函数的值域

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1 学科培训师辅导讲义

学员编号 年 级 高一 课时数 2

学员姓名 辅导科目 数学 学科培训师 周老师

课 题 函数定义域、值域

备课时间 2014年07月25日 授课时间 2014年07月26日

教学内容

知识点三：函数的定义域

一、课前检测

1. （2008全国）函数()1fxxxx的定义域是____________. 答案：1xx

2.函数()fx的定义域为[1,1]，则(1fx）的定义域为____________. 答案：0,2x

3．函数1()lg4xfxx的定义域为（ ）

.A(14)， .B[14)， .C(1)(4)，， .D (1](4)，，

二、知识梳理

1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案：有意义的自变量的取值

2．常见的三种题型确定定义域：

（1） 已知函数的解析式，就是 . 答案：解不等式（组）

如：①)()(xgxfy，则 ； ②)()(*2Nnxfyn，则 ；

③0)]([xfy，则 ； ④)(log)(xgyxf，则 ；

⑤tanyx，则 ； ⑥()fx是整式时，定义域是全体实数。

（2） 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的

域.

（3）实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

三、典型例题分析

例1。求下列函数的定义域

(1)2112yx|x|； 答案：112xxxx或且

常见函数定义域和值域

1. 线性函数 f(x) = mx + b

定义域: 实数集 R

值域: 实数集 R

2. 二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)

定义域: 实数集 R

值域: 当 a > 0 时, 值域为 [c - b^2 / (4a), +∞)

当 a < 0 时, 值域为 (-∞, c - b^2 / (4a)]

3. 平方根函数 f(x) = √x

定义域: [0, +∞)

值域: [0, +∞)

4. 绝对值函数 f(x) = |x|

定义域: 实数集 R

值域: [0, +∞)

5. 分数函数 f(x) = 1 / x

定义域: 实数集 R 除去 0

值域: 实数集 R 除去 0

6. 指数函数 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)

定义域: 实数集 R

值域: 当 a > 1 时, 值域为 (0, +∞) 当 0 < a < 1 时, 值域为 (0, +∞)

7. 对数函数 f(x) = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)

定义域: (0, +∞)

值域: 实数集 R

8. 三角函数

正弦函数 f(x) = sin(x)

定义域: 实数集 R

值域: [-1, 1]

余弦函数 f(x) = cos(x)

定义域: 实数集 R

值域: [-1, 1]

正切函数 f(x) = tan(x)

定义域: 实数集 R 除去 (2n + 1)π/2, n 为整数

值域: 实数集 R

以上是一些常见函数的定义域和值域的介绍。需要注意的是,一些函数的定义域和值域可能会受到其他条件的限制,因此在实际应用中需要进一步分析。

函数的值域知识点总结

一、函数的值域的概念和含义

1. 函数的值域定义

函数的值域指的是函数在定义域内可以取得的所有可能的输出值的集合。它是函数所有可能输出的值的集合，可以用集合的形式或者区间的形式进行表示。例如，对于函数f(x) =

x^2，其值域为非负实数的集合，即R+ = {y | y ≥ 0}。

2. 值域的含义

值域可以帮助我们了解函数在定义域内的输出情况，它描述了函数所有可能的输出值。通过求解函数的值域，我们可以确定函数的变化范围，找到函数的最大值和最小值，以及理解函数的性质和行为。函数的值域在数学分析、微积分、代数等领域都有着重要的应用。

二、函数值域的求解方法

1. 代数方法

对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法来求解函数的值域。例如，对于线性函数

f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R；对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。

2. 图像法

对于一些复杂的函数，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，从而求解函数的值域。通过分析函数的图像，我们可以找到函数的最值点，从而确定函数的值域范围。

3. 极限方法

对于一些较复杂的函数，我们可以通过求函数的极限来确定函数的值域。通过求解函数在无穷远处的极限值，我们可以得到函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。

4. 排除法

有时候，我们可以通过排除法来确定函数的值域。通过观察函数的定义域和性质，我们可以排除一些无法取得的值，从而确定函数的值域范围。

三、常见函数的值域

1. 线性函数

对于线性函数 f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R。线性函数的图像是一条直线，可以取得任意的实数值。 2. 二次函数

对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。当a > 0时，函数的最小值为f(-b/2a)，值域为[f(-b/2a), +∞)；当a < 0时，函数的最大值为f(-b/2a)，值域为(-∞, f(-b/2a)]。

函数值域的八大求法

方法一：观察法

例1. 求函数2x4y的值域。 解析：由]2,0[x4,0x40x222知及。故此函数值域为]2,0[。

方法二：不等式法

例2. 求函数)0x(x)1x(y222的值域。

解析：4x1x2x1x2xx)1x(y22224222，此函数值域为),4[。

方法三：反函数法

例3. 求函数)4x(2x1xy的值域。

解析：由2x1xy得y11y2x。由4x，得4y11y2，解得1y25y或。此函数值域为),25[)1,(。

方法四：分离常数法

例4. 求函数6x13x6)1x(6y2422的值域。

解析：：6x13x66x12x66x13x6)1x(6y2424242225242511x613x6116x13x6x122242。从而易知此函数值域为]1,2524[。

评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。注意形如)adbc,0a(baxdcxy的值域为),ac()ac,(。

方法五：判别式法

例5. 求函数1xx1xy22的值域。

解析：原式整理可得0)1y(yxx)1y(2。当01y即1y时，2x原式成立。当01y即1y时，0)]1y()[1y(4y2，解得552y552y或。综上可得原函数值域为),552[]552,(。

评注：此方法适用于x为二次的情形，但应注意01y时的情况。

方法六：图象法

例6. 求函数1x1y)0x(1的值域。

解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为),1(]2,(。

方法七：中间变量法

例7. 求函数5x3xy22的值域。 y