2020年福建省高考模拟试题理科数学试题(一)

2020年高考模拟高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知A＝{x||x|≤1}，B＝{x|（x﹣）2≤0}，则A∩∁R B＝（）A．[﹣1，1]B．∅C．[﹣1，）∪（，1]D．（﹣1，1）2．设z＝﹣i+3，则+||＝（）A．i﹣3+B．i+3+C．﹣i+3+D．﹣i﹣3+3．中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会．来自109个国家的9300余名运动员同台竞技．经过激烈的角逐，奖牌榜的前3名如下：国家金牌银牌铜牌奖牌总数中国1336442239俄罗斯515357161巴西21313688某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了22名获奖代表．从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为（）A．B．C．D．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为（）A．﹣110B．﹣90C．90D．1105．已知函数f（x）＝e x+e﹣x，给出以下四个结论：（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）的最大值为2；（3）当f（x）取到最小值时对应的x＝0；（4）f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减．正确的结论是（）A．（1）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）D．（1）（4）6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为B1C1的中点，过M作平面α平行平面A1BD，若平面α把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（）A．B．C．D．7．设a＝e，b＝4e﹣2，c＝2e﹣1，d＝3e，则a，b，c，d的大小关系为（）A．c＞b＞d＞a B．c＞d＞a＞b C．c＞b＞a＞d D．c＞d＞b＞a 8．函数f（x）＝sin x•|cos x|的最小正周期与最大值之比为（）A．πB．2πC．4πD．8π9．已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意一点D 都有•＝|+|＝4，则||的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，2）C．[2，2]D．[2，2）10．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法﹣﹣二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数y＝f（x），若y1＝f（x1），y2＝f（x2），y3＝f（x3），x1＜x2＜x3，则在区间[x i，x3]上f（x）可以用二次函数f（x）＝y1+k1（x﹣x1）+k2（x﹣x1）（x﹣x2）来近似代替，其中，，．若令x1＝0，，x3＝π，请依据上述算法，估算的近似值是（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣＝1的右支与抛物线x2＝2py相交于A，B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1，d2，d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝x 12．已知方程xe x﹣a（e2x﹣1）＝0只有一个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤0或a≥B．a≤0或a≥C．a≤0D．a≥0或a≤﹣二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．（2x+3y）4的展开式中二项式系数最大的项为．14．高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A，B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a老师不能监考A 班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考方式有种．15．已知圆O：x2+y2＝1，圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1，若圆N上存在点Q，过点Q 作圆O的两条切线．切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则实数a的取值范围是．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3．点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点．动点Q在正方形D1DAA1（包含边界）内运动，且QB∥面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数f（x）＝sin x（cos x﹣sin x）+．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足a cos2B＝a cos B﹣b sin A，求f（A）的取值范围．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，O为BC的中点，A1O ⊥平面ABC．（1）证明四边形BB1C1C为矩形；（2）求直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值．19．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率．（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入x i（千元）与年收益增量y i（千元）（i＝1，2，3，……，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，（x i﹣）2＝289.8，（t i﹣）2＝1.6，（x i﹣）（y i﹣）＝1469，（t i﹣）（y i﹣）＝108.8，其中t i＝，＝t i．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．20．在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x﹣1）2+y2＝16，点B（﹣1，0），过B的直线l 与圆A交于点C，D，过B做直线BE平行AC交AD于点E．（1）求点E的轨迹t的方程；（2）过A的直线与t交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且＝2，求四边形OHNG面积的最大值．21．已知函数f（x）＝lnx+ax+1有两个零点x1，x2（1）求a的取值范围；（2）记f（x）的极值点为x0，求证：x1+x2＞2ef（x0）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1在变换T：的作用下变成曲线C2．（1）求曲线C2的普通方程；（2）若m＞1，求曲线C2与曲线C3：y＝m|x|﹣m的公共点的个数．[选修：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|3x+1|﹣m．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若当x≠时，不等式f（x）+＞0恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x||x|≤1}，B＝{x|（x﹣）2≤0}，则A∩∁R B＝（）A．[﹣1，1]B．∅C．[﹣1，）∪（，1]D．（﹣1，1）【分析】化简集合A，B，求出结果．解：已知A＝{x||x|≤1}＝[﹣1，1]，B＝{x|（x﹣）2≤0}＝{}，则A∩∁R B＝[﹣1.）∪（，1]，故选：C．2．设z＝﹣i+3，则+||＝（）A．i﹣3+B．i+3+C．﹣i+3+D．﹣i﹣3+【分析】由已知求得与|z|，则答案可求．解：由z＝﹣i+3，得，|z|＝，则+||＝3+i+，故选：B．3．中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会．来自109个国家的9300余名运动员同台竞技．经过激烈的角逐，奖牌榜的前3名如下：国家金牌银牌铜牌奖牌总数中国1336442239俄罗斯515357161巴西21313688某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了22名获奖代表．从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据分层抽样求出22名获奖代表中有中国选手19个，巴西选手3个．再根据组合知识和概率公式即可求出．解：中国和巴西获得金牌总数为154，按照分层抽样方法，22名获奖代表中有中国选手19个，巴西选手3个．故从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为＝故选：C．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为（）A．﹣110B．﹣90C．90D．110【分析】由题意可得（a1﹣12）2＝（a1﹣4）（a1﹣16），解方程后代入等差数列的求和公式可得．解：由题意可得（a1﹣12）2＝（a1﹣4）（a1﹣16），解得a1＝20，∴S10＝10a1+d＝200﹣90＝110故选：D．5．已知函数f（x）＝e x+e﹣x，给出以下四个结论：（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）的最大值为2；（3）当f（x）取到最小值时对应的x＝0；（4）f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减．正确的结论是（）A．（1）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）D．（1）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）是偶函数，再利用导数求出函数f （x）的单调区间以及最值即可．解：∵函数f（x）＝e x+e﹣x，x∈R，∴f（﹣x）＝e﹣x+e x＝f（x），∴函数f（x）是R上的偶函数，故（1）正确，∵f'（x）＝e x﹣e﹣x＝e x﹣＝，令f'（x）＝0得，e x＝1，x＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，且f（0）＝2，画出函数f（x）的大致图象，如图所示：，∴函数f（x）的最小值为2，故（2）错误，（3）正确，（4）错误，故选：C．6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为B1C1的中点，过M作平面α平行平面A1BD，若平面α把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】分别取C1D1、CC1中点E．F，由题意知平面EFM平行于平面A1BD，平面α过点M，平面α平行于平面A1BD，平面EFM与平面α是同一个平面，由此能求出体积较小的几何体的体积．解：分别取C1D1、CC1中点E．F，由题意知平面EFM平行于平面A1BD，又平面α过点M，平面α平行于平面A1BD，∴平面EFM与平面α是同一个平面，∴体积较小的几何体等于V＝×1＝．故选：C．7．设a＝e，b＝4e﹣2，c＝2e﹣1，d＝3e，则a，b，c，d的大小关系为（）A．c＞b＞d＞a B．c＞d＞a＞b C．c＞b＞a＞d D．c＞d＞b＞a 【分析】可以得出，然后根据e≈2.7，e2≈7.39，e3≈20.09即可得出a，b，c，d的大小关系．解：，，∵e≈2.7，e2≈7.39，e3≈20.09，∴4e2＞9e＞e3＞16，∴c2＞d2＞a2＞b2，∴c＞d＞a＞b．故选：B．8．函数f（x）＝sin x•|cos x|的最小正周期与最大值之比为（）A．πB．2πC．4πD．8π【分析】直接利用分类讨论思想的应用和函数的关系式的应用求出结果．解：f（x）＝sin x•|cos x|＝，所以函数的最小正周期为2π，函数的最大值为．故．故选：C．9．已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意一点D 都有•＝|+|＝4，则||的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，2）C．[2，2]D．[2，2）【分析】由已知可得AB＝4，CE＝AE＝BE＝2．设，分别讨论D与E、A点重合时的情况．解：因为|+|＝||＝4，所以AB＝4，又因为E为斜边AB中点，所以CE＝AE＝BE＝2，由已知可得AB＝4，CE＝AE＝BE＝2．设．当D与E重合时，＝2×2cosθ＝4，符合题意；当D与A重合时，∠BDC＝θ，CD＝4cosθ，代入＝4，得2×4cosθ•cosθ＝4，此时θ＝．故θ∈[0，]．此时由＝4，得2CD cosθ＝4，即CD＝，结合θ∈[0，]．可得．故选：C．10．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法﹣﹣二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数y＝f（x），若y1＝f（x1），y2＝f（x2），y3＝f（x3），x1＜x2＜x3，则在区间[x i，x3]上f（x）可以用二次函数f（x）＝y1+k1（x﹣x1）+k2（x﹣x1）（x﹣x2）来近似代替，其中，，．若令x1＝0，，x3＝π，请依据上述算法，估算的近似值是（）A．B．C．D．【分析】函数y＝f（x）＝sin x在x＝0，x＝，x＝π处的函数值分别为y1＝f（0）＝0，y2＝f（）＝1，y3＝f（π）＝0，利用k1＝，k＝，，可得f（x）＝x﹣x（x﹣）＝﹣x2+x，代入即可得出．解：函数y＝f（x）＝sin x在x＝0，x＝，x＝π处的函数值分别为y1＝f（0）＝0，y2＝f（）＝1，y3＝f（π）＝0，故k1＝＝，k＝＝﹣，＝﹣，故f（x）＝x﹣x（x﹣）＝﹣x2+x，即sin x≈﹣x2+x，∴≈﹣×+×＝，故选：D．11．已知双曲线﹣＝1的右支与抛物线x2＝2py相交于A，B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1，d2，d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝x【分析】设A，B的坐标，由题意可得由d1，d2，d3的值，再由d1，d2，d3构成等差数列可得A，B纵坐标的值，联立双曲线与抛物线的方程可得A，B的纵坐标之和，可得a，b的关系，进而求出双曲线的渐近线的方程．解：由题意抛物线的准线方程为：y＝﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的性质可得：d1＝y1+，d2＝p，d3＝y2，由d1，d2，d3构成等差数列可得2d2＝d1+d3，即2p＝y1++y2，所以可得y1+y2＝p联立双曲线与抛物线的方程可得：，整理可得a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，所以y1+y2＝，所以可得＝p，即a2＝2b2，所以渐近线的方程为y＝x＝±x，故选：A．12．已知方程xe x﹣a（e2x﹣1）＝0只有一个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤0或a≥B．a≤0或a≥C．a≤0D．a≥0或a≤﹣【分析】令t＝e x，t＞0，x＝lnt，则原方程转化成，令，显然f（1）＝0，问题转化成函数f（t）在（0，+∞）上只有一个零点1，求导后再利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得答案．解：令t＝e x，t＞0，x＝lnt，则原方程转化成tlnt﹣a（t2﹣1）＝0，即，令，显然f（1）＝0，问题转化成函数f（t）在（0，+∞）上只有一个零点1，，若a＝0，则f（t）＝lnt在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＜0，则f′（t）＞0，f（t）在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＞0，记h（t）＝﹣at2+t﹣a，则函数h（t）开口向下，对称轴，过（0，﹣a），△＝1﹣4a2，当△≤0 即1﹣4a2≤0，即时，f′（t）≤0，f（t）在（0，+∞）单调递减，f （1）＝0，此时符合题意；当△＞0 即1﹣4a2＞0，即时，设h（t）＝0有两个不等实根t1，t2，0＜t1＜t2，又h（1）＞0，对称轴，所以0＜t1＜1＜t2，则f（t）在（0，t1）单调递减，（t1，t2）单调递增，（t2，+∞）单调递增，由于f（1）＝0，所以f（t2）＞0，取，，记令，则，所以f（t0）＜0，结合零点存在性定理可知，函数f（t）在（t1，t2）存在一个零点，不符合题意；综上，符合题意的a的取值范围是a≤0 或，故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．（2x+3y）4的展开式中二项式系数最大的项为216x2y2．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得（2x+3y）4的展开式中二项式系数最大的项．解：在（2x+3y）4的展开式中，通项公式为T r+1＝•24﹣r•3r•x4﹣r•y r，故第r+1项的系数为•24﹣r•3r，故当r＝2时，二项式系数最大，故当r＝2时，展开式中二项式系数最大的项为•24﹣r•3r•x4﹣r•y r＝216x2y2，故答案为：216x2y2．14．高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A，B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a老师不能监考A 班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考方式有9种．【分析】根据题意，a老师不能监考A班，则a老师可以监考B、C、D班，据此分3种情况讨论，求出每种情况下的监考方式数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分3种情况讨论：①、当a老师监考B班时，b老师有3种情况，剩下的两位老师有1种情况，此时有3种不同的监考方式，②，当a老师监考C班时，同理此时有3种不同的监考方式，③、当a老师监考D班时，同理此时有3种不同的监考方式，则有3+3+3＝9种不同的监考方式；故答案为：915．已知圆O：x2+y2＝1，圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1，若圆N上存在点Q，过点Q 作圆O的两条切线．切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则实数a的取值范围是[，]．【分析】根据题意，由切线的性质分析可得Q轨迹是圆x2+y2＝4，进而可得圆x2+y2＝4与圆N有公共点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆O的方程为x2+y2＝1，其半径为1，圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1，其圆心为（a﹣2，a），半径为1，圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则∠AQO＝30°，在Rt△PAO中，OQ＝2，故点Q轨迹是圆x2+y2＝4，此时圆x2+y2＝4与圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1有公共点，则有1≤≤3，变形可得：0≤2a2﹣4a+3≤8，解可得：≤a≤，即a的取值范围为[，]；故答案为：[，]．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3．点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点．动点Q在正方形D1DAA1（包含边界）内运动，且QB∥面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为．【分析】取DC中点E1，取A1G＝1，延长BE1，延长AD，交于点E，连接EG，交DD1于点I．说明面BGE∩面D1DAA1＝GI，点Q的轨迹是线段GI．然后求解即可．解：由于QB∥面D1NT，所以点Q在过B且与面D1NT平行的平面上．取DC中点E1，取A1G＝1，则面BGE1∥面D1NT．延长BE1，延长AD，交于点E，连接EG，交DD1于点I．显然，面BGE∩面D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI．易求得GI＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数f（x）＝sin x（cos x﹣sin x）+．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足a cos2B＝a cos B﹣b sin A，求f（A）的取值范围．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）＝sin（2x+），进而根据正弦函数的单调性即可求解f（x）的单调递减区间．（2）由正弦定理，二倍角公式化简已知等式可得（cos B﹣sin B）（cos B+sin B﹣1）＝0，进而可求B＝，可求范围＜A＜，利用正弦函数的性质即可求解f（A）＝sin （2A+）的取值范围．解：（1）＝（sin2x+cos2x）＝sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）由正弦定理得sin A cos2B＝sin A cos B﹣sin B sin A，∵sin A≠0，∴cos2B＝cos2B﹣sin2B，即（cos B﹣sin B）（cos B+sin B）＝cos2B﹣sin2B，（cos B﹣sin B）（cos B+sin B﹣1）＝0，得：cos B﹣sin B＝0，或cos B+sin B＝1，解得B＝，或B＝，∵△ABC为锐角三角形，A+C＝，∴，解得＜A＜，∴＜2A+＜，﹣＜sin（2A+）＜，∴f（A）＝sin（2A+）的取值范围为（﹣，）．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，O为BC的中点，A1O ⊥平面ABC．（1）证明四边形BB1C1C为矩形；（2）求直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值．【分析】（1）利用线面垂直的性质可得BC⊥AA1，进而得到BC⊥BB1，由此容易得证；（2）建立空间直角坐标系，求出直线AA1的方向向量及平面A1B1C的法向量，利用向量公式得解．解：（1）证明：连接AO，因为O为BC的中点，可得BC⊥AO，∵A1O⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴A1O⊥BC，又∵AO∩A1O＝O，∴BC⊥平面AA1O，∴BC⊥AA1，∵BB1∥AA1，∴BC⊥BB1，又∵四边形BB1C1C为平行四边形，∴四边形BB1C1C为矩形．（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），在Rt△AOB中，，Rt△AA1O中，，A1（0，0，2），∴，，，设平面A1B1C的法向量是n＝（x，y，z），由得即，可取n＝（2，1，﹣1），设直线AA1与平面A1B1C所成角为θ，则，，∵，∴，即直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值为．19．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率．（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入x i（千元）与年收益增量y i（千元）（i＝1，2，3，……，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，（x i﹣）2＝289.8，（t i﹣）2＝1.6，（x i﹣）（y i﹣）＝1469，（t i﹣）（y i﹣）＝108.8，其中t i＝，＝t i．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【分析】（1）由已知得μ＝280，σ＝5，由正态分布的对称性可得P（ξ＜265），设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），由P（X ≥1）＝1﹣P（X＝0）求解；（2）求出与，可得y关于x的回归方程为，取x＝49求得y值得答案．解：（1）由已知，单只海产品质量ξ～N（280，25），则μ＝280，σ＝5，由正态分布的对称性可知，P（ξ＜265）＝[1﹣P（265＜ξ＜295）]＝[1﹣P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）]＝（1﹣0.9974）＝0.0013，设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），故P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣（1﹣0.0013）10＝1﹣0.9871＝0.0129，所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129．（2）由，，，，有，且，所以y关于x的回归方程为，当x＝49时，年销售量y的预报值千元．所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．20．在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x﹣1）2+y2＝16，点B（﹣1，0），过B的直线l 与圆A交于点C，D，过B做直线BE平行AC交AD于点E．（1）求点E的轨迹t的方程；（2）过A的直线与t交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且＝2，求四边形OHNG面积的最大值．【分析】（1）利用已知条件判断E的轨迹是椭圆的一部分，设出方程，转化求解即可（2）因为直线HG斜率不为0，设为x＝ty+1，设G（x1，y1），H（x2，y2），联立整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，利用韦达定理以及弦长公式求解三角形的面积，转化求解四边形的面积的最大值即可．解：（1）因为，又因为|AC|＝|AD|＝4，所以|EB|＝|ED|，所以|EB|+|EA|＝|ED|+|EA|＝|AD|＝4＞|AB|＝2，所以E的轨迹是焦点为A，B，长轴为4的椭圆的一部分，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则2a＝4，2c＝2，所以a2＝4，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆方程为，又因为点E不在x轴上，所以y≠0，所以点E的轨迹τ的方程为．（2）因为直线HG斜率不为0，设为x＝ty+1，设G（x1，y1），H（x2，y2），联立整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，所以△＝36t2+36（3t2+4）＝144（t2+1）＞0，，，所以，∵，∴S△GHN＝2S△OHG，设四边形OHNG的面积为S，则＝，令，再令，则在[1，+∞）单调递增，所以m＝1时，y min＝4，此时t＝0，取得最小值4，所以．21．已知函数f（x）＝lnx+ax+1有两个零点x1，x2（1）求a的取值范围；（2）记f（x）的极值点为x0，求证：x1+x2＞2ef（x0）．【分析】（1）问题等价于函数的图象与直线y＝a有两个交点，利用导数研究F（x）的性质即可得出a的取值范围；（2）先由题意得，再构造函数可知，进而把所证不等式转化为，再通过换元，构造新函数利用导数得证．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），令f（x）＝0，则，依题意，函数的图象与直线y＝a有两个交点，由得，当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，F（x）单减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F （x）单增，且F（1）＝﹣1，当x→0时，F（x）→+∞，当x→+∞时，F（x）→0，如下图所示，由图可知，实数a的取值范围为（﹣1，0）；（2）由（1）知，﹣1＜a＜0，且由得，∵函数f（x）＝lnx+ax+1有两个零点x1，x2，∴，∴，不妨设x1＞x2，则，令函数，则，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0，∴函数h（x）在（0，e）上单增，在（e，+∞）上单减，∴h（x）max＝h（e）＝0，∴h（x）≤0，即，∵，，∴，∴，即，∴要证x1+x2≥2ef（x0），即证，即证，即证，即证，令x1＞x2，再令，即证，令，则，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）＝0，即，即得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1在变换T：的作用下变成曲线C2．（1）求曲线C2的普通方程；（2）若m＞1，求曲线C2与曲线C3：y＝m|x|﹣m的公共点的个数．【分析】（1）因为曲线C1的参数方程为利用平方关系可得曲线C1的普通方程．将变换T：，即代入x2+y2＝1，可得曲线C2的普通方程．（2）因为m＞1，所以C3上的点A（0，﹣m）在椭圆E：外．当x＞0时，曲线E的方程化为y＝mx﹣m，代入，得（4m2+1）x2﹣8m2x+4（m2﹣1）＝0，由△＞0，可得方程有两个不相等的实根x1，x2，利用根与系数的关系即可判断出结论．又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，所以当x＜0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点．解：（1）因为曲线C1的参数方程为所以曲线C1的普通方程为x2+y2＝1，将变换T：即代入x2+y2＝1，得，所以曲线C2的普通方程为．（2）因为m＞1，所以C3上的点A（0，﹣m）在椭圆E：外．当x＞0时，曲线E的方程化为y＝mx﹣m，代入，得（4m2+1）x2﹣8m2x+4（m2﹣1）＝0，（*）因为△＝64m4﹣4（4m2+1）•4（m2﹣1）＝16（3m2+1）＞0，所以方程（*）有两个不相等的实根x1，x2，又，，所以x1＞0，x2＞0，所以当x＞0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，所以当x＜0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，综上，曲线C2与曲线C3：y＝m|x|﹣m的公共点的个数为4．[选修：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|3x+1|﹣m．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若当x≠时，不等式f（x）+＞0恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）m＝5时f（x）＞0等价于|x﹣2|+|3x+1|﹣5＞0，利用分段讨论法去掉绝对值，解不等式即可；（2）利用分离常数法得出，构造函数，求出[g（x）]min即可得出结论．解：（1）当m＝5时，f（x）＞0等价于|x﹣2|+|3x+1|﹣5＞0，等价于或或等价于或或等价于x＜﹣1或1＜x＜2或x≥2，等价于x＜﹣1或x＞1，所以不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}．（2）由条件，当时，不等式，即恒成立，令，则因为＝，且，所以[g（x）]min＝8，所以m＜8，即实数m的取值范围是（﹣∞，8）．。

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题1．若复数z满足（其中i为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．3C．D．42．已知集合，集合B＝{x|x﹣x2＜0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜0}3．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．若向量＝（4，2），＝（6，k），若∥，则k＝（）A．﹣12B．12C．﹣3D．35．在四边形ABCD中，＝（1，2），＝（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5D．106．已知某校有高一学生1000人，高二学生800人，高三学生600人，该校学生会希望调查有关本学期学生活动计划的意见，现从全体高中学生中抽取10%作为样本．若利用分层抽样，则应在高二学生中抽取（）A．100人B．80人C．600人D．240人7．已知，则角θ的值可能是（）A．﹣210°B．﹣180°C．210°D．﹣240°8．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3依次等差数列，若a1＝1，则S5＝（）A．16B．31C．32D．639．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A．甲、乙可以知道对方的成绩B．甲、乙可以知道自己的成绩C．乙可以知道四人的成绩D．甲可以知道四人的成绩10．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出的v值为（）A．9×210﹣2B．9×210+2C．9×211+2D．9×211﹣211．已知两圆x2+y2+4ax+4a2﹣4＝0和x2+y2﹣2by+b2﹣1＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A．3B．1C．D．12．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知数列{a n}满足：a n+1＝（n＝1，2，…），若a3＝3，则a1＝．14．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为．15．二项式的展开式中，所有有理项（系数为有理数，x的次数为整数的项）的系数之和为；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有种．（用数字作答）16．已知点G是△ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且，则角B的大小是．三、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的各项均为正数，观察程序框图，若k＝5，k＝10时，分别有和，求数列{a n}的通项；18．如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD＝60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM＝6．（Ⅰ）求证：平面ODM⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．19．某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A到E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分，具体转换区间等级A B C D E比例15%35%35%13%2%赋分区间[86，100][71，85][56，70][41，55][30，40]而等比例转换法是通过公式计算：．其中Y1，Y2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1，T2分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为Y1，Y2时，等级分分别为T1，T2．假设小南的化学考试成绩信息如表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级[69，84][71，85]设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得：，所以T＝76.6≈77（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分．已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得A等级的学生中任取2名．求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望．20．已知椭圆Γ：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点F（c，0）的直线l与椭圆交于B，C两点，当BC⊥x轴时，三角形ABC的面积为18．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线x＝c分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得PM⊥PN，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理21．已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若方程f（x）＝2x有两个不相等的实数根，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（其中i为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．3C．D．4【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．解：＝﹣3i＝﹣3i＝﹣2i，则|z|＝|﹣2|＝2．故选：A．2．已知集合，集合B＝{x|x﹣x2＜0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜0}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤1}，B＝{x|x＜0或x＞1}，∴A∩B＝{x|x＜0}．故选：D．3．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f（x）→+∞排除C，D，故选：B．4．若向量＝（4，2），＝（6，k），若∥，则k＝（）A．﹣12B．12C．﹣3D．3【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若∥，则有4×k＝2×6＝12，解可得k的值，即可得答案．解：根据题意，向量＝（4，2），＝（6，k），若∥，则有4×k＝2×6＝12，解可得k＝3；故选：D．5．在四边形ABCD中，＝（1，2），＝（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5D．10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．解：因为在四边形ABCD中，，，＝0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：＝＝5．故选：C．6．已知某校有高一学生1000人，高二学生800人，高三学生600人，该校学生会希望调查有关本学期学生活动计划的意见，现从全体高中学生中抽取10%作为样本．若利用分层抽样，则应在高二学生中抽取（）A．100人B．80人C．600人D．240人【分析】由题意利用分层抽样，求得结果．解：由题意，应在高二学生中抽取的人数为800×10%＝80，故选：B．7．已知，则角θ的值可能是（）A．﹣210°B．﹣180°C．210°D．﹣240°【分析】先结合同角基本关系进行化简，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．解：∵，∴，2sinθ（1+）＝0，∵1+≠0，∴sinθ＝0，∴θ＝kπ，k∈Z，故选：B．8．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3依次等差数列，若a1＝1，则S5＝（）A．16B．31C．32D．63【分析】运用等差数列中项性质，结合等比数列通项公式和求和公式，计算即可得到所求值．解：4a1，2a2，a3依次等差数列，可得4a2＝4a1+a3，显然公比q不为1，则4a1q＝4a1+a1q2，即为q2﹣4q+4＝0，解得q＝2，则S5＝＝＝31．故选：B．9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A．甲、乙可以知道对方的成绩B．甲、乙可以知道自己的成绩C．乙可以知道四人的成绩D．甲可以知道四人的成绩【分析】根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丁知道乙、丙的成绩后仍无法得知自己的成绩，故乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；然后进行推理即可．解：由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩；由于丁和甲也是一个优秀，一个良好，所以甲知道丁的成绩后，能够知道自己的成绩，但是甲不知道乙和丙的成绩．综上所述，甲，乙可以知道自己的成绩．故选：B．10．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出的v值为（）A．9×210﹣2B．9×210+2C．9×211+2D．9×211﹣2【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，v的值，当k＝﹣1时，不满足条件k≥0，跳出循环，输出v的值．解：初始值v＝10，x＝2，程序运行过程如下表所示：k＝9，v＝10×2+9，k＝8，v＝10×22+9×2+8，…k＝0，v＝9×211+2，跳出循环，输出v的值为9×211+2．故选：C．11．已知两圆x2+y2+4ax+4a2﹣4＝0和x2+y2﹣2by+b2﹣1＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A．3B．1C．D．【分析】求出两圆的标准方程，结合两圆有三条公切线，得到两圆相外切，结合圆外切的等价条件，求出a，b的关系，结合基本不等式的性质进行求解即可．解：两圆的标准方程为（x+2a）2+y2＝4和x2+（y﹣b）2＝1，圆心为（﹣2a，0），和（0，b），半径分别为2，1，若两圆恰有三条公切线，则等价为两圆外切，则满足圆心距＝2+1＝3，即4a2+b2＝9，则a2+b2＝1，则＝（）（a2+b2）＝+++≥+2＝+＝1，故选：B．12．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin ∠DCE＝，即得直线CD与平面α所成角的正弦值．解：∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β∵BO⊥α，BO⊂β，∴β⊥α过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH＝BC＝∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，∴∠BCO＝45°，结合∠HCB＝30°得∠HCO＝75°因此，H到平面α的距离等于HC sin75°＝×＝过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角∵DH⊥β，α⊥β且DH⊄α，∴DH∥α由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE＝∴Rt△CDE中，sin∠DCE＝＝，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知数列{a n}满足：a n+1＝（n＝1，2，…），若a3＝3，则a1＝．【分析】由已知数列递推式结合a3＝3分类求得a1．解：由a n+1＝，①若a3≥a1，则a3＝3＝2a2，，又a2＜a1与a2＝a1+2相矛盾，∴a2≥a1，，得；②若a3＜a1，则a3＝a2+2，∴a2＝1，由a2＝1＝2a1，a1＝，与a3＜a1不符．∴．故答案为：．14．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为．【分析】由题意画出图形，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．解：如图，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2＝1，b2＝3，则c＝2，则以O为圆心，以2为半径的圆的方程为x2+y2＝4．联立，解得P（，）．∴S△OPF＝×2×＝．故答案为：．15．二项式的展开式中，所有有理项（系数为有理数，x的次数为整数的项）的系数之和为32；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有144种．（用数字作答）【分析】由题意根据二项展开式的通项公式，求出所有的有理项，从而求得所有的有理项的系数和；再用插空法求出把展开式中的项重新排列，有理项互不相邻的排法种数．解：二项式的展开式中，通项公式为T r+1＝•，令为整数，r＝0，1，2， (6)可得r＝0，2，4，6，所有有理项（系数为有理数，x的次数为整数的项）的系数之和为+++＝25＝32．展开式共有7项，其中有4个有理项，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻，即把3个无理项排列好，再把4个有理项插入，方法共有•＝144种，故答案为：32；144．16．已知点G是△ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且，则角B的大小是．【分析】点G是△ABC的重心，可得：，由题意，可得a＝5，b＝7，c＝8，根据余弦定理可得角B的大小．解：由题意：点G是△ABC的重心，可得：，∵，∴可得a＝5，b＝7，c＝8，由余弦定理可得：cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝．故答案为三、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的各项均为正数，观察程序框图，若k＝5，k＝10时，分别有和，求数列{a n}的通项；【分析】由框图可知S＝++…+，＝（﹣），从而S＝（﹣），由此能求出数列{a n}的通项．解：由框图可知：S＝++…+，∵{a n}是等差数列，设公差为d，∴＝（﹣），∴S＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），由题意可知，k＝5时，S＝，k＝10时，S＝，∴，解得，或（舍），∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1．18．如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD＝60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM＝6．（Ⅰ）求证：平面ODM⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出OD⊥AC，DO⊥OM，从而OD⊥面ABC，由此能证明平面ODM ⊥平面ABC．（Ⅱ）由OD⊥OC，OB⊥OC，OB⊥OD，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，∴AD＝DC，OD⊥AC，△ADC中，AD＝DC＝12，∠ADC＝120°，∴OD＝6，又M是BC中点，∴，∵OD2+OM2＝MD2，∴DO⊥OM，∵OM，AC⊂面ABC，OM∩AC＝O，∴OD⊥面ABC，又∵OD⊂平面ODM，∴平面ODM⊥平面ABC．…解：（Ⅱ）由题意，OD⊥OC，OB⊥OC，又由（Ⅰ）知OB⊥OD，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：故，设平面MAD的法向量，则，即，令，则x＝3，z＝9∴由条件知OB⊥平面ACD，故取平面ACD的法向量为所以，由图知二面角M﹣AD﹣C为锐二面角，故二面角M﹣AD﹣C的余弦值为．19．某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A到E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分，具体转换区间如表：等级A B C D E比例15%35%35%13%2%赋分区间[86，100][71，85][56，70][41，55][30，40]而等比例转换法是通过公式计算：．其中Y1，Y2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1，T2分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为Y1，Y2时，等级分分别为T1，T2．假设小南的化学考试成绩信息如表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级[69，84][71，85]设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得：，所以T＝76.6≈77（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分．已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得A等级的学生中任取2名．求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望．【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；（2）列出随机变量ξ的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．解：（1）设化学成绩获得A等级的学生原始成绩为x，等级成绩为y，由转换公式得：＝，即y＝＝，所以≥96，得x≥92.1，显然原始成绩满足x≥92.1的同学有3人，获得A等级的考生有15人，恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概为P＝＝；（2）由题意得：等级成绩不小于96分的人数为3人，获得A等级的考生有15人，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P （ξ＝3）＝＝，则分布列为：ξ0123P则E（ξ）＝+2×+3×＝1．20．已知椭圆Γ：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点F（c，0）的直线l与椭圆交于B，C两点，当BC⊥x轴时，三角形ABC的面积为18．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线x＝c分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得PM⊥PN，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．【分析】（1）由离心率及三角形ABC的面积和a，b，c之间的关系求出椭圆方程；（2）由（1）知A的坐标，设直线BC的方程，及B，C的坐标，进而写直线AB，AC的方程，与直线x＝c联立求出M，N的坐标，假设存在P点，是PM⊥PN，使数量积等于零，求出P点坐标．【解答】解（1）由已知条件得，解得；所以椭圆Γ的方程为；（2）设动直线BC的方程为y＝k（x﹣2），B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB、AC的方程分别为和，所以点M、N的坐标分别为，联立得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0，所以；于是，假设存在点P（t，0）满足PM⊥PN，则（t﹣2）2+y M y N＝0，所以t＝﹣1或5，所以当点P为（﹣1，0）或（5，0）时，有PM⊥PN．21．已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若方程f（x）＝2x有两个不相等的实数根，求证：．【分析】（I）对函数求导，对于y＝2x2﹣ax+1，△＝a2﹣8，对称轴为x＝，根据△分类讨论函数的单调性即可；（II）令g（x）＝f（x）﹣2x＝﹣，x＞0，方程f（x）＝2x有两个不相等的实数根，相当于函数g（x）由两个零点，先判断出a＞e，再设h（a）＝a（2﹣）﹣﹣alna（a＞e），证明即可．解：（I）f'（x）＝，x＞0，对于y＝2x2﹣ax+1，△＝a2﹣8，对称轴为x＝，当△≤0时，即a∈[﹣2]时，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；当△＞0时，即a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），方程有两个不同的根，，m＜n，由于y（0）＝1，当a＜﹣2，m，n＜0，函数在（0，+∞）递增；当a＞2，m，n＞0，函数f（x）在（0，m），（n，+∞）递增，（m，n）递减；综上，a≤﹣2时，f（x）在（0，+∞）递增；a＞时，f（x）在（0，），（，+∞）上递增；在（）递减；（II）令g（x）＝f（x）﹣2x＝﹣，x＞0，方程f（x）＝2x有两个不相等的实数根，相当于函数g（x）由两个零点，g'（x）＝，当a≤0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，则g（x）至多只有一个零点，不成立；当a＞0时，x∈（0，）时，g（x）递增；x∈（，+∞）递减，所以g（x），由﹣a+alna＞0，又a＞0，所以a＞e，因为是g（x）的极大值点，由1＞，g（1）＝﹣1＜0，由a＞e，e a＞a，，g（e﹣a）＝，对于y＝e x﹣x2，易知y在（e，+∞）递增，因为指数函数比幂函数增长的快，所以e a﹣a2＞0，g（e﹣a）＜0，所以函数g（x）在（）与（，1）各有一个零点，所以a＞e，要证明，即证明a＞e时，a（2﹣）﹣﹣alna＜2成立，设h（a）＝a（2﹣）﹣﹣alna（a＞e），h'（a）＝1+﹣lna﹣，由于h'（a）在（e，+∞）递减，所以h'（a）＜h'（e）＝0，所以h（a）在（e，+∞）递减；所以h（a）＜h（e）＝e﹣＜2，故原命题成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．【分析】（1）C1的极坐标方程转化为4ρcosθ+3ρsinθ＝24ρθ，由此能求出曲线曲线C1的直角坐标方程；由，能求出C2的普通方程．（2）将曲线C2经过伸缩变换后，得到曲线C3的方程为，曲线C3的参数方程设，求出N到直线的距离，由此能求出|MN|的最小值．解：（1）∵C1的极坐标方程是，∴4ρcosθ+3ρsinθ＝24，∴4x+3y＝24，∴C1的直角坐标方程为4x+3y＝24，∵曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．∴由，得x2+y2＝1，∴C2的普通方程为x2+y2＝1．（2）将曲线C2经过伸缩变换后，得到曲线C3的方程为，则曲线C3的参数方程为，设，则N到直线的距离为＝，故当sin（α+φ）＝1时，|MN|的最小值为．23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，求实数a的取值范围．【分析】（1）写出分段函数的解析式，求出即可；（2）f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，即当x∈[3，5]时不等式恒成立，参数分离a，构造g（x）求出最小值，即求出a的范围．解：（1）f（x）＝，由f（x）＜2，解得，即不等式f（x）＜2的解集是；（2）f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，即当x∈[3，5]时不等式恒成立，当x∈[3，5]时，f（x）＝2x﹣5，f（x）≥a|2x+1|，即2x﹣5≥a（2x+1），因为2x+1＞0，所以，令，x∈[3，5]，易知g（x）在[3，5]上单调递增，所以g（x）的最小值为，因此，即a的取值范围为．。

2020年福建省厦门市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <6}，B ={x|2<x <7}，则A ∩(∁R B)=( )A. (2,6)B. (2,7)C. (−3,2]D. (−3,2)2. 复数z 的共轭复数z −满足(2+i)z −=|3+4i|，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i3. 某学校有男运动员100名，女运动员有50名，用分层抽样的方法从这150名运动员中抽一个容量为12的样本，那么应该抽男运动员( )A. 4人B. 6人C. 8人D. 10人4. 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 8的值为( )A. 16B. 15C. 14D. 135. 函数f(x)=xe x +2，x ∈[0,6]的最小值为( )A. 0B. 2C. 1e +2D. 6e 6+26. 已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱长为底面边长的2倍，E 点为AD 的中点，则三棱锥D −BEC 1的体积为( )A. 83 B.4 C. 43 D. 87. 设a =3x 2−x +2，b =2x 2−x −1，则a 与b 的大小关系为( )A. a >bB. a =bC. a <bD. 与x 有关8. 已知函数f(x)=asinx −√3cosx 的一条对称轴为x =−π6，若f(x 1)·f(x 2)=−4，则|x 1+x 2|的最小值为( )A. π3B. π2C. 2π3D. 3π49. 已知AB 为圆C 的弦，C 为圆心，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −2 B. 2 C. √3D. −√310.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数y=f(x)在x=x1，x=x2，x=x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1)，y2=f(x2)，y3=f(x3)，则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：f(x)≈y1+k1(x−x1)+k2(x−x1)(x−x2)，其中k1=y2−y1x2−x1，k=y3−y2x3−x2，k2=k−k1x3−x1.若令x1=0，x2=π2，x3=π，请依据上述算法，估算sinπ5的值是()A. 1425B. 35C. 1625D. 172511.已知双曲线C：x216−y2b2=1(b>0)的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为()A. 4x±3y=0B. 3x±4y=0C. 16x±9y=0D. 9x±16y=012.若函数f(x)=ax3−5ax2−｜x｜有四个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (−254,0) B. (−1,−425) C. (−∞,−254) D. (−∞,−425)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(2x−1x)n展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为______ ．14.要将甲、乙、丙、丁四位老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，则共有分配方案的种数为______．15.已知圆C1：(x−1)2+(y−2)2=9，C2：(x+3)2+(y−1)2=1，则两圆的外公切线段长等于______ ．16.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则当点M满足条件________时，有MN//平面B1BDD1．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin2A=asinB．(1)求A；(2)求cos(B+π6)+sin(C+π3)的最大值．18.如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PD:DC:BC=1:1:√2.求直线PB与平面PDC所成角的大小．19.某产品的广告费用x万元与销售额y万元之间的对应数据如下：x24568y1030405070(1)画出上表数据的散点图(2)求出样本中心，(3)已知b̂=2.5，求y关于x的回归方程(â=y−−b̂x−)(4)已知x =10万元时，求销售收入y ．20. 已知定点A(−2,0)，B(2,0)，M 为动点，且满足直线MA 与直线MB 的斜率之积为−14．(Ⅰ)设动点M 的轨迹为曲线N ，求曲线N 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线与曲线N 交于两个不同的点C ，D ，直线CA ，DA 分别与直线x =−4交于点E ，F ，求S △ACDS△AEF的最大值．21. 已知函数f(x)=alnx −x 2+x 有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2).(1)若x 2−x 1=14，求实数a 的值； (2)若−325<a <−19，求f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2的取值范围．22.平面直角坐标系中，已知曲线C1：x2+y2=1。

2020届福建省普通高等学校招生全国统一考试高三高考模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★（解析版）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位）,则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由复数的除法运算可整理得到z ,由此得到对应的点的坐标,从而确定所处象限.【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i iiz i i i i ++++====+--+,z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭,位于第一象限.故选：A .2.已知全集U =R ,集合{|lg(1)}A x y x ==-,|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =（ ）A. (1,)+∞B. (0,1)C. (0,)+∞D. [1,)+∞【答案】D【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ,由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞,()0,B =+∞,[)1,U A ∴=+∞,()[)1,U A B ∴=+∞.故选：D .3.已知3sin 24θ=-,则1tan tan θθ+=（ ）A. 83-B. 43-C. 83 D. 43【答案】A【解析】由二倍角公式求得sin cos θθ,切化弦后,结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-,3sin cos 8θθ∴=-, 221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A .4.中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最先见于《周礼·春官·大师》,分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”,则含有打击乐器的概率为（ ） A. 314 B. 1114 C. 114 D. 27【答案】B【解析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数,根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B .5.已知不同直线l 、m 与不同平面α、β,且l α⊂,m β⊂,则下列说法中正确的是（ ）A. 若//αβ,则l//mB. 若αβ⊥,则l m ⊥C. 若l β⊥,则αβ⊥D. 若αβ⊥,则m α⊥ 【答案】C【解析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.。

福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞03．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣ B．﹣C．1 D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．3++B．6+2+2C．3+2D．2++7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．48．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4 B．12C．18D．3611．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=______．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则______．15．以下命题正确的是：______．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM 于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F 两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），可得z==2﹣xi．若z的虚部为2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z|=2故选：B．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣ B．﹣C．1 D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（α）=﹣，由α得范围求出的范围，进一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．【解答】解：法一、∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵2cos2α=sin（α﹣），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=，①∴1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣，（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，∴cosα﹣sinα=，②联立①②，解得cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．法二、由2cos2α=sin（α﹣），得2sin（）=sin（α﹣），则4sin（）cos（α）=sin（α﹣），∴cos（α）=﹣，∵α∈（，π），∴∈（），则sin（）=﹣，则cos2α=sin（）=2sin（）cos（α）=2×．故选：D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x ﹣2y 的最大值为2，确定约束条件中a 的值即可． 【解答】解：画出约束条件表示的可行域 由⇒A （2，0）是最优解，直线x +2y ﹣a=0，过点A （2，0），所以a=2，故选D6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．3++B ．6+2+2C ．3+2D ．2++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来．【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，如图所示；∴它的表面积为S=S 底+S 侧=××+（××2+×2×2+××）=1+（+2+）=3++．故选：A ．7．（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．3D ．4【考点】二项式系数的性质．【分析】把已知二项式变形，然后展开二项式定理，则展开式中x2的系数可求．【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4 =（1﹣2x+x2）（1﹣x2）4=（1﹣2x+x2）．∴（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是．故选：B．8．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为（1，2），∴k==．故选：A．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】求得x≥2时，x＜2时，可得函数f（x）的单调性和值域，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．通过图象观察，即可得到所求区间．【解答】解：f（x）=，可得x≥2时，f（x）=递减，且f（x）∈（0，1]；当x＜2时，f（x）=（x﹣1）3递增，且f（x）∈（﹣∞，1）．画出函数f（x）的图象，如图：令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．由图象可得，当0＜k＜1时，直线y=k和y=f（x）有两个交点，可得函数g（x）=f（x）﹣k的两个零点在（1，+∞）．故选：D．10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4 B．12C．18D．36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴OD===2．===4．∴V O﹣ABC故选A．11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】取PF2的中点A，利用=2，可得⊥，从而可得PF1⊥PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．【解答】解：取PF2的中点A，则=2∵（）•=0，∴2•=0∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴c=|PF2|，∴e===故选B12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，∵x＜0，∴会得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，而这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数，根据函数f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函数，发现不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0可以变成F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2），从而|x+2014|＜2，解这个不等式便可．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3即[x2f（x）]′＜x3＜0；令F（x）=x2f（x）；则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2）；即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＜0；∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（﹣x）=f（x），∴F（﹣x）=F（x），F（x）在（0，+∞）递增，∴由F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2）得，|x+2014|＜2，∴﹣2016＜x＜﹣2012．∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=9．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．∴q2=2或．则a2+a8==9．故答案为：9．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：=（）=﹣•，如图，根据向量数量积的几何意义得）﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，故答案为：10．15．以下命题正确的是：①③④．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断．②根据几何概型的概率公式进行判断．③根据排列组合的计数原理进行判断．④根据正态分布的概率关系进行判断．【解答】解：①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin （2x﹣+）=3sin2x，即可得到y=3sin2x的图象；故①正确，②解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣；故②错误；③可分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种正确，故③正确，④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．则正态曲线关于x=2对称，若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在[1，2]的概率P（1＜x＜2）=0.5﹣0．=4，则在（2，3）内取值的概率P（2＜x＜3）=P（1＜x＜2）=0.4．故④正确，故答案为：①③④16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理． 【分析】由（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，a=3，利用正弦定理可得（a +b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ，化简利用余弦定理可得A ，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出． 【解答】解：∵（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，a=3， ∴（a +b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ， ∴b 2+c 2﹣a 2=bc ， ∴cosA==， ∵A ∈（0，π），∴A=．∴b 2+c 2=9+bc ≥2bc ，化为bc ≤9，当且仅当b=c=3时取等号． ∴S △ABC ==．故最大值为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式； （ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1， 当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，② ①﹣②得： a n =a n ﹣a n ﹣1， 即：a n =3a n ﹣1（n ≥2）， 又∵a 1=1，a 2=3， ∴对n ∈N *都成立，故{a n }是等比数列， ∴． （ II ）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n =．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设各组的频率为f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（I）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，∴视力在5.0以上的频率为1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人．…（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，，，，．…X的分布列为X 02 31PX的数学期望．…19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，设AA1=2，求出和的坐标，通过计算得出AB1⊥A1D；（II）求出平面A1B1D的法向量，则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB、A1B1，∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C∴CC1⊥面ABC∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．∴=（1，2，﹣），，∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，∴∴AB1⊥A1D．（Ⅱ）=（1，0，﹣），设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，．∴，令z=1，得．∴cos＜＞===﹣．∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM 于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a=4，c=2，，所以E的轨迹方程是．…（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…，，所以DE===，…设直线l2的方程为，所以，所以，…设t=k2+1，所以t＞1，所以，因为t＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范围是．…21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；（Ⅱ）构造函数，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．∴f'（1）=1﹣a=2∴a=﹣1（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，构造函数的最小值小于零．…①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…由可得，因为，所以；…②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2；…③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，最小值为h（1+m），因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2此时，h（1+m）＜0不成立．综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F 两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圆半径．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆．…（2）解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，解得AD=4，…所以BD=，BF=BD=1，又△AFB∽△ADH，则，得DH=，…连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，BH=，故△BDF的外接圆半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]，故答案为[，]．。

绝密★启用前2020年福建省普通高等学校招生全国统一考试模拟卷数学(理)试题(解析版)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A【解析】【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，位于第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解,涉及到复数的除法运算,属于基础题.2.已知全集U =R ,集合{|lg(1)}A x y x ==-,|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =（ ）A. (1,)+∞B. (0,1)C. (0,)+∞D. [1,)+∞【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ,由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞,()0,B =+∞,[)1,U A ∴=+∞,()[)1,U A B ∴=+∞. 故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题,涉及到函数定义域的求解,属于基础题.3.已知3sin 24θ=-,则1tan tan θθ+=（ ） A. 83- B. 43- C. 83 D. 43【答案】A【解析】【分析】 由二倍角公式求得sin cos θθ,切化弦后,结合同角三角函数平方关系可求得结果.【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-,3sin cos 8θθ∴=-, 221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A .【点睛】本题考查三角函数值的求解问题,涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用,属于基础题.4.中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最先见于《周礼·春官·大师》,分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”,则含有打击乐器的概率为（ ） A. 314 B. 1114 C. 114 D. 27【答案】B。

2020年福建省高考理科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A= {*∈-N x x x ,0<72},则B={A y N yy ∈*∈,6|}的子集个数是（ ） A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个2. 某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是（ ）A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福3. 已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A. 64B. 32C. 16D. 44. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i i e eππ表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，则8S =（ ） A. -20B. -18C. -10D. -86. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.11127．直线 m,n 和平面βα, 则下列命题中，正确的是（ ）A ．m ∥n, m αβα⇒⊆⊆n ,∥βB ．m αβα⇒⊆⊥⊥n n m ,,∥β C.m ∥n,n ,β⊥m βαα⊥⇒⊆ D.m ∥n,m βαβα⊥⇒⊥⊥n , 8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9. 下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. 12B. 15C.D.10. 在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（ ）A.B.C.D.11. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ） A. 1D.312. 已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A. 5 B. 6C. 7D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。