构造函数之专题训练

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. “构造函数”之专题训练

一、选择题

1.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（ ）

A.

＜

＜

B.

＜

＜

C.

＜

＜

D.

＜

＜

2.已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（ ）

A. ＞

B. ＜

C. ＞ D.f（0）＞e2f（4）

3.若函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xex，f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时， ′

的最大值为（

）

A. B.2 C.2 D.4

4.己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞

xf′（x），若a∈（2，3），则（ ）

A.f（log2a）＜f（2a）＜f（2） B.f（2a）＜f（2）＜f（log2a）

C.f（2a）＜f（log2a）＜f（2） D.f（2）＜f（log2a）＜f（2a）

5.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有 ′

＜0恒成立，则

＞ 的解集为（ ）

A.（-2，0）∪（2，+∞） B.（-2，0）∪（0，2）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞） D.（-∞，-2）∪（0，2）

6.已知奇函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，且f（-1）=0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（ ）

A.（-1，0）∪（1，+∞） B.（-∞，1）∪（0，1）

C.（0，1）∪（1，+∞） D.（-∞，-1）∪（-1，0）

7.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）

A.（-∞，-1）∪（0，1） B.（-∞，-1）∪（1，+∞）

C.（-1，0）∪（1，+∞） D.（-1，0）∪（0，1）

8.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+

＞0，若a=

，b=-3f（-3），c=

，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）

A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜c＜a D.c＜a＜b

9.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x的解集为（ ）

A. ，

B.（10，+∞） C.

， D. ，

， ∞

10.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式exf（x）＞ex+1+2的解集为（ ）

A.（-∞，0） B.（-∞，e+2）

C.（-∞，0）∪（e+2，+∞） D.（0，+∞）

高中数学试卷第2页，共10页 11.设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有xf′（x）＜f（x）成立，则（ ）

A.3f（2）＞2f（3） B.3f（2）=2f（3）

C.3f（2）＜2f（3） D.3f（2）与2f（3）的大小不确定．

12.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，f′（x）为其导函数，若对于任意实数，都有f（x）＞f′（x），其中e为自然对数的底数，则（ ）

A.ef（2015）＞f（2016） B.ef（2015）＜f（2016）

C.ef（2015）=f（2016） D.ef（2015）与f（2016）大小关系不确定

13.设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f（2）=0且当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（ ）

A.（-∞，-2）∪（0，2） B.（-2，0）∪（0，2）

C.（-2，0）∪（2，+∞） D.（-∞，-2）∪（2，+∞）

14.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（ ）

A.f（0）+f（2）＜2f（1） B.f（0）+f（2）≤2f （1）

C.f（0）+f（2）≥2f（1） D.f（0）+f（2）＞2f （1）

15.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（ ）

A.（-1，+∞） B.（-1，0） C.（-∞，-1） D.（-∞，+∞）

16.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（1，0），f′（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数，若x＞0，xf′（x）＞1下恒成立，则不等式f（x）≤lnx的解集为（ ）

A.（0，

] B.（0，1] C.（0，e] D.（1，e]

17.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1-x）的解集是（ ）

A.（

，+∞） B.（-∞，

） C.（-∞，0）∪（0，

） D.（0，

）

18.已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时xf′（x）＜-f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a= f（ ），b=f（1），c=-2f（log2

），则a，b，c的大小关系是（ ）

A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.a＞c＞b

19.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（ ）

A.8＜

＜16 B.4＜

＜8 C.3＜

＜4 D.2＜

＜3

20.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（ ）

A.f（1）＞ef（0） B.f（1）＜ef（0）

C.f（1）＞f（0） D.f（1）＜f（0）

21.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-1，且当x＞0时，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（ ）

A.（-1，0） B.（1，+∞）

C.（-1，0）∪（1，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C .

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答案和解析

【答案】1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C

【解析】

1. 解：令g（x）=

，x∈（0，+∞）， g′（x）= ′

，

∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，

∴f（x）＞0，

0＜ ′

，

∴g′（x）＞0，

∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，

∴

＜

，∴

＜

．

令h（x）=

，x∈（0，+∞），

h′（x）= ′

，

∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，

∴h′（x）= ′

＜0，

∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，

∴

＞

，∴

＜

．

综上可得：

＜

＜

，

故选：B．

分别构造函数g（x）=

，x∈（0，+∞），h（x）=

，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．

本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2. 解：∵f（x）+2f′（x）＞0，

可设f（x）=

，

∴f（1）= ，f（0）=e0=1，

∴f（1）＞

，

故选：A．

根据题意可设f（x）=

，然后代入计算判断即可．

本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题．

3. 解：由题意，（

）′=2x， 高中数学试卷第4页，共10页 ∴

=x2+b，

∴f（x）=（x2+b）ex，

∵f（0）=1，∴b=1，

∴f（x）=（x2+1）ex，

f′（x）=（x+1）2ex，

∴当x＞0时， ′

=1+

≤2，当且仅当x=1时取等号，

∴当x＞0时， ′

的最大值为2．

故选：B．

利用函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xex，f（0）=1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出结论．

本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定f（x）是关键．

4. 解：∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），

∴函数f（x）关于x=2对称，

由f′（x）＞

xf′（x），

得（x-2）f′（x）＜0，

则x＞2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，

当x＜2时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．

∴当x=2时，f（x）取得极大值，同时也是最大值．

若a∈（2，3），

则4＜2a＜8，1＜log2a＜2，

∴2＜4-log2a＜3，

∴2＜4-log2a＜2a，

即f（2）＞f（4-log2a）＞f（2a），

即f（2a）＜f（log2a）＜f（2），

故选：C

根据条件得到函数关于x=2对称，由f′（x）＞

xf′（x），得到函数的单调性，利用函数的单调性和对称轴即可得到结论．

本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．

5. 解：设g（x）=