专题01 三角函数的图象与性质(解析版)

专题01 三角函数的图象与性质

【要点提炼】

1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

递增

区间 2kπ－π2，2kπ＋π2 [2kπ－π，2kπ] kπ－π2，kπ＋π2

递减

区间 2kπ＋π2，2kπ＋3π2 [2kπ，2kπ＋π]

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

对称

中心 (kπ，0) kπ＋π2，0 kπ2，0

对称轴 x＝kπ＋π2 x＝kπ

周期性 2π 2π π

2.三角函数的常用结论

(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.

(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.

(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.

3.三角函数的两种常见变换

(1)y＝sin x――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位

y＝sin(ωx＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).

y＝sin ωx―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位

y＝sin(ωx＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).

考点一 三角函数的图像与性质

考向一 三角函数的定义与同角关系式

【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α

α，则P所在的圆弧是( )

A.AB︵ B.CD︵ C.EF︵ D.GH︵

(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝23，则|a－b|＝( )

A.15 B.55 C.255 D.1

解析 (1)设点P的坐标为(x，y)，且tan α＜cos α＜sin α，∴yx＜x＜y，解之得－1＜x＜0，且0＜y＜1.故点P(x，y)所在的圆弧是EF︵.

(2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55. 由题意知|tan α|＝a－b1－2，所以|a－b|＝55.

答案 (1)C (2)B

探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关.若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.

2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

【拓展练习1】 (1)(2020·唐山模拟)若cos θ－2sin θ＝1，则tan θ＝( )

A.43 B.34

C.0或43 D.0或34

(2)(2020·济南模拟)已知cosα＋π6－sin α＝435，则sinα＋11π6＝________.

解析 (1)由题意可得cos θ－2sin θ＝1，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sin θ＝0，cos θ＝1或sin θ＝－45，cos θ＝－35，所以tan θ＝0，或tan θ＝43.故选C.

(2)∵cosα＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3sinπ6－α＝435，

∴sinα－π6＝－45，

∴sinα＋11π6＝sinα－π6＋2π＝sinα－π6＝－45.

答案 (1)C (2)－45

考向二 三角函数的图象及图象变换

【典例2】 (1)(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )

A.sinx＋π3 B.sinπ3－2x

C.cos2x＋π6 D.cos5π6－2x

(2)(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|

A.－2 B.－2 C.2 D.2

解析 (1)由图象知T2＝2π3－π6＝π2，得T＝π，所以ω＝2πT＝2.又图象过点π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx＋φ)＝sin2x＋2π3，故A错误；由sin2x＋2π3＝sinπ－π3－2x＝sinπ3－2x知B正确；由sin2x＋2π3＝sin2x＋π2＋π6＝cos2x＋π6知C正确；由sin2x＋2π3＝cos2x＋π6＝cosπ＋2x－5π6＝－cos5π6－2x知D错误.综上可知，正确的选项为BC.

(2)由f(x)是奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|

所以g(x)＝Asin12ωx，且g(x)最小正周期为2π，

可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g(x)＝Asin x，

gπ4＝Asin π4＝22A＝2，所以A＝2.

所以f(x)＝2sin 2x，故f3π8＝2sin 3π4＝2.

答案 (1)BC (2)C

探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

2.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.

【拓展练习2】 (1)(多选题)(2020·济南历城区模拟)将函数f(x)＝2sin2x＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的可能取值为( )

A.－59π12 B.－35π6 C.25π6 D.49π12

(2)(2020·长沙质检)函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)的部分图象如图所示，已知g(0)＝g5π6＝3，函数y＝f(x)的图象可由y＝g(x)图象向右平移π3个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为(

)

A.f(x)＝2sin 2x

B.f(x)＝2sin2x＋π3

C.f(x)＝－2sin 2x D.f(x)＝－2sin2x＋π3

解析 (1)将函数f(x)＝2sin2x＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝2sin2x＋π3＋1的图象.由g(x1)g(x2)＝9，知g(x1)＝3，g(x2)＝3，所以2x＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝π12＋kπ，k∈Z.由x1，x2∈[－2π，2π]，得x1，x2的取值集合为－23π12，－11π12，π12，13π12.当x1＝－23π12，x2＝13π12时，2x1－x2＝－59π12；当x1＝13π12，x2＝－23π12时，2x1－x2＝49π12.故选AD.

(2)由函数g(x)的图象及g(0)＝g5π6＝3，知直线x＝5π12为函数g(x)的图象的一条对称轴，所以T4＝5π12－π6＝π4，则T＝π，所以ω＝2πT＝2，所以g(x)＝Asin(2x＋φ)，由题图可知π6，0为“五点法”作图中的第三点，则2×π6＋φ＝π，解得φ＝2π3，由g(0)＝3，得Asin 2π3＝3，又A＞0，所以A＝2，则g(x)＝2sin2x＋2π3，所以g(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为f(x)＝2sin2x－π3＋2π3＝2sin 2x，故选A.

答案 (1)AD (2)A

考向三 三角函数的性质

【典例3】 (1)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( )

A.π4 B.π2 C.3π4 D.π

(2)(2020·天一大联考)已知f(x)＝cosωx－π6(ω＞0)，fπ6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝( )

A.83 B.143 C.8 D.4

(3)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________.

解析 (1)f(x)＝cos x－sin x＝2cosx＋π4，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤3π4.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以

－a≥－π4，a≤3π4，解得a≤π4.所以0

(2)由于fπ6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3内有最小值，∴f(x)在x＝12π6＋π3＝π4处取得最小值.

因此π4ω－π6＝2kπ＋π，即ω＝8k＋143，k∈Z.①

又函数f(x)在区间π6，π3无最大值，且ω＞0，

∴T＝2πω≥π3－π6＝π6，∴0＜ω≤12.②

由①②知ω＝143.

(3)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sinωx＋π4，

因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)