方差分析

方差分析（ANOVA）简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。

它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在差异。

ANOVA广泛应用于实验设计、医学研究、社会科学等领域，是一种重要的统计工具。

一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。

组内变异是指同一组内个体之间的差异，组间变异是指不同组之间的差异。

如果组间变异显著大于组内变异，就可以认为样本均值之间存在显著差异。

二、方差分析的假设方差分析的假设包括以下几个方面：1. 观测值是独立的。

2. 观测值是正态分布的。

3. 各组的方差是相等的。

三、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括以下几个方面：1. 确定研究问题和目标。

2. 收集数据并进行数据清洗。

3. 计算组内平方和、组间平方和和总平方和。

4. 计算均方和。

5. 计算F值。

6. 进行显著性检验。

四、方差分析的类型根据研究设计的不同，方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。

1. 单因素方差分析：适用于只有一个自变量的情况，用于比较不同水平下的均值差异。

2. 多因素方差分析：适用于有两个或两个以上自变量的情况，用于比较不同因素和不同水平下的均值差异。

五、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，包括实验设计、医学研究、社会科学等。

它可以用于比较不同治疗方法的疗效、不同教学方法的效果、不同产品的质量等。

六、方差分析的优缺点方差分析的优点包括：1. 可以同时比较多个样本均值之间的差异。

2. 可以通过显著性检验来判断差异是否显著。

3. 可以通过计算效应量来评估差异的大小。

方差分析的缺点包括：1. 对数据的正态性和方差齐性有一定要求。

2. 只能用于比较均值差异，不能用于比较其他统计指标的差异。

七、总结方差分析是一种重要的统计方法，通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。

Minimum Maximum 125.30 143.10 143.80 162.70 182.80 198.60 212.30 225.80 125.30 225.80
给出了四种饲料分组的样本含量N、平均数Mean、标准差 Std Deviation、
标准误 Std Error、95％的置信区间、最小值和最大值 ；
对照组 10.28 31.35 31.23
去卵巢组 10.01 8.28 6.12
雌激素组 28.88 12.77 27.56



随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组 内差异。用变量在各组的均值与该组内变量值 之偏(离均)差平方和的总和表示。记作SS组内。 实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组 间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏 (离均)差平方和的总和表示。记作SS组间。 SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方 值即组间均方和组内均方。
3.1 因素与处理



因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影 响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也 可以称为因素。如研究不同肥料对不同种系农作物产 量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料 可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作 相同理解。在要求进行方差分析的数据文件中均作为 分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是 气温、降雨量等平常看作是连续变量的，在方差分析 中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数 值用分组定义水平的方法事先变为具有有限个取值的 离散变量
N A B C D Total 5 5 5 4 19

第九章方差分析前面介绍了两个样本均数比较的t检验，那么多个样本均数的比较应该采用什么方法？方差分析(analysis of variance, ANOV A)是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，由英国著名统计学家R.A.Fisher提出，又称F检验，是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法。

本章首先介绍方差分析的基本思想和应用条件，然后结合研究设计类型分别介绍各类方差分析方法。

第一节方差分析的基本思想和应用条件一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义。

例9.1 为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。

喂养一周后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是否不同？表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数(×1012/L)普通饲料10%大豆饲料15%大豆饲料合计X 4.78 4.65 6.80 4.65 6.92 5.913.984.447.284.04 6.167.51 3.445.997.51 3.776.677.743.65 5.298.194.91 4.707.154.795.058.185.316.01 5.534.055.677.795.16 4.688.03in12 12 12 36 (n)i X ∑ 52.53 66.23 87.62 206.38(X ∑)i X4.385.52 7.30 5.73 (X ) 2i X ∑ 234.2783373.2851647.73121255.2946(2X ∑)表9.1按完全随机设计获得的36个数据(X )中包含以下三种变异： 1. 总变异 36只大鼠喂养一周后测定红细胞数X 各不相同，即X 与总均数X 不同，这种变异称为总变异(total variation)。

执行方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。

5.1.3方差分析的原理
方差分析认为，如果控制变量的不同水平对观测变量产生了显著影 响，那么它和随机变量共同作用必然使得观测变量值显著变动；反之， 如果控制变量的不同水平没有对观测变量产生显著影响，那么观测变量 值的变动就不明显，其变动可以归结为随机变量影响造成的。 建立在观测变量各总体服从正态分布和同方差的假设之上，方差 分析的问题就转化为在控制变量不同水平上的观测变量均值是否存在显 著差异的推断问题了。 综上所述，方差分析从对观测变量的方差分解入手，通过推断控 制变量各水平下各观测变量的均值是否存在显著差异，分析控制变量是 否给观测变量带来了显著影响，进而再对控制变量各个水平对观测变量 影响的程度进行剖析。 根据控制变量的个数可将方差分析分为单因素方差分析、多因素 方差分析；根据观测变量的个数可将方差分析分为一元方差分析（单因 变量方差分析）和多元方差分析（多因变量方差分析）。
从左侧的变量列表中选择观测变量“胰岛质量”到 Dependent List框中，选择控制变量“药物组”到 Factor框中。
10
选择各组间两两比较的方法，单击“One-Way ANOVA”对 话框下方的“Post Hoc…”按钮，出现上图对话框，在Equal Variances Assumed复选框中选择“LSD”。
协变量“原工资”的相伴概率Sig为0.000，即 协变量对青年教师现工资的影响显著；“教师 级别”的相伴概率为0.997，大于0.05，即对青 年教师的工资影响不显著；“政策实施”的相 伴概率0.029，小于0.05，对青年教师工资影响 显著；两因素的交互作用的相伴概率为0.551， 大于0.05，即交互作用没有对结果造成显著影 响。
5.4.2 协方差分析的基本步骤 • 提出原假设：协变量对观测变量的线性影响是不显著的 ；在扣除协变量的影响条件下，控制变量各水平下观测 变量的各总体均值无显著差异。 • 计算检验统计量和概率P值 给定显著性水平与p值做比较：如果p值小于显著性水平 ，则应该拒绝原假设，反之就不能拒绝原假设。

方差分析方差分析是一种用于比较多个样本之间差异的统计方法。

它通过比较各个样本之间的方差大小来推断它们是否具有显著的差异。

方差分析可以应用于各种领域的研究中，比如教育、医学、经济等。

方差分析的基本思想是将总体的方差分解为不同来源的方差，通过对比它们的大小来判断不同因素（组别）对总体的影响程度。

在进行方差分析之前，需要明确研究的目的和假设，然后选择相应的方差分析模型和计算方法。

方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。

单因素方差分析适用于只有一个自变量（组别）的情况，它将数据按照不同的组别分组，然后计算各组之间的方差，并比较它们的大小。

如果各组之间的方差较大，那么可以认为它们之间存在显著差异。

多因素方差分析适用于有多个自变量（组别）的情况，它可以同时考虑多个因素对总体的影响。

方差分析的原假设是各组之间的均值相等，备择假设是各组之间的均值不等。

通过计算统计量F值，可以得到方差分析的结果。

若F值大于临界值，就能拒绝原假设，认为各组之间存在显著差异；反之，无法拒绝原假设，认为各组之间的差异不显著。

在进行方差分析时，还需要注意一些前提条件。

首先，各个样本之间应独立，互不影响；其次，各个样本应满足正态性和方差齐性的假设；最后，应确认所用的统计方法是否适用于样本数据。

方差分析的结果可以为研究者提供一些重要的信息。

比如，研究者可以通过方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响；医学研究者可以通过方差分析来比较不同治疗方法对患者生存率的影响；市场营销研究者可以通过方差分析来比较不同广告策略的销售效果。

总之，方差分析是一种重要的统计方法，可以帮助我们比较多个样本之间的差异。

通过对各个样本之间方差的分析，可以判断它们是否具有显著的差异，从而得出相应的结论。

方差分析可以应用于各个领域的研究中，为我们提供有价值的信息。

当我们在进行方差分析时，应注意选择适当的方法和模型，并满足各个前提条件，以得到准确的结果。

什么是方差分析关键信息项：1、方差分析的定义2、方差分析的目的3、方差分析的应用场景4、方差分析的类型5、方差分析的步骤6、方差分析的结果解读7、方差分析的局限性8、方差分析与其他统计方法的比较11 方差分析的定义方差分析（Analysis of Variance，简称 ANOVA）是一种用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异的统计方法。

它通过分析数据的变异来源，来判断不同因素对观测变量的影响程度。

111 基本原理方差分析基于总体方差可以分解为各个因素所引起的方差之和的原理。

通过比较不同因素水平下的组间方差和组内方差，来确定因素对观测变量的影响是否显著。

112 数学模型一般来说，方差分析的数学模型可以表示为：观测值＝总体均值＋因素效应＋随机误差。

12 方差分析的目的其主要目的是检验不同水平的因素对因变量的均值是否有显著影响。

121 探究因素的作用确定哪些因素对观测结果有重要影响，哪些因素的影响可以忽略不计。

122 比较不同处理的效果例如在实验研究中，比较不同实验处理条件下的结果是否存在显著差异。

13 方差分析的应用场景131 农业科学用于比较不同种植方法、施肥量、品种等对农作物产量的影响。

132 医学研究分析不同药物剂量、治疗方案对患者康复效果的差异。

133 工业生产研究不同生产工艺、原材料对产品质量的作用。

134 社会科学例如在心理学、教育学中，比较不同教学方法、教育环境对学生成绩或心理状态的影响。

14 方差分析的类型141 单因素方差分析只考虑一个因素对观测变量的影响。

142 双因素方差分析同时考虑两个因素的交互作用对观测变量的影响。

143 多因素方差分析涉及多个因素及其交互作用对观测变量的综合影响。

15 方差分析的步骤151 提出假设包括零假设（各总体均值相等）和备择假设（至少有两个总体均值不相等）。

152 计算统计量根据数据计算组间平方和、组内平方和等，进而得到 F 统计量。

153 确定显著性水平通常设定为 005 或 001 等。

当g=2时，方差分析结果与两样本t检验结果完全 等价，且t2=F。
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij

C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？

第六章方差分析方差分析是R.A.Fister发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。

由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。

方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

方差分析主要用于：1、均数差别的显著性检验，2、分离各有关因素并估计其对总变异的作用，3、分析因素间的交互作用，4、方差齐性检验。

第一节Simple Factorial过程6.1.1 主要功能调用此过程可对资料进行方差分析或协方差分析。

在方差分析中可按用户需要作单因素方差分析（其结果将与第五章第四节相同）或多因素方差分析（包括医学中常用的配伍组方差分析）；当观察因素中存在有很难或无法人为控制的因素时，则可对之加以指定以便进行协方差分析。

6.1.2 实例操作[例6-1]下表为运动员与大学生的身高（cm）与肺活量（cm3）的数据，考虑到身高与肺活量有关，而一般运动员的身高高于大学生，为进一步分析肺活量的差异是否由于体育锻6.1.2.1 数据准备激活数据管理窗口，定义变量名：组变量为group （运动员=1，大学生=2），身高为x ，肺活量为y ，按顺序输入相应数值，建立数据库，结果见图6.1。

图6.1 原始数据的输入6.1.2.2 统计分析激活 Statistics 菜单选ANOV A Models 中的Simple Factorial...项，弹出Simple Factorial ANOV A 对话框（图6.2）。

在变量列表中选变量y ，点击 钮使之进入Dependent 框；选分组变量group ，点击 钮使之进入Factor(s)框中, 并点击Define Range...钮在弹出的Simple Factorial ANOV A:Define Range 框中确定分组变量group 的起止值（1,2）；选协变量x ，点击 钮使之进入Covariate(s)框中。

k
nkΒιβλιοθήκη 2总平方和：SST
实验中产生的总变异
组内平方和：SSW
实验误差（包括个体差异）由于不同的实验处理而造 造成的变异 成的变异
组间平方和：SSB
三者之间的关系如下：
SS 总 SS 组间 SS 组内
组间自由度： 组内自由度: 总体自由度： 书266：这样
df B = k-1
df W = k(n-1)
df T = nk-1
在方差分析中，比较组间变异与组内变异时，不 能直接比较各自的平方和。因为平方和的大小与 项数有关，应该将项数的影响去掉。因此用平方 和除以各自自由度得到均方，再进行比较。
SS B MS B df B
书266
MSW
SSW df W
方差分析就是通过比较组内均方MS组内 和组间均方 MS组间 的大小关系来判断处 理因素有无效应。
变异分解
SS 总(T) SS 组间(B) SS 区组(R) SS 误差(E)
SS R
1 n
( R ) 2 k

( R ) 2 nk
总自由度也被分为三部分： dfT = nk-1
df B k 1
dfE=(k-1)(n-1)
dfR=n-1
例4：5名被试在四种不同的环境条件下参加某一心理测验， 结果如下。问不同的测验环境是否对这一测验成绩有显著影 响。
SSB n ( X j X t ) 2
j 1 k
SSw ( X ij X j ) n s j
2 j 1
k
2
1、求平方和
Xt
X1 X 2 X 3 X 4 6.4 4
k
SSB n ( X j X t ) 2 30.08

F检验
若实际计算的F值大于 F 0 . 0 5 ( d f , d f ) ，则 F 值在 α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 2 2 St代表的处理间方差大于Se 代表的处理内方差。
1 2
这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差 是否相等的方法称为 F检验。
F检验时，是将由试验资料所算得的F值与根 ,F 据df1=dft 和df2=dfe查表所得的临界F值F 相比较作出统计推断的。
1 1
k
n
x ) n (x i x )
2 2 1
k
(x
1 1
k
n
xi )
2
上式可简写成：SST=SSt+SSe 分别表示总 平方和，处理间平方和，处理内平方和。 即：总平方和=处理间平方和+处理内平
方和。
C=T2/kn：
SST

x C
2
1 2 SS t Ti C n SS e SS T SS t
P ( F F ) 1 F ( F )
F


f (F )d F
F表列出的是不同df1和df2下， P(F≥Fα)=0.05和P(F≥Fα)=0.01时的F值， 即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F0.05(df1,df2), F0.01(df1,df2) 。
所以 d f T d f t d f e 综合以上各式得：
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square ， MS )。组 间均方和组内均方的计算公式为 :

2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。

2.总体变异的构成
总体变异 组间变异： 组内变异：组内变异理论上要求齐性，实际计算取其 均值
3.方差的基本公式
一般总体方差称方差，样本方差称均方 能使变量发生变异的原因很多，这些原因我们都将其称为变异
因素或变异来源。
方差分析就是发现各类变异因素相对重要性的一种方法
方差分析的思路就是：把整个试验（设有 k 个总体）的样本资料作 为一个整体来考虑。
原理是变异的可加性。
即每一个数据与数据的总体平均数差的平方和，可以分解为每一组数 据各自的离差平方和与由各组数据的平均数组成的一组数据的
离差平方和两部分。前者表达的是组内差异，即每组数据中 各个数据之间的差异，也就是个体差异，表达的是抽样误差或 随机误差程度；后者表达的是组间差异，即各组平均数之间的差 异，表达的是实验操纵的差异程度，实验操纵即指自变量的操 纵，这两部分差异之间相互独立。
3、这种两两比较会随着样本组数的增加而加大犯Ⅰ型错的差异显著性检验，若两两比较推 断正确的概率为95%,则所有比较都正确的概率为6=0.74,则降低
了推断的可靠性。
• 几个常用术语:
1、试验指标(experimental index) 为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低 ，在试验中具体测
(1).计算平方和：
组间平方和
SB SX n2X n2 71 .5 6 65 8 .1 7 8 20 8 .47
¨ 组内平方和
SW SX 2X n2 7 6 7 41 4 .5 6 4 45 7 .5 7 8
¨ 总平方和
SS T X 2X n2
764414252 876.396
23
(2)．计算自由度
因此，方差分析可以帮助我们抓住试验的主要矛盾和技术关键，发 现主要的变异来源，从而抓住主要的、实质性的东西。

二、方差分析的基本假定
每个总体都应服从正态分布 各个总体的方差 σ 2 必须相同 观测值是独立的
三、方差分析的分类
单因素方差分析 双因素方差分析 多因素方差分析 协方差分析 多元方差分析
单因素方差分析
单因素方差分析研究的是一个分类型自 变量对一个数值型因变量的影响。例如， 要检验不同行业被投诉次数的均值是否 相等，这里只涉及行业一个因素，因而 属于单因素方差分析。
计算统计量
由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消 除观测值多少对误差平方和的影响，需要将其平均，也就是 用各平方和除以它们对应的自由度，这一结果称为均方，也 称为方差。 SST的自由度为n-1，其中n为全部观测值的个数。 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平（总体）的个数。 SSE的自由度为n-k。 SSA的均方也称为组间均方或组间方差，记为MSA SSA MSA=组间平方和/自由度= k − 1 代入例题得 MSA=485.536232 SSE MSE=组内平方和/自由度= n − k 代入例题得MSE=142.526316
则根据上面计算出F=3.40643，若取显著性水 平 α = 0 . 05 ，根据自由度 df 2 = n − k = 23 − 4 = 19 和分母自由度 df 1 = k − 1 = 4 − 1 = 3 ，查F分布 F0.05 (3,19) = 3.13 表得到临界值 。由于 F > Fα 拒绝原假设 H 0 : µ1 = µ 2 = µ3 = µ 4 ，表明 µ1, µ 2, µ3, µ 4, 之间有显著的差异，即行业对投诉次数有显著影响。
k
x）
k
∑ ∑
x =
代入得：
i=1
ni
j =1
x ij =

• 例题：探讨噪音对解决数学问题的影响作用。
噪音是自变量，划分为三个强度水平：强、中、 弱。因变量是解决数学问题时产生的错误频数。 随机抽取12名被试，再把他们分到强、中、无 三个实验组。每组被试接受数学测验时戴上耳 机。强噪音组、中噪音组的被试通过耳机分别 接受100、50分贝的噪音； 无噪音组的被试 则没有任何噪音。数学测验完后，计算每位被 试的错误频数。
查F值表进行F检验并作出决断
• 注意：
• 1.确定显著性水平 • 2.明确用单侧检验还是双侧检验
方差齐性检验
• 哈特莱最大F比率法：找出要比较的几个组内 方差中的最大值与最小值代入下式:
F max
S 2 S
2
max min
• 然后查F max临界值表，当算出的 F max小于表中相 应的临界值，就可认为要比较的样本方差两两 之间均无显著差异。
SSB MSB df B
SSW MSW df w
自由度的计算
• 组间自由度
• 组内自由度 • 总自由度
df B =k-1 df w =N-k
dfT
=N-1
• dfT = df B + df w
两个均方值之比为F统计量：
SSB / (k 1) MSB F SSW / (N k ) MSWE0.05来自SE X MS
n
E
• 4 用标准误乘以q的临界值就是对应于某 一个r值的两个平均数相比较时的临界值。
• 临界值,又称阀值，英文称 critical value，是指一个效应能 够产生的最低值或最高值。临界 值在数据分析中常常用来判定差 异情况 。
4、把5个平均数两两之间的差异与相应的 比较。但用这些差数与 q .SE 比较时一定要注意对应 于哪个r值。 例如： X E - X C =4.5，这时r=4-2+1=3，当r=3时 q0.05.SE X =3.49×1.738=6.06，因此应该将4.5与6.06 相比较。

方差分析一．方差分析的概念及意义方差分析，又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差别的显著检验。

由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。

造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究种施加的对结果形成影响的可控因素。

方差分析的意义，工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量高低，由诸多因素造成。

如农业生产中，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反应温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。

每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下（水平）起的作用大。

方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。

二．方差分析的基本思想根据实验设计的类型及研究目的,将全部观察值之间所表现出来的总变异,分解为两个或多个部分。

除随机误差作用外,其余每个部分的变异均可由某个因素的作用加以解释。

通过比较不同变异来源的均方(MS),借助F分布做出统计推断,从而推断研究因素对试验结果有无影响三．方差分析的假定条件及假设检验3.1方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。

（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。

（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。

（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。

3.2方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K 个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。

如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。

否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。

四．方差分析中的常用术语4.1 因素（Factor）因素是指所要研究的变量，它可能对因变量产生影响。

如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。

2.确定显著性水平，用 表示，常取0.05。 3.计算统计量F（见下张） 4.求概率值P： 5.做出推论：统计学结论和专业结论。
计算统计量F
F=MS组间/MS组内 公式是在H0成立的条件下进行的，即MS组间与 MS组内差别应该很小， F值应该接近于1。那么 要接近到什么程度呢？（Fisher计算出了F的分 布规律，即标准的F値） 通过这个公式计算出统计量F，查表求出对应的 P值，以确定是否为小概率事件。
数据 Id x1 x2 d 1 5 6 -1 2 76 1 3 88 0
……… 15 6 9 -3
成组双样本比较
统计假设: H0：μ1=μ2 vs H1：μ1≠μ2
公式:
假设条件: 1) 每组数据服从正态分布; 2) 两组数据的方差一致。
回忆
数据 Id A B 1 56 2 76 3 88
……… 15 6 9
组内变异
E 组内均方MS组内
方差分析是先将总变异分解，然后计算变异间的比值。若比值接近 1，认为处理因素无作用；若比值远大于1，且大于F界值 [F0.05(1,2)]时，认为处理因素有作用。
方差分析的步骤
1.建立假设 H0 ：1 = 2 = 3 =…. H1 ： 1 、 2 、 3 ….各总体均数不全相等
方差分析的概念
方差是描述变异的一种指标，方差分析也就是 对变异的分析。
对总变异进行分析。看总变异是由哪些 部分组成的，这些部分间的关系如何。
列举存在的变异及意义
1、全部的19个实验数据之间大小不等， 存在变异（总变异）。
2、各个组间存在变异：反映处理因素之 间的作用，以及随机误差。
3、各个组内个体间数据不同：反映了观 察值的随机误差。
二）多选题（选一个或多个正确答案；共5题）