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《平行四边形的性质》知识全解课标要求1．探索并证明平行四边形的性质，培养学生简单的推理能力和逻辑思维能力．2．在探索平行四边形的性质过程中，知道解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想．通过平行四边形性质的应用，体会用代数方法解几何问题的数学思想方法． 知识结构内容解析1．平行四边形的有关概念（1）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的表示：平行四边形用符号“□”表示，比如平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”：读作平行四边形ABCD ．（3）平行四边形定义的作用：①由定义知道平行四边形的对边分别平行．这是平行四边形的基本性质．②由定义知道只要两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．这是平行四边形的基本判定方法．2．平行四边形的性质（1）平行四边形的对边相等．用符号语言表示：若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝DC ，AD ＝BC ．（2）平行四边形的对角相等．用符号语言表示：若四边形ABCD 是平行四边形，则∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ．（3）平行四边形的对角线互相平分．用符号语言表示：若□ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于点O ，则AO ＝CO ，BO ＝DO ．（4）平行四边形是中心对称图形将□ABCD 绕对角线的交点O 旋转180°，能够与自身重合，所以□ABCD 是中心对称图形，点O 是对称中心． 平行四边形 平行四边形的定义 平行四边形的性质 平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线互相平分注意：（1）平行四边形的性质可归结为从三个方面看．即从边看：对边平行且相等；从角看：邻角互补，对角相等；从对角线看：对角线互相平分；（2）由平行四边形的性质可以得到以下两个重要的结论：①平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；②平行四边形被对角线分成的四个小三角形中，相邻两个三角形的周长之差等于相邻两边之差．重点难点重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质．教学重点的解决方法：直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量．实验操作．图形变换．逻辑推理等来解决重点．难点：平行四边形性质的说理．教学难点的解决方法：引导学生在研究图形性质时，学会从图形的基本元素（边．角．对角线）之间关系入手分析，用度量．拼凑．旋转．折叠等方法，找到其数量关系，更好地理解几何中做辅助线的合理性．必要性．同时，注重师生互动，提高学生的思维效率；针对学生的盲区，利用相应的练习巩固．教法导引通过学生们自己动手操作，自己推导，自己发现从而得到平行四边形的有关知识，充分发挥学生们的探究意识和合作交流习惯．先让学生看图片，体会到平行四边形在日常生活中的广泛应用，给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作平移和旋转得到其他性质．为了突出平行四边形性质的探索过程，要注重直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量．实验操作．图形变换．逻辑推理等来实现教学目标．将整个性质的探究分两步走，第一步先引导学生通过观察大胆“猜一猜”，再“画一画”，进一步感受图形特征，接着“量一量”，初步验证猜想．第二步激发学生“剪一剪”，引导他们以小组合作的方式进一步探究．将所画的平行四边形沿其中一条对角线剪开，学生将不难发现所得到的两三角形全等，而全等三角形的对应边相等．对应角相等，这样很自然地进一步验证了猜想，与此同时，通过引导，学生还将发现，连接一条对角线，平行四边形的问题便转化成了全等三角形的问题．这样，既让学生品尝了探究成功之乐，也为性质的推理论证扫清了障碍，轻松突破难点．采用多媒体辅助教学，利用信息技术工具，很方便地制作图形，并让图形动起来．同时，计算机的测量功能，也有利于学生在图形的运动变化过程中发现其中不变的位置关系和数量关系，更好地理解平行四边形的性质．学法建议有效的数学学习过程，不能单纯地依赖于模仿和记忆，要注意培养学生的学习能力和创新能力．通过创设情境，激发学生的兴趣，准备适当的教具（两个全等的三角形．平行四边形等）引导学生在研究图形性质时，学会从图形的基本元素（边．角．对角线）之间关系入手分析，用度量．拼凑．旋转．折叠等方法，找到其数量关系，更好地理解几何中做辅助线的合理性．必要性，为今后做辅助线解决几何问题提供方法依据．合理．有梯度地设计问题，让学生逐步进入探究轨道，培养其自主探究问题的能力．鼓励和提倡解决问题策略的多样化，引导学生与他人合作交流，取长补短，丰富数学活动经验，提高思维水平．。
教学内容：平行四边形的性质与识别重点难点平行四边形的性质。
平行四边形的识别方法。
学习内容：一. 平行四边形的性质：1. 平行四边形的性质：（1）将上面的平行四边形ABCD绕着其对角线的交点O转动，当旋转180°后，发现旋转后的平行四边形和原来的平行四边形完全重合，由此可知平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心。
由此可以得到：即平行四边形的对边相等，对角相等。
这样，我们就清楚了平行四边形的边和边、角和角之间关系。
其对边相等，邻边无关，对角相等，邻角互补。
例1. 如图2，在平行四边形ABCD中，已知∠A＝40°，求其它各角的度数。
图2解：由于平行四边形的对角相等，所以∠C＝∠A＝40°因为AD//BC例2. 在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，求其余三条边的长。
图3解：由于平行四边形对边相等，所以AB＝DC，AD＝BC由已知AB＝8AB＋BC＋CD＋DA＝24解得CD＝8故AD＝BC＝4（2）在刚才旋转时发现，平行四边形ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心，所以（在图1中）OA＝OC，OB＝OD即平行四边形的对角线互相平分例3. 如图4，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC和BD的和是多少？解：已知AO＋BO＋AB＝15又AB＝6因为平行四边形对角线互相平分，所以（3）两条平行线之间的距离：作两条互相平行的直线，在其中一条上取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度。
图5即过两条平行直线上其中一条直线上任一点作另一条直线的垂线段，这些垂线段的长度相等，如果将这些垂线段的长度称为平行线中一条直线到另外一直线的距离或称之为两条平行线间的距离，又可得到：平行线之间的距离处处相等。
例4. 如图7，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE＝CF，连结CE和AF，请说明四边形AFCE是平行四边形。
初二数学平行四边形的判定知识精讲人教义务几何【学习目标】1．掌握并会证明平行四边形的四个判定定理．2．能灵活运用平行四边形的五种判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】平行四边形的判定：1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．3．判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．4．判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【基础知识精讲】1．平行四边形的判定定理，是相应性质定理的逆定理，学习时将它们进行对照，有利于记忆．2．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．平行四边形的知识运用包括：（1）直接运用平行四边形的性质去解决某些问题，例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍、分等；（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题．【例题精讲】［例1］在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法：（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个剖析：本题是一道给出结论和部分条件，让学生探索附加条件的各种可能性的开放性题目，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查六种说法．说法（1）符合平行四边形的定义；说法（2）符合平行四边形的判定定理4；说法（3）由AB ∥CD和∠DAB＝∠DCB，可推断出AB＝CD或AD∥BC，也正确；说法（4）可举出反例；说法（5）能证出BO＝DO，符合平行四边形的判定定理3；说法（6）不符合平行四边形的判定定理．答案：B［例2］如图4－23，在ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．图4—23（1）连结_____．（2）猜想：_____＝_____．（3）证明：剖析：容易猜想连结BF，证明BF＝DE．如图4－24，可连结DF、DB，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而证明猜想的结论．又可猜想连结DF，证明DF＝BE，证明方法可同上面猜想结论的证明方法．图4—24解法一：（1）BF（2）BFDE（3）证明：连结DB、DF，设DB、AC交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，DO＝OB，∵AE＝FC，∴AO－AE＝OC－F C．∴EO＝FO．∴四边形EBFD为平行四边形．∴BF＝DE．解法二：（1）DF（2）DFBE（3）证明：（略）说明：（1）本例解法一中又可通过△BCF≌△DAE等证明BF＝DE．（2）本例是结论猜想型的题目，此类题型是中考中常见题型．［例3］如图4－25，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE＝FE．求证：BF＝A C．图4—25剖析：延长AD到N，使DN＝AD，构造出平行四边形ABN C．证明：延长AD到N，使DN＝AD，连结BN、，则四边形ABNC为平行四边形．∴BN＝AC，BN∥AC，∴∠1＝∠4．∵AE＝FE，∴∠1＝∠2．∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠3＝∠4．∴BN＝BF，∴BF＝A C．说明：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷．【同步达纲练习】1．填空题（1）一个四边形的边长依次是a、b、c、d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是_____．（2）用两个全等三角形按不同方法拼成四边形，在这些四边形中，平行四边形的个数是_____．（3）四边形ABCD中，已知AB∥CD，若再增加条件______，可知四边形ABCD为平行四边形．（4）如图4－26，在ABCD中，E、F分别是对角线BD上两点，且BE＝DF，要证明四边形AECF是平行四边形，最简捷的方法是根据_____来证明．图4—26（5）如图4－27，在ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点，且BE＝DF，要证明四边形AECF是平行四边形，可证明_____ _____．图4—27（6）在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD＝BC；③∠A＝∠C．以其中两个作为题设，另外一个作为结论，用“如果……，那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题______．2．选择题（1）下列命题是真命题的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．两条平行线间的垂线段就是这两条平行线的距离D．平行四边形的一条对角线平分一组对角（2）如图4－28，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BEDF，不一定是平行四边形的是（）图4—28A．DE⊥AC于E，BF⊥AC于F（图①）B．BE平分∠ABC，DF平分∠ADC（图②）C．E是AB的中点，F是CD的中点（图③）D．E是AB上一点，EF⊥AB（图④）（3）把两个全等的不等腰三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（4）如图4－29，在ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，GH、EF的交点P在BD上，图中面积相等的平行四边形有（）图4—29A．0对 B．1对 C．2对 D．3对3．如图4－30，在ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O分别交AB、CD于E、F，AO、CO的中点分别为G、H．求证：四边形G E H F是平行四边形．图4—304．如图4－31，已知O是ABCD对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD 于E、F两点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）填空：不增加辅助线的原图中，全等三角形共有_____对．图4—315．如图4－32，在△ABC中，E、G在BC边上，且BE＝GC，AB∥EF∥GH．求证：AB＝EF＋GH．图4—326．已知：平行四边形ABCD，试用两种方法，将平行四边形ABCD分成面积相等的四个部分．（要求用文字简述你所设计的两种方法，并正确画出图形）．【思路拓展题】想一想图4—33如图4－33，田村有一呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写作法）参考答案【同步达纲练习】1．（1）平行四边形（2）3 （3）AB＝CD（或AD∥BC，或∠A＝∠C等）（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）AECF（6）如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD＝B C．2．（1）B （2）D （3）C （4）D3．提示：先证△AOE≌△COF，得OE＝OF，再证OG＝OH．4．（1）提示：证△AOE≌△COF，得OE＝OF（2）25．提示：过E作ED∥AC交AB于D，先证△BED≌△GCH，得BD＝GH，再证AD＝EF．6．略．【思路拓展题】想一想如图所示。
平行四边形1.平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
右图中4、平行四边形的一条对角线与边垂直，且此对角线为另一边的一半，则此平行四边形两邻角的度数之比为（1∶5 ） 面积问题1、如图①，点P 是ABCD 内一点，阴影部分的面积为3，，则S ABCD =（ ）。
A 、 4 B 、 6 C 、 8 D 、 102.如图1，一个平行四边形被分成面积为4321,,S S S S ，的四个平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，41S S ⋅与32S S ⋅的大小关系为（= ）。
周长问题1.平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=___8____,BC=____12____.2.四边形ABCD 是平行四边形，∠BAC=90°,AB=3,AC=4, AD 的长是 5 。
3，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，那么平行四边形面积是4、如图5，平行四边形ABCD 的周长为16cm ，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AC 于O ，则△DCE 的周长为______ 角的问题：1.平行四边形ABCD 中，AE 是∠DAB 的平分交CD 于E , ∠DEA=20°,则∠C=__40 __,∠B_=140____.10、如图（4），在△ABC 中,AB=AC,DE ∥AC,DF ∥AB,则下列各式中，不成立的是（ ）A 、DF=CF,DE=BE ；B 、DF=AE,DE=AF ；C 、DF-DE=DB ；D 、DE+DF=AB ；11、如图（5），在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是平行四边形ABCD 两对边的中点，则图中平行四边形的个数是（ ）A 、4； B 、6； C 、7； D 、8；12、ABCD 中，∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D 的值可能是（ ）。
第15讲平行四边形的判定和性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习平行四边形的判定和性质。
平行四边形是在学习了平行线和三角形之后，是平行线和三角形知识的应用和深化，同时也是为了后面学习矩形、菱形、正方形、圆甚至高中的立体几何打基础的，起着承上启下的桥梁作用。
知识梳理讲解用时：20分钟平行四边形的定义和性质1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.表示方法：ABDC（按照字母的顺序）注意：ABCDA BOC D2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等，即AB=CD，AC=BD（2）平行四边形的对角相等，即∠A=∠D，∠B=∠C（3）平行四边形的对角线互相平分，即OA=OD，OB=OC3.平行四边形的两条对角线把平行四边形分成面积相等的4个小三角形.平行四边形的判定平行四边形的判定：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.三角形的中位线：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半课堂精讲精练【例题1】如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边CD于点E，∠A=130°，则∠BEC的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．50°【答案】B【解析】利用平行四边形的性质求出∠C，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C=∠A=130°，∴∠ABE=∠CEB，∵∠ABE=∠CBE，∴∠BEC=∠CBE，∴∠BEC=（180°﹣130°）=25°，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：蜀山区二模年份：2018【练习1.1】如图，?ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为．【答案】14【解析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14故答案为14．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：泰州年份：2018【例题2】如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，4），C（2，0），请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】（3，4），（﹣5，4），（1，﹣4）【解析】首先根据题意画出图形，分别以BC，AB，AC为对角线作平行四边形，即可求得答案．解：AC=2﹣（﹣2）=4，当平行四边形是BACD时，把B向右平移4个单位长度，则D的坐标是（3，4）；当平行四边形是ACBD时，把B向左平移4个单位长度就是D，则D的坐标是（﹣5，4）；当平行四边形是BADC时，AC的中点的坐标是原点O（0，0）．把B向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到AC中点O，则把A向右平移2个单位长度，向下平移8个单位长度即可得到D，D的坐标是（1，﹣4）．故答案是：（3，4），（﹣5，4），（1，﹣4）．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的顶点的确定，分成三种情况讨论，以及理解平移的性质是关键．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质，注意多种情况共存.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：巨野县期中年份：2017【练习2.1】用20cm长的铁丝围成一个平行四边形，使长边比短边长2cm，则它的长边长为，短边长为．【答案】6cm，4cm【解析】设平行四边形的两边分别为xcm，（x﹣2）cm，根据周长=20，列出方程即可解决问题．解：设平行四边形的两边分别为xcm，（x﹣2）cm，由题意2[x+（x﹣2）]=20，解得x=6，∴平行四边形的两边分别为6cm，4cm，故答案为6cm，4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．【答案】（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形【解析】（1）利用平行线的性质可得∠DFA=∠BEC，然后利用SAS判定△AFD ≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性质可得AD=BC，∠DAF=∠BCE，然后可判定AD∥BC，进而可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形．证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，在△ADF和△CBE中，∴△AFD≌△CEB（SAS）；（2）∵△AFD≌△CEB，∴AD=BC，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定和性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．教学建议：熟练掌握平行四边形的判定以及全等三角形的判定和性质并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：南长区一模年份：2018【练习3.1】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】四边形ABCD是平行四边形【解析】由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在Rt△AED和Rt△CFB中，∵，∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．教学建议：熟练掌握平行四边形的判定以及全等三角形的判定和性质并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：洪泽县模拟年份：2018【例题4】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求DE的长．【答案】（1）四边形ADEF是平行四边形；（2）2【解析】（1）由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，易证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF，可得DE=AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形；（2）过点E作EH⊥BD于点H，由∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，可求得BH 的长，继而求得BE、DE的长，则可求得答案．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE；∵BE=AF，∴AF=DE；∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：过点E作EH⊥BD于点H．∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DH=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=3，∴BE==2，∴DE=BE=2．讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质和判定.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：盐城模拟年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连结CF．试说明：四边形ADCF是平行四边形．【答案】四边形ADCF是平行四边形【解析】首先证明△AEF≌△DEB，可得AF=BD，再由条件可得BD=CD，进而可得AF=DC，再加上条件AF∥BC，可得四边形ADCF是平行四边形．解：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∵AD是BC边的中线，∴BD=CD，∴AF=DC又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握组对边平行且相等的四边形是平行四边形．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：朝阳区校级一模年份：2018【例题5】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AC与BD互相平分．【答案】（1）△ABE≌△CDF；（2）AC与BD互相平分【解析】（1）用ASA判定两三角形全等即可证明．（2）只要证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF．（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用特殊四边形的性质解决问题．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定和性质.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：射阳县模拟年份：2018【练习5.1】如图，平行四边形ABCD中，点E，F在BD上，且BF=DE．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）连接AF、CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请证明你的结论．【答案】（1）△ABE≌△CDF．（2）是【解析】（1）由在?ABCD中，BF=DE，由平行四边形的性质，利用SAS即可证得△AED≌△CFB，△ABE≌△CDF，又由SSS证得△ABD≌△CDB；（2）由△ABE≌△CDF，可得AE=CF，同理可证得△ABF≌△CDE，即可得AF=CE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BF=DE，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（SAS），（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABF=∠CDE，∵BF=DE，AB=CD，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是关键，常运用的判定方法是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：呼和浩特一模年份：2018【例题6】如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连结CD和EF．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）求四边形BDEF的周长．【答案】（1）四边形CDEF是平行四边形；（2）5+【解析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC=EF，进而求出四边形BDEF的周长．（1）证明：∵D、E分别是AB，AC中点，∴DE∥BC，DE=BC，∵CF=BC，∴DE=CF，∴四边形CDEF是平行四边形，（2）解：∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF==，∴四边形BDEF的周长是1+1+2+1+=5+．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定和性质以及三角形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：宁波期中年份：2018【练习6.1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC=70°，∠BAC=54°，求∠AFD的度数．【答案】83°【解析】由角平分线可求得∠BAG，由三角形内角和定理可求得∠BGA，利用三角形中位线可求得答案．解：∵∠BAC=54°，AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠BAC=27°．∴∠BGA=180°﹣∠ABC﹣∠BAG=83°，又∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AFD=∠BGA=83°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查三角形内角和定理及中位线定理，利用三角形内角和定理求得∠BGA的度数是解题的关键．教学建议：熟练掌握三角形的中位线定理以及三角形内角和定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：宁德二模年份：2018【例题7】如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．【答案】等腰三角形【解析】易得PM是△BCD的中位线，那么PM等于BC的一半，同理可得PN为AD的一半，根据AD=BC，那么可得PM=PN，那么△PMN是等腰三角形．解：△PMN是等腰三角形．理由如下：∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，∴PM=BC，同理：PN=AD，∵AD=BC，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查三角形中位线定理，用到的知识点为：三角形的中位线等于第三边的一半；有两边相等的三角形的是等腰三角形．教学建议：熟练掌握三角形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：肇源县期末年份：2017【练习7.1】如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG ⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．【答案】1【解析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．解：在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG=AC=6，GF=CF，则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．又∵BE=CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF=BG=1．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键．教学建议：熟练掌握三角形的中位线定理以及全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：临洮县期末年份：2017【练习7.2】如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF 交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．【答案】（1）EF∥BC；（2）12【解析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到AF=FD，根据三角形中位线定理证明；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．（1）证明：∵DC=AC，CF是∠ACB的平分线，∴AF=FD，又点E是AB的中点，∴EF∥BC；（2）解：∵AF=FD，点E是AB的中点，∴EF=BD，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF=S△ABD，∴S△AEF=S四边形BDFE=3，∴△ABD的面积=12．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．教学建议：熟练掌握并应用三角形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么?ABCD的周长是．【答案】16【解析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC=MA，因此△CDM的周长=AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．解：∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=MC．∴△CDM的周长=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．故答案为16．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：衡阳年份：2018【作业2】在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，求证：DE=BF．【答案】DE=BF【解析】首先连接BE，DF，由四边形ABCD是平行四边形，AE=CF，易得OB=OD，OE=OF，即可判定四边形BEDF是平行四边形，继而证得DE=BF．证明：如图，连接BE，DF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：潮阳区模拟年份：2018【作业3】如图，?ABCD中E，F分别是AD，BC中点，AF与BE交于点G，CE和DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．【答案】四边形EGFH是平行四边形【解析】可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∵AE=AD，FC=BC，∴AE∥FC，AE=FC．∴四边形AECF是平行四边形．∴GF∥EH．同理可证：ED∥BF且ED=BF．∴四边形BFDE是平行四边形．∴GE∥FH．∴四边形EGFH是平行四边形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：滨州一模年份：2018【作业4】如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于G，F是AD的中点．（1）求证：四边形ADCE是为平行四边形；（2）若EB是∠AEC的角平分线，请写出图中所有与AE相等的边．【答案】（1）四边形ADCE是为平行四边形；（2）AE=AF=DF=CD=BD【解析】（1）首先证明△AFE≌△DFB可得AE=BD，进而可证明AE=CD，再由AE∥BC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形；（2）图中所有与AE相等的边有：AF、DF、BD、DC．理由平行四边形的性质、等腰三角形的判定即可解决问题；（1）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵AE∥BC，∴∠AEF=∠DBF，在△AFE和△DFB中，，∴△AFE≌△DFB（AAS），∴AE=BD，∴AE=CD，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）图中所有与AE相等的边有：AF、DF、BD、DC．理由：∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE=DC，AD∥EC，∵BD=DC，∴AE=BD，∵BE平分∠AEC，∴∠AEF=∠CEF=∠AFE，∴AE=AF，∵△AFE≌△DFB，∴AF=DF，．∴AE=AF=DF=CD=BD讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：松北区期末年份：2018【作业5】△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．【答案】EF∥DG，且EF=DG【解析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中位线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：衢州期中年份：2018。
初二数学平行四边形的性质与判定平行四边形是初中数学中的重要概念之一，它具有一系列特点和性质。
本文将介绍平行四边形的性质以及判定方法。
一、平行四边形的性质1. 对边平行性：平行四边形的对边是两两平行的。
即AB ∥ DC, AD ∥ BC。
2. 对角线重合性：平行四边形的对角线互相重合于中点。
即AC = BD，并且AC的中点和BD的中点重合。
3. 对角线相等性：平行四边形的对角线相等。
即AC = BD。
4. 对边相等性：平行四边形的对边相等。
即AB = DC, AD = BC。
5. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。
即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°。
6. 对边角性：平行四边形的对边对角是两个对立角，互相补角。
即∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°。
二、平行四边形的判定方法根据平行四边形的性质，我们可以通过以下方法判定一个四边形是否为平行四边形。
1. 判定对边平行性：如果一个四边形的两对边分别平行，则该四边形为平行四边形。
2. 判定对边相等性：如果一个四边形的两对边分别相等，则该四边形为平行四边形。
3. 判定对角线重合性：如果一个四边形的对角线的中点重合，则该四边形为平行四边形。
4. 判定对角线相等性：如果一个四边形的对角线相等，则该四边形为平行四边形。
需要注意的是，以上判定方法是可以相互结合使用的，可以根据具体情况选择适当的判定条件。
三、平行四边形的应用平行四边形在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的性质经常被应用于设计平行放置的房间、墙壁等。
2. 绘图与平行线：学习平行四边形有助于我们更好地理解平行线的性质和画法。
3. 地理测量：在地理测量中，利用平行四边形的性质可以计算地图上的距离和方位角。
4. 四边形面积计算：平行四边形的面积可以通过底边长度和高的乘积来计算，这在实际应用中非常常见。
平行四边形（基础）【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．【要点梳理】【高清课堂平行四边形知识要点】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质【高清课堂平行四边形例11】1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．【答案与解析】证明：∵在Y ABCD中，CD∥AB，∠DFA＝∠FAB．又∵ AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴ AD＝DF．同理可得EC＝BC．∵在Y ABCD中，AD＝BC，∴ DF＝EC．【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．举一反三：【高清课堂平行四边形例12】【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE 与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.【答案】证明：猜想：BE ∥DF 且BE ＝DF.∵四边形ABCD 是平行四边形∴CB=AD ，CB ∥AD∴∠BCE ＝∠DAF在△BCE 和△DAF 中CB AD BCE DAFCE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DAF∴BE ＝DF ，∠BEC ＝∠DFA∴BE ∥DF即 BE ∥DF 且BE ＝DF.类型二、平行四边形的判定2、如图所示，E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 上的点，且四边形AECF 和DEBF 都是平行四边形，AF 和BE 相交于点G ，DF 和CE 相交于点H ．求证：四边形EGFH 为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH 为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG ∥FH ，FG ∥HE 可用来证明四边形EGFH 为平行四边形．【答案与解析】证明：∵ 四边形AECF 为平行四边形，∴ AF ∥CE ．∵ 四边形DEBF 为平行四边形，∴ BE ∥DF ．∴ 四边形EGFH 为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 举一反三：【变式】（2015•厦门校级一模）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ，若CE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，∴∠1=∠2，∵AB ∥CD ，∴∠1=∠F ，∵CE=CF ，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD ∥BC ，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．类型三、平行四边形与面积有关的计算3、如图所示，在Y ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．若∠EAF ＝60°，BE ＝2cm ，DF ＝3cm ，求AB ，BC 的长及YABCD 的面积．【思路点拨】在四边形AECF 中，由已知条件∠EAF ＝60°，可求出∠C ＝120°，进而求出∠B ＝60°．由于BE ＝2cm ，在Rt △ABE 中，可求出AB ．同理，在Rt △AFD 中求出AD ．要求Y ABCD 的面积，需求出AE 或AF 的长．【答案与解析】解：在四边形AECF 中，∵ ∠EAF ＝60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴ ∠C ＝360°－∠EAF －∠AEC －∠AFC ＝360°－60°－90°－90°＝120°． 在YABCD 中，∵ AB ∥CD ，∴ ∠B ＋∠C ＝180°．∠C ＋∠D ＝180°，∴ ∠B ＝∠D ＝60°．在Rt △ABE 中，∠B ＝60°，BE ＝2cm ，∴ AB ＝4cm ，CD ＝AB ＝4cm ．(平行四边形的对边相等)同理，在Rt △ADF 中，AD ＝6cm ，∴ BC ＝AD ＝6cm ， ∴ 22226333AF AD DF =-=-=(cm )．∴ ABCD S =Y CD ·AF ＝433⨯＝32cm )．【总结升华】本题除了应用平行四边形的性质及勾股定理外，还应用了“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这个直角三角形的性质．举一反三：【变式】如图，已知YABCD 中，M 是BC 的中点，且AM ＝9，BD ＝12，AD ＝10，求该平行四边形的面积.【答案】解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，又∵BD＝12222BE BD DE+=∴∴∠EBD＝90°，BE⊥BD，∴△EBD面积＝12BE BD=g54又∵2AE＝AD∴△ABD面积＝2543⨯＝36∴Y ABCD的面积＝72.类型四、三角形的中位线4、（2015秋•天水期末）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN=∠PNM．【思路点拨】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM=BC，PN=AD，然后求出PM=PN，再根据等边对等角证明即可．【答案与解析】证明：∵P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，∴PM、PN分别是△BCD和△ABD的中位线，∴PM=BC，PN=AD，∵AD=BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．【总结升华】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．。
人教版初二下册第十八章平行四边形性质与判定讲义1.平行四边形定义：有两组对边区分平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等； 定理2：平行四边形的对角相等； 定理3：平行四边形的对角线相互平分.两组对边区分平行 两组对边区分相等 两组对角区分相等〔邻角互补〕 角对角线相互平分 对角线 3.平行四边形的判定定理1：两组对边区分相等的四边形是平行四边形； 定理2：对角线相互平分的四边形是平行四边形； 定理3：两组对角区分相等的四边形是平行四边形. 定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 两组对边区分平行 两组对边区分相等 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形角 两组对角区分相等 对角线 对角线相互平分 4.三角形的中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 探求类型之一 平行四边形的判定例1：如图，在ABCD 中，F 是AD 的中点，延伸BC 到点E ，使CE ＝12BC ，衔接DE ，CF ．〔1〕求证：四边形CEDF 是平行四边形；四边形ABCD 是平行四边形边边〔2〕假定AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．相似性效果1、四边形ABCD，有以下四个条件：①A B∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有〔〕A.6种B.5种C.4种D.3种探求类型之二平行四边形的性质例 2 如图，在ABCD中，M、N区分是AD，BC的中点，∠AND=90°，衔接CM交DN于点O．〔1〕求证：△ABN≌△CDM；〔2〕过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，假定PE=1，∠1=∠2，求AN的长．探求类型之三平行四边形的性质和判定的综合例3、如图，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，EH∥FG 区分交BA和DC的延伸线于点G、H，衔接EG,FH．求证：〔1〕△BFG≌△DEH；〔2〕GE=HF．相似性效果.如图，ABCD中，∠ABC=60°，点E，F区分在CD和BC的延伸线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，那么AB的长是________.探求类型之四三角形的中位线例 4 、如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD，区分过C、D两点，作边BC，AD的垂线，设两条垂线的交点为P，求证：∠P AD=∠PBC.相似性效果如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，假定BC=10，那么PQ的长为〔〕A.32B.52C.3D.4探求类型之五应用平移，结构平行四边形.例 5 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ，AE 平分∠BAC ，交CD 于K ，交BC 于点E ，点F 是BE 上一点，且BF=CE . 求证：FK ∥AB .探求类型之六 有关平行四边形探求型效果 例6 如图，在ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 区分在CD 、AB 的延伸线上，且AE=AD ，CF=CB .〔1〕求证：四边形AFCE 是平行四边形；〔2〕假定去掉条件的〝∠DAB=60°〞,上述的结论还成立吗？假定成立，请写出证明进程；假定不成立，请说明理由. 相似性效果如图，△ABC 中，AB =AC ，延伸BC 至D ，使CD =BC ，点E 在AC 上，以CE 、CD 为邻边作CDFE ,过点C 作CG ∥AB 交EF 于点G .衔接BG 、DE .〔1〕∠ACB 与∠GCD 有怎样的数量关系？请说明理由. 〔2〕求证：△BCG ≌△DCE .探求类型之五 与中点有关的辅佐线作法例7、如图，AB=CD ，E 、F 区分为BC 、AD 的中点，射线BA 、EF 交于点G ，射线CD 、EF 交于点H ．求证：∠BGE=∠CHE ． 相似性效果如图，在△ABC 中，D 为BC 边中点，FD ⊥ED 于点D ，交AB 、AC 于点F 、E ．求证：BF+CE>EF ．课后提升： 一、填空.1、用硬纸片剪一个长为16cm ，宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分红两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形，其中周长最大的是________cm ，周长最小的是________cm ；2、如图，在矩形ABCD 中，AD=12,AB=5,P 是AD 边上恣意一点，PE ⊥BD 于点E ，PF ⊥AC 于CBAC BA12cmO 16cm EFP 第2题图MOD第1题图第3题图D第8题图FD ’DCB A DCB A 点F ，那么PE+PF=_____________；3、如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，假定△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为_________；4、如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，假定∠DAE ：∠BAE=3:1，那么∠EAC=_____；5、如图，以△ABC 的三边在BC 的同一侧，区分作三个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF. 〔1〕四边形ADEF 是_________〔2〕当△ABC 满足条件________________时，四边形ADEF 为矩形.〔3〕当△ABC 满足条件________________时，四边形ADEF 不存在；6、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长为33+，∠ABC=60o ，那么菱形ABCD 的面积为__________；7、一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另外两边之和为31+，那么这两边之积为_______；8、如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，那么堆叠局部△AFC 的面积为____________；二、选择题 9、四边形的四条边长区分是a 、b 、c 、d ，其中a 、c为对边，且满足a 2+b 2+c 2+d 2=2ab +2cd ，那么这个四边形一定是〔 〕A 、平行四边形B 、菱形C 、对角线相互垂直的四边形D 、对角线相等的四边形 10、如图，周长为68的矩形ABCD 被分红7个全等的矩形，那么矩形ABCD 的面积为〔 〕 A 、98 B 、196 C 、280 D 、284BAOEDCABO CBAFEDC第6题图第5题图第4题图D第16题图PDCBAOG F DCB A D E CBAE DCB A P P B CAN MDCB APNMQ11、如图，在矩形ABCD 中，BC=2，AE ⊥BD 于点E ，∠BAE=30o ，那么△ECD 的面积是〔 〕 A 、32 B 、3 C 、33 D 、2312、如图，四边形ABCD 中，∠BAD=90o ，AB=BC=32，AC=6，AD=3，那么CD 的长是〔 〕 A 、4 B 、24 C 、23 D 、33 16、如图，正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并在平行线AB 与CD 之间，假定PA=17，PB=2，PC=5，那么PD= 〔 〕 A 、52 B 、19 C 、23 D 、17 三、证明及解答题17、如图，在△ABC 中， ∠BAC=90o ，AD ⊥BC ，BE 、AF区分是∠ABC 、∠DAC 的平分线，BE 和AD 相交于点G ，求证：GF ∥AC.18、如图，等腰三角形ABC 中，延伸边AB 到点D ，延伸边CA 到点E ，连结DE ，恰有AD=BC=CE=DE ，求∠BAC 的度数.19、如图□ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，AB ：AD=1:2，M 是BC 的中点，试判别∠EMC 和∠BEM的关系，并说明理由.20、如图，在△ABC 中，∠C=90o ，点M在BC 上，且BM=AC ；点N 在AC 上，且AN=MC ，AM 与BN 相交于点P ，求∠BPM 的度数.21、如图，在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 区分交AC 于点P 、Q 两点， 求：AP ：PQ ：QC 的值.DC BA 第10题图CDBAE第11题图DC BA第12题图。
第15讲平行四边形的判定和性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习平行四边形的判定和性质。
平行四边形是在学习了平行线和三角形之后，是平行线和三角形知识的应用和深化，同时也是为了后面学习矩形、菱形、正方形、圆甚至高中的立体几何打基础的，起着承上启下的桥梁作用。
知识梳理讲解用时：20分钟平行四边形的定义和性质1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.表示方法：ABDC（按照字母的顺序）注意：ABCDA BOC D2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等，即AB=CD，AC=BD（2）平行四边形的对角相等，即∠A=∠D，∠B=∠C（3）平行四边形的对角线互相平分，即OA=OD，OB=OC3.平行四边形的两条对角线把平行四边形分成面积相等的4个小三角形.平行四边形的判定平行四边形的判定：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.三角形的中位线：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半课堂精讲精练【例题1】如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边CD于点E，∠A=130°，则∠BEC的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．50°【答案】B【解析】利用平行四边形的性质求出∠C，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C=∠A=130°，∴∠ABE=∠CEB，∵∠ABE=∠CBE，∴∠BEC=∠CBE，∴∠BEC=（180°﹣130°）=25°，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：蜀山区二模年份：2018【练习1.1】如图，?ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为．【答案】14【解析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14故答案为14．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：泰州年份：2018【例题2】如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，4），C（2，0），请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】（3，4），（﹣5，4），（1，﹣4）【解析】首先根据题意画出图形，分别以BC，AB，AC为对角线作平行四边形，即可求得答案．解：AC=2﹣（﹣2）=4，当平行四边形是BACD时，把B向右平移4个单位长度，则D的坐标是（3，4）；当平行四边形是ACBD时，把B向左平移4个单位长度就是D，则D的坐标是（﹣5，4）；当平行四边形是BADC时，AC的中点的坐标是原点O（0，0）．把B向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到AC中点O，则把A向右平移2个单位长度，向下平移8个单位长度即可得到D，D的坐标是（1，﹣4）．故答案是：（3，4），（﹣5，4），（1，﹣4）．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的顶点的确定，分成三种情况讨论，以及理解平移的性质是关键．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质，注意多种情况共存.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：巨野县期中年份：2017【练习2.1】用20cm长的铁丝围成一个平行四边形，使长边比短边长2cm，则它的长边长为，短边长为．【答案】6cm，4cm【解析】设平行四边形的两边分别为xcm，（x﹣2）cm，根据周长=20，列出方程即可解决问题．解：设平行四边形的两边分别为xcm，（x﹣2）cm，由题意2[x+（x﹣2）]=20，解得x=6，∴平行四边形的两边分别为6cm，4cm，故答案为6cm，4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．【答案】（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形【解析】（1）利用平行线的性质可得∠DFA=∠BEC，然后利用SAS判定△AFD ≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性质可得AD=BC，∠DAF=∠BCE，然后可判定AD∥BC，进而可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形．证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，在△ADF和△CBE中，∴△AFD≌△CEB（SAS）；（2）∵△AFD≌△CEB，∴AD=BC，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定和性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．教学建议：熟练掌握平行四边形的判定以及全等三角形的判定和性质并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：南长区一模年份：2018【练习3.1】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】四边形ABCD是平行四边形【解析】由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在Rt△AED和Rt△CFB中，∵，∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．教学建议：熟练掌握平行四边形的判定以及全等三角形的判定和性质并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：洪泽县模拟年份：2018【例题4】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求DE的长．【答案】（1）四边形ADEF是平行四边形；（2）2【解析】（1）由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，易证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF，可得DE=AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形；（2）过点E作EH⊥BD于点H，由∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，可求得BH 的长，继而求得BE、DE的长，则可求得答案．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE；∵BE=AF，∴AF=DE；∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：过点E作EH⊥BD于点H．∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DH=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=3，∴BE==2，∴DE=BE=2．讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的性质和判定.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：盐城模拟年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连结CF．试说明：四边形ADCF是平行四边形．【答案】四边形ADCF是平行四边形【解析】首先证明△AEF≌△DEB，可得AF=BD，再由条件可得BD=CD，进而可得AF=DC，再加上条件AF∥BC，可得四边形ADCF是平行四边形．解：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∵AD是BC边的中线，∴BD=CD，∴AF=DC又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握组对边平行且相等的四边形是平行四边形．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：朝阳区校级一模年份：2018【例题5】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AC与BD互相平分．【答案】（1）△ABE≌△CDF；（2）AC与BD互相平分【解析】（1）用ASA判定两三角形全等即可证明．（2）只要证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF．（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用特殊四边形的性质解决问题．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定和性质.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：射阳县模拟年份：2018【练习5.1】如图，平行四边形ABCD中，点E，F在BD上，且BF=DE．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）连接AF、CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请证明你的结论．【答案】（1）△ABE≌△CDF．（2）是【解析】（1）由在?ABCD中，BF=DE，由平行四边形的性质，利用SAS即可证得△AED≌△CFB，△ABE≌△CDF，又由SSS证得△ABD≌△CDB；（2）由△ABE≌△CDF，可得AE=CF，同理可证得△ABF≌△CDE，即可得AF=CE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BF=DE，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（SAS），（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABF=∠CDE，∵BF=DE，AB=CD，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是关键，常运用的判定方法是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：呼和浩特一模年份：2018【例题6】如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连结CD和EF．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）求四边形BDEF的周长．【答案】（1）四边形CDEF是平行四边形；（2）5+【解析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC=EF，进而求出四边形BDEF的周长．（1）证明：∵D、E分别是AB，AC中点，∴DE∥BC，DE=BC，∵CF=BC，∴DE=CF，∴四边形CDEF是平行四边形，（2）解：∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF==，∴四边形BDEF的周长是1+1+2+1+=5+．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．教学建议：熟练掌握并应用平行四边形的判定和性质以及三角形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：宁波期中年份：2018【练习6.1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC=70°，∠BAC=54°，求∠AFD的度数．【答案】83°【解析】由角平分线可求得∠BAG，由三角形内角和定理可求得∠BGA，利用三角形中位线可求得答案．解：∵∠BAC=54°，AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠BAC=27°．∴∠BGA=180°﹣∠ABC﹣∠BAG=83°，又∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AFD=∠BGA=83°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查三角形内角和定理及中位线定理，利用三角形内角和定理求得∠BGA的度数是解题的关键．教学建议：熟练掌握三角形的中位线定理以及三角形内角和定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：宁德二模年份：2018【例题7】如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．【答案】等腰三角形【解析】易得PM是△BCD的中位线，那么PM等于BC的一半，同理可得PN为AD的一半，根据AD=BC，那么可得PM=PN，那么△PMN是等腰三角形．解：△PMN是等腰三角形．理由如下：∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，∴PM=BC，同理：PN=AD，∵AD=BC，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查三角形中位线定理，用到的知识点为：三角形的中位线等于第三边的一半；有两边相等的三角形的是等腰三角形．教学建议：熟练掌握三角形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：肇源县期末年份：2017【练习7.1】如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG ⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．【答案】1【解析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．解：在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG=AC=6，GF=CF，则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．又∵BE=CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF=BG=1．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键．教学建议：熟练掌握三角形的中位线定理以及全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：临洮县期末年份：2017【练习7.2】如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF 交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．【答案】（1）EF∥BC；（2）12【解析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到AF=FD，根据三角形中位线定理证明；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．（1）证明：∵DC=AC，CF是∠ACB的平分线，∴AF=FD，又点E是AB的中点，∴EF∥BC；（2）解：∵AF=FD，点E是AB的中点，∴EF=BD，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF=S△ABD，∴S△AEF=S四边形BDFE=3，∴△ABD的面积=12．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．教学建议：熟练掌握并应用三角形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么?ABCD的周长是．【答案】16【解析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC=MA，因此△CDM的周长=AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．解：∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=MC．∴△CDM的周长=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．故答案为16．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：衡阳年份：2018【作业2】在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，求证：DE=BF．【答案】DE=BF【解析】首先连接BE，DF，由四边形ABCD是平行四边形，AE=CF，易得OB=OD，OE=OF，即可判定四边形BEDF是平行四边形，继而证得DE=BF．证明：如图，连接BE，DF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：潮阳区模拟年份：2018【作业3】如图，?ABCD中E，F分别是AD，BC中点，AF与BE交于点G，CE和DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．【答案】四边形EGFH是平行四边形【解析】可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∵AE=AD，FC=BC，∴AE∥FC，AE=FC．∴四边形AECF是平行四边形．∴GF∥EH．同理可证：ED∥BF且ED=BF．∴四边形BFDE是平行四边形．∴GE∥FH．∴四边形EGFH是平行四边形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：滨州一模年份：2018【作业4】如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于G，F是AD的中点．（1）求证：四边形ADCE是为平行四边形；（2）若EB是∠AEC的角平分线，请写出图中所有与AE相等的边．【答案】（1）四边形ADCE是为平行四边形；（2）AE=AF=DF=CD=BD【解析】（1）首先证明△AFE≌△DFB可得AE=BD，进而可证明AE=CD，再由AE∥BC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形；（2）图中所有与AE相等的边有：AF、DF、BD、DC．理由平行四边形的性质、等腰三角形的判定即可解决问题；（1）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵AE∥BC，∴∠AEF=∠DBF，在△AFE和△DFB中，，∴△AFE≌△DFB（AAS），∴AE=BD，∴AE=CD，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）图中所有与AE相等的边有：AF、DF、BD、DC．理由：∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE=DC，AD∥EC，∵BD=DC，∴AE=BD，∵BE平分∠AEC，∴∠AEF=∠CEF=∠AFE，∴AE=AF，∵△AFE≌△DFB，∴AF=DF，．∴AE=AF=DF=CD=BD讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：松北区期末年份：2018【作业5】△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．【答案】EF∥DG，且EF=DG【解析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中位线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：衢州期中年份：2018。
