均值不等式讲义

均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。

也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。

什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。

这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。

均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。

设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。

因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。

均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。

一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。

均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。

几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。

均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。

详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。

由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。

由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。

均值不等式的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述均值不等式是数学中一个重要的不等式概念，它描述了一组数的平均值与它们的其他性质之间的关系。

均值不等式在数学分析、概率论、统计学以及许多其他领域都有广泛的应用。

本文将对均值不等式的定义、应用和证明进行详细的阐述，以便读者能更好地理解和应用这一重要的数学理论。

通过深入探讨均值不等式的概念和实际意义，我们可以更好地认识到其在数学和现实生活中的重要作用。

1.2 文章结构：本文将分为引言、正文和结论三个部分来进行阐述均值不等式的定义及相关内容。

在引言部分，我们将先介绍均值不等式的概念，然后简要说明文章的结构，最后阐明撰写本文的目的。

接下来，在正文部分，我们将详细讨论均值不等式的概念、应用和证明，以便读者更全面地了解均值不等式的内涵和意义。

最后，在结论部分，我们将总结均值不等式的重要性，强调其在实际中的意义，并展望其未来研究方向，以期为读者提供一个全面而深入的了解。

1.3 目的:本文的主要目的是介绍和阐述均值不等式的定义及重要性。

我们将深入探讨均值不等式的概念和应用，以及对其进行证明的方法。

通过本文的阐述，我们旨在帮助读者更好地理解均值不等式，并认识到其在数学和实际问题中的重要性。

同时，我们也将展望均值不等式在未来的研究方向，以期激发更多学者对其进行深入研究，并在实际问题中发挥更大的作用。

通过对均值不等式的全面探讨，我们希望读者能够对其有一个更全面的了解，从而在数学和实际问题中更好地运用和发展均值不等式的理论。

2.正文2.1 均值不等式的概念均值不等式是数学中一类重要的不等式，通常用于比较一组数的平均值。

对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，均值不等式可以用来比较它们的平均值，从而得出一些重要的数学结论。

常见的均值不等式包括算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）和柯西-施瓦茨不等式。

这些不等式在数学和实际问题中都有着广泛的应用和重要性。

均值不等式公式完全总结归纳均值不等式是数学中常用的一种不等式，它可以用来比较数列或者函数中数值的大小关系。

均值不等式有很多种形式，常用的有算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式。

下面将逐个进行详细介绍：1.算术均值不等式：算术均值不等式又称为平均不等式，它是最基本的均值不等式。

对于非负实数a和b，算术均值不等式的表达式为：(a+b)/2≥√(a*b)其中，等号成立当且仅当a=b。

2.几何均值不等式：几何均值不等式也是比较常见的一种不等式。

对于非负实数a和b，几何均值不等式的表达式为：√(a*b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。

3.调和均值不等式：调和均值不等式用来比较两个正实数的大小关系。

对于正实数a和b，调和均值不等式的表达式为：2/(1/a+1/b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。

4.均方根不等式：均方根不等式是一种用于比较多个非负实数大小关系的不等式。

对于非负实数a1, a2, ..., an，均方根不等式的表达式为：√((a1^2 + a2^2 +... + an^2)/n) ≥ (a1 + a2 + ... + an)/n 其中，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。

以上四种形式的均值不等式都是基于平均值的概念推导出来的。

它们在数学中有广泛的应用，例如在证明其他不等式时常常被用到。

需要注意的是，以上只是四种常见的均值不等式形式，实际上还存在很多种不同形式的均值不等式。

比如幂均值不等式、可重均值不等式等，它们在一些特定的条件下有着重要的应用。

总结起来，均值不等式是数学中非常重要的一类不等式，它包含了算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式等形式。

这些不等式在数学推导和证明过程中发挥着非常重要的作用。

一、等号成立条件条件：对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立． 证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．二、均值不等式定义：如果a b ，，是正数，那么2a b +a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2220a b +-=+=≥，即a b +≥2a b +三、均值不等式的几何解释 解释：对于任意正实数a b ，，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2DC AC BC =⋅，即CD ．这个圆的半径为2a b +，显然2a b +点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．四、均值不等式的理解 1.对于任意两个实数a b ，，2a b +叫做a b ，a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数． 2.对于=“”的理解应为a b =是2a b +a b ≠，则2a b +> 3.注意222a b ab +≥和2a b +>a b R ∈，，后者是+a b R ∈， 五、极值定理 1.若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s ； 【证明】x y ，都是正数，2x y +≥x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24s ； 2.若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是【证明】x y ，都是正数，2x y +≥x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥ 【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不 等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值．③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． abba D 'DC B A1．已知x+y=1x +4y+8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5√3B．9 C．4+√26 D．102．设实数x，y满足条{4x−y−10≤0x−2y+8≥0x≥0，y≥0，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A．256 B．83C．113D．43．若不等式(12)x2−2ax＜23x+a2恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．(34，+∞) C．(0，34) D．(−∞，34)4．已知两个正数a，b满足3a+2b=1，则3a +2b的最小值是（）A．23 B．24 C．25 D．265．已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式2x +1y＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜26．已知x，y∈R，满足4≥y≥4﹣x，x≤2，则x 2+y2+4x−2y+5xy−x+2y−2的最大值为（）A．2 B．136C．103D．1747．正实数ab满足1a +2b=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．408．已知抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则1m +1n的最小值为（）A．4 B．12 C．24 D．369．若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则1m +2n最小值（）A．2 B．6 C．12 D．3+2√210．设x＞0，y＞0，x+y+xy=2，则x+y的最小值是（）A．32B．1+√3 C．2√3﹣2 D．2﹣√311．已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（）A．√3 B．2 C．√5 D．312．已知a＞0，b＞0，1a +4b=2，则y=4a+b的最小值是（）A．8 B．6 C．2 D．913．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．已知正实数a，b满足ab=a+2，那么2a+b的最小值为．15．设x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）=1，则x+y的最小值为．16．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．（1）求k的值；（2）若a，b，c∈R，a 2+c22+b2=k，求b（a+c）的最大值．。

第六章 均值不等式与柯西不等式1.平均值不等式设n a a a ,,21均为正实数，记na a a A nn +++=21,（算术平均数）n n n a a a G ⋅⋅= 21,（几何平均数）nn a a a nH 11121+++=,（调和平均数）na a a Q nn 22221+++=,（平方平均数）则n n n n Q A G H ≤≤≤.不等式中等号成立的条件是n a a a a ==== 321.高中教材中主要有以下均值不等式：设n a a a ,,21为n 个非负实数，则n G A n ≥，特别地，当2=n 时有：)0,0(2>>≥+b a ab ba ，当且仅当b a =时，等号成立，此不等式也称为“基本不等式”，在高考中运用十分广泛，尤其在求最值时。

2.极值定理已知),2,1(n i x i =都是正数，则（1）如果乘积p x x x n = 21定值，那么当n x x x === 21时n n p n x x x =+++min 21)( ；（2）若s x x x n =+++ 21定值，那么当n x x x === 21时，nn n s x x x ⎪⎭⎫⎝⎛=max 21)( .3.柯西不等式设n a a a ,,,21 和n b b b ,,,21 是两组实数，则))(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ ,等号当且仅当i i b a λ=（λ为常数，n i ,,2,1 =）时成立.柯西不等式有以下常见的变形形式：（1）设),2,1(0,n i b R a i i =>∈,则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i in i i ni ii b a b a 12112,等号成立当且仅当ii a b λ=（n i ,,2,1 =）. （2）设i i b a ,同号且不为零（n i ,,2,1 =），则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211,等号成立当且仅当n b b b ==21.[例1]设0,0,0>>>c b a 且12432=++c b a .求证：6432≥++c b a证明：由均值不等式得：a a 212≥+，c c b b 4111,31143≥+++≥++，三式相加得：124326432=++≥+++c b a c b a 即6432≥++c b a ，所以原式得证。

均值不等式公式完全总结归纳均值不等式（Mean Inequality）是数学中的一种重要的不等式，它描述了一组数的算术平均值与几何平均值之间的关系。

这个不等式在数学中有广泛的应用，并且具有一般性质和特殊形式。

接下来我将对均值不等式的公式进行完全总结和归纳。

一、一般形式：设有n个实数a₁、a₂、..、aₙ，则它们的算术平均值（A.M., Arithmetic Mean）与几何平均值（G.M., Geometric Mean）满足以下不等式：G.M.≤A.M.二、特殊形式：1.对于正实数a₁、a₂、..、aₙ，它们的平均值满足以下不等式：G.M.≤H.M.≤A.M.其中H.M.表示它们的调和平均值（Harmonic Mean）。

这个不等式说明了几何平均值小于等于调和平均值，并且调和平均值小于等于算术平均值。

2.对于正实数a₁、a₂、..、aₙ，它们的平均值满足以下不等式：G.M.≤Q.M.≤A.M.其中Q.M.表示它们的平方平均值（Quadratic Mean），也称为均方根。

这个不等式说明了几何平均值小于等于平方平均值，平方平均值小于等于算术平均值。

三、加权均值不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和正实数w₁、w₂、..、wₙ（权重），则有以下加权均值不等式成立：A.M.≥G.M.≥H.M.≥Q.M.其中加权算术平均值（A.M.）大于等于加权几何平均值（G.M.），大于等于加权调和平均值（H.M.），大于等于加权平方平均值（Q.M.）。

四、一些常用的特殊不等式：1. Cauchy-Schwarz不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和b₁、b₂、..、bₙ(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)²≤(a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²)2. Jensen不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和函数f(x)，如果f(x)是凸函数（或凹函数），则有以下不等式成立：f(a₁) + f(a₂) + ... + f(aₙ) ≥ nf(A.M.)其中f(A.M.)是函数f(x)在x=A.M.处的值。

均值不等式1.均值不等式知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,,123a a a a nL 为n 个非负实数，则12n a a a n+++≥L 123a a a a n ====L ）.如何证明?知识点2: 设,,,123a a a a nL 为n 个非负实数,n Q , 12nn a a a A n+++=L L,n G =, 12111n nnH a a a =++L L ,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当123a a a a n ====L ) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=11()ni i a nαα=∑,特别的,我们有:lim ()n f G αα→=，11()()ni i a f nααα==∑为关于α的增函数.知识点3:重要结论 (1)222,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++(2) ()2,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++(5),,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++(6) 222;2a a a b b a b b-≥-+≥(a,b,c>0)(7) 2222221()()3a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0)(8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则2111n ni i i ia n a ==⋅≥∑∑(当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++知识点4:加权平均值不等式已知12+...1(0,1,2.,,,)n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.均值不等式的使用前要注意两个方面,一个是观察题目中不等式证明方向,另外一个是取等条件，根据这些信息,相应去选择均值不等式的技巧、模型 ，不断尝试，最终解决问题 。

高二数学竞赛班二试讲义 第三讲 均值不等式班级 姓名一、知识要点：1．用好不等式11111()()4,()()9(,,)a b a b c a b c R a b a b c+++≥++++≥∈，222a b c ab bc ca ++≥++，2()3()a b c ab bc ca ++≥++等不等式．2．不等式的对称性设12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅是一个n 元函数。

若将12,,,n x x x ⋅⋅⋅中任意的两个变元互相交换位置，得到的f 与原式是恒等的，则称12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅是完全对称的， 如xy yz zx ++，a b c b c c a a b+++++等。

设12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅是一个n 元函数。

若作置换122311,,,,n n n x x x x x x x x -→→⋅⋅⋅→→，得到的f 与原式是恒等的，则称12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅是轮换对称的，如333x y y z z x ++，a b c a b b c c a+++++等。

显然，完全对称的一定是轮换对称的。

二、例题精析例1．设正实数a 、b 、c 满足：abc =1，求证：对于整数2k≥，有32k k k a b c a b b c c a ++≥+++例2．已知,,0a b c >，1a b c ++=，求证：32a bcb cac ab a bc b ca c ab ---++≤+++例3．设正实数,a b 满足1a b +=，正实数125,,,x x x ⋅⋅⋅满足1251x x x ⋅⋅⋅=，求证：125()()()1ax b ax b ax b ++⋅⋅⋅+≥例4．设12,,,n x x x ⋅⋅⋅是正实数，求证：1112123112(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x x x x x x n x x x +++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≥+⋅⋅⋅三、精选习题1．求出最大的正实数λ，使得对于满足2221x y z ++=的任何实数x 、y 、z 成立不等式：52x y y z λ+≤。

第一天均值不等式一、均值不等式设n a a a ,,,21 是n 个正数，令n a a a nn H 111)(21+++= （调和平均值），n n a a a n G 21)(=（几何平均值），n a a a n A n +++= 21)(（算术平均值），na a a n Q n 22221)(+++= （平方平均值），则有()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤.这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是n a a a === 21.二、均值不等式在高考中的应用例1基本不等式的直接应用(1)(2018年天津卷)已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128a b +的最小值为_____.(2)(2019年天津卷)设0,0,25x y x y >>+=，则的最小值为_____.(3)(2017年天津卷)若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为______.例2变形后使用基本不等式(1)（2020年天津卷）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_____．(2)(2013年天津卷)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝_____时，12|a |＋|a |b取得最小值.(3)（2011年浙江卷）设y x ,为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是_____.例3消元或构造后使用基本不等式(1)（2020江苏卷）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．(2)若正数a，b满足a＋b＝2，则1a＋1＋4b＋1的最小值是() A．1 B.94C．9D．16(3)已知0<x<12，则函数y＝8x＋12x－1的最大值为()A.－4B.8C.4D.0例4含三个变量的不等式的最值(1)设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，求2y xz的最小值．(2)（2010年四川卷）设0a b c >>>，求221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值.(3)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为_____.(4)(2011年重庆卷)若实数,,a b c 满足222,2222a b a b a b c a b c ++++=++=，则c 的最大值是_____.二、从高考到竞赛、从竞赛到高考例1（2013年贵州数学竞赛）已知1a ，2a ，…，n a 是n 个正数，满足121n a a a ⋅⋅⋅=L ．求证：12(2)(2)(2)3nn a a a +++≥L ．对接高考题1（2017年全国卷Ⅱ第23题）已知2=+0>0>33b a b a ,,.证明：2≤+b a .例2设已知e d c b a ,,,,是实数，满足222228,16,a b c d e a b c d e +++++++==+⎧⎨⎩试确定e 的最大值.对接高考题2(2014年浙江卷文)已知实数,,a b c 满足0=++c b a ，1222=++c b a ，则a 的最大值为为_______.对接高考题3（2015年重庆卷文）设,0,5a b a b >+=，则+的最大值为______.三、均值不等式在竞赛中的应用a b c为正数，求证：例1设,,3+.例2设,,a b c 为正数，且1abc =，求证：32k k k a b c a b b c c a ++≥+++.例3证明对于任意正实数,,,c b a 均有.222444c b a abc ca b bc a ++≥++例4若正实数,,,c b a 满足1=++c b a ，求证1111333≤-++-++-+b a c a c b c b a .例5已知,0≠abc 求证：21444444444444444≤++++++++cb ac c b a b c b a a .例6（2002年美国数学奥林匹克试题）已知,,a b c 是正数，证明：2223332223a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ +++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例7（2003年保加利亚MO 试题）设,,0a b c >，且3a b c ++=，证明：22231112a b c b c a ++≥+++例8设,,,0a b c d >，且22224a b c d +++=，证明：111142222a b c d+++≥----.（待定系数法）例9（第31届IMO 预选题）设,,,0a b c d ≥，且1=+++da cd bc ab ，证明：313333≥+++++++++++c b a d b a d c a d c b d c b a .四、高效练习、一展身手练习1（2017年湖北省数学竞赛）已知正实数,a b 满足()4ab a b +=，则2a b +的最小值为______.练习2（2021年中科大强基计划试题）已知正实数,x y 满足811x y+=的最小值为______.练习3设],[,,120∈321x x x ，2321321-12-12-12=)])()([(x x x x x x ，试求321=x x x f 的最大值.（2019年贵州数学竞赛B 卷）练习4设,,ca b为正数，证明：2 +≥.练习5设,,,0a b c d >，4a b c d +++=，证明：2222111121111a b c d+++≥++++练习6设,,,c b a 是正数，且,1=++c b a 求证：31≤++a c c b b a .练习7已知,,0a b c >，22214a b c ++=，求证：5551114.827a b c ++≥练习8已知,,a b c 都是正实数，求348223a c b c a b c a b c a b c++-++++++的最小值.练习9设,,0x y z >，1xyz =，求证：3333.(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y z y z z x x y ++≥++++++。