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期末复习(四) 几何图形初步知识结构几何图形初步⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧立体图形⎩⎪⎨⎪⎧常见的立体图形：圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球等从不同的方向看立体图形⎩⎪⎨⎪⎧从正面看从左面看从上面看立体图形的平面展开图平面图形⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧线⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧直线⎩⎪⎨⎪⎧表示方法：用两个大写字母；用一个小写字母特点：向两个方向无限延伸，没有端点性质：两点确定一条直线射线⎩⎪⎨⎪⎧表示方法：用两个大写字母；用一个小写字母特点：向一个方向无限延伸，一个端点线段⎩⎪⎨⎪⎧表示方法：用两个大写字母；用一个小写字母特点：两个端点比较方法：度量法、叠合法线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点性质：两点之间，线段最短两点之间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离角⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；角也可以看作是由一条射线绕着它的端而成的图形表示方法：用三个大写字母；用一个大写字母；用阿拉伯数字或希腊字母比较方法：度量法、叠合法两角的特殊关系⎩⎪⎨⎪⎧余角：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角补角：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角性质：同角（或等角）的余角（或补角）相等角的度量：1°＝60′，1′＝60″重难点突破重难点1 图形的折叠与展开【例1】 如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字积的最小值是－8．找正方体相对面或相邻面：(1)相间、“Z ”端是对面：相间的两个正方形(中间隔着一个或一列小正方形)是正方体的相对面，如图1，图2，图3中的A 面和B 面．(2)判断相邻面：如果给定的平面图形能折成一个正方体，那么在折成正方体后，任何一个面的对面与其他四个面相邻，如图4，A面和B面是相对面，则B面与除A面之外的四个面都是相邻面；有公共点的三个面一定是相邻面，如图5，A点是三个面的公共点，则这三个面都是相邻面．1．(菏泽中考)下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是(C)2．(温州中考)下列各图中，经过折叠能围成一个正方体的是(A)重难点2 从不同的方向看立体图形【例2】(绥化中考)如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的从上面看得到的平面图形，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体从左面看得到的平面图形是(D)3．(鄂州中考)如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则从上面看这个几何体得到的平面图形是(A)重难点3 直线、射线、线段【例3】如图，直线l上有A，B，C三点，下列说法正确的有(C)①直线AB与直线BC是同一条直线；②射线AB与射线BC是同一条射线；③直线AB经过点C；④射线AB与射线AC 是同一条射线．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在平面内有四个点A，B，C，D，请你用直尺按下列要求作图．(1)作射线CD；(2)作直线AD；(3)连接AB ；(4)作直线BD 与直线AC 相交于点O.解：如图所示．重难点4 线段的有关计算【例4】 线段AB 上有两点M ，N ，AM ∶MB ＝5∶11，AN ∶NB ＝5∶7，MN ＝1.5，求AB 的长度．【思路点拨】 在处理有关线段长度的计算时，已知线段的比，可以利用比例关系求解，也可以通过列方程来解决．【解答】解法1：根据题意画出如上图形，由条件知 AM ＝516AB ，AN ＝512AB.所以MN ＝AN －AM ＝(512－516)AB ＝548AB.因为MN ＝1.5，所以AB ＝MN ÷548＝1.5÷548＝14.4.解法2：根据题意画出上图，由条件可设AM ＝5x ，MB ＝11x ，AB ＝16x ，AN ＝512AB ＝203x ，NB ＝283x.根据题意，得AN －AM ＝1.5.即203x －5x ＝1.5，解得x ＝0.9.所以AB ＝16x ＝14.4.5．(徐州中考)点A ，B ，C 在同一条数轴上，其中点A ，B 表示的数分别为－3，1.若BC ＝2，则AC ＝(D)A ．3B ．2C ．3或5D ．2或66．如图，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC ∶CD ∶DB ＝2∶3∶4，E ，F 分别为AC ，DB 的中点，EF ＝2.4 cm ，求线段AB 的长．解：因为AC ∶CD ∶DB ＝2∶3∶4，所以设AC ＝2x cm ，CD ＝3x cm ，DB ＝4x cm. 因为E ，F 分别为AC ，DB 的中点， 所以EC ＝12AC ＝x ，DF ＝12DB ＝2x.所以EF ＝EC ＋CD ＋DF ＝x ＋3x ＋2x ＝6x cm.所以6x ＝2.4，即x ＝0.4.所以AB ＝2x ＋3x ＋4x ＝9x ＝3.6 cm. 重难点5 角度的有关计算【例5】 点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC ＝65°.将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．(1)如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，则∠MOC ＝25°；(2)如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是∠MOB 的平分线，求旋转角∠BON ＝40°；∠CON ＝25°；(3)将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，∠NOC ＝5°，求∠AOM 的度数．图1 图2 图3【思路点拨】(1)根据∠MOC＝∠MON－∠BOC代入数据计算即可得解；(2)根据角平分线的定义可得∠MOB＝2∠BOC，再根据旋转角∠BON＝∠MOB－∠MON计算即可得解，然后根据∠CON＝∠BOC－∠BON计算；(3)先求出∠BON，再根据∠AOM＝180°－∠MON－∠BON代入数据计算即可得解．【解答】因为∠NOC＝5°，∠BOC＝65°，所以∠BON＝∠NOC＋∠BOC＝70°.因为∠MON＝90°，∠AOM＋∠MON＋∠BON＝180°.所以∠AOM＝180°－∠MON－∠BON＝180°－90°－70°＝20°.7．(菏泽中考)将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为(B)A．140°B．160°C．170°D．150°8．如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的关系是(C)A．∠1＝∠3 B．∠1＝180°－∠3C．∠1＝90°＋∠3 D．以上都不对9．已知：如图，从点O依次引四条射线OA，OB，OC，OD，如果∠AOB，∠BOC，∠COD，∠DOA的度数之比为1∶2∶3∶4，求∠BOC的度数．解：设∠AOB＝x°，则∠BOC＝2x°，∠COD＝3x°，∠DOA＝4x°.根据题意，得x＋2x＋3x＋4x＝360.解得x＝36.所以∠BOC＝72°.10．(1)用三角尺画出已知∠AOB的余角和补角；(2)若∠AOB＝35°，求其余角和补角的度数．解：(1)用三角尺的90°角，顶点与O重合，一边与OA重合或与OB重合，画出另一边，如图所示，∠AOC与∠BOD都是∠AOB的余角；反向延长射线OA或OB，如图所示，∠AOD与∠BOC都是∠AOB的补角．图1 图2(2)若∠AOB ＝35°，则余角＝90°－35°＝55°，补角＝180°－35°＝145°.复习自测一、选择题(每小题4分，共32分)1．(邢台期末)如图所示，甲、乙之间有四条路可走，那么最短线路的序号是(C)A ．①B ．②C ．③D ．④2．如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝α，∠BOC ＝β，则β的余角可表示为(C)A.12(α＋β) B.12α C.12(α－β) D.12β 3．(百色中考)下列关系式正确的是(D)A ．35.5°＝35°5′B ．35.5°＝35°50′C ．35.5°＜35°5′D ．35.5°＞35°5′4．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 的中点，下列说法错误的是(D)A ．CD ＝AC －BDB ．CD ＝12AB －BDC ．AC ＋BD ＝BC ＋CDD ．CD ＝12AB5．有如下说法：①平角是一条直线；②射线是直线的一半；③射线AB 与射线BA 表示同一射线；④用一个扩大2倍的放大镜去看一个角，这个角扩大2倍；⑤两点之间，线段最短；⑥120.5°＝120°50′，其中正确的有(B)A ．4个B ．1个C ．2个D ．3个 6．(恩施中考)如图，下列四个选项中，不是正方体正面展开图的是(C)7．下图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是(C)A B C D8．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 五点在同一直线上，点D 是线段AB 的中点，点E 是线段BC 的中点，若线段AC ＝12，则线段DE 等于(C)A．10 B．8 C．6 D．4二、填空题(每小题4分，共24分)9．(雅安中考)化简：1.45°＝87′.10．如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是圆锥．11．如图，点A，B，C在直线l上，则图中共有3条线段，有6条射线．12．如图，点O是直线AD上的点，∠AOB，∠BOC，∠COD三个角从小到大依次相差25°，则这三个角的度数分别是35°，60°，85°．13．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOD＝120°，则∠DOE＝30°，∠COE＝150°．14．直线l上有10个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A9A10，则以这些点为端点的线段共有45条；将所有这些线段的中点用红点标出，则可得17个红点．三、解答题(共44分)15．(12分)计算：(1)48°39′＋67°41′；解：原式＝116°20′. (2)90°－78°19′40″；解：原式＝11°40′20″.(3)11°23′26″×3；解：原式＝34°10′18″. (4)176°52′÷3.解：原式＝58°57′20″.16．(8分)一个角的补角比它的余角的3倍小20°，求这个角的度数．解：设这个角的度数为x°，由题意，得180－x＝3(90－x)－20.解得x＝35.答：这个角的度数为35°.17．(10分)(1)如图1，已知点D是线段AC的中点，点B在线段DC上，且AB＝4BC，若BD＝6 cm，求AB的长；(2)如图2，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE，试求∠COE的度数.解：(1)因为AB＝4BC，AB＋BC＝AC，所以AC＝5BC.因为点D是线段AC的中点，所以AD ＝DC ＝12AC ＝52BC.因为BD ＝DC －BC ＝6 cm ， 所以52BC －BC ＝6 cm.所以BC ＝4 cm.所以AB ＝4BC ＝16 cm.(2)因为∠AOB ＝90°，OC 平分∠AOB ， 所以∠BOC ＝12∠AOB ＝45°.因为∠BOD ＝∠COD －∠BOC ＝90°－45°＝45°，∠BOD ＝3∠DOE ， 所以∠DOE ＝15°.所以∠COE ＝∠COD －∠DOE ＝90°－15°＝75°. 18．(14分)(唐山路北区期末)已知线段AB ＝30 cm.(1)如图1，点P 在线段AB 自点A 向点B 以2 cm/s 的速度运动，同时点Q 沿线段BA 自点B 向点A 以3 cm/s 的速度运动，几秒钟后，P ，Q 两点相遇？(2)如图1，几秒后，P ，Q 两点相距10 cm? (3)如图2，AO ＝4 cm ，PO ＝2 cm ，当点P 在AB 的上方，且∠POB ＝60°时，点P 绕着点O 以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q 沿直线BA 自B 点向A 点运动，假若点P ，Q 两点能相遇，求点Q 的运动速度．解：(1)设经过t s 后，点P ，Q 相遇， 依题意，有2t ＋3t ＝30. 解得t ＝6.答：经过6秒钟后，点P ，Q 相遇．(2)设经过x s ，P ，Q 两点相距10 cm ，由题意，得 2x ＋3x ＋10＝30或2x ＋3x －10＝30. 解得x ＝4或x ＝8.答：经过4秒钟或8秒钟后，P ，Q 两点相距10 cm. (3)点P ，Q 只能在直线AB 上相遇，则点P 旋转到直线AB 上的时间为12030＝4(s)或30180120 ＝10(s)．设点Q 的速度为y cm/s ，则有4y ＝30－2，解得y ＝7；或10y ＝30－6，解得y ＝2.4.答：点P 的速度为7 cm/s 或2.4 cm/s.。
4．1 几何图形4．1.1 立体图形与平面图形第1课时认识立体图形与平面图形基础题知识点1 认识立体图形1．(丽水中考)下列图形中，属于立体图形的是(C)A B C D2．下列物体中，最接近圆柱的是(C)3．(石家庄长安区月考)下列图形属于棱柱的有(B)A．2个B．3个C．4个 D．5个4．请写出图中的立体图形的名称．(1)圆柱；(2)三棱柱；(3)三棱锥；(4)圆锥．5．如图，把下列物体和与其相似的图形连接起来．解：如图．知识点2 认识平面图形6．以下图形中，不是平面图形的是(C)A．线段B．角C．圆锥D．圆7．奥运会的标志是五环，这五环的每一个环的形状与下列图形中类似的是(C) A．三角形B．正方形C．圆D．长方体8．(承德兴隆期中)以下两个几何体中存在的平面图形中没有(D)9．如图是由平面图形正方形和半圆构成的．10．说出下列图形的名称．解：依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．11．下图中包含哪些简单的平面图形？解：图中包含圆、正方形、长方形、三角形、平行四边形．易错点忽视柱体上、下底面“平行且相等”这一条件而致错12．如图所示的立体图形中，不是柱体的是(D)中档题13．下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形有m个，平面图形有n个，则m－n的值为(D)A．3 B．2 C．1 D．014．(石家庄期中)不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是(D)A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥15．如图，用简单的平面图形画出三位携手同行的小人物，请你仔细观察，图中共有三角形4个，圆6个．16．在如图所示的图形中，柱体有①②③⑦，锥体有⑤⑥，球体有④．17．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的．解：(1)由正方体、圆柱、圆锥组成．(2)由圆柱、长方体、三棱柱组成．(3)由五棱柱、球组成．综合题18．如图，有7种图形，请你选用这7种图形中的若干种(不少于两种)构造一幅画，并用一句话说明你的构想是什么？举例：如图，左框中就是一个符合要求的图案，请你在右框中画出一个与这个不同的图案，并加以说明．一辆汽车解：答案不唯一，略．第2课时立体图形与平面图形的相互转化基础题知识点1 从不同的方向观察立体图形1．(绍兴中考)如图的几何体是由五个相同的小立方体搭成，它从正面看到的平面图形是(A)A B C D2．有一种圆柱体茶叶筒如图所示，从正面看得到的平面图形是(D)3．如图所示的几何体，从左面看得到的平面图形是(B)A B C D4．如图是小李书桌上放的一本书，从上往下看得到的平面图形是(A)A B C D5．图中的两个圆柱体底面半径相同而高度不同，关于从不同的方向看这两个圆柱体得到的平面图形，说法正确的是(B)A．从正面看得到的平面图形相同B．从上面看得到的平面图形相同C．从左面看得到的平面图形相同D．从各个方向看得到的平面图形都相同6．(保定定州期末)在下面四个立体图形中，从左面看与从正面看所得到的平面图形不相同的是(B)知识点2 立体图形的展开与折叠7．如图所示的立体图形，它的展开图是(C)A B C D8．(教材P118练习T2变式)如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是(D)9．(北京中考)右图是某个几何体的展开图，该几何体是(A)A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱10．(徐州中考)下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是(C)A BC D易错点忽视看不见的线用虚线表示11．(烟台中考)如图所示的工件，从上往下看得到的平面图形是(B),A) ,B) ,C) ,D)中档题12．(广安中考)如图所示的几何体，从上面看得到的平面图形是(D)13．(龙东中考)由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，从正面看这个几何体得到的平面图形是(A)14．(教材P123习题T10变式)(攀枝花中考)如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种表面展开图，那么在这个正方体的表面，与“我”相对的面上的汉字是(D) A．花B．是C．攀D．家15．(连云港中考)由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它从三个不同方向看到的平面图形的面积，则(C)A．一样大C．正面看到的平面图形面积最小C．从左面看到的平面图形的面积最小D．从上面看到的平面图形的面积最小16．(邢台宁晋期末)如图，AB是圆柱底面的直径，AC，BD是圆柱的母线，M是BD中点，在圆柱的侧面上过点C，M嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿BD剪开，所得圆柱的侧面展开图可能是(C)17．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，试问共有4种添加方法．18．如图，右边的三个平面图形是左边的立体图形从不同侧面所看到的平面图形，在下方的括号内填入相应的方向．(从左面看)(从上面看)(从正面看)综合题19．如图是一个长方体的展开图，每一面上都标注了字母(标字母的面是外表面)，根据要求回答问题：(1)如果D面在长方体的左面，那么F面在哪里？(2)B面和哪个面是相对的面？(3)如果C面在前面，从上面看是D面，那么左面是哪个面？(4)如果B面在后面，从左面看是D面，那么前面是哪个面？(5)如果A面在右面，从下面看是F面，那么B面在哪里？解：(1)右面．(3)B 面．(4)E 面．(5)后面．小专题(八) 正方体的展开与折叠——教材P122T7、P123T10的变式与应用类型1 判断正方体展开图教材母题1：(教材P122T7)如图，这些图形都是正方体的展开图吗？如果不能确定，折一折，试一试．你还能再画出一些正方体的展开图吗？解：第一排第3个图不能，其余都能折成正方体．正方体的展开图可总结为如下图所示“一四一”“二三一”“三三”“二二二”四种类型，共11种情况．1．一四一型2．二三一型3．三三型 4．二二二型若小正方形摆成的平面图形呈“”“”“”型都不能折成正方体．若出现类型，另两面必须在两侧．1．(长春中考)下列图形中，可以是正方体表面展开图的是(D)A BC D2．(邢台宁晋期末)如图，将4×3的网格图剪去5个小正方形后，图中还剩下7个小正方形，为了使余下的部分(小正方形之间至少要有一条边相连)恰好能折成一个正方体，需要再剪去1个小正方形，则应剪去的小正方形的编号是(C)A ．7B ．6C ．5D ．4类型2 找正方体的相对面或相邻面教材母题2：(教材P123T10)如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是(D)A ．和B．谐C．社D．会找正方体的相对面：相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的相对面，如图1中的A面和B面；“Z”端处的小正方形是正方体的相对面，如图2、图3中的A 面和B面；图1 图2 图3找正方体的相邻面：如果给定的平面图形能折成一个正方体，那么在折成正方体后，任何一个面的对面都与其余四个面相邻．如图4，A面和B面是相对面，则B面与除A面之外的四个面都是相邻面；有公共点的三个面一定是相邻的，如图5，A点是三个面的公共点，则这三个面都是相邻面．图4 图53．(唐山丰南区期末)将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是(C)A B C D4．如图，该平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为7，则x＋y的值是(C)A．7B．8C．9D．104．1.2 点、线、面、体基础题知识点1 点、线、面、体1．面与面相交，形成的是(B)A．点B．线C．面 D．体2．(石家庄高邑期末)下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这属于的实际运用是(B) A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．都不对3．(石家庄正定期末)下列几何体中没有曲面的是(C)A．球B．圆柱C．棱柱D．圆锥4．如图所示的是一个棱柱，请问：(1)这个棱柱由几个面围成？各面的交线有几条？它们是直的还是曲的？(2)这个棱柱的底面和侧面各是什么形状？(3)该棱柱有几个顶点？解：(1)这个棱柱由5个面围成，各面的交线有9条，它们是直的．(2)棱柱的底面是三角形，侧面是长方形．(3)有6个顶点．知识点2 由平面图形旋转而成的立体图形5．(南宁中考)将图中的平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是(A)易错点将平面图形旋转得到几何体时，考虑不全面6．现有一个长为4 cm，宽为3 cm的长方形，绕它的一边旋转一周，得到的几何体的体积是36π__cm3或48π__cm3．中档题7．(教材P120练习T2变式)(沧州孟村期末)圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个图形绕边所在的直线旋转一周得到如图所示图形的是(A) 8．下列有关圆柱、圆锥相同点和不同点的描述，错误的是(C)A．围成圆柱、圆锥的面都有曲面B．两者都有面是圆形的C．两者都有顶点D．圆柱比圆锥多一个面9．下面图1是正方体木块，若用不同的方法，把它切去一块，可以得到如图2、图3、图4、图5不同形状的木块．图1 图2 图3 图4 图5(1)我们知道，图1的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面．请你观察，将图2、图3(2)观察这张表，请你归纳出上述各种木块的顶点数a、棱数b、面数c之间的数量关系，这种数量关系是：a＋c－b＝2(用含a、b、c的一个等式表示)．。
