数学因式分解知识点总结

初中数学之因式分解知识点汇总

因式分解

1. 因式分解的概念：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系

因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式

多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；

字母——取各项都含有的字母；

指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式 pa+pb+pc 中因式 p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：

(一)运用公式法：

我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式

1.平方差公式

(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)

(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解

1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式

(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：

a2+2ab+b2 =(a+b)2

a2-2ab+b2 =(a-b)2

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

初中数学新课程标准教材

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( 2019 — 2020学年度第二学期 )

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第 2 页 共 6 页 《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳

★★ 知识体系梳理

◆ 分组分解法：

用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。

1、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式

◆ 十字相乘法：

、 型的二次三项式因式分解：

（其中 ， ）

、二次三项式 的分解：

如果二次项系数 分解成 、 ，常数项 分解成 、 ；并且 等于一次项系数 ，那么二次三项式：

借助于画十字交叉线排列如下： 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 初中数学教案

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第 3 页 共 6 页 ◆ 因式分解的一般步骤：一提二代三分组

①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；

②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；

③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；

④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。

◆ 因式分解几点注意与说明：

二次三项式的因式分解

【知识梳理】

二次三项式的因式分解

（1）形如()2axbxcabc++，，都不为零的多项式称为二次三项式；

（2）如果一元二次方程20axbxc++=(0)a的两个根是1x和2x, 那么二次三项式的分解公式为：

2axbxc++()()

12axxxx=−−．

,【考点剖析】

题型一：两根与二次三项式因式分解关系

例1．若方程24210yy−−=

的两个根是

115

4y+

=

，

215

4y−

=，则在实数范围内分解因式2421yy−−=

____________．

【答案】





−

−





+

−

451

451

4yy

．

【解析】如果一元二次方程20axbxc++=(0)a的两个根是1x和2x，那么二次三项式2axbxc++可分解为：

2axbxc++()()

12axxxx=−−．

【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．

【变式1】若二次三项式)0(2++acbxax在实数范围内可分解因式为)

221

)(

221

(3−

++

−−xx，则一

元二次方程)0(02=++acbxax的两个实数根为________________． 【答案】221

1+

=x，212

2−

=x

．

【解析】如果一元二次方程20axbxc++=(0)a的两个根是1x和2x，那么二次三项式的分 解公式为：

2axbxc++()()

12axxxx=−−．

【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．

题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式

例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）

A.2615xx+−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373yy++；,,,,,,,,,

C.2224xx−−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245yy−+.

【答案】D；

【解析】解：A、因为24146153610bac−=+=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；

1 因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，

则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

解：222222222222abcabbccaabcabbcca

222()()()0abbccaabc

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam