函数的值域
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幻灯片1
函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有
__________，②存在x0∈I，使得___________，那么称M是函数y＝f(x)的最大
值；类比定义可得y＝f(x)的最小值．
专题研究 函数的值域
f(x0)＝M
f(x)≤M
幻灯片2
基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac－b2
4a，＋∞)；当a<0
时，值域为(－∞，4ac－b2
4a]．
(3)y＝kx(k≠0)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(4)y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝logax(a>0，且a≠1)的值域是R.
幻灯片3
求函数最值的常用方法
1：直接法.对于较简单的函数，直接观察即可确定函数的值域．
2：反解法与分离常数法.形如f(x)＝ax＋b
cx＋d的函数可用反解法或分离常数法．
3：配方法.二次函数或换元之后为二次函数型的函数，可用配方法．
配方法是求二次型函数最值的基本方法，如y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的最
值问题，可以考虑用配方法．
4：换元法.通过换元，将较复杂的值域问题转化为求某些基本初等函数的值域．
换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角换元解决形如a2＋b2
＝1及部分根式函数形式的最值问题．
幻灯片4
5：单调性法.说明：函数为一般函数或者复合函数，其单调性容易确定．
先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求
解方法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
6：基本不等式法、判别式法.能配凑成y＝ax＋b
x(a，b同号)的形式，再利用基本
不等式求函数的最值，进而得到函数的值域．
主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．
7：数形结合法由函数的解析式可以绘制出函数的大致图象走势和函数在关键点
处的函数值或通过几何意义转化为几何问题进行求解．
数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象
求函数最值的一种常用的方法．
幻灯片5
8:平方法.对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函
数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．
幻灯片6
例1.函数y＝1－2x
1＋2x的值域为________．
例2.(1)求函数y＝2x＋1＋x的值域．
(2)函数y＝x＋4－x2的值域为________________．
(3)函数f(x)＝x
x2＋x＋1的值域为________．
例3已知x>0，y>0且x＋y－2xy＝0，则x＋4y的最小值为________．
例4已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则m
M的值为
________．
例5已知函数y＝x2－3x－4的定义域是
[0，m]，值域为－25
4，－4，则m的取
值范围是________．
幻灯片7
例1.函数y＝1－2x
1＋2x的值域为________．
(
－1，1)
【解析】 方法一(反解法)：由y＝1－2x
1＋2x，得2x＝1－y
1＋y>0，
∴(1－y)(1＋y)>0，∴(y－1)(y＋1)<0.
∴－1
方法二(分离常数法)：y＝1－2x
1＋2x＝－1＋2
1＋2x，
因为2x>0，所以1＋2x>1，0<2
1＋2x<2，－1<－1＋2
1＋2x<1.∴值域为(－1，1)．
【讲评】 可见反解法优于分离常数法．
幻灯片8
单调性法
说明：函数为一般函数或者复合函数，其单调性容易确定．
例2(1)求函数y＝2x＋1＋x的值域．
【解析】 方法一(单调性法)：
定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝1＋x均在[－1，＋∞)上单调递增，
故y≥2×(－1)＋1＋（－1）＝－2.即函数值域为[－2，＋∞)．
方法二(换元法)： 令1＋x＝t，则t≥0，且x＝t2－1，
∴y＝2t2＋t－2＝2
t＋142－178≥－2(t≥0)，当且仅当t＝0时取等号．
∴函数值域为[－2，＋∞)．
【答案】 [－2，＋∞)
幻灯片9
(2)函数y＝x＋4－x2的值域为________________．
[－2，22]
【解析】 由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
∴设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y＝2cos θ＋4－4cos2θ＝2cos θ＋2sin
θ＝22sin
θ＋π4.
∵θ＋π
4∈
π
4，5π
4，
∴sin
θ＋π
4∈
－2
2，1，∴y∈[－2，22]．
【讲评】 本题为三角换元．
幻灯片10
－1，1
3
(3)函数f(x)＝x
x2＋x＋1的值域为________．
【解析】 方法一(基本不等式法)：当x≠0时，有f(x)＝x
x2＋x＋1＝1
x＋1＋1
x，
当x>0时，x＋1x≥
2x·1
x＝2(当且仅当x＝1时取等号)，则x＋1
x＋1≥3，
∴0
3.
当x<0时，x＋1
x≤－2(当且仅当x＝－1时取等号)，则x＋1
x＋1≤－1，∴－
1≤f(x)<0，
幻灯片11
当x＝0时，f(x)＝0，取并集得－1≤f(x)≤1
3，
所以f(x)的值域为
－1，1
3.
方法二(判别式法)：设y＝x
x2＋x＋1，
则yx2＋(y－1)x＋y＝0，
当y≠0时，由Δ＝(y－1)2－4y2＝－3y2－2y＋1≥0，
得－1≤y≤1
3且y≠0，
当y＝0时，x＝0，∴－1≤y≤1
3.
幻灯片12
例3已知x>0，y>0且x＋y－2xy＝0，则x＋4y的最小值为________．
9
2
【解析】 因为x>0，y>0且x＋y－2xy＝0，则2xy＝x＋y，可得1x＋1y＝2，
所以x＋4y＝12
1x＋1y(x＋4y)＝12
5＋4yx＋xy≥12
5＋24y
x·x
y＝9
2，
当且仅当x＝2y时，等号成立，
因此，x＋4y的最小值为92.
幻灯片13
例4已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则m
M的值为
________．
2
2
【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，
即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．
【解析】由题意，得1－x≥0，
x＋3≥0.所以函数的定义域为{x|－3≤x≤1}．
两边平方，得y2＝4＋21－x·x＋3
＝4＋2（1－x）（x＋3）＝4＋2－x2－2x＋3.
所以当x＝－1时，y取得最大值M＝22；
当x＝－3或1
时，y取得最小值m＝2.则m
M＝2
2.
幻灯片14
例5已知函数y
＝x2－3x－4的定义域是
[0，m]，值域为－25
4，－4
，
则m的取值范围是________．
32，3
【解析】 因二次函数y＝x2－3x－4的对称轴为x＝32，且当x＝0时，y＝－
4，当x＝32时，y＝－254，因此当x＝3时，y＝－4.故32≤m≤3.
幻灯片15
跟踪训练1(1)求函数y＝x2＋3
x2＋2的值域时有以下四种方法，判断哪种方法
是正确的．
方法一(基本不等式法)：y＝x2＋3
x2＋
2＝x2＋2＋1
x2＋2≥2，∴值域为[2，＋
∞)．
方法二(判别式法)：设x2＋2＝t(t≥2)，则y＝t＋1
t，即t2－ty＋1＝0，∴Δ
＝y2－4≥0，∴y≥2或y≤－2(舍去)．
幻灯片16
方法三(换元法)：令x2＋2＝t(t≥2)，则y＝t＋1
t＝
t－1t2＋2≥2.
方法四(单调性法)：令x2＋2＝t(t≥2)，易证y＝t＋1t在t≥2时是增函数，
所以当t＝2
，即x＝0时，ymin＝32
2，故y∈
32
2，＋∞.
【解析】 方法一：该方法是错的，因为当且仅当x2＋2＝1
x2＋2时等号成
立，而此时x2＝－1，这不可能．所以y≥2的结论是错的，此例告诫我们，利用
基本不等式求值域，一定要检查等号是否成立．
幻灯片17
