.集合的概念与运算(答案)_上课教案+课后小作业

微课程2：集合的运算子集真子集定义对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集若集合A⊆B，但存在元素x ∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集符号语言若任意x∈A，有x∈B，则A⊆B。

若集合A⊆B，但存在元素x ∈B ，且x∉A，则A B表示方法A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A。

A不是B的子集时，记作A B或B A。

若集合A是集合B的真子集，记作A B或B A。

性质①A⊆A ②∅⊆A③A⊆B，B⊆C⇒A⊆CA B，且B C⇒A C子集个数含n个元素的集合A的子集个数为n2含n个元素的集合A的真子集个数为n2－1空集不含任何元素的集合，记为∅。

空集是任何集合的子集，用符号语言表示为∅⊆A；若A非空（即A≠∅），则有∅A。

集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。

（3）图形语言（Venn图）表示：。

2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。

（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。

（3）图形语言表示（Venn图）：。

3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。

（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且x∉A}。

（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。

【典例精析】例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。

（1）{∅}表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）{1，2，3}不是{3，2，1}；（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；（5）如果A ⊇B 且A≠B ，那么B 必是A 的真子集； （6）A ⊇B 与B ⊆A 不能同时成立。

中职数学基础模块上册（人教版）全套教案第一章：集合1.1 集合的概念【教学目标】了解集合的概念，掌握集合的表示方法，能够正确理解和运用集合的基本运算。

【教学内容】1. 集合的定义2. 集合的表示方法3. 集合的基本运算（并集、交集、补集）【教学步骤】1. 引入集合的概念，通过实例讲解集合的表示方法。

2. 讲解集合的基本运算，结合实例进行演示和练习。

【课后作业】1. 判断题：判断下列各题的真假。

（1）集合{1, 2, 3} 包含元素1, 2, 3。

（2）集合{1, 2, 3} 和集合{3, 4, 5} 的交集是{1, 2, 3}。

（3）集合{1, 2, 3} 的补集是{4, 5, 6}。

2. 选择题：选择正确答案。

（1）下列哪个选项是集合{1, 2, 3, 4, 5} 的补集？A. {1, 2, 3}B. {2, 3, 4}C. {1, 4, 5}D. {1, 2, 3, 4, 5}（2）设A = {x | x 是小于5 的正整数}，B = {x | x 是大于等于2 且小于等于4 的整数}，则A ∩B 是哪个集合？A. {2, 3, 4}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3, 4, 5}D. {1, 2, 3}1.2 集合的关系【教学目标】理解集合之间的包含关系，掌握集合的并集、交集、补集的定义及运算方法。

【教学内容】1. 集合的包含关系2. 集合的并集3. 集合的交集4. 集合的补集【教学步骤】1. 讲解集合的包含关系，通过实例说明集合之间的包含关系。

2. 讲解集合的并集、交集、补集的定义及运算方法，结合实例进行演示和练习。

【课后作业】1. 判断题：判断下列各题的真假。

（1）集合{1, 2, 3} 包含于集合{1, 2, 3, 4, 5}。

（2）集合{1, 2, 3} 和集合{3, 4, 5} 的并集是{1, 2, 3, 4, 5}。

（3）集合{1, 2, 3} 和集合{3, 4, 5} 的交集是{3}。

第 1 讲：集合的概念与运算一、课程标准1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义．3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．二、基础知识回顾1、元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。

2、集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。

(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A。

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3、集合的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．4、集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。

A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A。

（4）∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。

5、相关结论：(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。

(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.三、自主热身、归纳总结1、已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3，4,5}，则A∩B＝()A．{3}B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】因为A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}，故选C.2、已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}【答案】D【解析】∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}.3、已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝()A．[－1,4] B．(0,3]C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]【答案】A【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．4、已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.【答案】{1，3}【解析】由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}.5、已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.【答案】(－∞，1]【解析】∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.6、（多选题）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B ，则下列选项正确的有( ) A ．A B B = B ．A B B = C ．()U A B =∅ D ．()U A B =∅【答案】B 、D【解析】A B ，A B A ∴=，A B B =，()U C A B =≠∅，()U A C B =∅，7、（多选题）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( )A ．3-B ．1C ．2D ．5 【答案】、A 、B【解答】解：A B ⊆，2a ∴<，四、例题选讲、变式突破考点一 集合的基本概念例1、已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪ x ＋1x －2≤0，则集合A 的子集的个数为( ) A ． 7 B ． 8 C ． 15 D ．16【答案】B【解析】由x ＋1x －2≤0，可得(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠2，解得－1≤x <2.又x ∈Z ，可得x ＝－1,0,1，∴A ＝{－1,0,1}．∴集合A 的子集的个数为23＝8.【变式1】若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98C.0D.0或98【答案】D 【解析】若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.【变式2】设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 【答案】选C【解析】因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a＝2.故选C.【变式3】已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．【答案】(5,6]【解析】因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6.方法总结：1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。

学案66—集合的概念与运算一、[最新考纲]1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．5．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.二、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)真子集集合A是集合B的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A中集合相等集合A，B中元素相同A＝B[注意]空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝A∩B＝∁U A＝(1)并集的性质：A∪Ø＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．(2)交集的性质：A∩Ø＝Ø；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝Ø；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．三、辨析感悟判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若A B，则A⊆B且A≠B．()(2)N* N Z.()(3)若{1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(4)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.()(5)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立．()(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C．()(8)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M＝{x|x＞1，或x＜－1}．()四、典型精讲考点一. 集合的概念【例1】【2018高考全国卷Ⅱ】已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4跟踪训练1.(1)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．考点二集合间的基本关系【例2】(1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．,2x(){}223A x y x y x y=+∈∈Z Z，≤，，A(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝Ø，求m的值．跟踪训练2(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4(2) 已知集合A＝{x|x2－2 021x＋2 020<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是考点三集合的基本运算【例3】(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝()A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3} C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}(3)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠Ø，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1(4)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0 B．1 C．2 D．4课时作业1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()．A．3 B．6 C．8 D．102.已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为()A．[－1,2) B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)3.(2017山东)设函数A，函数的定义域为B,则( )A．（1,2）B．C．（-2,1）D．[-2,1)4．（2017全国II）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0} C．{1，3}D．{1，5}5.(2016·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于()A．⎝⎛⎭⎫－3，－32B．⎝⎛⎭⎫－3，32C．⎝⎛⎭⎫1，32D．⎝⎛⎭⎫32，36.(2016·浙江)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)等于() A．[]2,3B．(]-2,3C．[)1,2D．(][)--21+∞⋃∞，，7.已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为()A.13或－12B．－13或12 C.13或－12或0 D．－13或12或08.(2016·临沂模拟)已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈A C．3k2－1∈A(k∈Z) D．－34∉A9.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b，则b－a＝________.10．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．11．设A，B是非空集合，定义A✞B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A✞B＝________．12.已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a 的取值范围.y=ln(1-)y x A B=](1,2集合的概念与运算 答案辨析感悟 (1)√ (2)√ (3)× (4) √ (5)× (6) √ (7)× (8)√例1. 答案：A ．解析：法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A ．法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A ． 跟踪训练1（1）答案：0或98（2）答案：－32解析：(1) 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.(2)由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.例2.(1)当B ＝Ø时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠Ø时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4. 综上，m 的取值范围是(－∞，4]． (2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝Ø，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠Ø. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2. 经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2.跟踪训练2（1）答案：D 解析： 由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}． （2）答案[2 020，＋∞)例3 答案 (1)C (2)D (3)D (4)D解析：(1)依题意得∁U A ＝{1，6，7}，故B ∩∁U A ＝{6，7}．故选C ．(2)因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3<x <1}，所以A ∪B ＝{x |x >－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}．故选D ．(3)因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1. (4)根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 课时作业1. D2.D3. D4.C5.D6.B7.D8.C9. 2 10. {0，6} 11. {0}∪[2，＋∞) 解析：3.由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝Ø 时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠Ø 时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．7.9. 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.10. 由题意可知－2x ＝x 2＋x 所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}， 所以A ∩B ＝{0，6}．11. 由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ✞B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，结合数轴得A ✞B ＝{0}∪[2，＋∞)． 12.因为A ∪B=A,所以B ⊆A,易知A={0,-4}.(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的两根,由韦达定理可得所以a=1. (2)当B A 时,有B ≠Ø 和B= Ø两种情况.①当B ≠Ø时,B={0}或B={-4},故方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0,有相等的实数根0或-4,所以Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)=0,所以a=-1, 所以B={0}满足条件.②当B= Ø时,Δ<0,解得a<-1.综上知实数a 的取值范围是{a|a ≤-1或a=1}22168(a 1)a 10,a 10,⎧-++-=⎪⎨-=⎪⎩。

高考第一轮复习数学：11集合的概念与运算-教案（含习题及答案）.第一章集合与简易逻辑●络体系总览●考点目标定位1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.●复习方略指南本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容.本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用.2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解.4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的.5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通.1.1 集合的概念与运算●知识梳理1.集合的有关概念2.元素与集合、集合与集合之间的关系（1）元素与集合：“∈”或“?”.（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.3.集合的运算（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A?S），由S中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集S 中的补集（或余集），记为S A ，即S A={x|x ∈S 且x ?A}.●点击双基1.（2004年全国Ⅱ，1）已知集合M={x|x 2＜4}，N={x|x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于A.{x|x ＜－2}B.{x|x ＞3}C.{x|－1＜x ＜2}D.{x|2＜x ＜3}解析：M={x|x 2＜4}={x|－2＜x ＜2}，N={x|x 2－2x －3＜0}={x|－1＜x ＜3}，结合数轴，∴M ∩N={x|－1＜x ＜2}. 答案：C2.（2005年北京西城区抽样测试题）已知集合A={x ∈R|x ＜5－2}，B={1，2，3，4}，则（R A ）∩B 等于A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}解析：R A={x ∈R|x ≥5－2}，而5－2∈（3，4），∴（R A ）∩B={4}. 答案：D3.（2004年天津，1）设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x ∈R|2≤x ≤6}，那么下列结论正确的是A.P ∩Q=PB.P ∩Q QC.P ∪Q=QD.P ∩Q P 解析：P ∩Q={2，3，4，5，6}，∴P ∩Q P. 答案：D4.设U 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q U ，若求含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集?，则这个运算表达式可以是_______________.解析：构造满足条件的集合，实例论证.U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，则（UQ ）=｛3｝，（UP ）={2，3}，易见（UQ ）∩P=?.答案：（U Q ）∩P5.已知集合A ＝｛0，1｝，B ＝｛x ｜x ∈A ，x ∈Ｎ*｝，C ＝｛x ｜x ?A ｝，则 A 、B 、C 之间的关系是___________________.解析：用列举法表示出B ＝｛1｝，C ＝｛?，｛1｝，｛0｝，A ｝，易见其关系.这里A 、B 、C 是不同层次的集合，C 以A 的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.答案：B A ，A ∈C ，B ∈C ●典例剖析【例1】（2004年北京，8）函数f （x ）=∈-∈,,M x x P x x其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f （P ）={y|y=f （x ），x ∈P}，f （M ）={y|y=f （x ），x ∈M}.给出下列四个判断，其中正确判断有①若P ∩M=?，则f （P ）∩f （M ）=? ②若P ∩M ≠?，则f （P ）∩f （M ）≠? ③若P ∪M=R ，则f （P ）∪f （M ）=R ④若P ∪M ≠R ，则f （P ）∪f （M ）≠RA.1个B.2个C.3个D.4个剖析：由题意知函数f （P ）、f （M ）的图象如下图所示.设P=［x2，+∞），M=（－∞，x1］，∵|x2|＜|x1|，f（P）=［f（x2），+∞），f（M）=［f（x1），+∞），则P∩M=?.而f（P）∩f（M）=［f（x1），+.同理可知②正确.设P=［x1，+∞），M=（－∞，x2］，∵|x2|＜|x1|，则P∪M=R.f（P）=［f（x1），+∞），f（M）=［f（x2），+∞），f（P）∪f（M）=［f（x1），+∞）≠R，故③错误.同理可知④正确.答案：B【例2】已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B ＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0，①由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.②由①②知x1＝－1，x2＝2，∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.深化拓展（2004年上海，19）记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ，g （x ）= lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B.（1）求A ；（2）若B ?A ，求实数a 的取值范围.提示：（1）由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，∴x ＜－1或x ≥1，即A=（－∞，－1）∪［1，+∞）. （2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0. ∵a ＜1，∴a+1＞2a.∴B=（2a ，a+1）.∵B ?A ，∴2a ≥1或a+1≤－1，即a ≥21或a ≤－2.而a ＜1，∴21≤a ＜1或a ≤－2.故当B ?A 时，实数a 的取值范围是（－∞，－2］∪［21，1）.【例3】（2004年湖北，10）设集合P={m|－1＜m ≤0}，Q={m ∈R|mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是A.P QB.Q PC.P=QD.P ∩Q=Q剖析：Q={m ∈R|mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，对m 分类：①m=0时，－4＜0恒成立；②m ＜0时，需Δ=（4m ）2－4×m ×（－4）＜0，解得m ＜0. 综合①②知m ≤0，∴Q={m ∈R|m ≤0}. 答案：A评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.【例4】已知集合A={（x ，y ）|x 2+mx －y+2=0}，B={（x ，y ）|x －y+1=0，0≤x ≤2}，如果A ∩B ≠?，求实数m 的取值范围.剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x 2+mx －y+2=0与线段x －y+1=0（0≤x ≤2）有公共点，求实数m 的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.解：由?≤≤=+-=+-+),20(01,022x y x y mx x 得+（m －1）x+1=0. ①∵A ∩B ≠?，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=（m －1）2－4≥0，得m ≥3或m ≤－1.当m ≥3时，由x 1+x 2=－（m －1）＜0及x 1x 2=1知，方程①只有负根，不符合要求；当m ≤－1时，由x 1+x 2=－（m －1）＞0及x 1x 2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.综上所述，所求m 的取值范围是（－∞，－1］.评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x 2+mx －y+2=0与线段x －y+1=0（0≤x ≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m 的不等式来解.深化拓展设m ∈R ，A={（x ，y ）|y=－3x+m}，B={（x ，y ）|x=cos θ，y=sin θ，0＜θ＜2π}，且A ∩B={（cos θ1，sin θ1），（cos θ2，sin θ2）}（θ1≠θ2），求m 的取值范围.提示：根据题意，直线y=－3x+m 与圆x 2+y 2=1（x ≠1）交于两点，∴22)3(1||-+m ＜1且0≠－3×1+m.∴－2＜m ＜2且m ≠3. 答案：－2＜m ＜2且m ≠3.●闯关训练夯实基础1.集合A={（x ，y ）|x+y=0}，B={（x ，y ）|x －y=2}，则A ∩B 是A.（1，－1）-==11y xC.{（1，－1）}D.{1，－1}解析：?=-=+20y x y x-==.1,1y x 答案：C2.（2004年上海，3）设集合A={5，log 2（a+3）}，集合B={a ，b}.若A ∩B={2}，则A ∪B=______________.解析：∵A ∩B={2}，∴log 2（a+3）=2. ∴a=1.∴b=2.∴A={5，2}，B={1，2}.∴A ∪B={1，2，5}. 答案：{1，2，5}3.设A={x|1＜x ＜2}，B={x|x ＞a}，若A B ，则a 的取值范围是___________________. 解析：A B 说明A 是B 的真子集，利用数轴（如下图）可知a ≤1.a 1 2答案：a ≤14.已知集合A={x ∈R|ax 2+2x+1=0，a ∈R}只有一个元素，则a 的值为__________________.解析：若a=0，则x=－21. 若a ≠0，Δ=4－4a=0，得a=1. 答案：a=0或a=15.（2004年全国Ⅰ，理6）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ?B ?I ，则下列各式中错误．．的是 A.（IA ）∪B=I B.（IA ）∪（B ）=IC.A ∩（I B ）=?D.（I A ）∩（I B ）=I B解析一：∵A 、B 、I 满足A ?B ?I ，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A 、C 、D 都是正确的.B AI解析二：设非空集合A 、B 、I 分别为A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}且满足A ?B ?I.根据设出的三个特殊的集合A 、B 、I 可判断出A 、C 、D 都是正确的.答案：B6.（2005年春季北京，15）记函数f （x ）=log 2（2x －3）的定义域为集合M ，函数g （x ）=)1)(3(--x x 的定义域为集合N.求：（1）集合M 、N ；（2）集合M ∩N 、M ∪N.解：（1）M={x|2x －3＞0}={x|x ＞23}；N={x|（x －3）（x －1）≥0}={x|x ≥3或x ≤1}. （2）M ∩N={x|x ≥3}；M ∪N={x|x ≤1或x ＞23}. 培养能力7.已知A={x ∈R|x 2+2x+p=0}且A ∩{x ∈R|x ＞0}=?，求实数p 的取值范围. 解：∵A ∩{x ∈R|x ＞0}=?，∴（1）若A=?，则Δ=4－4p ＜0，得p ＞1；（2）若A ≠?，则A={x|x ≤0}，即方程x 2+2x+p=0的根都小于或等于0. 设两根为x 1、x 2，则≥=≤-=+≥-=.0,02,0442121p x x x x p Δ ∴0≤p ≤1. 综上所述，p ≥0.8.已知P={（x ，y ）|（x+2）2+（y －3）2≤4}，Q={（x ，y ）|（x+1）2+（y －m ）2＜41}，且P ∩Q=Q ，求m 的取值范围.解：点集P 表示平面上以O 1（－2，3）为圆心，2为半径的圆所围成的区域（包括圆周）；点集Q 表示平面上以O 2（－1，m ）为圆心，21为半径的圆的内部.要使P ∩Q ＝Q ，应使⊙O 2内含或内切于⊙O 1.故有｜O 1O 2｜2≤（R 1－R 2）2，即（－1＋2）2＋（m －3）2≤（2－21）2.解得3－25≤m ≤3＋25.评述：本题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题.探究创新9.若B={x|x 2－3x+2＜0}，是否存在实数a ，使A={x|x 2－（a+a 2）x+a 3＜0}且A ∩B=A ？请说明你的理由.解：∵B={x|1＜x ＜2}，若存在实数a ，使A ∩B=A ，则A={x|（x －a ）（x －a 2）＜0}.（1）若a=a 2，即a=0或a=1时，此时A={x|（x －a ）2＜0}=?，满足A ∩B=A ，∴a=0或a=1.（2）若a 2＞a ，即a ＞1或a ＜0时，A={x|0＜x ＜a 2}，要使A ∩B=A ，则≤≥212a a ?1≤a ≤2，∴1＜a ≤2.（3）若a 2＜a ，即0＜a ＜1时，A={x|a ＜x ＜a 2}，要使A ∩B=A ，则?≥≤122a a ?1≤a ≤2，∴a ∈?.综上所述，当1≤a ≤2或a=0时满足A ∩B=A ，即存在实数a ，使A={x|x 2－（a+a 2）x+ a 3＜0}且A ∩B=A 成立.●思悟小结1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.●教师下载中心教学点睛1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.3.强化数形结合、分类讨论的数学思想. 拓展题例【例1】设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为M －N={x|x ∈M 且x ?N}，则M －（M －N ）等于A.NB.M ∩NC.M ∪ND.M 解析：M －N={x|x ∈M 且x ?N}是指图（1）中的阴影部分.(1) (2)同样M －（M －N ）是指图（2）中的阴影部分.答案：B【例2】设集合P={1，a ，b}，Q={1，a 2，b 2}，已知P=Q ，求1+a 2+b 2的值. 解：∵P=Q ，∴==22,b b a a①或==.,22a b b a②解①得a=0或a=1，b=0或b=1.（舍去）由②得a=b 2=a 4，∴a=1或a 3=1. a=1不合题意，∴a 3=1（a ≠1）. ∴a=ω，b=ω2，其中ω=－21+23i. 故1+a 2+b 2=1+ω2+ω4=1+ω+ω2 =0.。

集合复习123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——（不）属于关系 （1）集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示元素用小写的拉丁字母a 、b 、c …表示（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a∉A;4.集合的表示方法：列举法与描述法。

高一数学必修1各章知识点总结第一次课集合及其运算一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

注意：B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作：A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集非空真子集为2n-2个；【典型例题】1 设集合{}{}{}1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===则A B = （）C2 若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B = _____________3.设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤,若M ⊆N,求k 的取值范围.1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A.某班所有高个子的学生B.著名的艺术家C.一切很大的书D.倒数等于它自身的实数 2 用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） 3.下列各式中错误的个数为( )①{}10,1,2∈ ②{}{}10,1,2∈ ③{}{}0,1,20,1,2⊆ ④{}{}0,1,22,0,1=A. 1B. 2C. 3D. 44.已知全集{}{}{}0,1,2,4,6,8,10,2,4,6,1U A B ===,则()U C A B ⋃=( )A.{}0,1,8,10B.{}1,2,4,6C.{}0,8,10D.Φ5.若{}{}{}0,1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===⋂⋃⋂则(A B)(B C)＝ ( )A.{}1,2,3B.{}2,3C.{}2,3,4D.{}1,2,46.设集合{}{}|91,|32A x x B x x A B =-<<=-<<⋂=则 ( )A.{}|31x x -<<B.{}|12x x <<C.{}|92x x -<<D.{}|1x x <7.集合{}{}21,4,,,1A x B x A B B ==⋂=且,则满足条件的实数x 的值为( )A.1或0B.1,0,或2C.0,2或－2D.1或28.若,A B A ⊆C,且Ａ中含有两个元素,{}{}0,1,2,3,0,2,4,5B C ==则满足上述条件的集合Ａ可能为( ).A.{}0,1B.{}0,3C.{}2,4D.{}0,29.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =- ，求实数a 的值（2012年广东卷文）2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =(A ) ()A {,,}246 ()B {1,3,5} ()C {,,}124 ()D U （2012湖南卷文）设集合M={-1,0,1}，N={x |x 2=x }，则M∩N=( )A.{-1，0，1}B.{0,1}C.{1}D.{0}【答案】B 【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M∩N={0,1}（2012年北京）已知集合A={x ∈R|3x +2＞0} B={x ∈R|（x +1）(x -3)＞0} 则A∩B=( )A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【解析】32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．（2012年广东卷理）设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U =ð 【答案】C A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}(2012年安徽文)（2）设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=A ） （1，2） （B ）[1，2]（C ） [ 1，2） （D ）（1，2 ]【解析】选D {3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-，(1,)(1,2]B A B =+∞⇒=（2012年山东卷理）2 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ） B 为A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。

例题2：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A ∪B= （3）交集问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（Venn 图中两个集合相交的部分）还应是我们所关心的，问题1、观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A 、集合B 有什么关系？问题2、考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}与集合C={2,3}之间的关系.上面两个问题中，集合C 是由那些既属于集合A 且又属于集合B 的所有元素组成的。

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。

记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”即： A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。

拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集 补充例题：例1．设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A ∩B.例2．设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A ∩B.例3、已知集合M ＝｛(x ,y )|x +y =2｝,N ={(x ,y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为( )A . x =3,y =－1 B.(3，－1) C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝（4）补集在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。

例如：从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正ABA BA (B)ABBAA BAUC U A分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数，在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充。

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A ， 即：C U A={x|x ∈U 且x ∉A} 补集的Venn 图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制，例如C U A 与C I A 不一定相等，因为全集可能不一样。

集合知识梳理1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ． 补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ．高频考点一 集合的含义例1、(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】方法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A 。

方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A 。

题目：集合的概念与运算 一、高考要求1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.2．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.3．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质二、知识点归纳：定义：一组对象的全体形成一个集合.特征：确定性、互异性、无序性.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、区间法、数轴、韦恩图分类：有限集、无限集.数集：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *、空集φ. 关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等＝.运算：交运算A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}；图：并运算A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B};补运算A C U ＝{x|x ∉A 且x ∈U}，U 为全集性质：A ⊆A ； φ⊆A ； 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ；A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；A ∩C U A ＝φ； A ∪C U A ＝I ；C U ( C U A)＝A ；C U (A ⋃B)＝(C U A)∩(C U B).方法：韦恩示意图, 数轴分析.注意：① 区别∈与、与⊆、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ. ③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是n 2-1, 所有非空真子集的个数是22-n 。

④区分集合中元素的形式：如}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ；}12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xy z x x y z G =++==。