & \\S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2} \\ \text{根据方差公式有：} E\left\{\left[X_{i}-\overline{X}\right]^{2}\right\} &=S^2\end{aligned}$$三、均值方程公式$$\begin{aligned}\text{已知总和、方差以及样本量} & \\\sum_{i=1}^{n} X_{i}=n \overline{X}=\sum_{i=1}^{n} \overline{X} \quad \text{以及} \quad S^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2} \\\text{根据均值方程公式有：} & E\left[\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right]=n \overline{X} \quad \text{以及} \quadE\left\{\left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right]\right\}=n S^{2}\end{aligned}$$四、样本方差公式$$\begin{aligned}\text { 已知总体的均数 } \mu \text { 以及样本的偏差 } \left(X_{i}-\overline{X}\right) \\\text { 根据样本方差公式有： } E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left[\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-n\left(\overline{X}-\mu\right)^{2}\right]}{n-1}\end{aligned}$$五、均方差均值方程公式$$\begin{aligned}\text{已知正态总体的样本偏差} \left(X_{i}-\overline{X}\right) \quad \text{以及} \quad \text{正态总体的方差} \sigma^{2} & \\\text{根据均方差均值方程公式有：} & E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{n \sigma^{2}}{n-1}\end{aligned}$$六、总体均方差公式$$\begin{aligned}\text { 已知正态总体均数 } \mu \text { 以及样本偏差 } \left(X_{i}-\overline{X}\right) \\\text { 根据总体均方差公式有： } E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\end{aligned}$$。

均值定理的证明方法
嘿，你知道均值定理不？那可是超级厉害的数学工具呢！它说对于任意两个正实数a 和b，都有算术平均数大于等于几何平均数，也就是(a+b)/2≥√ab。

先来看证明方法。

咱就来个神奇的比较法。

把(a+b)/2 和√ab 做个差，[(a+b)/2]-√ab，通分一下变成(√a-√b)²/2。

哇塞，这很明显是非负的呀，所以不就证明了(a+b)/2≥√ab 嘛！这过程多简单直接呀！
那这个定理安全不？稳定不？当然啦！只要是两个正实数，它就妥妥地成立，绝对不会掉链子。

就像一座坚固的桥梁，你可以放心大胆地在上面走。

再说说应用场景和优势。

哎呀呀，在求最值的时候可好用啦！比如要算一个矩形面积一定时，什么时候周长最小。

这不就可以用均值定理嘛！它能快速帮你找到最优解，简直就是数学解题的神器。

举个实际案例吧。

假设有一个矩形，面积是16 平方米。

根据均值定理，当矩形是正方形的时候，周长最小。

因为面积为16，边长就是4 米，此时周长是16 米。

要是随便弄个长8 米宽2 米的矩形，周长就
是20 米呢。

这效果多明显呀！
均值定理就是这么牛，它是数学世界里的得力助手，能帮你解决好多问题。

§2.2 均值定理.2．会用均值定理求最值和证明不等式. .一．均值定理：ab b a ≥+2，其中,,+∈R b a 当且仅当b a =时取等号； 注：注意运用均值不等式求最值时的条件：（1）0,0>>b a ；（2）a 与b 的积ab 是一个定值（正数）；（3）当且仅当b a =时取等号.记忆时可记为一“正”、二“定”、三“等”.二、重要不等式（1）0)(2≥+b a ；（2）a b ab 222+≥， 其中a b R ，，∈当且仅当b a =时取等号.三． b a b a b a +≤±≤-||||1）如果8,0,0=+>>y x y x ，则xy 的最大值是 ；（2）如果9,0,0=>>xy y x ，则y x +的最小值是 .分析：两题显然都可以用均值定理求解.解：（1）16)28()2(22==+≤y x xy 当且仅当4==y x 时，xy 有最大值4.（2）6922==≥+xy y x当且仅当3==y x 时，y x +取最小值6. 【点评】（1）若+∈R y x ,，且k y x =+（常数），则2)2(k xy ≤； （2）若+∈R y x ,，且k xy =（常数），则k y x 2≥+.【例2】 当40<<x 时，求)28(x x -的最大值.分析：),4(2)28(x x x x -=-由于4)4(=-+x x 为定值，且依题意有04,0>->x x ，故可用均值定理，求最值.解：∵40<<x ,∴04,0>->x x8)24(2)4(2)28(2=-+≤-=-x x x x x x 当且仅当x x -=4, 即2=x 时，)28(x x -取最大值8.【例3】当1>x 时，求函数11-+=x x y 的最小值.分析： 111111+-+-=-+=x x x x y ，由于111)1(=-⨯-x x 为定值，且依题知01>-x ，故可用均值定理求最值.解：∵1>x ，∴01>-x3111)1(2111111=+-⨯-≥+-+-=-+=x x x x x x y 当且仅当111-=-x x ，即2=x 时，11-+=x x y 取最小值3. 【例4】求函数)0(,322>+=x x x y 的最小值，下列解法是否正确？为什么？ 解法一： 3322243212321232=⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x y ∴3min 43=y 解法二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=，当x x 322=，即2123=x 时， ∴633min 3242123221262==⋅=y 答：以上两种解法均有错误。

均值定理例题
均值定理是指对于任何正实数a、b，都有2a+b≥ab，当且仅当a=b时取等号。

以下是5个均值定理的例题及其答案：
1.例题：已知x>0，求函数y=x+x4的最小值。

答案：当x>0时，根据均值定理，有y=x+x4≥2x⋅x4=4，当且仅当x=x4即x=2时取等号。

2.例题：已知a>0，求函数y=a2+1+a2−1的最小值。

答案：令x=a2+1，则y=x+x1，根据均值定理，有y≥2x⋅x1
=2，当且仅当x=x1即x=1时取等号。

3.例题：已知正实数a、b、c满足a+b+c=1，求a1+b1+c1的最
小值。

答案：根据均值定理，有a1+b1+c1=(a1+b1+c1)(a+b+c)=3+ba +ab+bc+cb+ac+ca≥3+2ba⋅ab+2bc⋅cb+2ac⋅ca=3+2+2+2=9，当
且仅当ba=ab，bc=cb，ac=ca即a=b=c=31时取等号。

4.例题：已知正实数x、y满足x+y=4，求x1+y1的最小值。

答案：根据均值定理，有x1+y1=(x1+y1)(x+y)=5+xy+yx
≥5+2xy⋅yx=5+21=7，当且仅当xy=yx即x=y=2时取等号。

5.例题：已知正实数m、n满足m+n=3，求m+n的最大
值。

答案：根据均值定理，有(m+n)2=m+n+2mn=3+2mn
≤3+(m+n)2/4=9/4，当且仅当m=n=3/2时取等号。

所以m+n ≤3/2，即最大值为3/2。

均值定理的公式
均值定理的公式是a+b≥2√ab，均值定理，又称基本不等式，均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。

均值定理四个公式：a>0b>0时，a+b≥2√ab，ab≤[(a+b)/2]²。

a+b+c≥3*√(abc)，abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27(定值）等。

均值定理，又称基本不等式。

主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。

均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。

均值定理9大题型总结陈剑一、概述均值定理是微积分中的重要概念之一，它是导数与积分之间的桥梁。

均值定理的核心思想是通过求取函数在某个区间上的平均值，来推导函数在该区间内某一点的特殊性质。

本文将对均值定理的9大题型进行总结和探讨，以帮助读者更好地理解和应用均值定理。

二、均值定理的基本概念在探讨均值定理的九大题型之前，我们首先需要了解均值定理的基本概念。

均值定理主要包括三个基本定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

这三个定理都是基于函数在某个区间上的平均值来推导函数在该区间内某一点的性质。

1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理中最基本也是最常用的一个定理。

它表明，如果函数在某个区间上连续且可导，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该点的导数等于函数在整个区间上的平均斜率。

2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广。

它表明，如果两个函数在某个区间上连续且可导，并且其中一个函数在该区间内不为零，那么在这个区间内一定存在一个点，使得两个函数的导数之比等于两个函数在整个区间上的函数值之比。

3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是均值定理中的另一个重要定理。

它表明，如果函数在某个区间上连续且可导，并且在该区间的两个端点上取到相同的函数值，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该点的导数等于零。

三、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理是均值定理中最常用的一个定理，它可以应用于求解函数的极值、判断函数的单调性等问题。

1. 求解函数的极值通过拉格朗日中值定理，我们可以将函数的极值问题转化为导数的问题。

具体步骤如下： 1. 求出函数在给定区间上的导数； 2. 列出导数的表达式，并令导数等于零； 3. 解方程，求出导数为零的解； 4. 将解代入原函数，求出对应的函数值；5. 比较函数值，得出极值。

通过拉格朗日中值定理，我们可以判断函数在给定区间上的单调性。

具体步骤如下：1. 求出函数在给定区间上的导数； 2. 列出导数的表达式，并求出导数的符号变化区间； 3. 根据导数的符号变化，得出函数的单调性。