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信息论 总复习_new.ppt

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信息论总结

信息论总结

D
香农编码：
二进制香农码的编码步骤如下： ⑴将信源符号按概率从大到小的顺序排列, p(a1)≥ p(a2)≥…≥ p(an) ⑵确定满足下列不等式的整数Ki , －log2 p(ai)≤ Ki <1－log2 p(ai) ⑶令p(a1)=0,用Pi表示第i个码字的累加概率，
⑷将Pi用二进制表示,并取小数点后Ki位作为符 号ai的编码。
m元霍夫曼编码的编码方式类同于二元霍夫曼编码， 不同的是每次把m个符号合并成一个新的信源符号， 并分别用0,1，……，m-1等码元表示。 为了使短码得到充分利用，使平均码长为最短，必 须使最后一步缩减信源有m个信源符号。因此对于m 元编码，信源s的符号个数必须满足q=(m-1) θ+m, θ是 缩减的次数.
L →∞
5 马尔可夫信源的极限熵：
H ∞ = H m +1 = ∑ p ( si ) H ( X | si ) p( si ) = Wi
i
H ( X | si ) = −∑ p ( x j | si ) log p ( x j | si )
j
6
H∞ (X ) η 冗余度： = H ( X ) ０ ≤ η ≤１ m
游程编码：
若规定二元序列总是从“0”开始,第一个游程是“0”游 程,则第二个游程必为“1”游程,第三个又是“0”游程……。 对于随机序列,游程长度是随机的其取值可为1,2,3,…， 直至无穷。 游程长度序列/游程序列：用交替出现的“0”游程和“1” 游程长度表示任意二元序列。 游程变换： 是一种一一对应的变换,也是可逆变换。 例如：二元序列000101110010001… 可变换成如下游程序列 31132131
i i i =1 i =1 L L
Ｌ

信息论-第三章PPT课件

信息论-第三章PPT课件
条件概率被称为信道的传递概率或转移概率。
一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空
间[X,p(y|x),Y]来描述。
a1
b1
X
P (b j | ai )
Y
ar
2021/6/7
bs
6
第一节 信道的数学模型及分类
表示成矩阵形式：
…
y1
y2
… x1 p(y1/x1) p(y2/x1)
[P]=
…
x2 p(y1/x2) p(y2/x2)
2021/6/7
27
第四节 信道容量及其一般计算方法
(3)无噪有损信道
x1
x2
y1
x3
x4
y2
x5
此时信道疑义度为0，而信道噪声熵不为0，从而
C=max{I(X;Y)}=max{H(Y)-H(Y/X)}=max{H(Y)}=logs
2021/6/7
28
第四节 信道容量及其一般计算方法
2、对称离散信道的信道容量
y1
y2
…
x1
p(y1/x1)
p(y2/x1)
…
[P]= x2
p(y1/x2)
p(y2/x2)
…
…
…
…
…
xn
p(y1/xn)
p(y2/xn)
…
ym p(ym/x1) p(ym/x2)
… p(ym/xn)
2021/6/7
10
第一节 信道的数学模型及分类
为了表述简便，可以写成 P(bj /ai)pij
因为H(X),表示传输前信源的不确定性，而H(X/Y)表示
收到一个符号后，对信源尚存的不确定性，所以二者之
差信道传递的信息量。

信息论复习

信息论复习
lim H q 1 ( p1 , p 2 , ..., p q , ) H q ( p 1 , p 2 , ..., p q )
0
③ 确定性
④ 扩展性 ⑤ 极值性 ⑥ 可加性
H ( p1 , p 2 , ..., p q ) H (1 / q ,1 / q , ...,1 / q ) log q
***********
H（XY）= H（X）+ H（Y）*******
H ( p 1 , p 2 , , p n 1 , q 1 , q 2 , , q m ) q1 pn , q2 pn , , qm pn )
⑦ 强可加性 H(XY)=H(X)+H(Y/X) *******
⑧ 递增性
⑨ 上凸性
3.平均互信息（ ***** *******课后习题3.3，6.1求输入符号 概率分别为1/4, 1/2, 1/4 时平均互信息和信道容量）
I ( X ;Y )
P ( xy ) log
X ,Y
P(x y) P (x)


X ,Y
P ( xy ) log
P ( xy ) P (x)P ( y)
( b1b1b1b1 b1 ) 1
( b1b1b1b1 b 2 ) 2
XN
(ar ar ar ar ar ) r N
P ( h / k )
(bs bs bs bs bs ) s N
YN
kn P ( h / k ) P ( b h b h b h a k a k a k )
6.马尔可夫信源及其信息熵（*****） （1）马尔可夫信源的定义******（特别是M阶马尔可夫信源 若一个信源满足下面两个条件，则称为马尔可夫信源： ① 某一时刻信源输出的符号的概率只与当前所处的 状态有关，而与以前的状态无关； ② 信源的下一个状态由当前状态和下一刻的输出唯 一确定。 （2）时齐遍历马尔可夫信源的信息熵（***********） H Q ( E ) H ( X | E ) Q ( E ) P ( a | E ) lo g P ( a | E )

信息论总结与复习

信息论总结与复习

i 1 k 1
i 1
k 1
结论：N阶马氏信源稳态信息熵(即极限熵)等于N+1阶条件熵。
H lN iN 1 m H (X 1 X 2 X N 1 X N ) H (X N 1 |X 1 X 2 X N )
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
[例1] 已知二阶马尔可夫信源的条件概率：
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
（4）序列信息熵的性质：
《1》条件熵不大于无条件熵，强条件熵不大于弱
条件熵：H(X1) ≥ H(X2|X1) ≥ H(X3|X1X2) ≥ …
…… ≥H (XN|X1X2……XN-1)
《2》条件熵不大于同阶的平均符号熵:
HN ≥H (XN|X1X2……XN-1)
[例3]求对称信道
P00..32
0.3 0.2
0.2 0.3
00..23的信道容量。
解：C =log4-H(0.2,0.3,0.2,0.3)
=2+(0.2log0.2+0.3log0.3)×2 = 0.03 bit/符号；
第二部分、无失真信源编码
2.1 信源编码理论
第二部分、无失真信源编码
1.1 信源编码理论:
稳态方程组是：
QQ((EE32
) )
0.2Q(E1 0.6Q(E2
) )
0.6Q(E3 ) 0.2Q(E4 )
Q(E4 ) 0.4Q(E2 ) 0.8Q(E4 )
Q(E1) Q(E2 ) Q(E3 ) Q(E4 ) 1
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
可解得：
Q (E1 )
[例5] 以下哪些编码一定不是惟一可译码？写出每 种编码克拉夫特不等式的计算结果。

信息论 总复习_new学习版.ppt

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最新.课件
14
Wuhan University
最大离散熵定理 (极值性) ：离散无记忆信源输出 n 个不同的信息符号，当且仅当各个符号出现概 率相等时 (即p(xi)=1/n)，熵最大。 H[p(x1),p(x2),…,p(xn)]≤logn
最新.课件
15
Wuhan University
二进制信源的熵函数 H(p) 为
23
离散无记忆信源的等长编码
无扰编码定理的含义 R>H(U)
Wuhan University
译码错误概率 pe
I(ak)的方差
信源序列中每个符号含 有信息量的算术平均值
I(ak)的数学期望
契比雪夫不等式的右边是理论上的误码率的上限， 必须小于给定的误码率才能保证到达编码性能要求
最新.课件
24
定长编码定理
游程编码和算术编码是非分组编码；游程编码是限 失真信源编码。本章介绍的都是离散信源变长编码。
优点：提高编码效率；
缺点：需要大量缓冲设备来存储这些变长码，然后 再以恒定的码率进行传送；如果出现了误码，容易引 起错误扩散，所以要求有优质的信道。
可靠: 要使信源发出的消息经过传输后，尽可能准确地、
不失真或限定失真地再现在接收端
有效: 用尽可能短的时间和尽可能少的设备来传输最大的
消息
最新.课件
4
第2章 信源熵
Wuhan University
单符号离散信源
自信息量
–用概率测度定义信息量，设离散信源 X，其
概率空间为
–如果知道事件 xi 已发生，则该事件所含有的
5 0.11011
8
a 729/65536
3367/4096=…

信息论总复习

信息论总复习

第一章作业题1. 设二元对称信道的传递矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32313132(1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H (X ), H(X /Y ), H(Y /X )和I(X ;Y )；(2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布； 解：(1)symbolbit Y X H X H Y X I symbol bit X Y H Y H X H Y X H X Y H Y H Y X H X H Y X I symbolbit y p Y H x y p x p x y p x p y x p y x p y p x y p x p x y p x p y x p y x p y p symbolbit x y p x y p x p X Y H symbolbit x p X H jj iji j i j i i i / 062.0749.0811.0)/()();(/ 749.0918.0980.0811.0)/()()()/()/()()/()();(/ 980.0)4167.0log 4167.05833.0log 5833.0()()(4167.032413143)/()()/()()()()(5833.031413243)/()()/()()()()(/ 918.0 10log )32lg 324131lg 314131lg 314332lg 3243( )/(log )/()()/(/ 811.0)41log 4143log 43()()(222221212221221211112111222=-==-==+-=+-=-=-==⨯+⨯-=-==⨯+⨯=+=+==⨯+⨯=+=+==⨯⨯+⨯+⨯+⨯-=-==⨯+⨯-=-=∑∑∑∑2)21)(/ 082.010log )32lg 3231lg 31(2log log );(max 222==⨯++=-==i mi x p symbolbit H m Y X I C2. 设有一批电阻，按阻值分70%是2K Ω，30%是5 K Ω；按瓦分64%是0.125W ，其余是0.25W 。

信息论-信息论总复习对数底

Page 23
3.熵的基本性质(2)
极值性
定理2. 4 (离散最大熵定理) 对于离散随机变量集合，当集合中的事件
等概率发生时，熵达到最大值
证明
设随机变量集合有n个符号，概率分布为P(x) ；Q(x)为等概率分布，即
Q(x)=1/n。 根据散度不等式有
P(x)
D(P // Q) P( x) log
1
I(x)为事件x 的自信息
2
E
p(x)
表示对随机变
量x用p(x)来进行
取平均运算
4n
pi 1
0 pi 1
i1 特别是当n=2时，
H (X ) H ( p,1 p) H ( p)
3
熵的单位为比特
（奈特）／信源
符号
信息熵的含义
1）信源输出前 信源的平均 不确定性
2）信源输出后 一个信源符号所 提供的平均信息量
当且仅当对所有x, P(x ) = Q(x) 时,等式成立
D(P // Q) P(x) log Q(x) log[ P(x) Q(x)]
x
P(x)
x
P(x)
log[Q(x)] 0
x
3.熵的基本性质(1)
对称性
非负性
p=(p1,p2,…,pn)中，各分量的 次序可以任意改变
扩展性
自信息非负，熵为自信息的
xy
p(x)[ p( y / x) log p( y / x)]
x
y
p(x)H (Y / x)
x
H (Y / x) p( y / x) log p( y / x)
y
为在x取某一特定值时Y的熵
2.联合熵
定
★联合集XY上，联合自信息

信息论汇总马尔科夫信源ppt培训课件


(i＞3)
求：⑴信源状态转移情况和相应概率；
⑵画出完整的二阶马尔可夫信源状态转移图；
⑶求平稳分布概率；
（4）马尔科夫信源达到稳定后，0和1的分布 概率。
• 解:
• 设信源开始处于s0状态,并以 等概率发出符号0和1,分别
(0)0.3
s1
•
到达状态s1和s2 : 若处于s1 ,以0.3和0.7的概率
p(x1,x2,x3, xL) p(xL|xL1, x1)p(x1,x2, xL1) p(xL|xL1, x1)p(xL1|xL2, x1)p(x1,x2,
xL2)
3
2.1.3 马尔可夫信源
• 马尔可夫信源
–一类相对简单的离散平稳有记忆信源 –该信源在某一时刻发出字母的概率除与该
p(s2|s1)p(s3|s4)0.2
0：0.8
0.8 0.2 0 0


P

0

0
.5
0 0 .5
0 .5 0
0.5
0


0
0
0 .2
0
.8

1：0.2
01
1：0.5
00
0：0.5 1：0.5
0：0.5
10
0：0.2
11
1：0.2
14
齐次马尔可夫链中的状态可以根据其性质进行 分类:
(1)0.7
s0
(0)0.4 (0)0.2
(1)0.6
(1)0.5 11
01
(1)0.6
s6 (1)0.8
s4
26
• 由题意,此马尔可夫信源的状态必然会进入这个 不可约闭集,所以我们计算信源熵时可以不考虑 过渡状态及过渡过程。

信息论课件.ppt教学文案


– 先验概率：选择符号 ai 作为消息的概率----P(ai)
– 自信息：ai 本身携带的信息量
I(ai
)
log 1 P(ai
)
– 后验概率：接收端收到消息(符号) bj 后而发送端
发的是 ai 的概率 P(ai/bj)
– 互信息：收信者获得的信息量-----先验的不确定 性减去尚存在的不确定性
I(ai;bj)loP g(1 ai)loP g(ai1/bj)
第一章 绪论
信息论
通信技术 概率论 随机过程 数理统计
相结合逐步发展而形 成的一门新兴科学
奠基人：美国数学家香农（C.E.Shannon） 1948年“通信的数学理论”
本章内容：
信息的概念 数字通信系统模型 信息论与编码理论研究的主要内容及意义
1.1 信息的概念
信息是信息论中最基本、最重要的概念，既抽象又复杂
– 信息具有以下特征： （1）信息是可以识别的 （2）信息的载体是可以转换的 （3）信息是可以存贮的 （4）信息是可以传递的 （5）信息是可以加工的 （6）信息是可以共享的
1.2 信息论研究的对象,目的,内容
一、 研究对象 – 前面介绍的统一的通信系统模型。人们通过系统 中消息的传输和处理来研究信息传输和处理的共 同规律。
消息：用文字等能够被人们感觉器官所感知的形式， 把客观物质运动和主观思维活动的状态表达出来。 知识：一种具有普遍和概括性质的高层次的信息 ， 以实践为基础，通过抽象思维，对客观事物规律性的 概括。 情报：是人们对于某个特定对象所见、所闻、所理解 而产生的知识 。
它们之间有着密切联系但不等同 ，信息的含义更深刻、广泛
– 它的主要目的是提高信息系统的可靠性、有效性、 保密性和认证性，以便达到系统最优化；

信息论与编码总复习


平均互信息量
另一种定义：离散随机变量X和Y乊间的平 均互信息量
I ( X ;Y ) H ( X ) H ( X | Y ) I (Y ; X ) H (Y ) H (Y | X )
根据概率乊间的关系式有： p( x i | y j ) p( x i , y j ) I(X; Y) p( x i , y j )log p( x i , y j )log p( x i ) p( x i ) p( y j ) i, j i, j p( x i , y j )log I(Y; X)
互信息量表示先验的丌确定性减去尚存的丌确 定性，返就是收信者获得的信息量； 互信息量可能为正数、负数、零； 对亍无干扰信道，I(xi;yj) = I(xi)； 对亍全损信道，I(xi;yj) = 0；
平均互信息量
定义：
I ( X ;Y ) p( x i , y j )I ( x i ; y j ) p( x i , y j ) log
j i j i
p( x i | y j ) p( x i )
不其他熵的关系： I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) I(X;Y)=H(Y) - H(Y|X) I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y) 表达平均互信息量的熵I(X;Y), 是确定通过信道的 信息量的多少，因此称它为信道传输率戒传信率。
信息论不编码
总复习知识点
信息、消息和信号
信息
– 是事物运动状态戒存在斱式的丌确定性的描述。 – 信息是用以消除随机丌确定性的东西 香农信息的定义 消息 – 是指包含有信息的语言、文字和图像等 信号 – 是消息的物理体现。
在通信系统中，实际传输的是信号，但本质的 内容是信息。信息包含在信号乊中，信号是信 息的载体。通信的结果是消除戒部分消除丌确 定性，从而获得信息。
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0
0.5
p
图2.1.9 固定信道后平均互信息随信源变化的曲线
q
0
0.5
1
图2.1.10 固定信源后平均互信息随信道变化的曲线
18
连续信源的熵为
Wuhan University
定义的熵在形式上和离散信源相似。连续信源熵并不是实 际信源输出的信息量(绝对熵)； Hc(X) 也称为相对熵
连续信源的信息量为无限大； Hc(X) 已不能代表信源的平均不确定度，也不能代表连续信 源输出的信息量。
两个不确定度之差是不确定度被消除的部分 ，即等于自信息量减去条件自信息量。
8
Wuhan University
平均信息量—信源熵：自信息的数学期望。也称为 信源的信息熵/信源熵/熵。
信息熵的意义：信源的信息熵 H 是从整个信源的
统计特性来考虑的。它是从平均意义上来表征信源 的总体特性的。对于某特定的信源，其信息熵是唯 一的。不同的信源因统计特性不同，其熵也不同。
在通信系统中形式上传输的是消息，但实质上传 输的是信息。消息只是表达信息的工具，载荷信 息的客体。
3
Wuhan University
信息论的研究对象:通信系统模型.
信源
ห้องสมุดไป่ตู้
编码器
信道
解码器
信宿
消息
信号
信号+干扰
消息
信源 信道 加密
干扰
噪声源
通信系统模型
信源 信道 解密
通信系统的基本任务要求
可靠: 要使信源发出的消息经过传输后，尽可能准确地、
总复习
1 概论 2 信源及信息熵 3 信源编码 4 信道及信道容量 5 信道编码 6 信息率失真函数 7 考试情况
Wuhan University 1
第1章 概论
Wuhan University
信息与消息和信号的区别
–消息：是指包含有信息的语言、文字和图像 等，可表达客观物质运动和主观思维活动的 状态。
当 X 和 Y 相互独立时， p(xiyj)=p(xi)p(yj)
6
Wuhan University
条件自信息量：已知yj 的条件下xi 仍然存 在的不确定度。
自信息量、条件自信息量和联合自信息量之 间的关系
7
互信息量：yj 对 xi 的互信息量定义为的后 Wuhan University 验概率与先验概率比值的对数。
12
平均互信息和熵的关系
Wuhan University
熵
H(X)
H(X)>=H(X|Y)
XY
H(X)=H(X|Y)+I(X;Y)
条件熵
H(X|Y)
H(X|Y)=H(XY)-H(Y) =H(X)-I(X;Y)
XY
联合熵 H(XY)=H(YX) H(XY)=H(X)+H(Y|X)
XY
=H(X|Y)+H(Y|X)+I(X;Y)
–信号：把消息变换成适合信道传输的物理量 ，这种物理量称为信号（如电信号、光信号 、声音信号等）。
–信息是事物运动状态和状态改变的方式。
2
Wuhan University
信息 –信息是事物运动状态和状态改变的方式。
研究信息论的目的：它的主要目的是提高信息系 统的可靠性、有效性和安全性以便达到系统最优 化。
20
第3章 信源编码
Wuhan University
14
Wuhan University
最大离散熵定理 (极值性) ：离散无记忆信源输 出 n 个不同的信息符号，当且仅当各个符号出 现概率相等时 (即p(xi)=1/n)，熵最大。 H[p(x1),p(x2),…,p(xn)]≤logn
15
Wuhan University
二进制信源的熵函数 H(p) 为
噪声熵—H(Y|X)：表示在已知 X 的条件下，对于 符号集 Y 尚存在的不确定性，这完全是由于信道 中噪声引起的。唯一确定信道噪声所需要的平均信 息量。
11
Wuhan University
平均互信息量定义：互信息量 I(xi;yj) 在联合概 率空间 P(XY) 中的统计平均值。
从一个事件获得另一个事件的平均互信息需要消除 不确定度，一旦消除了不确定度，就获得了信息。
不失真或限定失真地再现在接收端
有效: 用尽可能短的时间和尽可能少的设备来传输最大的
消息
4
第2章 信源熵
Wuhan University
单符号离散信源
自信息量
–用概率测度定义信息量，设离散信源 X，其
概率空间为
–如果知道事件 xi 已发生，则该事件所含有的
自信息定义为
5
联合自信息量
Wuhan University
平均互信 I(X;Y)=I(Y;X) I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)
息
=H(X)+H(Y)-H(X,Y)
XY
13
Wuhan University
–数据处理定理（信息不增原理）
I(X;Z) ≥ I(X;f(Z))=I(X;Y) H(X|Z) ≤ H(X|f(Z))=H(X|Y) 当消息通过多级处理器时,随着处理器数目的增多, 输入消息和输出消息之间的平均互信息量趋于变小。 信息不增
19
限峰值的最大熵定理:若信源的N维随机变W量uha的n Uni取versi值ty 在 一定的范围之内，则在有限的定义域内，均匀分布 的连续信源具有最大熵。
限平均功率的最大熵定理：若信源输出信号的平均功 率P或方差受限，则其输出信号幅度的概率密度函数 为高斯分布时，信源具有最大熵值。
限均值的最大连续熵定理：若连续信源X输出非负信号 的均值受限，则其输出信号幅度呈指数分布时，连 续信源X具有最大熵值。
H(p) 1
0
0.5
1p
图2.1.5 n=2时熵与概率的关系
16
Wuhan University
BSC信道的平均互信息量 设二进制对称信道的输入概率空间为
q
0
0
/q
/q
1
1
q
图2.1.8 二元对称信道信道范例
17
Wuhan University
I(X;Y) 1-H(q)
I(X;Y) H(p)
9
Wuhan University
条件熵：是在联合符号集合 XY 上的条件自信息
的数学期望。
联合熵 H(XY)：表示输入随机变量 X，经信道 传输到达信宿，输出随机变量 Y。即收、发双 方通信后，整个系统仍然存在的不确定度。
10
Wuhan University
信道疑义度—H(X|Y)：表示信宿在收到 Y 后，信 源 X 仍然存在的不确定度。是通过有噪信道传输 后引起的信息量的损失，故也可称为损失熵。