南京市2017届高三上学期迎一模模拟考试数学试题
- 格式：doc
- 大小：1.01 MB
- 文档页数：11
（2）当 时， ，其定义域为（0，+ ）.
①由 得 ，记 ，则 ,
所以 在 单调减，在 单调增，
所以当 时 取得最ຫໍສະໝຸດ 值 .又 ，所以 时 ，而 时 ,
所以b的取值范围是（ ，0）.
②由题意得 ,
所以 ,
所以 ，不妨设x1<x2,
要证 ,只需要证 .
即证 ，设 ,
则 ,
所以 ,
所以函数 在（1，+ ）上单调增，而 ，
2016-2017高三数学迎一模模拟卷
1．已知集合 ， ，则 =．
2．复数 （i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．
3．已知命题 是真命题，则实数 的取值范围是_______.
4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为.
5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为__________．
所以满足不等式>2 010的n的最小值是10.
20. (1)因为 ，所以 ,
由 可得a=b-3.
又因为 在 处取得极值，
所以 ，
所以a= -2,b=1.
所以 ，其定义域为（0，+ ）
令 得 ，
当 （0,1）时， ，当 （1,+ ） ，
所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+ ）上单调减.
(2)已知 为椭圆 上一点,求 到直线 的距离的最小值.
22．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设 为随机变量，若 为整数，则 ；若 为小于1的分数，则 ；若 为大于1的分数，则 ．
（1）求概率 ；
（2）求 的分布列，并求其数学期望 ．
由①②可知，当 时， 成立．
综上所述，当 时， ；当 或 时， ；
当 时， ．
答： 的数学期望为 ．
23．⑴令 ，则 ，令 ，则 ，所以 ．
⑵要比较 与 的大小 ，只要比 较 与 的大小．
当 时， ，
当 或 时， ，当n=4或5时，
猜想：当 时， ．下面用数学归纳法证明：
①由上述过程可知，当 时，结论成立．
②假设当 时结论成立，即 ，
两边同乘以 ，得 ，
而
，
所以 ，
即 时结论也成立．
（2）若 时函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.
①求b的取值范围；②求证： .
B．已知点P(a，b)，先对它作矩阵M 对应的变换，再作N 对应的变换，得到的点的坐标为(8， )，求实数a，b的值．
C．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 轴的正半轴重合.若直线 的极坐标方程为 .
(1)把直线 的极坐标方程化为直角坐标系方程;
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以 ；
（2）随机变量 的所有取值为 ， ， ，
有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
故 ；
有以下2种：（3，2），（4，3），故 ；
0
1
所以 的分布列为：
，
.
所以 ，所以 ，
所以 .
16．（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．
因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC＝BC，DO面DBC，
所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE//DO．
又AE 面DBC，DO面DBC，故AE //面DBC．
（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB面ABC，所以DO⊥AB．
6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为．
7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线 的渐近线的距离为．
8．已知a，b为实数，且a≠b，a<0，则a2b- 。(填“>”、“<”或“=”)
9． 是直角边等于4的等腰直角三角形， 是斜边 的中点， ，向量 的终点 在 的内部（不含边界），则 的取值范围是．
10．已知正数 依次成等比数列，且公比 ．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比 的取值集合是．
11．已知棱长为1的正方体 ， 是棱 的中点， 是线段 上的动点，则△ 与△ 的面积和的最小值是．
12．已知函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值为．
13.若对任意的x∈D，均有f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立，则称函数f(x)为函数f1(x)到函
因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.
a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.
(2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.
所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①
2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②
所以 即 ,
所以 .
B．依题意，NM ，
由逆矩阵公式得，(NM) ，
所以 ，即有 ， ．
C.(1)直线l的极坐标方程 ,则 ,
即 ,所以直线l的直角坐标方程为 ;
(2)P为椭圆 上一点,设 ,其中 ,
则P到直线l的距离 ,
所以当 时, 的最小值为
22．（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使 为整数的有以下8种：
（1）若点 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 .
16．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（1）求证：AE //面DBC；
（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．
17． 如图，某城市有一条公路从正西方 通过市中心 后转向东偏北 角方向的 ．位于该市的某大学 与市中心 的距离 ，且 ．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站 ，在OB上设一站B，铁路在 部分为直线段，且经过大学 ．其中 ， ， ．
（1）求大学 与站 的距离 ；
（2）求铁路 段的长 ．
18．设椭圆 的离心率为 ，直线 与以原点为圆心、椭圆 的短半轴长为半径的圆 相切．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于不同的两点 ，以线段 为直径作圆 ．若圆 与 轴相交于不同的两点 ，求 的面积；
（3）如图， 、 、 、 是椭圆 的顶点， 是椭圆 上除顶点外的任意点，直线 交 轴于点 ，直线 交 于点 ．设 的斜率为 ， 的斜率为 ，求证： 为定值．
由 ，得 ，
其中 ， ， ，
则直线 的方程为 ，
令 ，则 ，即 ，
直线 的方程为 ，
由 ，解得 ， ，
的斜率 ，
（定值）．
19．(1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．
两式相减，得an＝2an－1＋1.
所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列．
在 中，由正弦定理得， ,
即 ， ， ，
， ， ， ，
又 ， ，
在 中， ，由正弦定理得， ，
即 ， ，即铁路 段的长 为 ．
18.（1）圆 的方程为 ， 直线 与圆O相切，
，即 ，又 ， ，
， 椭圆 的方程为 ；
（2）由题意，可得 ，
圆 的半径 ， ，
的面积为 ；
（3）由题意可知 ，
的斜率为 ， 直线 的方程为 ，
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.
求满足不等式>2 010的n的最小值．
20.已知函数 ， ，设 .
（1）若 在 处取得极值，且 ，求函数h(x)的单调区间；
23．已知 ．
⑴求 及 ；
⑵试比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】
【答案】4
【答案】
【答案】
【答案】30．
【答案】4
【答案】
【答案】“<”
【答案】
【答案】 ；
【答案】 ;
【答案】
【答案】{2}
【答案】{0}[4，20] .
15.（1）由于 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 ；
（2）由于 , ,
所以 ,
又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC平面DBC，则AB⊥面DBC．
因为DC面DBC，所以AB⊥DC．
又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB面ABD，则DC⊥面ABD．
又AD面ABD，故可得AD⊥DC．
17.（1）在 中， ， 且 ， ，
由余弦定理得，
，即大学 与站 的距离 为 ；
（2） ，且 为锐角， ，
数f2(x)在区间D上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k－1)x－1，g(x)＝0，h(x)＝(x
＋1)lnx，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k的取值集合
为________．
14．若实数x,y满足x－4＝2，则x的取值范围是．
15．如图，在 平面上，点 ，点 在单位圆上， （ ）
①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1
＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.
所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.
若>2 010，则 >2 010，即2n＋1>2 010.
由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.
①由 得 ，记 ，则 ,
所以 在 单调减，在 单调增，
所以当 时 取得最ຫໍສະໝຸດ 值 .又 ，所以 时 ，而 时 ,
所以b的取值范围是（ ，0）.
②由题意得 ,
所以 ,
所以 ，不妨设x1<x2,
要证 ,只需要证 .
即证 ，设 ,
则 ,
所以 ,
所以函数 在（1，+ ）上单调增，而 ，
2016-2017高三数学迎一模模拟卷
1．已知集合 ， ，则 =．
2．复数 （i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．
3．已知命题 是真命题，则实数 的取值范围是_______.
4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为.
5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为__________．
所以满足不等式>2 010的n的最小值是10.
20. (1)因为 ，所以 ,
由 可得a=b-3.
又因为 在 处取得极值，
所以 ，
所以a= -2,b=1.
所以 ，其定义域为（0，+ ）
令 得 ，
当 （0,1）时， ，当 （1,+ ） ，
所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+ ）上单调减.
(2)已知 为椭圆 上一点,求 到直线 的距离的最小值.
22．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设 为随机变量，若 为整数，则 ；若 为小于1的分数，则 ；若 为大于1的分数，则 ．
（1）求概率 ；
（2）求 的分布列，并求其数学期望 ．
由①②可知，当 时， 成立．
综上所述，当 时， ；当 或 时， ；
当 时， ．
答： 的数学期望为 ．
23．⑴令 ，则 ，令 ，则 ，所以 ．
⑵要比较 与 的大小 ，只要比 较 与 的大小．
当 时， ，
当 或 时， ，当n=4或5时，
猜想：当 时， ．下面用数学归纳法证明：
①由上述过程可知，当 时，结论成立．
②假设当 时结论成立，即 ，
两边同乘以 ，得 ，
而
，
所以 ，
即 时结论也成立．
（2）若 时函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.
①求b的取值范围；②求证： .
B．已知点P(a，b)，先对它作矩阵M 对应的变换，再作N 对应的变换，得到的点的坐标为(8， )，求实数a，b的值．
C．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 轴的正半轴重合.若直线 的极坐标方程为 .
(1)把直线 的极坐标方程化为直角坐标系方程;
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以 ；
（2）随机变量 的所有取值为 ， ， ，
有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
故 ；
有以下2种：（3，2），（4，3），故 ；
0
1
所以 的分布列为：
，
.
所以 ，所以 ，
所以 .
16．（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．
因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC＝BC，DO面DBC，
所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE//DO．
又AE 面DBC，DO面DBC，故AE //面DBC．
（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB面ABC，所以DO⊥AB．
6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为．
7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线 的渐近线的距离为．
8．已知a，b为实数，且a≠b，a<0，则a2b- 。(填“>”、“<”或“=”)
9． 是直角边等于4的等腰直角三角形， 是斜边 的中点， ，向量 的终点 在 的内部（不含边界），则 的取值范围是．
10．已知正数 依次成等比数列，且公比 ．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比 的取值集合是．
11．已知棱长为1的正方体 ， 是棱 的中点， 是线段 上的动点，则△ 与△ 的面积和的最小值是．
12．已知函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值为．
13.若对任意的x∈D，均有f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立，则称函数f(x)为函数f1(x)到函
因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.
a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.
(2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.
所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①
2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②
所以 即 ,
所以 .
B．依题意，NM ，
由逆矩阵公式得，(NM) ，
所以 ，即有 ， ．
C.(1)直线l的极坐标方程 ,则 ,
即 ,所以直线l的直角坐标方程为 ;
(2)P为椭圆 上一点,设 ,其中 ,
则P到直线l的距离 ,
所以当 时, 的最小值为
22．（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使 为整数的有以下8种：
（1）若点 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 .
16．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（1）求证：AE //面DBC；
（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．
17． 如图，某城市有一条公路从正西方 通过市中心 后转向东偏北 角方向的 ．位于该市的某大学 与市中心 的距离 ，且 ．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站 ，在OB上设一站B，铁路在 部分为直线段，且经过大学 ．其中 ， ， ．
（1）求大学 与站 的距离 ；
（2）求铁路 段的长 ．
18．设椭圆 的离心率为 ，直线 与以原点为圆心、椭圆 的短半轴长为半径的圆 相切．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于不同的两点 ，以线段 为直径作圆 ．若圆 与 轴相交于不同的两点 ，求 的面积；
（3）如图， 、 、 、 是椭圆 的顶点， 是椭圆 上除顶点外的任意点，直线 交 轴于点 ，直线 交 于点 ．设 的斜率为 ， 的斜率为 ，求证： 为定值．
由 ，得 ，
其中 ， ， ，
则直线 的方程为 ，
令 ，则 ，即 ，
直线 的方程为 ，
由 ，解得 ， ，
的斜率 ，
（定值）．
19．(1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．
两式相减，得an＝2an－1＋1.
所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列．
在 中，由正弦定理得， ,
即 ， ， ，
， ， ， ，
又 ， ，
在 中， ，由正弦定理得， ，
即 ， ，即铁路 段的长 为 ．
18.（1）圆 的方程为 ， 直线 与圆O相切，
，即 ，又 ， ，
， 椭圆 的方程为 ；
（2）由题意，可得 ，
圆 的半径 ， ，
的面积为 ；
（3）由题意可知 ，
的斜率为 ， 直线 的方程为 ，
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.
求满足不等式>2 010的n的最小值．
20.已知函数 ， ，设 .
（1）若 在 处取得极值，且 ，求函数h(x)的单调区间；
23．已知 ．
⑴求 及 ；
⑵试比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】
【答案】4
【答案】
【答案】
【答案】30．
【答案】4
【答案】
【答案】“<”
【答案】
【答案】 ；
【答案】 ;
【答案】
【答案】{2}
【答案】{0}[4，20] .
15.（1）由于 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 ；
（2）由于 , ,
所以 ,
又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC平面DBC，则AB⊥面DBC．
因为DC面DBC，所以AB⊥DC．
又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB面ABD，则DC⊥面ABD．
又AD面ABD，故可得AD⊥DC．
17.（1）在 中， ， 且 ， ，
由余弦定理得，
，即大学 与站 的距离 为 ；
（2） ，且 为锐角， ，
数f2(x)在区间D上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k－1)x－1，g(x)＝0，h(x)＝(x
＋1)lnx，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k的取值集合
为________．
14．若实数x,y满足x－4＝2，则x的取值范围是．
15．如图，在 平面上，点 ，点 在单位圆上， （ ）
①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1
＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.
所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.
若>2 010，则 >2 010，即2n＋1>2 010.
由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.
