全国大学生数学建模竞赛历年赛题

1995年全国大学生数学建模竞赛

a题 一个飞行管理模型

在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生 碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下:

1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;

2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;

3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里;

4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应在60公里以上;

5) 最多需考虑6架飞机;

6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据为:

飞机编号 横座标x 纵座标y 方向角(度)

1 150 140 243

2 85 85 236

3 150 155 220.5

4 145 50 159

5 130 150 230

新进入 0 0 52

注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。

b题 天车与冶炼炉的作业调度

某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是，地面沿一直线依次安置着7个工作点辅料供应处p；a组3座转炉(冶炼成品钢)a1, a2, a3；b组2座冶炼炉(冶炼半成品钢，简称半钢)b1, b2；原料供应处q。这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道，上面布置着若干天车t1，t2，...，tn炉了作业服务。布局示意如下。

全国大学生数学建模竞赛真题试卷复习材料

全国大学生数学建模竞赛论文格式规范

 本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。（全国评奖时，每个组别一、二等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配；但全国一等奖名额的一半将平均分配给本组别的每道题，另一半按每题论文数的比例分配。）

 论文用白色A4纸打印(单面、双面打印均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。

 论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。

 论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规范第三页。

 论文题目、摘要和关键词写在论文第三页上（无需译成英文），并从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要，请认真书写（但篇幅不能超过一页）。

 从第四页开始是论文正文（不要目录）。论文不能有页眉或任何可能显示答题人身份和所在学校等的信息。

 论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。

 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：

[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。

参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：

[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。

参考文献中网上资源的表述方式为：

[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

 在论文纸质版附录中，应提供参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算机源程序（若有的话）。同时，所有源程序文件必须放入论文电子版中备查。论文及源程序电子版压缩在一个文件中，一般不要超过20MB，且应与纸质版同时提交。（如果发现程序不能运行，或者运行结果与论文中报告的不一致，该论文可能会被认定为弄虚作假而被取消评奖资格。）

1994年全国大学生数学建模竞赛

a题 逢山开路

要在一山区修建公路, 首先测得一些地点的高程, 数据见表1(平面区域0 ≤x≤5600,0≤y≤4800,表中数据为坐标点的高程, 单位:米).数据显示:

在 y=3200 处有一东西走向的山峰; 从坐标 (2400,2400) 到 (4800,0) 有一西北 --- 东南走向的山谷; 在 (2000,2800) 附近有一山口湖, 其最高水位略高于 1350 米, 雨季在山谷中形成一溪流. 经调查知, 雨量最大时溪流水面宽度 w 与(溪流最深处) 的 x 坐标的关系可近似表示为

w(x)=((x-2400 3/4 )/2 ) + 5 (2400≤x≤4000).

公路从山脚 (0,800) 处开始, 经居民点 (4000,2000) 至矿区 (2000,4000). 已知路段工程成本及对路段坡度α (上升高程与水平距离之比) 的限制如表 2.

1) 试给出一种线路设计方案, 包括原理、方法及比较精确的线路位置(含桥梁、隧道), 并估算该方案的总成本.

2) 如果居民点改为3600≤x≤4000, 2000≤y≤2400的居民区, 公路只须经过居民区即可, 那么你的方案有什么改变.

表一 ↑ 北

_______________________________________________________________________________

4800┃1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 15

4400┃1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 21

4000┃1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 35

A题B题

时间题目及命题人建模方法题目及命题人建模方法

1992施肥效果分析问题（北京理工

大学：叶其孝）回归模型,统计分析实验数据分解问题（复旦大

学：谭永基）

1993非线性交调的频率设计问题

（北京大学：谢衷洁）拟合、规划足球排名次问题（清华大学：

蔡大用）矩阵论、图论、层次分、整数

规划

1994逢山开路问题（西安电子科技

大学：何大可）图论、插值、动态规划锁具装箱问题（复旦大学:谭

永基，华东理工大学:俞文

此）图论、组合数学

1995飞行管理问题（复旦大学:谭

永基，华东理工大学:俞文

此）非线性规划、线性规划天车与冶炼炉的作业调度问题

（浙江大学：刘祥官,李吉

鸾）非线性规划、动态规划、层次

分析法、PETRI方法、图论方

法、排队论方法

1996最优捕鱼策略问题（北京师范

大学：刘来福）微分方程、积分、优化（非线性

规划）节水洗衣机问题（重庆大学：

付鹂）非线性规划

1997零件参数设计问题（清华大

学：姜启源）微积分、非线性规划、随机模拟截断切割问题（复旦大学:谭

永基，华东理工大学:俞文

此）动态规划、图论模型（最短

路）、组合优化

1998投资的收益和风险问题（浙江

大学：陈淑平）多目标优化、模糊线性规划、非

线性规划灾情巡视路线问题（上海海运

学院：丁颂康）图论、组合优化、线性规划

1999自动化车床管理问题（北京大

学：孙山泽）随机优化、计算机模拟钻井布局问题（郑州大学：林

诒勋）0-1规划、非线性规划、图论

方法

2000DNA序列分类问题（北京工业

大学：孟大志）欧氏距离、马氏距离分类法、

Fischer判别模型、神经网络方

法，最小二乘拟合、统计分类钢管订购和运输问题（武汉大

学：费甫生）离散优化、运输问题、最短路

、二次规划

2001血管的三维重建问题（浙江大

学：汪国昭）曲面重建、曲线拟合、数据挖掘公交车调度问题（清华大学：

谭泽光）多目标规划、非线性规划

2002车灯线光源的优化设计问题

（复旦大学:谭永基，华东理

工大学:俞文此）非线性规划、最优化彩票中的数学问题（解放军信