北京市海淀实验中学2020届高三数学考前热身练习(三模)(详解版)

2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（3）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设1z i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1 BC ．2iD ．i【答案】B【解析】由已知可得z ==B ．2．如果集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，则=U C A （ ） A ．∅ B ．{1,2,3,4}C ．{2,4}D ．{1,3}【答案】D【解析】集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，={1,3}U C A 则，故选D ．3．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=，因此40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=，故选C ．4．已知命题:p n N ∀∈，2n >p ⌝是（ ）A ．n ∀∈N ，2n ≤B ．n ∀∈N ，2n <C ．n N ∃∈，2n ≤D ．n N ∃∈，2n >【答案】C【解析】p ⌝为：n N ∃∈，2n ≤C ．5．已知点A (2，a )为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于（ ）A ．4B ．3C ．D ．2【答案】B【解析】由已知点A (2，a )为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，∴()1,0F ，根据焦半径公式得：02132pAF x =+=+=，故选B ． 6．已知圆C 与直线y x =及40x y --=都相切，圆心在直线y x =-上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y +++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y -++=【答案】D【解析】由题意可设圆心坐标为(,)a a -=1a =，∴圆心坐标为(1,1)-，又2R =，∴R =22(1)(1)2x y -++=，故选D ． 7．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =．矩形ABCD 的外接圆直径5AC ，且2PB =．∴三棱锥P ACD -外接球的直径为2R =()224229R R πππ=⨯=，故选C ．8．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5．2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的若视力4．1的视标边长为a ，则视力4．9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a-D ．91010a -【答案】C【解析】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -，由题意可得：1101110nn n n a a a ---=⇔=，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列，即911410591010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4．9的视标边长为4510a -，故选C ． 9．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点； ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点；③()f x 在（0,10π）单调递增； ④ω的取值范围是[1229510，)．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦． ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点，∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确； 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确； 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+<，即<3ϖ，∵1229510ω≤<，故③正确．故选D ．10．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)x y ，定义变换σ：将点(,)x y 变换为点(,)a b ，使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩其中ππ,(,)22a b ∈-．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数()()()()2123420,0,e 0,ln 1x y x x y x x y x y x x =>=>=>=>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ ）A ．②，③，①，④B ．③，②，④，①C ．②，③，④，①D ．③，②，①，④【答案】A【解析】由x tana y tanb=⎧⎨=⎩可得a arctanx b arctany =⎧⎨=⎩，对于()3e 0xy x =>，显然3331,arctan ,4y b y y π>∴=>∴对应的图象为①；对于()44ln 1,arctan arctan1,4y x x a x y π=>∴=>=∴对应的图象为④； 对于1y 和2y ，当02x <<时，222,arctan2arctan x x x x >∴>，即当0arctan2a <<时，12arctan arctan y y ∴>，1y ∴对应的图象为②，2y 对应的图象为③，故选A ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．双曲线22149y x -=的渐近线方程是 ．【答案】23y x =±【解析】Q 双曲线22149y x -=，∴双曲线22149y x-=的渐近线方程为22049y x -=，即23y x =±，故答案为23y x =±． 12．已知向量()()4,3,6,a b m =-=r r ，且a b ⊥v v，则m =_ ．【答案】8．【解析】向量()()4,3,6,,a b m a b =-=⊥r r r r ，则04630a b m ⋅=-⨯+=r r,，解得8m =．13．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成__________种重卦．（用数字作答）【答案】15【解析】由题设，卦的种数为2615C =，故答案为15．14．在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD = ；cos ABD ∠= ．【答案】5 10【解析】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，∴5BD =．cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=．15．函数()y f x =图象上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数321y x x =-+图象上两点A 、B 的横坐标分别为1，2，则(,)A B ϕ>； （2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； （3）设点A 、B 是抛物线，21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ…；（4）设曲线x y e =上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ<g恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞；以上正确命题的序号为 （写出所有正确的）． 【答案】（2）（3）【解析】对于（1），由321y x x =-+，得232y x x '=-，则1|1A x k y ='==，2|8B x k y ='==，11y =，25y =，则||AB||(,)||A B k k A B AB ϕ-==<（1）错误；对于（2），常数函数1y =满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确； 对于（3），设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2y x '=，则1222A B k k x x -=-，||AB12|x x =- ()2,21A B ϕ∴===，（3）正确； 对于（4），由xy e =，得x y e '=，()1212,x x x x A B ϕ=，(),1t A B ϕ⋅<恒成立，即12||x x t e e -<1t =时该式成立，∴（4）错误，故答案为：（2）（3）． 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1A OC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，∴由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾． 试题解析：（1）证明：取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． ∵在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴ //DE BC ，12DE BC =． ∵ H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，∴ //HF BC ，12HF BC =， ∴ //HF DE ，HF DE =，∴ 四边形DEFH 为平行四边形，∴ //EF HD ． ∵ EF ⊄平面1A BD ，HD ⊂平面1A BD ，∴ //EF 平面1A BD ．（2）证明：∵在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴ AD AE =． ∴11A D A E =，又O 为DE 的中点，∴ 1A O DE ⊥．∵平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ，∴ 1A O ⊥平面BCED ，∴ 1CO A O ⊥．在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==∴ CO BO ⊥，∴ CO ⊥平面1A OB ，∴ 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点．在△EOC 中，∵OC GE ⊥，∴EO EC =，这显然与1EO =，EC =∴线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．17．（本小题14分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是正项等比数列，且11431,2a b a b ==+=． 在①22a b =，②6243b =，③424S S =这三个条件中任选一个，回答下列为题： （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()()123f f f f n ++++L ．【答案】（1）121,3n n n a n b -=-=；（2）()11312n m -=+，()()()()3212341n f f f f n n ++++=-+L ．【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案． 试题解析：（1）若选①：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则21,132d q d q+=⎧⎨++=⎩，解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=． 若选②：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则由651q b b =得13,3n n q b -=∴=， 又432,139,2,21n a b d d a n +=∴+=∴=∴=-．若选③：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则()2434411,2132dd d q⨯⎧+=++⎪⎨⎪++=⎩， 解得2,3d q =⎧⎨=⎩或2,3d q =⎧⎨=-⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=． （2）∵m n a b =，∴1213n m --=，即()11312n m -=+， ∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++L L ()01113332n n -=++++L 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭3214n n +-=． 18．（本小题14分）某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望；（3） 如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【答案】（1）抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；（2）分布列见解析，1．2；（3）答案不唯一，具体见解析．【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；（3）该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合此数据作出合理的解释．试题解析：（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人）， 得分落在组(]20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）．∴所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]20,40的人数有3人． （2）X 的所有可能取值为0，1，2．()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===． ∴X 的分布列为∴X 的期望012 1.2101010EX =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．19．（本小题15分）已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． （1）当1a =-时，求()f x 过切点为()()1,f x 的切线方程；（2）若()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，求a 的值； （3）若不等式()f x x ≤恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）1y =-；（2）2e -；（3）11a e≤-．【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程； （2）根据a 的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出a 的值；(3)采用分离参数的方法，构造新函数，根据新函数的最值即可求解出a 的取值范围． 试题解析：（1）当1a =-时，()ln f x x x =-+，则()11f x x'=-+，∴()10k f '==切， 切点()()1,1f ，即()1,1-，∴切线方程为()()101y x --=-，即1y =-． （2）()1'1ax a x f xx +=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()1,e 上单调递增，()()1f x f e ae <=+，无最大值． 当0a <时，在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递增，若函数在()1,e 上取得最大值3-，则11e a<-<，且13f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2a e =-． （3）不等式()f x x ≤恒成立，则ln ax x x +≤恒成立，ln 1xa x≤-， 令()ln 1x g x x =-，（0x >），()21'lnxg x x-+=， 在()0,e 上，()0g x '<，()g x 单调递减；在(),e +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 11g x g e e ==-，∴11a e≤-． 20．（本小题14分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过点1F 的直线l 交椭圆C 于点A ，B （不与左右顶点重合），连接2F A 2F B ，已知2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）设2122F F F A F B λμ=+u u u u v u u u u v u u u u v ，若1192λμ+=，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）550x ++=或550x -+= 【解析】试题分析：（1）根据周长得到2a =，根据离心率得到1c =，得到椭圆方程． （2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x ty =-，联立方程利用韦达定理得到122634ty y t +=+，122934y y t =-+，代入式子2122F F F A F B λμ=+u u u u r u u u r u u u r 计算得到答案．试题解析：（1）()()212122248ABF C AF AF BF BF a a a ∆=+++=+==，则2a =，而12c e a ==，则1c =，b C 的方程为：22143x y +=．（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由于A ，B 不与左右顶点重合，则直线l 的斜率不为0，因此设直线:1l x ty =-，与椭圆C 的方程联立：221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>， 122634ty y t +=+①，122934y y t =-+② 11212122221212()y y F F F A AF F A AB F A F B F A y y y y =+=+=+---u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 21221212y y F A F B y y y y =-+--u u u r u u u r，因此212y y y λ-=-，112y y y μ=-，故12212112121111922y y y y y y y y y y λμ⎛⎫+=+=-+= ⎪-⎝⎭--，则122152y y y y +=-． 不妨设12y y >，解得122y y =-，即122y y =-③联立①②③，解得：t =，因此直线l的方程为：550x ++=或550x -+=． 21．（本小题14分）如图，将数字1，2，3，…，2n （3n ≥）全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为1a ，2a ，…，n a ，第二行填入的数字依次为1b ，2b ，…，n b ．记1nn i ii S a b==-∑1122n n a b a b a b =-+-+⋯+-．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值；（Ⅰ）给定正整数n ．试给出1a ，2a ，…，n a 的一组取值，使得无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；（Ⅰ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同．【答案】（Ⅰ）3，5，7，9．（Ⅰ）2n S n =（Ⅰ）奇偶性相同．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，易知3S 的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅰ）令i a i =（1i =，2，…，n ），则无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =．∵i a i =，∴{}1,2,,2i b n n n ∈++⋯，（1i =，2，…，n ），∵i i a b <（1i =，2，…，n ），∴21nn i i i S a b n ==-=∑．（Ⅰ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．不妨设i i a b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中i =1，2，…，n ，则1111nnnnn iiiiiii i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑（），∵()2121ni A B i n n =+==+∑，∴A B +与n 具有相同的奇偶性，又∵n S A B =-与n 的奇偶性相同，∴n S 的所有可能取值的奇偶性相同． 试题解析：（Ⅰ）3S 的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅰ）令i a i =（1i =，2，…，n ），则无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =．∵i a i =，∴{}1,2,,2i b n n n ∈++⋯，（1i =，2，…，n ）， ∵i i a b <（1i =，2，…，n ），∴()22111111)n n n n n nn iiiiiii i i i i n i S a b b a b a i i n=====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑．（Ⅰ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变． 不妨设i i a b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中i =1，2，…，n ，则1111nnnnn iiiiiii i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑（），∵()()21221212ni n n A B i n n =++===+∑，∴A B +与n 具有相同的奇偶性，又∵n S A B =-与n 的奇偶性相同，∴n S 的所有可能取值的奇偶性相同．。

2023-2024学年北京市高三三模数学模拟试题一、单选题1．如图，集合A B ､均为U 的子集，()U A B ⋂ð表示的区域为（）A ．IB ．IIC ．IIID ．IV【正确答案】D【分析】由补集和交集的概念求解即可.【详解】由补集的概念，U A ð表示的区域如下图所示阴影区域，∴()U A B ⋂ð表示的区域为下图所示阴影区域，即为图中的区域Ⅳ.故选：D.2．在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）A ．()tan =f x xB ．()f x x =C ．()2xf x =D ．()2f x x=【正确答案】C【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断.【详解】解：A.()tan =f x x 的增区间为πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，在整个定义域上不单调，故错误；B.()f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；C.()2xf x =在R 上递增，故正确；D.()2f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；故选：C3．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．已知tan 2x =，则tan 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．3B ．－3C ．13D ．34-【正确答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为tan 2x =，所以πtan tanπ214tan 3π41211tan tan 4x x x ++⎛⎫+===- ⎪-⋅⎝⎭-⋅，故选：B5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2023年5月1日12350002023年5月15日6035500注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【正确答案】D【分析】分析表中数据，得出行驶路径和耗油量，可计算结果.【详解】由表中的数据可知，行驶路径500千米耗油量为60升，则该车每100千米平均耗油量为60125=升.故选：D6．已知||1,||0OA OB OA OB =⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒.设()OC mOA nOB m n =+∈R、，则mn等于（）A ．13B ．3CD 【正确答案】B【分析】由题意可得OA OB ⊥,建立坐标系，由已知条件可得()OC m =，进而可得tan 30︒==，即可得答案.【详解】解：因为||1,||0OA OB OA OB =⋅=，所以OA OB ⊥ ,又因为点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，建立如图所示的坐标系：则(1,0)OA = ,OB =,又因为()OC mOA nOB m n =+∈R、，所以()OC m =，所以tan 303m ︒==，所以3mn=.故选：B.7．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.8．已知{}n a 为无穷等差数列，则“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据等差数列性质结合充分、必要条件分析判断.【详解】“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”，不能推出“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，例如32n a n =-，则121,1a a ==-，即1,2i j ==，满足120i j a a a a +=+=，但令320k a k =-=，则*32k =∉N ，故不存在存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的不充分条件；若“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，则取11,1i k j k =-≥=+，则1120i j k k k a a a a a -++=+==，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要条件；综上所述：“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要不充分条件.故选：B.9．十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++=+ （其中γ为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计111200012000230000+++ 的值为（）A ．4ln10B ．ln6C ．ln2D ．3ln2【正确答案】D【分析】根据已知结论得两个等式相减即可得解.【详解】由题意得1111ln300002330000γ++++=+ ,1111ln200002320000γ++++=+ ，两式相减得，111300003ln 30000ln 20000ln ln 200012000230000200002+++=-== .故选：D ．10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”.已知常数0,0p q ≥≥，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个；③若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案.【详解】解：①，若0p q ==，则“距离坐标”为()0,0的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，故正确.②，若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为()0,q 或(),0p 的点有且仅有2个，故正确.③若0pq ≠，则0,0p q ≠≠，“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，为123,,,M M M M ，如图，故正确.故正确的命题个数为3个.故选：D二、填空题11．若5(1a =+,a b 为有理数），则a b +=_______________．【正确答案】120【分析】利用二项式定理展开5(1并计算，再利用有理项、无理项求解作答.【详解】由二项式定理得：1234555555513C 9C 97644(1=+++++=+依题意，76a +=+,a b 为有理数，因此76,44a b ==，所以120a b +=.故12012．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第2次按对的概率是_________．【正确答案】14/0.25【分析】根据条件概率公式直接计算即可.【详解】记事件A ：第一次没有按对密码；事件B ：第二次按对密码；()45P A =，()411545P AB =⨯=，()()()14P AB P B A P A ∴==.故答案为.14三、双空题13．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则bc=_______，cos A 的值为________．【正确答案】3214-【分析】利用正弦定理边角互化即可求得b c，利用余弦定理即可求得cos A .【详解】因为ABC 中，2sin 3sin B C =，所以由正弦定理可得23b c =，即32b c =.又因为14b c a -=，所以2a c =，所以由余弦定理可得()2222223212cos 32422c c c b c a A bc c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⨯⨯，故32；14-14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的正整数n ，都满足：11122n nn a a +-=+，若112a =，则3a =________，2023S =______________．【正确答案】11220232024【分析】直接利用条件可递推出第三项，利用累加法可得数列通项再用裂项相消法求和即可.【详解】由11122n n n a a +-=+和112a =可得：21232311111146,612,a a a a a a -=⇒=∴-=⇒=即3a =112；由11122n n n a a +-=+可得：()112211111112,21,...,4n n n n n n a a a a a a ----=-=--=，累加得()()()124111111211n n n n a a a n n n n +--=⇒==-++，所以20231111112023 (1223202320242024)S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故112，20232024四、填空题15．已知曲线:44C x x y y -=．①若00(,)P x y 为曲线C 上一点，则0020x y ->；②曲线C 在()0,1-处的切线斜率为0；③R,20m x y m ∃∈-+=与曲线C 有四个交点；④直线20x y m -+=与曲线C无公共点当且仅当((),0,m ∈-∞⋃+∞．其中所有正确结论的序号是_____________．【正确答案】①②【分析】分x 、y 的符号情况化简曲线C 的方程，从而可画出曲线C 的图象，结合图象逐一分析即可.【详解】当0x ≥，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y -=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；当0x ≥，0y <时，曲线C 的方程为2244x y +=，即2214x y +=，曲线C 是椭圆的一部分；当0x <，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y --=，曲线C 不存在；当0x <，0y <时，曲线C 的方程为2244x y -+=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；双曲线2214x y -=和2214y x -=有一条共同的渐近线20x y -=，综上，可作出曲线C的图象，如图：由图象可知曲线C 的图象上的点都在直线20x y -=的下方，所以当00(,)P x y 在曲线C 上时，有0020x y ->，故①正确；设过点()0,1-的直线l 的方程是1y kx =-，若直线l 与椭圆2214x y +=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得221408()k x kx -+=，2640k ∆==，得0k =；若直线l 与双曲线2214x y -=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(41)80k x kx --=，则2410k -≠且2640k ∆==，得0k =，此时直线l 的方程是1y =-，与曲线C 相切，故②正确；直线20x y m -+=是表示与直线20x y -=平行或重合的直线，由曲线C 的图象可知，直线20x y m -+=与曲线C 不可能有四个交点，故③错误；设直线20x y n -+=与椭圆2214x y +=相切，则由222014x y n x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得228440y ny n -+-=，所以221632(4)0n n ∆=--=，解得n =±C的图象，取n =-，即直线20x y --=与曲线C 相切，所以若直线20x y m -+=与曲线C 无公共点，结合曲线C 的图象，0m ≥或m <-.故①②.方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.五、解答题16．在ABC 中，76cos a b B =．(1)若3sin 7A =，求B ∠；(2)若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在.求ABC 的面积条件①：sin 47A =；条件②：sin B =【正确答案】(1)4π；(2)【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得4sin 23B =，ABC 不存在；若选②：先判断cos 0B >，再由sin 2B =求出cos B ，由73a b =及余弦定理求得a ，再计算面积即可.【详解】（1）由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又3sin 7A =，故sin 21B =，又()0,B π∈，故22B π=，4B π=；（2）若选①：由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又sin 47A =，故4sin 23B =，此时ABC 不存在；若选②：由7cos 06a B b =>，又sin 2B =，则1cos 2B =，73a b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2276483a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得3a =或245a =-（舍去），故ABC的面积为1sin 2ac B =.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//ABCD AD AB AB DC ⊥，2,1AD DC AP AB ====，点E 为棱PC的中点．（1）证明：BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2（3．【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ⊥，；（2）向量法：先求平面PBD 的法向量A ，然后利用公式1sin cos ,n BE n BE n BEθ⋅==⋅ 求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面ABF 和平面PBA 的法向量12,n n ，再利用公式121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅ 来求二面角F AB P --的余弦值．【详解】依题意，以点E 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得(1,0,0),(2,2,0)B C ，(0,2,0),(0,0,2)D P ，由点E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE = ，()2,0,0DC = ，故0BE DC ⋅= ．∴BE CD ⊥．（2）向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=- ，设()1,,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1z =，可得()2,1,1n = 为平面PBD 的一个法向量．于是有3cos ,||||62n BE n BE n BE ⨯〈〉==⨯⨯ ，∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33．（3）()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--== ，由点F 在棱PC 上，故(12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=-- ，由BF AC ⊥，得+22(12)(22=0)l l --，解得34l =，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设1(,,)n x y z = 为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =- 为平面ABF 的一个法向量．取平面PAB 的法向量2(0,1,0)n = ，则121212310cos ,1010n n n n n n ⋅===-⋅ ．易知，二面角F AB P --31010．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数X ；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.【正确答案】（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；（3）根据后继一周都有提升可得两次活动效果均好．【详解】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：959892889494838085929596191%12100x +++++++++++=⨯=.（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，()1212044464P X ==⨯⨯=，()3211211444444P X ==⨯⨯+⨯⨯1231444464+⨯⨯=，()3213212444444P X ==⨯⨯+⨯⨯3233044464+⨯⨯=，()32318344464P X ==⨯⨯=，∴X 的分布列为：X 0123P 1327321532932171590123232323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%94%→和80%到85%看出，后继一周都有提升．本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．已知函数()ln f x ax x x =-．(1)当1a =时，求()f x 的零点；(2)讨论()f x 在[]1,e 上的最大值；(3)是否存在实数a ，使得对任意0x >，都有()f x a ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)ex =(2)答案见解析(3)存在，a 的取值范围是1a =【分析】（1）利用导函数判断()f x 的单调性，进而判断零点的情况即可；（2）利用导函数判断()f x 在区间[]1,e 的单调性，进而求最值即可；（3）由题意只需()max f x a ≤即可，利用（2）中结论即1e 0a a --≤，利用导数求a 的范围即可.【详解】（1）()ln f x ax x x =-的定义域为()0,∞+，当1a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又因为当0x →时()0f x >，()11f =，()e 0f =，所以()f x 仅有一个零点，e x =.（2）()1ln f x a x =--'，令()0f x '=，解得1e a x -=，在区间()0,∞+内，x ()10,e a -1e a -()1e,a -+∞()f x '+0-()f x 单调递增极大值单调递减当1e 1a -≤（即1a ≤）时，在[]1,e 上()f x 单调递减，()max ()1f x f a ==，当1e e a -≥（即2a ≥）时，在[]1,e 上()f x 单调递增，()max ()e e e f x f a ==-，当11e e a -<<（即12a <<）时，在1e ,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递增，在11,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递减，()()1111max ()e e e 1e a a a a f x f a a ----==--=．综上所述，当1a ≤时，()f x 的最大值为a ，当2a ≥时，()f x 的最大值为e e a -，当12a <<时，()f x 的最大值为1e a -.（3）由（2）知在()0,∞+上，()11max ()ee a af x f --==，构造函数()()11e e a a g a f a a --=-=-，由题意应使()0g a ≤，()1e 1a g a -'=-，令()0g a '=，解得1a =．a (),1-∞1()1,+∞()g a '-0+()g a 单调递减极小值单调递增所以()min ()10g a g ==，所以使()0g a ≤的实数a 只有1a =，即a 的取值范围是1a =．20．已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【正确答案】（Ⅰ（Ⅱ）1；（Ⅲ）平行，理由见解析．【详解】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c e a=计算离心率；（Ⅱ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c所以椭圆C 的离心率c e a ==.（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -.直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE .当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--.令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233{(1)x y y k x +==-，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-.因为()()()()()()()11212121131232132BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=--0=，所以1BM DE k k ==.所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.21．若项数为()3N N ≥的数列12:,,,N N A a a a 满足：()*11,N 2,3,,i a a i N =∈= ，且存在{}2,3,,1M N ∈- ，使得{}{}11,2,111,2,1n n n M a a M n N +⎧≤≤-⎪-∈⎨--≤≤-⎪⎩，则称数列N A 具有性质P .(1)①若3N =，写出所有具有性质P 的数列3A ；②若44,3N a ==，写出一个具有性质P 的数列4A ；(2)若2024N =，数列2024A 具有性质P ，求2024A 的最大项的最小值；(3)已知数列1212:,,,,:,,,N N N N A a a a B b b b 均具有性质P ，且对任意{},1,2,,i j N ∈ ，当i j ≠时，都有,i j i j a a b b ≠≠．记集合{}112,,,N T a a a = ，{}212,,,N T b b b = ，求12T T ⋂中元素个数的最小值.【正确答案】(1)①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）(2)1013(3)3【分析】（1）直接根据性质P 的概念一一列举即可；（2）根据性质P 及累加法得M a M ≥和2025M a M ≥-，两式相加即可求解；（3）根据性质P 及累加法得23M a N ≤-，23M b N ≤-，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值.【详解】（1）①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）（2）当2024N =时，{}2,3,,2023M ∈ ．由12111,1,,1M M a a a a a -=-≥-≥ ，累加得M a M ≥；又由20242023202411,1,,1M M a a a a a +≥-≥-≥ ，累加得2025M a M ≥-；相加得22025M a ≥，又*M a ∈N ，所以1013M a ≥.所以数列2024A 的最大项M a 的最小值为1013，一个满足条件的数列为()()1,2,,101320261014,1015,,2024n n n a n n ⎧=⎪=⎨-=⎪⎩ ；（3）由12111,2,,2M M a a a a a -=-≤-≤ ，累加得21M a M ≤-．又1M N ≤-，所以23M a N ≤-，同理，23M b N ≤-，所以{}()12121,2,,23,card 23T T N T T N ⋃⊆-⋃≤- ，因为()()12card card T T N ==，所以()()()()121212card card card card 3T T T T T T ⋂=+-⋃≥，所以12T T ⋂中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为()()()()()11211,2,,1222,3,,12425n n n n n N a b n n N N n N N n N ⎧=⎧-=-⎪⎪==-=-⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎩ ，此时{}121,24,25T T N N ⋂=--.思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；(3)将已知条件代入新定义的要素中；(4)结合数学知识进行解答.。

2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第1题4分2017~2018学年10月安徽合肥巢湖市巢湖市柘皋中学高一上学期月考第5题5分2017年北京东城区高三二模文科第1题5分已知全集U是实数集R，右边的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）．A. {x|x<2}B. {x|1<x<2}C. {x|x>3}D. {x|x⩽1}2、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第2题4分复数z=3+5i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）．1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第3题4分下列函数中有最小值的是（）．A. y=2xB. y=√x+1C. y=tan⁡xD. y=lg⁡|x|4、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第4题4分2020~2021学年12月重庆长寿区高二上学期月考第5题5分直线l与圆O:x2+y2=1交于A，B两点，若AB=√2，则点O到直线l的距离为（）．A. √2B. 1C. √22D. 125、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第5题4分已知非零向量a→，b→满足a→=λb→，则“λ=1”是“a→2=b→2”的（）．A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第6题4分某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（）．A. 23B. 43C. 1D. 27、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第7题4分给出下列四个函数：①y=x⋅sin⁡x；②y=x⋅cos⁡x；③y=x⋅|cos x|；④y=x⋅2x．这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）．A. ③④②①B. ①④③②C. ④①②③D. ①④②③8、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第8题4分已知平面向量a→，b→的夹角为π3，且a→⋅b→=1，则|a→+b→|的最小值为（）．A. 1B. √2C. 2D. √69、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第9题4分如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为3，点E在棱BC上，且满足BE=2EC，动点M在正方体表面上运动，且ME⊥BD1，则动点M的轨迹的周长为（）．A. 6√2B. 4√3C. 4√2D. 3√310、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第10题4分设函数f(x)=sin⁡(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有2个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有3个极小值点；③f(x)在(0,π10)单调递增；④ω的取值范围是[125,2910)；其中所有正确结论的编号是（）．A. ①④B. ③④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第11题5分2018年甘肃兰州高三二模理科第15题5分(x2−1x )6的展开式中，常数项的值为（用数字作答）．12、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第12题5分已知双曲线x 2a2−y2b2=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√33x，且一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则该双曲线的方程为．13、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第13题5分已知等差数列{a n}的首项为2，等比数列{b n}的公比为2，S n是数列{b n}的前n项和，且b n= (√2)a n．则a4=，S5=．14、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第14题5分中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2q 10（米/秒），其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时耗氧量为；若某只两岁的燕子耗氧量为q1时的飞行速度为v1（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为q2时的飞行速度为v2（米/秒），两只燕子同时起飞，当q1=4q2时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为米．15、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第15题5分已知函数f(x)=x2+1，直线l:y=ax+2与x轴和y轴分别交于点D，B，直线l与函数f(x)的图象交于A，C两点（点C在点B，D之间），给出下列四个结论：①若点E为y轴上一点，则存在符合条件的点E和实数a，使得△ABE为等边三角形；②记f(a)=|AC||DC|，则1∈{y|y=f(a)}；③记ℎ(a)=|AB||BC|，则ℎ(a)的值域为(0,+∞)；④记g(a)=max {|AB|,|CB|}min{|AB|,|CB|}，则对任意的非零数实数a，都有g(a)g(−a)=1成立．（max{x1,x2}表示x1，x2中最大的数，min{x1,x2}表示x1，x2，中最小的数）．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第16题14分如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D是AB的中点，AA1=AC=CB=2，AB= 2√2．(1) 证明：BC1//平面A1CD．(2) 求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值．17、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第17题14分2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．下表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：（单位：例）请根据以上信息，回答下列问题：(1) 记前四天治愈人数的平均数和方差分别为x1和s12，后三天治愈人数的平均数和方差分别为x2和s22，判断x1与x2，s12与s22的大小（直接写出结论）．(2) 从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率．(3) 设集合M={(x i,x i+1)|x i表示2月i日的治愈人数i=12,13,⋯,17}，从集合M中任取两个元素，设其中满足x i<x i+1的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．18、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第18题14分已知△ABC中，cb<cos⁡A．(1) 求证：B为钝角．(2) 若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sin⁡A=√22；②a=2；③c=√2；④sin⁡C=√32，请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值．19、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第19题14分已知曲线C:x 24+y23=1(y⩾0),直线l:y=kx+1与曲线C交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．(1) 当点B坐标为(−1,0)时，求k的值．(2) 记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为S2．求证：S1S2⩾12.20、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第20题15分已知函数f(x)=(x−1)e x−aln⁡x(a⩽e)．(1) 当a=e时，①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．②求函数f(x)的最小值．(2) 若曲线y=f(x)与x轴有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．21、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第21题14分2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高一下学期期末（成达学部）第18题12分对给定的正整数n，令Ωn={a=(a1,a2,⋯,a n)|a i∈{0,1}i=1,2,⋯,n}，对任意的x=(x1,x2,⋯,x n)，y=(y1,y2,⋯,y n)∈Ωn，定义x与y的距离d(x,y)=|x1−y1|+|x2−y2|+⋯+|x n−y n|，设A是Ωn的含有至少两个元素的子集，集合D={d(x,y)|x≠y,x,y∈A}中的最小值称为A的特征，记作χ(A)．(1) 当n=3时，直接写出下述集合的特征A={(0,0,0),(1,1,1)},B={(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}，C={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}．(2) 当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=2，求A中元素个数的最大值．(3) 当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=3，求证：A中的元素个数小于22020．20211 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】15;−y2=1;12 、【答案】x2313 、【答案】8;62;14 、【答案】10;600;15 、【答案】①②④;16 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √3．3;17 、【答案】 (1) x1<x2；s12<s22．;(2) 1．3;(3) X的分布列为：E(X)=4．3;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) ①②③，1+√3；证明见解析．;.19 、【答案】 (1) −12;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1)①y=0．②0．;(2) (−∞,0]∪{e}．;21 、【答案】 (1) χ(A)=3，χ(B)=2，χ(C)=1．;(2) 22019．;(3) 证明见解析．;。

2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣13．双曲线4x2﹣y2＝1的离心率为（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣x B．y＝x2﹣1C．y＝cos x D．y＝x5．若b＞a＞1，则下列不等式一定正确的是（）A．ab＞2B．a+b＜2C．D．6．在的展开式中，x3的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．107．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容量约为（）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm38．设{a n}为等差数列，p、q、k、l为正整数，则“p+q＞k+l”是“a p+a q＞a k+a l”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”，如图所示，放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线y＝a（x﹣2）与黑色阴影部分有公共点③当a∈[0，1]时，直线y＝a（x﹣2）与黑色阴影部分有两个公共点其中所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．③D．①②10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1田径综合赛项目及积分规则项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分表2某队模拟成绩明细姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲13.3 1.2411.8乙12.6 1.311.4丙12.9 1.2611.7丁13.1 1.2211.6根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题11．已知向量＝（1，2），＝（3，t），且∥，则t＝．12．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，c2＝2ab且sin A＝sin C，则cos A ＝．13．抛物线y2＝2px上一点M到焦点F（1，0）的距离等于4，则p＝；点M的坐标为．14．已知函数f（x）＝sinωx，g（x）＝cosωx，其中ω＞0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω＝1时，△ABC面积的最小值为；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）四、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AB＝4，AD＝3，过BC 的中点F作EF∥AB，交AD于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD、AC、BC．（1）求证：BE∥平面ACD；（2）若平面CDEF⊥平面ABFE，求二面角B﹣AC﹣D的大小．17．在①a3＝5，a2+a5＝6b2；②b2＝2，a3+a4＝3b3；③S3＝9，a4+a5＝8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差为d（d＞1），前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．18．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分（满意）121202201 5分（一般）2362490分（不满意）106344（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．19．已知函数，其中a＞﹣1（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（3）若对于x∈R恒成立，求b﹣a的最大值．20．已知点E在椭圆上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C 的右焦点F2，与y轴相交于A，B两点，且△ABE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知圆，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出|PM|•|PN|的值；若不过定点，请说明理由．21．已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（Ⅱ）已知集合{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{a i，a j}⊆M，总存在M 的关联子集A，使得{a i，a j}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；（Ⅲ）集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣1【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解：复数z＝＝＝+i为纯虚数，∴＝0，≠0，解得a＝﹣1．故选：D．3．双曲线4x2﹣y2＝1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线4x2﹣y2＝1能够求出a和c，从而求出它的离心率．解：由题设条件可知：a＝，c＝，∴e＝＝．故选：A．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣x B．y＝x2﹣1C．y＝cos x D．y＝x【分析】根据奇函数、偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及二次函数、一次函数及余弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．解：A．y＝﹣x在（0，+∞）上单调递减，该选项错误；B．y＝x2﹣1为偶函数，且x＞0时为增函数数；符合题意；C．y＝cos x在（0，+∞）不单调，该选项错误；D．y＝的图象不关于y轴对称，不是偶函数，该选项错误．故选：B．5．若b＞a＞1，则下列不等式一定正确的是（）A．ab＞2B．a+b＜2C．D．【分析】A，B，C均可取反例排除，对于D，利用基本不等式说明即可．解：当b＝＝，a＝时，ab＝＜2；故A错；此时a+b＝＞2，故B错；而＝＞＝，故C错；因为：a＞0，b＞0，∴+≥2，而a≠b，所以+＞2，故D对．故选：D．6．在的展开式中，x3的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．10【分析】写出（x﹣）5的展开式的通项公式，令5﹣2r＝3，即可求得结论．解：（x﹣）5的展开式的通项公式为T r+1＝＝令5﹣2r＝3，则r＝1，∴（x﹣）5的展开式中含x3项的系数是﹣5故选：A．7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容量约为（）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3【分析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．解：设大圆锥的高为h，所以，解得h＝10．故cm3．故选：B．8．设{a n}为等差数列，p、q、k、l为正整数，则“p+q＞k+l”是“a p+a q＞a k+a l”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的通项公式证明已知“p+q＞k+l”是否推出“a p+a q＞a k+a l”，反之，已知“a p+a q＞a k+a l”，是否推出“p+q＞k+l”即可．解：∵{a n}为等差数列，p、q、k、l为正整数，设公差为d；则（a p+a q）﹣（a k+a1）＝[a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d]﹣[a1+（k﹣1）d+a1]＝[（p+q）﹣（k+1）]d；若已知“p+q＞k+l”，当d＞0时，有a p+a q＞a k+a l；当d≤0时，有a p+a q≤a k+a l；∴“p+q＞k+l”推不出“a p+a q＞a k+a l”；若已知“a p+a q＞a k+a l”，当d＞0时，有“p+q＞k+l”；当d＜0时，有“p+q＜k+l”；∴a p+a q＞a k+a l”，推不出“p+q＞k+l”；∴“p+q＞k+l”是“a p+a q＞a k+a l”的既不充分也不必要条件；故选：D．9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”，如图所示，放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线y＝a（x﹣2）与黑色阴影部分有公共点③当a∈[0，1]时，直线y＝a（x﹣2）与黑色阴影部分有两个公共点其中所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．③D．①②【分析】由几何概型概率的求法判断①；利用直线与圆的位置关系判断②；举例说明③错误．解：由对称性可知，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，故①正确；当时，直线y＝a（x﹣2）化为y＝，即4x+3y﹣8＝0．此时点（0，1）到直线4x+3y﹣8＝0的距离d＝，直线y＝a（x﹣2）与黑色阴影部分有公共点，故②正确；当a＝0时，直线y＝a（x﹣2）为y＝0，与黑色阴影部分有无数公共点，故③错误．∴所有正确结论的序号是①②．故选：D．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1田径综合赛项目及积分规则项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分表2某队模拟成绩明细姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲13.3 1.2411.8乙12.6 1.311.4丙12.9 1.2611.7丁13.1 1.2211.6根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】由题意计算四名运动员的各项得分成绩，求出综合得分最高的，即可得出结论．解：由题意知，四名运动员的各项得分成绩如下；姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）合计甲456475184乙807055205丙656670201丁556265182由表中数据知，乙的综合得分最高，应选乙参加比赛．故选：B．二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量＝（1，2），＝（3，t），且∥，则t＝6．【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可．解：由向量＝（1，2），＝（3，x），若∥，可得x＝2×3＝6．故答案为：6．12．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，c2＝2ab且sin A＝sin C，则cos A＝．【分析】结合正弦定理与余弦定理即可求解．解：c2＝2ab且sin A＝sin C，由正弦定理可得，2a＝c，∴b＝c＝2a，则cos A＝＝．故答案为：13．抛物线y2＝2px上一点M到焦点F（1，0）的距离等于4，则p＝2；点M的坐标为（3，±2）．【分析】由抛物线y2＝2px的焦点坐标为（，0），可得p的值；由抛物线的定义，可得M的横坐标，代入抛物线方程可得M的坐标．解：抛物线y2＝2px的焦点坐标为（，0），由题意可得＝1，即p＝2；抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，设M（m，n），可得m+1＝4，即m＝3，可得n2＝12，即n＝±2，故答案为：2，（3，±2）．14．已知函数f（x）＝sinωx，g（x）＝cosωx，其中ω＞0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω＝1时，△ABC面积的最小值为2π；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为．【分析】①直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积．②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值．解：函数f（x）＝sinωx，g（x）＝cosωx，其中ω＞0，A，B，C是这两个函数图象的交点，当ω＝1时，f（x）＝，g（x）＝．所以函数的交点间的距离为一个周期2π．高为．所以：．如图所示：①当ω＝1时，△ABC面积的最小值为2π；②若存在△ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，解得ω的最小值为．故答案为：2π．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是②③．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．四、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AB＝4，AD＝3，过BC 的中点F作EF∥AB，交AD于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD、AC、BC．（1）求证：BE∥平面ACD；（2）若平面CDEF⊥平面ABFE，求二面角B﹣AC﹣D的大小．【分析】（1）作图，容易证明四边形DEOG为平行四边形，进而得到BE∥DG，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BAC及平面DAC的法向量，运用向量的夹角公式直接计算即可．解：（1）证明：连接AF交BE于点O，设G为AC的中点，连接OG，DG，如图所示，由题意知，四边形ABFE为平行四边形，则O为AF的中点，故OG∥CF，且，由已知得，DE∥CF，且，∴DE∥OG且DE＝OG，∴四边形DEOG为平行四边形，∴OE∥DG，即BE∥DG，∵DG在平面ACD内，BE不在平面ACD内，∴BE∥平面ACD；（2）由已知可得四边形ABFE为边长为2的正方形，所以AE⊥EF，由于平面CDEF⊥平面ABFE，且DE⊥EF，则DE⊥平面ABFE，所以DE⊥AE，故EA，EF，ED两两垂直，以E为坐标原点，EA，EF，ED分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如右图所示，则E（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），F（0，2，0），D（0，0，1），C（0，2，2），可得，设平面BAC的一个法向量为，则，即，则，设平面DAC的一个法向量为，则，即，则，∴，显然，二面角B﹣AC﹣D的平面角为钝角，所以所求二面角B﹣AC﹣D的大小为．17．在①a3＝5，a2+a5＝6b2；②b2＝2，a3+a4＝3b3；③S3＝9，a4+a5＝8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差为d（d＞1），前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，b2＝2，a3+a4＝3b3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】选择②b2＝2，a3+a4＝3b3；（1）设a1＝b1＝t，d＝q＞1，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求；（2）求得＝（2n﹣1）•（）n﹣1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：选择②b2＝2，a3+a4＝3b3；（1）设a1＝b1＝t，d＝q＞1，由b2＝2，a3+a4＝3b3，可得tq＝2，2t+5d＝3tq2，又d＝q，解得d＝q＝2，t＝1，可得a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；b n＝2n﹣1；（2）＝（2n﹣1）•（）n﹣1，前n项和T n＝1•1+3•+5•+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，T n＝1•+3•+5•+…+（2n﹣1）•（）n，两式相减可得T n＝1+1+++…+（）n﹣2﹣（2n﹣1）•（）n，＝1+﹣（n﹣1）•（）n，化简可得T n＝6﹣（2n+3）•（）n﹣1．18．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分（满意）121202201 5分（一般）2362490分（不满106344意）（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．【分析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出X的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．解：（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）由题意，X的所有可能取值为：0，1，2，因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是，所以，，，所以随机变量X的分布列为：x012P故；（3）从满意度的均值来分析问题如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，乘坐飞机的人满意度均值为：，因为，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．19．已知函数，其中a＞﹣1（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（3）若对于x∈R恒成立，求b﹣a的最大值．【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据f'（x）＝e x﹣1+x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f'（0）＝0，分别解不等式f'（x）＞0以及f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调增区间和减区间；（3）由题意得e x﹣（a+1）x﹣b≥0在x∈R上恒成立，设g（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，用导数讨论函数的单调性，求出最小值g（ln（a+1））≥0，可得b﹣a≤1﹣（a+1）ln （a+1）．再设h（x）＝1﹣xlnx（x＞0），求出函数h（x）的最大值，即为b﹣a的最大值．解：（1）由，得f'（x）＝e x+x，所以f（0）＝1，f'（0）＝1．所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x﹣y+1＝0．（2）由，得f'（x）＝e x﹣1+x．因为f'（0）＝0，且f'（x）＝e x﹣1+x在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以由f'（x）＝e x﹣1+x＞0得，x＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f'（x）＝e x﹣1+x＜0得，x＜0所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．综上，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）．（3）由，得e x﹣（a+1）x﹣b≥0在x∈R上恒成立．设g（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，则g'（x）＝e x﹣（a+1）．由g'（x）＝e x﹣（a+1）＝0，得x＝ln（a+1），（a＞﹣1）．随着x变化，g'（x）与g（x）的变化情况如下表所示：x（﹣∞，ln（a+1））ln（a+1）（ln（a+1），+∞）g'（x）﹣0+g（x）↘极小值↗所以g（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．所以函数g（x）的最小值为g（ln（a+1））＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b．由题意，得g（ln（a+1））≥0，即b﹣a≤1﹣（a+1）ln（a+1）．设h（x）＝1﹣xlnx（x＞0），则h'（x）＝﹣lnx﹣1．因为当时，﹣lnx﹣1＞0；当时，﹣lnx﹣1＜0，所以h（x ）在上单调递增，在上单调递减．所以当时，．所以当，b＝a+1﹣（a+1）ln（a+1），即，时，b﹣a 有最大值为．20．已知点E 在椭圆上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点F2，与y轴相交于A，B两点，且△ABE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知圆，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出|PM|•|PN|的值；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得EF2⊥x轴，求得E的坐标，由等边三角形的定义和性质可得a，b的方程，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）讨论当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在，当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在，可设切线方程为y＝kx+m，结合向量的数量积的性质，垂直的条件：数量积为0，以及直角三角形的射影定理可得所求定值．解：（Ⅰ）由题意可得EF2⊥x轴，可得E（c，），△ABE是边长为2的正三角形，可得c＝•2＝，则＝2，且a2﹣b2＝3，解得a＝3，b＝，可得椭圆方程为；（Ⅱ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在，可设切线方程为x＝，由（Ⅰ）可得M（，），N（，﹣），•＝﹣＝0，可得OM⊥ON，此时|PM|•|PN|＝|OP|2＝r2＝；当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在，可设切线方程为y＝kx+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线和圆相切可得＝，即5m2＝18（1+k2），联立直线方程y＝kx+m和椭圆方程2x2+3y2＝18，可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣18＝0，即有△＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）•+km（﹣）+m2＝＝＝0，可得OM⊥ON，此时|PM|•|PN|＝|OP|2＝r2＝．综上可得，|PM|•|PN|＝为定值．21．已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（Ⅱ）已知集合{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{a i，a j}⊆M，总存在M 的关联子集A，使得{a i，a j}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；（Ⅲ）集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得．【分析】（Ⅰ）根据题意即可求解；（Ⅱ）根据题意，A1＝{a2，a3，a4，a5}，A2＝{a1，a3，a4，a5}，A3＝{a1，a2，a4，a5}，A4＝{a1，a2，a3，a5}，A5＝{a1，a2，a3，a4}，进而利用反证法求解；（Ⅲ）不妨设集合M＝{a1，a2，…，a n}（n≥5），a i∈N*，i＝1，2，…，n，且a1＜a2＜…＜a n，记T＝{t|t＝a i+a j，1≤t＜j≤n，i，j∈N*}，进而利用反证法求解；解：（I）{2，4，6，8，10}是“关联的”，关联子集有{2，4，6，8}，{4，6，8，10}，{2，4，8，10}，{1，2，3，5，8}是“独立的”．（Ⅱ）记集合M的含有四个元素的集合分别为：A1＝{a2，a3，a4，a5}，A2＝{a1，a3，a4，a5}，A3＝{a1，a2，a4，a5}，A4＝{a1，a2，a3，a5}，A5＝{a1，a2，a3，a4}，所以，M至多有5个“关联子集”，若A2＝{a1，a3，a4，a5}为“关联子集”，则A1＝{a2，a3，a4，a5}，不是“关联子集”，否则a1＝a2，同理可得若A2＝{a1，a3，a4，a5}为“关联子集”，则A3，A4不是“关联子集”，所以集合M没有同事含有元素a2，a5的“关联子集”，与已知矛盾．所以A2＝{a1，a3，a4，a5}一定不是“关联子集”，同理A4＝{a1，a2，a3，a5}一定不是“关联子集”，所以集合M的“关联子集”至多为A1，A3，A5，若A1不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a3，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A3不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A5不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a3的“关联子集”，与已知矛盾；所以A1，A3，A5都是“关联子集”，所以有a2+a5＝a3+a4，即a5﹣a4＝a3﹣a2；a1+a5＝a2+a4，即a5﹣a4＝a2﹣a1；a1+a4＝a2+a3，即a4﹣a3＝a2﹣a1；所以a5﹣a4＝a4﹣a3＝a2﹣a1，所以a1，a2，a3，a4，a5是等差数列．（Ⅲ）不妨设集合M＝{a1，a2，…，a n}（n≥5），a i∈N*，i＝1，2，…，n，且a1＜a2＜…＜a n，记T＝{t|t＝a i+a j，1≤t＜j≤n，i，j∈N*}，因为集合M是“独立的”的，所以容易知道T中恰好由C＝个元素，假设结论错误，即不存在x∈M，使得x＞，所以任取x∈M，x≤，因为x∈N*，所以x≤，所以a i+a j≤+﹣1＝﹣1＝+3，所以任取t∈T，t≤+3，任取t∈T，t≥1+2＝3，所以T⊆{3，4…，+3}，且T中含有C＝个元素，（i）若3∈T，则必有a1＝1，a2＝2成立，因为n≥5，所以一定有a n﹣a n﹣1＞a2﹣a1成立，所以a n﹣a n﹣1≥2，所以a n+a n﹣1≤+﹣2＝+2，所以T＝{t|3≤t≤+2，t∈N*}，所以a n＝+，a n﹣1＝+﹣﹣2，因为4∈T，所以a3＝3，所以有a n+a1＝a n﹣1+a3，矛盾；（ii）若3∉T，则T⊆{4，5，…，+3}，而T中含有C＝个元素，所以T ＝{t|4≤t≤+3，t∈N*}所以a n＝，a n﹣1＝，因为4∈T，所以a1＝1，a2＝3，因为+2∈T，所以+2＝a n﹣2+a n，所以a n﹣2＝﹣2，所以a n+a1＝a n﹣2+a3，矛盾，所以命题成立．。

2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第1题4分2020~2021学年天津南开区天津大学附属中学高一上学期期中第3题4分2020~2021学年10月广东广州越秀区广州市执信中学高一上学期周测A卷（二）第1题2020~2021学年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三上学期开学考试文科第1题5分⩽0}，则(∁R A)∩B=（）．设集合A={x|x>3}，B={x|x−1x−4A. (1,3)B. [1,3]C. (3,4)D. [3,4)2、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第2题4分以下函数中在区间(0,+∞)上单调递增的函数是（）．C. y=−x2+1D. y=−x|x|A. y=|x|+1B. y=1x3、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第3题4分2017~2018学年四川德阳旌阳区德阳五中高一上学期期中第6题5分2019~2020学年北京高一上学期单元测试《函数的基本性质综合训练》（必修一）第1题已知函数y=f(x)+x是偶函数，且f(2)=3，则f(−2)=（）．A. −7B. 7C. −5D. 54、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第4题4分2018~2019学年北京通州区通州三中高二上学期开学考试第7题2019~2020学年天津和平区高三上学期期末第4题5分已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x+4y+4=0相切，则圆的方程是（）．A. x2+y2−4x=0B. x2+y2+4x=0C. x2+y2−2x−3=0D. x2+y2+2x−3=05、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第5题4分2015~2016学年广东广州广东广雅中学高二下学期期末理科第7题5分2016~2017学年广东广州越秀区广州市执信中学高二下学期期末文科第5题若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）．A. 2cm3B. √3cm3C. 3√3cm3D. 3cm36、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第6题4分2019~2020学年4月北京海淀区清华大学附属中学高三下学期月考第9题4分已知定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1（m为实数）为偶函数，记a=f(2−3)，b=f(3m)，c=f(log0.53)，则（）．A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a7、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第7题4分2020年北京海淀区北京一零一中学高三三模第7题2019年上海徐汇区高三二模第14题5分设n ∈N ∗ ，则“数列{a n } 为等比数列”是“数列{a n }满足a n ⋅a n+3=a n+1⋅a n+2”的（ ）．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件8、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第8题4分2014~2015学年北京西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期期中理科第8题2015~2016学年上海杨浦区上海复旦大学附属中学高二上学期期中第16题4分2018~2019学年10月四川成都锦江区成都七中嘉祥外国语学校高二上学期周测理科第7周第8题5分2016~2017学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高二上学期期中文科第8题5分已知点A (0,2)，B (2,0)，若点C 在函数y =x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为（ ）．A. 4B. 3C. 2D. 19、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第9题4分2017年四川乐山高三一模理科第9题5分2020年北京海淀区北京一零一中学高三三模第5题2019~2020学年4月北京海淀区清华大学附属中学高三下学期月考第8题4分函数f (x )=Asin⁡(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，要得到函数g (x )=Acos⁡ωx 的图象，只需将f (x )的图象（ ）．A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π4个单位C. 向左平移π4个单位D. 向右平移3π4个单位10、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第10题4分2019~2020学年四川成都双流区四川双流棠湖中学外国语实验学校高一下学期开学考试第11题5分2019~2020学年5月陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高二下学期月考文科第10题4分 2020年北京西城区高三一模（线上）第10题4分设函数f(x)={x 2+10x +1,x ⩽0|lg⁡x|,x >0，若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是（ ）．A. (0,101]B. (0,99]C. (0,100]D. (0,+∞)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第11题5分2020~2021学年浙江宁波奉化区高二下学期期末第12题6分2016年北京石景山区高三一模文科第9题5分2015年高考真题浙江卷理科第9题2016年北京石景山区高三一模理科第9题5分双曲线x 22−y 2=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．12、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第12题5分已知向量a →=(1,2)，b →=(−2,t )，若a →//b →，则实数t 的值是 ．13、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第13题5分2019~2020学年湖南长沙雨花区长沙市第十五中学高二上学期期中第15题5分2013~2014学年上海虹口区上海市复兴高级中学高二上学期期末第6题4分2019~2020学年广西百色高二上学期期末文科第14题5分设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ．14、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第14题5分2019~2020学年3月山西太原小店区山西大学附属中学高三下学期月考理科第13题5分 在(√x 3−2x)n 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．15、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第15题5分数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，⋯，1n ，2n ，⋯，n−1n ，⋯，有如下运算和结论： ①a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，⋯，是等比数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，⋯，的前n 项和为T n =n 2+n 4； ④若存在正整数k ，使S k <10，S k+1⩾10，则a k =57． 其中正确的结论有 ．（将你认为正确的结论序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第16题2020年北京通州区高三一模第16题14分2020~2021学年12月北京朝阳区北京陈经纶中学高三上学期月考第16题2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期开学考试第16题已知△ABC ．满足a =√7，b =2， ，判断△ABC 的面积S >2是否成立？说明理由．从①A=π3，②cos⁡B=√217这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答．17、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第17题2014~2015学年北京西城区高二上学期期末理科第21题13分在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB=2BC=4，四边形CDEF是等腰梯形，EF//DC，EF=2，且平面ABCD⊥平面CDEF，AF⊥CF．(1) 过BD与AF平行的平面与CF交于点G．求证：G为CF的中点；(2) 求二面角B−AF−D的余弦值．18、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第18题某校高二一次月考之后，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：(1) 试估计该校高二学生本次月考的平均分．(2) 如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[110,130)中的学生数为ξ，求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130)中的概率．②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）19、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第19题2016~2017学年12月北京海淀区北京理工大学附属中学分校高三上学期月考理科第19题13分2015年北京朝阳区高三二模理科第18题2018~2019学年2月天津南开区南开大学附属中学高三下学期月考理科第19题已知点M为椭圆C:3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且．满足直线MA与直线MB斜率之积为14(1) 求椭圆C的离心率及焦点坐标；(2) 试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．20、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第20题2019年北京海淀区首都师范大学附属中学高三二模文科第19题14分已知函数f(x)=(x2−a)e x，a∈R．(1) 当a=0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若在区间(1,2)上存在不相等的实数m，n，使f(m)=f(n)成立，求a的取值范围；(3) 若函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2，求证：f(x1)f(x2)<4e−2．21、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第21题2012年高考真题上海卷理科第23题2017~2018学年北京西城区北京市第十五中学高三上学期期中理科第22题13分2017~2018学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三上学期期中理科第20题对于数集X ={−1,x 1,x 2,⋯,x n }，其中0<x 1<x 2<⋯<x n ，n ⩾2，定义向量集Y ={a →|a →=(s,t),s ∈X,t ∈X}．若对于任意a 1→∈Y ，存在a 2→∈Y ，使得a 1→⋅a 2→=0，则称X 具有性质P ．例如X ={−1,1,2}具有性质P ．(1) 若x >2，且{−1,1,2,x}具有性质P ，求x 的值；(2) 若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n >1时，x 1=1；(3) 若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列x 1,x 2,⋯,x n 的通项公式．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 A;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 A;8 、【答案】 A;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 2√3;y =±√22x ; 12 、【答案】 −4;13 、【答案】 6;14 、【答案】 112;15 、【答案】 ①③④;16 、【答案】 选①，△ABC 的面积S >2成立，证明见解析．选②，△ABC 的面积S >2不成立，证明见解析．;17 、【答案】 (1) 证明见解析;(2) −√21．7;18 、【答案】 (1) 114.5．;(2)①3．8②E(ξ)=3．2;19 、【答案】 (1) 离心率为1，焦点坐标为(−1,0)，(1,0)．2;(2) 直线AB过定点(−4,0);20 、【答案】 (1) f(x)的单调增区间为(−∞,−2),(0,+∞)，单调减区间为(−2,0)．;(2) 3<a<8．;(3) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x=4．;(2) 证明见解析．;(3) x i=q i−1，i=1,2,⋯,n．;。

2020 年北京市高考适应性测试数学本试卷共6 页，150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10 题，每题 4 分，共40 分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i (i + 2) 对应的点的坐标为（A）(1, 2 ) （B）(-1, 2 ) （C）( 2, 1) （D）( 2, - 1)（2）已知集合A = { x x < 2} ，B = { - 1, 0,1, 2, 3 } ，则 A ∩ B =（A）{0, 1} （B）{ 0, 1, 2 } （C）{-1, 0, 1}（3）下列函数中，在区间(0, +∞) 上为减函数的是（D）{- 1, 0, 1, 2 }（A）y =x （B）y = x2- 1 （C）y = (1)x2（D）y = log2x（4）函数f ( x) =（A）{x | x ≤2 或x ≥3}（C）{x | 2 ≤x ≤3}的定义域为（B）{x | x ≤- 3 或x ≥-2}（D）{x | -3 ≤ x ≤-2}（5）圆心为( 2, 1) 且和x 轴相切的圆的方程是（A）(x - 2)2+ ( y -1)2= 1 （B）(x + 2)2+ ( y +1)2= 1 （C）(x - 2)2+ ( y -1)2= 5 （D）(x + 2)2+ ( y +1)2= 5（6）要得到函数y = sin(2x -π) 的图象，只需要将函数y = sin 2x 的图象3（A）向左平移π个单位（B）向左平移π个单位3 6（C）向右平移π个单位（D）向右平移π个单位3 6x2- 5x + 6数学第 1 页（共6 页）数学 第 2 页（共 6 页）x （7） 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 （A ） 23 （B ） 43（C ） 2 （D ） 4正（主）视图侧（左）视图俯视图（8） 已知点 A ( 2, 0 ) ， B ( 0, - 2 ) ．若点 P 在函数 y = 的图象上，则使得△ P AB 的面积为 2的点 P 的个数为 （A ）1（B ） 2（C ） 3（D ） 4（9） 设{a n }是等差数列，且公差不为零，其前 n 项和为 S n ．则“ ∀n ∈ N * ，S n +1 > S n ”是“{a n }为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10） 学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共有36 名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为 A 的学生有5 人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其另外一科等级为 B ．则该班（A ） 物理化学等级都是 B 的学生至多有12 人 （B ） 物理化学等级都是 B 的学生至少有5 人 （C ） 这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至多有18 人（D ） 这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至少有1 人等级科目ABCDE物理 10 16 9 1 0 化学81972数学 第 3 页（共 6 页）x - 2第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。

北京市海淀实验中学2020届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A ={x |x >3}，104x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，则(∁R A )∩B =（ ） A ．(1，3) B ．[1，3] C ．(3，4) D ．[3，4)2．以下函数中在区间()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A ．1y x =+ B ．1y x= C ．21y x =-+D ．y x x =-3．已知函数y = f （x ）+x 是偶函数，且f （2）= 3 ，则f （-2）=（ ） A ．-7B ．7C ．-5D ．54．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为 A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-=D ．2240x y x +-=5．若某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．2cm 3B 3C ．3D ．3 cm 36．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()0.5log 3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<7．设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件8．已知点()()0,2,2,0A B ．若点C 在函数2y x 的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．19．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象 A ．向左平移12π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位10．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，二、填空题11．双曲线2212x y -=的焦距是_____，渐近线方程是__________．12．已知向量(1,2)a =，(2,)b t =-，若//a b ，则实数t 的值是___________.13．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是____．14．在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______．15．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n -，…有如下运算和结论：①2438a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n n T +=；④若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则57k a =.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上）三、解答题16．已知△ABC ，满足a =b = 2，_________，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A π=；②cosB =的空格处并做答.17．某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[)110,130中的学生数为ξ，求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中的概率； ②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，AB = 2BC =4 ，四边形CDEF 是等腰梯形，EF //DC ，EF = 2，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AF ⊥ CF .（1）过BD 与AF 平行的平面与CF 交于点G .求证：G 为CF 的中点； （2）求二面角B - AF -D 的余弦值.19．已知点M 为椭圆C ：223412x y +=的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14.（1）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；（2）试判断直线AB 是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由. 20．已知函数2()()e x f x x a =-，a R ∈． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若在区间()1,2上存在不相等的实数,m n ,使()()f m f n =成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<. 21．对于数集X ={-1，x 1，x 2，，x n }，其中120n x x x <<<，n ≥ 2，定义向量集{}|(,),,Y a a s t s X t X ==∈∈，若对任意1a Y ∈，存在2a Y ∈，使得120a a ⋅=，则称X 具有性质P .例如{-1，1，2}具有性质P .（1）若x > 2，且{-1，1，2，x }具有性质P ，求x 的值； （2〉若X 具有性质P ，求证：1 ∈X ，且当x n >1 时，x 1= 1；（3）若X 具有性质P ，且x 1= 1 ，x 2 =q （q 为常数），求有穷数列x 1，x 2，，x n 的通项公式.参考答案1．B 【分析】求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A R与B 的交集即可．【详解】 由104x x -≤-可得(1)(4)0x x --≤且40x -≠， 解得14x ≤<， 所以[1,4)B =， 因为A ={x |x >3}， 所以(,3]R A =-∞， 所以(∁R A )∩B =[1，3]， 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，分式不等式求解，属于中档题. 2．A 【分析】化简各选项中的函数在()0,∞+上的解析式，利用基本初等函数的单调性可得出结论. 【详解】对于A 选项，当0x >时，11y x x =+=+，该函数在()0,∞+上单调递增； 对于B 选项，函数1y x=在()0,∞+上单调递减； 对于C 选项，函数21y x =-+在()0,∞+上单调递减；对于D 选项，当0x >时，2y x x x =-=-，该函数在()0,∞+上单调递减.故选：A. 3．B 【分析】首先设()()g x f x x =+，利用()()22g g -=，求()2f -的值. 【详解】设()()g x f x x =+，()()2225g f =+=，所以()()2225g f -=--=，所以()27f -=. 故选：B 4．D 【分析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程． 【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度． 5．B 【分析】由三视图还原出的几何体，得出其结构，由三视图提供的数据计算体积． 【详解】底长分别为1和2，高是2.故这个几何体的体积是311(12)2)32cm ⎡⎤⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦.故选：B ． 6．A 【分析】由题意可得0m =，可得||()21x f x =-在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得． 【详解】定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，(1)f f ∴-=（1），即|1||1|2121m m ----=-，解得0m =，检验得当0m =时，原函数为偶函数.||()21x f x ∴=-在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减， 312(0,1)8-=∈，31m =，0.52|log 3|log 31=>，30.5(2)(3)(log 3)m f f f -∴<<，即a b c <<故选：A ． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，考查对数式大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 7．A 【分析】“数列{}n a 为等比数列”，则132n n n n a aq a a +++==，⇒数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++=．反之不能推出，可以举出反例． 【详解】解：“数列{}n a 为等比数列”，则132n n n n a aq a a +++==，⇒数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++=．充分性成立；反之不能推出，例如0n a =，数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但数列不是等比数列，即必要性不成立；故“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的充分非必要条件 故选：A ． 【点睛】本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．A 【详解】试题分析：直线AB 方程为221x y +=即20x y +-=．设点()2,C x x ，点()2,C x x 到直线AB 的距离为d ，因为AB =122AB d =可得d =即d =，解得0x =或1x =或x =．所以点C 的个数有4个．故A 正确．考点：1直线方程；2点到线的距离． 9．A 【详解】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.10．B 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-.故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 11．，.【详解】 由题意得：，，，∴焦距为，渐近线方程为.考点：双曲线的标准方程及其性质 12．4- 【分析】根据平行向量坐标公式即可求解参数． 【详解】 因为//a b ，所以212t-=，解得t =-4 ． 故答案为：4- 13．6 【分析】先作出图形，再结合抛物线的定义进行计算即可. 【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ,准线方程为2x =-, 如图所示,4PA =,2AB =,由抛物线的定义可得：6PF PB PA AB ==+=. 故答案为:6. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于常考题. 14．112 【详解】由题意可得：2256,8n n =∴=，结合二项式展开式通项公式可得：()848318822rrrr r r r T C C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令8403r-=可得：2r ，则常数项为：()2282428112C -=⨯=.15．①③④ 【分析】①根据数列规律列出前24项即可判定①正确.②根据数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是12，1，64，2，…，22n -，12n -，即可得到等差数列，故②不正确.③利用等差数列的前n 项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算57.510T =<，610.50T =>即可判定④正确.【详解】①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，26，36，46，56，17，27，37，47，57，67，18，28，38，所以2438a =，故①正确.②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，… 是12，1，64，2，…，22n -，12n -，由等差数列定义121222n n ---=（常数） 所以数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等差数列， 故②不正确.③因为数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等差数列，所以由等差数列前n 项和公式可知：21(1)12224n n n n nT n -+=+⨯=，故③正确.④由③知：1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++， 1112131415a a a a a ++++，161718192021a a a a a a +++++，是12，1，64，2，52，12345615677777777+++++=+.因为57.510T =<，610.50T =>所以存在20k =，使2010S <，2110S ≥，且205=7a . 故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题. 16．答案见解析． 【分析】若选（1），根据余弦定理得到3c =，再计算ABC 的面积即可；若选（2），根据余弦定理得到c =222a b c =+，即2A π=，再计算ABC 的面积即可．【详解】选①，△ABC 的面积2S >成立，理由如下： 当3A π=时，2147cos 222c A c+-==⨯ 所以2230c c --=，所以c = 3 ，则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=2== ， 所以2S >成立；选②，△ABC 的面积S >2不成立，理由如下：当cos B =222cos 2a c b B ac +-==27=230c -+=，所以c = 因a 2= 7 ，b 2＋c 2=4＋3 =7 ， 所以△ABC 是A 为直角的三角形，所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=所以不成立．17．（1）114.5；（2）()32E ξ=． 【详解】试题分析：（1）根据题设条件，利用各区间的中点值，计算本次月考数学学科的平均分．（2）由表知：成绩落在[)110,130中的概率为12．①设A 表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中”，利用相互独立事件概率加法公式能求出结果．②ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率．由此能求出ξ 的分布列和数学期望． 试题解析：(1)本次月考数学学科的平均分为59535105301152012510135114.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)由表，知成绩落在[)110,130中的概率为12，①设A 表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中”． 则()1111131222228P A ⎛⎫=⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中的概率为38；②ξ的可能取值为0，1，2，3()303110128P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21311311228P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()212311321228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33311328P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ξ的分布列为()13313012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，或13,2B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()32E ξ=．18．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由线面平行的性质可证明AF //HG ，进行证明G 为CF 的中点；（2）在平面CDEF 上作FO ⊥CD ，垂足为O ，以О为原点建立空间直角坐标系О-xyz ，分别求解平面ABF 与平面ADF 的法向量，结合向量夹角公式即可求解二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于点H ，ABCD 为矩形，则H 为AC 中点，连接GH . 因为AF//平面BDG ，平面ACF ∩平面BDG = GH ， AF ⊂平面ACF ， 所以AF //HG ，所以G 为CF 的中点.（2）解：在平面CDEF 上作FO ⊥CD ，垂足为O ， 由于平面CDEF 为等腰梯形，所以OC = 1 ，因为平面ABCD ∩平面CDEF = DC ，且平面ABCD ⊥平面DCFE ， 所以FO ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 中，作 OM ⊥CD ，交AB 于M ， 所以FO ⊥ OM ， 如图，以О为原点建立空间直角坐标系О-xyz .则A （2，-3，0） ，B （2，1，0） ，c （0，1，0） ，D （0，-3，0） ﹒设F （0，0，h ）（h > 0 ） .因为AF ⊥CF ，所以0AF CF ⋅=，即（-2，3，h ）· （0，-1，h ）= 0，所以2030h -+= ，解得h =设平面ABF 的法向量为(,,)n a b c = ，而(AF =-，(0,4,0)AB ，由0,0AF n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得，230,40.a b b ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令c = 2，解得a = b = 0 .所以(3,0,2)n ，由于(2,0,0)AD =-，(0,CF =- ， 所以0AD CF ⋅=，CF AD ⊥， 又CF AF ⊥，ADAF A =，所以CF ⊥平面ADF ，所以CF 为平面ADF 的法向量，cos ,CF n =由图知，二面角B -AF -D 的平面角为钝角， 所以二面角B - AF -D 的余弦值为7-19．（1）离心率为12；焦点坐标为（-1，0），（1，0）；（2）过定点，（-4，0）. 【分析】（1）化为椭圆的标准方程形式，得到,,a b c ，即可求得焦点坐标和离心率；（2）首先设直线AB 的方程为y = kx +m ，与椭圆方程联立，得到韦达定理，并表示14MA MB k k ⋅=,得到,m k 的关系式，即可判断是否过定点. 【详解】（1）椭圆C 的方程可化为22143x y += ，则a = 2 ，b =， c = 1 . 故离心率为12，焦点坐标为（-1，0） ，（1，0） .（2）由题意，直线AB 的斜率存在.可设直线AB 的方程为y = kx +m ， A （x 1，y 1） ，B （x 2，y 2），则y 1= kx 1+m ， y 2 = kx 2+m .由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式222222644(34)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+. 因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14，所以12121224y y x x ⋅=-- 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--.化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=，即m = 4k 或m = -2k .当m = 4k 时，直线AB 的方程为y = k （x ＋4），过定点（-4，0） . m = 4k 代入判别式大于零中，解得1122k -<<.当m =-2k 时，直线AB 的方程为y = k （x -2），过定点M （2，0），不符合题意舍去.故直线AB 过定点（-4，0） .20．（Ⅰ）函数()f x 的单调增区间为(),2-∞-，()0,∞+，单调减区间为()2,0-；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析. 【详解】试题分析：（Ⅰ）将代入函数的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为求使函数在上不为单调函数的的取值范围，通过讨论的范围，得到函数的单调性，进而求出的范围；（Ⅲ）先求出函数的导数，找到函数的极值点，从而证明出结论. 试题解析：（Ⅰ）当时，，．由，解得，. 当时，＞0，f(x)单调递增； 当时，＜0，f(x)单调递减； 当时，＞0，f(x)单调递增．所以函数的单调增区间为，()2,0-，单调减区间为（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数， .设，则()28g a =-，. 因为g (x )在上为增函数，当，即当时，函数()1,2在上有且只有一个零点，设为.当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数. 当时，，，所以在上成立所以在上成立，即在上为增函数，不合题意.同理时，可判断在上为减函数，不合题意.综上(Ⅲ) ．因为函数有两个不同的极值点，即有两个不同的零点， 即方程的判别式，解得. 由，解得111x a =--+，．此时，.随着变化时，和的变化情况如下：所以是函数的极大值点，是函数的极小值点.所以()1f x 为极大值，为极小值．所以()()()()12221212x x f x f x e x a e x a =-⨯-()12222221212x x e x x a x x a +⎡⎤=-++⎣⎦(){}1222221212122x x e x x a x x x x a +⎡⎤=-+-+⎣⎦()22242e a a a a -⎡⎤=-++⎣⎦24ae -=-因为，所以2244ae e ---<．所以212()()4e f x f x -<考点：1.利用导数研究函数的极值；2.分类讨论；3.利用导数研究函数的单调性. 【方法点睛】本题主要考查的是导数的运用，利用导数研究函数的极值,分类讨论,利用导数研究函数的单调性和分类讨论思想方法，属于难题，解决此类问题最主要的思想是先求出导函数，然后再对导函数的零点进行分类讨论求解，根据参数的范围，求出函数的极值，再通过对比得出结论，因此正确求出导函数并对导函数进行合理的处理是解决此类问题的关键.21．（1）x = 4；（2）证明见解析；（3）1k k x q -=，k = 1，2，3，，n .【分析】（1）根据定义，选择向量1a 和2a ，利用120a a ⋅=，求x ；（2）取()111,a x x Y =∈，设()2,a s t Y =∈满足120a a ⋅=，可得0s t +=，s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X ，然后只要用反证法证明之间不存在即可；（3）可以利用后一项比前一项的比值建立数集，最终求出后一项与前一项比是定值，从而是等比数列. 【详解】（1）选取1(,2)a x =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式（-1，b ） ， 所以x = 2b ，从而x = 4 .（2）取111(,)a x x Y =∈，设2(,)a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅=， 则（s ＋t ）x 1= 0 ，s +t = 0 ， 所以s ，t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s ，t 之中一个为-1，另一个为1，故1∈ X . 假设x k = 1，其中1<k <n ，则0<x 1<1<x n .选取11(,)n a x x Y =∈ ，并设2(,)a s t Y =∈，满足120a a ⋅=，即10n sx tx += ，则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为-1 . 若s = -1，则11n x tx t x =≥≥，矛盾； 若t =-1 ，则1n n x sx s x =<≤，矛盾. 所以x 1= 1 .（3）设111(,)a s t = ，222(,)a s t ， 则120a a ⋅=等价于1212s t t s =- 记|(,)||||s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭，则数集X 具有性质P ，当且仅当数集B 关于原点对称，注意-1是集合X 中唯一的负数， {}234(,0),,,,n B x x x x ⋂-∞=----，共有n -1个数，所以B ∩（0，+∞）也有n -1个数. 由于12321n n n n nn n n x x x x x x x x x x ---<<<<<，已经有n -1个数， 对以下三角形数阵；1232n n n n nn n n nx x x x x x x x x x ---<<<<< 11112341n n n n n n n n x x x x x x x x --------<<<<21x x 注意到1221111n n n x x x x x x x x -->>>>所以12121n n n n x x x q x x x ---==== 从而数列的通项公式是11211()k k k x x x q x --==，k = 1，2，3，… ，n .。

2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第1题4分已知集合A={x|ln⁡(x+1)⩽1}，B={−2,−1,0,1,2}，则A∩B=（）．A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,−1,0,1}D. {−1,0,1,2}2、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第2题4分2020年天津宁河区宁河县芦台第一中学高三一模第6题5分2019~2020学年北京海淀区北京市中关村中学高一下学期期末第5题4分2019年北京海淀区高三三模第3题2019~2020学年10月北京海淀区北京一零一中学高三上学期月考第6题在△ABC中，“cos⁡A<cos⁡B”是“sin⁡A>sin⁡B”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第3题4分已知z=3+2i，则z的虚部为（）．A. 2iB. 3C. −2D. −2i4、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第4题4分2020年北京海淀区高三三模第7题2020~2021学年北京西城区北京市第四十四中学高一上学期期中第6题4分设0<a<b，则下列不等式中正确的是（）．A. a<b<√ab<a+b2B. a<√ab<a+b2<bC. a<√ab<b<a+b2D. √ab<a<a+b2<b5、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第5题4分2019~2020学年3月河南郑州郑东新区郑州市第四十七中学高一下学期月考第9题5分2019年北京海淀区高三三模第21题2017~2018学年10月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三上学期月考第8题5分2019~2020学年广东深圳龙华区深圳市龙华中学高一上学期期末第8题4分函数f(x)=cos⁡(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）．A. (kπ−14,kπ+34)，k∈ZB. (2kπ−14,2kπ+34)，k∈ZC. (k−14,k+34)，k∈ZD. (2k−14,2k+34)，k∈Z6、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第6题4分为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为S1，S2，S3，则它们的大小关系为（）．A. S1<S2<S3B. S3<S2<S1C. S2<S3<S1D. S1<S3<S27、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第7题4分2020年北京海淀区北京育英学校高三三模第7题4分2019年北京海淀区高三二模理科第5题5分把函数y=2x的图象向右平移t个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=2x3，则t的值为（）．A. 12B. log23C. log32D. √38、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第8题4分2012年北京朝阳区高三一模文科第6题2019~2020学年2月北京海淀区中国人民大学附属中学高三下学期周测D卷第5题4分已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率e=√62，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）．A. x 22−y2=1B. x 22−y23=1C. x 24−y2=1D. x2−y2=19、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第9题4分2019年北京朝阳区高三二模理科第8题5分2019~2020学年3月北京大兴区大兴区第一中学高三下学期周测D卷第10题4分在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=π3，∠ACB≠π2，BC=1，P为BC的中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在的直线于Q，则AQ→在BC→方向上投影的最大值是（）．A. 13B. 12C. √33D. 2310、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第10题4分2020年北京海淀区北京一零一中学高三三模第10题2020年北京海淀区高三三模第48题卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：x 2x+2+y24=1，O为坐标原点，点A(1,0)，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是（）．A. 卵圆C关于x轴对称B. 卵圆上不存在两点关于直线x=12对称C. 线段PO长度的取值范围是[1,2]D. △OAP的面积最大值为1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第11题5分若(x2−1x )n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的x3项的系数为．12、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第12题5分2020年北京海淀区高三三模第13题2019年北京海淀区高三三模第12题2017年北京海淀区高三三模第15题已知数列{a n}，a2=2，a n+a n+1=3n，n∈N∗，则a2+a4+a6+a8+a10+a12=．13、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第13题5分设△ABC的三个顶点A，B，C对应三边分别为a，b，c，且a，b，c(a<b<c)成等差数列，A，C两点的坐标分别是(0,√3)，(0,−√3)，则顶点B的轨迹方程为．14、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第14题5分已知直线l1:mx−y+m=0与直线l2:x+my−1=0的交点为Q，椭圆x24+y2=1的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是．15、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第15题5分设函数f(x)=sin⁡(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在(0,π10)单调递增；④ω的取值范围是[125,2910)．其中所有正确结论的编号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第16题14分2020年北京海淀区北京市十一学校高三三模第17题12分2019~2020学年2月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考理科第17题12分2020年北京海淀区高三三模第26题2019年北京海淀区高三三模第25题在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点与原点O重合，始边x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于M(x1,y1)，将α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于N(x2,y2)，记f(α)=y1+y2．(1) 求函数f(α)的值域．(2) 在△ABC中，若f(C)=√3，c=7，sin⁡A+sin⁡B=13√314，求△ABC的面积．17、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第17题14分2020年北京海淀区高三三模第34题如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC =13．(1) 求证：CD⊥平面PAD．(2) 求二面角F−AE−P的余弦值．(3) 设点G在PB上，且PGPB =23．求证：点G在平面AEF内．18、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第18题14分2019~2020学年北京海淀区北京交通大学附属中学高二下学期期末第17题2019~2020学年8月广东广州越秀区高三上学期月考理科区统考第19题12分2020年北京海淀区高三三模第33题2018~2019学年北京昌平区高三上学期期末理科第17题13分某汽车品牌为了了解客户对于旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值，假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．(1) 从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率．(2) 从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．(3) 用“η1=1”，“η2=1”，“η3=1”，“η4=1”，“η5=1”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“η1=0”，“η2=0”，“η3=0”，“η4=0”，“η5=0”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意．写出方差D(η1)，D(η2)，D(η3)，D(η4)，D(η5)的大小关系．19、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第19题14分2020年北京海淀区高三三模第40题2016年北京海淀区高三三模第33题2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三下学期高考模拟（保温练习2）第19题2018年北京海淀区高三三模理科第46题已知函数f(x)=(x−a−1)e x．(1) 若函数的最小值为−1，求实数a的值．(2) 若x1>x2，且有x1+x2=2a，求证：f(x1)>f(x2)．20、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第20题15分2019年北京海淀区高三三模第60题2020年北京海淀区高三三模第51题已知椭圆C:x 24+y2b2=1的焦点在x轴，且右焦点到左顶点的距离为3．(1) 求椭圆C的方程和焦点的坐标．(2) 与x轴不垂直且不重合的直线l与椭圆C相交于不同的A，B两点，直线l与x轴的交点为M，点M 关于y轴的对称点为N．①求△ABN面积的最大值．②当△ABN面积取得最大值时，求证：√6<|AB|<2√2．21、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第21题14分2018~2019学年北京东城区北京市第十一中学高二上学期期中第22题9分2015年高考真题北京卷理科第20题2017~2018学年北京海淀区北京市第五十七中学高二上学期期中理科第20题13分2018~2019学年北京西城区北京市第一六一中学高二下学期期中第22题13分已知数列{a n}满足：a1∈N∗，a1⩽36，且a n+1={2a n,a n⩽182a n−36,a n>18(n=1,2,⋯)，记集合M={a n|n∈N∗}．(1) 若a1=6，写出集合M的所有元素．(2) 若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数．(3) 求集合M的元素个数的最大值．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】−126;12 、【答案】57;13 、【答案】x29+y212=1(−2√3<y<0);14 、【答案】[2√3,4];15 、【答案】①③④;16 、【答案】 (1) (√32,√3].;(2) 10√3.;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √33．;(3) 证明见解析．;18 、【答案】 (1) 111320．;(2) 0.7．;(3) D(η1)>D(η3)>D(η2)=D(η4)>D(η5)．;19 、【答案】 (1) a=0.;(2) 证明见解析.;20 、【答案】 (1) 椭圆方程为x24+y23=1,焦点坐标分别为F1(−1,0),F2(1,0)．;(2)①2√3．②证明见解析．;21 、【答案】 (1) 6，12，24．;(2) 证明见解析．;(3) 集合M的元素个数的最大值为8．;。