2.1-概率及概率空间

概率空间和概率分布的关系Probability space and probability distribution are closely related concepts in the field of probability theory. A probability space consists of three components: a sample space, a set of events, and a probability measure. The sample space is the set of all possible outcomes of an experiment, the set of events is a collection of subsets of the sample space, and the probability measure assigns probabilities to each event in the set of events. The probability distribution, on the other hand, describes the likelihood of each possible outcome of a random variable. It provides a mathematical model for the randomness inherent in a system or process.概率空间和概率分布在概率论领域密切相关。

概率空间包括三个组成部分：样本空间、事件集和概率度量。

样本空间是实验的所有可能结果的集合，事件集是样本空间的子集的集合，概率度量给事件集中的每个事件分配概率。

另一方面，概率分布描述了随机变量每个可能结果的可能性。

它为系统或过程中固有的随机性提供了数学模型。

In a probability space, the sample space represents all the possible outcomes of an experiment, which is the foundation of the entireprobability theory. It provides a framework for analyzing uncertainty and making predictions based on statistical data. The set of events in a probability space is crucial for determining the probability of various outcomes and understanding the likelihood of different scenarios. The probability measure assigns a numerical value to each event in the set of events, representing the likelihood of that event occurring. It is a fundamental concept that enables us to quantify uncertainty and make informed decisions.在概率空间中，样本空间代表实验的所有可能结果，这是整个概率论的基础。

概率空间我们已经熟悉古典概型、几何概型，因而对概率空间的基本结构及概率的性质有了初步的了解，这就为我们一般地讨论概率空间准备了必要的基础．概率空间是研究概率论的一个框架，在本讲中，我们将对概率空间诸要素作全面而深入的考察，这对于学习和理解概率论是十分必要的．一、样本空间我们所研究的每个随机现象都可以联系于一个随机试验，对于随机试验，虽然我们不能确切地预言每次试验出现的结果．但我们可以确知试验的所有可能的基本结果，随机试验的所有可能的基本结果组成的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω，其中的每个元素(即一个可能的基本结果)称为样本点(或称基本事件)．关于样本空间，我们作以下的一些说明：1．样本空间可以是不同类型的集合．样本空间可为有限集，也可为无限集．例如：“对一个目标进行射击，击中为止，但至多射击n次”，观察射击的情况，则样本空间取为(1)又若“对一个目标进行射击，击中为止”，观察射击的情况，则样本空间取为Ω2={(1)，(0，1)，(0，0，1)，…}(2)(以“1”表示击中目标，“0”表示未中目标，(0，0，1)表示第1、2次射击未中而第三次击中，余仿此)此处Ω1为有限集，而Ω2为无限集．样本空间可为整数集，也可为实数集．例如：“记录某电话交换台一分钟内接到呼唤的次数”，样本空间取为Ω3={0，1，2，3，…，n，…}(3)又若“在一批灯泡中任取一只，测试其寿命，则样本空间取为Ω4={t t≥0}(4)样本空间可为直线上的点集，也可为平面点集，例如第一讲几何概型中例3(等车问题)的样本空间为线段AB，例4(会面问题)中的样本空间为正方形．2．样本空间是根据试验的内容、要求和目的选定的．上述各例已经说明了这一点．又如，“从50名学生中任选3人担任班长，学生委员和体育委员”，若求某个当选的概率，由于不考虑分工，故可取“从50人中取3人”的组合组成样本空间；若求某甲当选为班长的概率，则因考虑了分工，故应取“从50人中取3人”的排列组成样本空间(参看第一讲例1)．3．对样本空间的两个最基本的要求是：(1)完备性：样本空间必须包含随机试验的所有可能的基本结果；(2)互斥性：样本空间中的任意两个基本事件不能在一次试验中同时发生，即基本事件互斥．4．为了使选取的样本空间能更全面、更细微地刻划随机现象．我们通常还要求基本事件具有“最简性”，即要求每个基本事件不能再划分为更简单的情况．例如，如果随机试验是“掷两颗骰子，观察所出现的点数之和”，可取样本空间为Ω'={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，}(5)这时Ω'满足完备性与互斥性．但有些现象(如“第一颗骰子出现奇数点”，“第一颗骰子出现的点数大于第二颗骰子出现的点数”…等)不能用基本事件来表示．这里是不方便的，故对此试验通常我们取样本空间为Ω={(s1，s2)∶s1、s2=1，2，3，4，5，6}(6)这时，Ω'中的基本事件可用Ω中的基本事件表示(例如：“出现点数之和为5”可表示为{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)})(参看引论)二、事件域样本空间包含了随机试验的所有可能的基本结果，而与试验有关的其它更复杂的结果都可以通过基本结果来表示，随机试验中由若干基本事件来表示的试验结果称为随机事件，故事件是由若干基本事件组成的集合，因而是样本空间的子集．设A为随机事件，则A发生，当且仅当组成A的某个(并且只有一个)基本事件发生，若ω是组成A的一个基本事件，则ω发生导致A发生，称ω为对A有利的基本事件，记为ω∈A，这里，ω与A的关系恰是元素与集合的关系．在每次试验中都必然发生的事件称为必然事件，在任何一次试验中都不可能出现的事件称为不可能事件．容易看出，必然事件对应着整个样本空间，不可能事件对应着空集，故必然事件记为Ω，不可能事件记为φ，必然事件必然发生，不可能事件必不发生，它们已不具有随机性，但它们是随机事件的两个极端情况．所以我们仍视之为随机事件．现设Ω为样本空间，以A、B表示事件，我们来考察事件之间的关系：(1)蕴含关系．若对A有利的基本事件都对B有利，则A发生时导致B发生，我B或同时发生或同不发生，我们称事件A与B等价，记为A=B．这时，A与B是相等的集合．(3)互斥关系．若A、B由完全不同的基本事件组成，则A发生时B 必不发生，反之亦然，即A与B不能同时发生，我们称A与B互斥(或互不相容)，记为A∩B=AB=φ．这时，A与B是互不相交的集合．由一些事件出发，通过事件的运算，可以得到一些新的事件，事件的运算主要有：(1)事件的和．事件“A和B至少一个发生”称为A与B的和，记为A∪B．设ω为基本事件，则ω导致A∪B发生，当且仅当ω导致A发生或导致B发生，即ω∈A∪B，当且仅当ω∈A或ω∈B，故得A∪B={ω：ω∈A且ω∈B}(7)故事件的和就是事件作为基本事件的集合的并．(2)事件的积．事件“A与B同时发生”称为A与B的积，记为A∩B 或AB，易知A∩B={ω：ω∈A且ω∈B}(8)即事件的积对应于集合的交．(3)事件的差．事件“A发生而B不发生”称为A与B的差，记为A－B，易知A－B={ω：ω∈A且ω∈B}(9)(10)(11)由此可知，互相对立的两个事件必互斥，但应注意互斥的两事件不必对立．上面的这些概念还可以进一步推广．首先，我们可以定义任意个事件的和与积：事件“A1、A2、…、A n 中至少一(12)事件“A1、A2、…、A n同时发生”称为A1、A2、…、A n之积，记为A1∩(13)类似地，还要以定义无穷多个事件A1、A2、…、A n的和与积．其次，作为(11)的推广，我们引入事件的完备系的概念：称A1、A2、…、A n(或A1、…、A n、…)为事件的完备系，如果满足：②A i∩A j=φ(i≠j)，i、j=1，2，…，n(或i、j≥1)依此定义,(11)表明A、从上面的讨论可以看出．事件的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，只是由于概率论中的事件及其运算有着很强的直观背景，所以有它自己的一套说法．这种一致性使我们可以利用集合论的概念和方法来分析事件之间的关系及运算．特别，可以利用在集合论中广泛使用的文氏图．另外，值得特别指出的是：关于集合的运算律对于事件的运算完全适用．我们将事件与集合的相应的概念与运算列表对照，并将常用的运算律列举于后．运算律1．交换律A∪B=B∪A；A∩B=B∩A．2．结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；3．分配律A∩(B∪C=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C=(A∪B)∩(A∪C)；例1 袋中装有8个球：2白3红3蓝，从中任取两球，试构造相应的样本空间及表示下列事件的样本点的集合：A：“取得的两球同色”；B：“取得的两球为一红一白”．解将白球用1、2编号，红球用3、4、5编号，蓝球3用6、7、8编号，则可取样本空间为Ω={(i，j)：1≤i＜j≤8}而A、B分别为A={(1，2)；(3，4)，(3，5)，(4，5)；(6，7)，(6，8)，(7，8)}．B={(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}．例2 设A、B、C为任意三事件，试用A、B、C表示下列事件：在事件A、B、C中(1)只有A发生；(2)A、B都发生，但C不发生；(3)A、B、C都不发生；(4)至少有一个事件发生；(5)至少有两个事件发生；(6)恰有一个事件发生；(7)恰有两个事件发生；(8)没有一个事件发生；(9)不多于两个事件发生．三、事件的概率随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，这是随机事件的共性．但不同的随机事件发生的可能性的大小并不相同，我们希望用数值来表示随机事件发生的可能性的大小．这个数值即随机事件的概率．在某些具体情况(例如，对古典概型、几何概型)，我们可用适当的方式具体定义概率，但由于具体情形的局限性(例如，古典概型、几何概型本质上要求等可能性)，这些定义不能立刻推向一般．为了一般地讨论概率，让我们将一个随机试验重复n次，在这n次试验中，事件A发生n A(0≤n A≤n)次．称n A为这n次试验中事件A发生的频数，而称f n(A)=n A/n为事件A发生的频率．一般说来，频率越大，事件发生的可能性越大，所以频率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性的大小．在n次试验中的事件的频率具有以下性质：①非负性：0≤f n(A)≤1②归一性：f(Ω)=1③可加性：若A、B互斥，则f n(A∪B)=f n(A)＋f n(B)证明①、②显然，为证③，只需注意A、B互斥，因而n次试验中A∪B发生的次数恰等于A发生的次数与B发生的次数的和：n A∪B=n A ＋n B．必须指出，用频率f n(A)来表示随机事件A发生的可能性的大小有很大的局限性：因为f n(A)联系于某n次具体的、确定的试验，n不同，f n(A)随之变化；即使n相同，由于A的随机性，不同的n次试验完全可能得到不同的频率．但随机事件发生的可能性的大小本是随机事件自身固有的属性，它是客观存在的，不应该依赖于具体的试验．为了克服频率的局限性，我们自然想到：随机现象的统计规律性要在大量现象中才能显示出来．例如，在投币试验中，正面(或反面)向上的频率随着试验次数的增加任一与E有关的事件A的频率f n(A)随着试验次数n的增加在大多数情形下将稳定于某个常数的附近．随机事件的这种性质称为随机事件和频率稳定性，频率所稳定的这个常数值是客观存在的，它是随机事件自身的固有属性而与具体的试验无关，并且反映了随机事件发生的可能性的大小，我们称此数值为事件A的概率，记为P(A)．以上给出的概率的定义具有一般性，我们称之为概率的统计定性．这个定义以频率稳定性为客观依据，因而从本质上说是科学的；但这个定义不是定量的，根据定义，我们至多只知道在大多数情形下把大量重复试验所得到的频率作为随机事件的概率的近似值是合理的，定义本身不能给出概率的精确值．概率论关心的是概率的性质和这些性质的应用，我们来考察一下，对于概率，哪些性质是最基本的．特殊地说，我们已经证明，古典概型、几何概型所定义的概率具有非负性、归一性和可加性；一般地说，概率是频率的抽象，由频率的性质可以决定概率的相应的性质．由于每个事件A对应着一个概率P(A)，现代概率论将概率作为定义于事件域上的满足一定条件的函数，即概率有下述的公理化定义．定义设Ω为样本空间，为事件域，定义于上的函数P：A∈→P(A)∈R(实数集)称为上的概率，若P满足以下条件：①非负性：0≤P(A)≤1，(A∈)；②归一性：P(Ω)=1；③可加性：P(A∪B)=P(A)＋P(B)，(A、B∈，A∩B=φ)．注由可加性及数学归纳法易证有限可加性：n≥1，A1，…，A n∈，A i∩A j=φ(1≤i，j≤n)，有(14)更一般地，现代概率论还要求(15)由定义可知概率具有下列简单性质：(A)P(φ)=0证明由Ω∪φ=Ω，Ω∩φ=φ及可加性，P(Ω)=P(Ω∪φ)=P(Ω)＋P(φ)(16) 但P(Ω)=1，故P(φ)=0．A=B∪(A－B)，B∩(A－B)=φ(17) 由可加性及非负性得P(A)=P(B)＋P(A－B)≥P(B)(18)P(A－B)=P(A)－P(B)(19) 证明由(18)立得．=P(Ω)－P(A)=1－P(A)(E)概率的加法公式：对任意A、B∈，P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)证明如图易见A－AB=A∪B－B，故P(A－AB)=P[(A∪B)－B]，由可减性得P(A)－P(AB)=P(A∪B)－P(B)，由此即得加法公式．例2 在50件产品中有两件次品，(1)从中取走10件，求剩下的都是合格品的概率．解以A表示事件“剩下的产品都是合格品”，以从50件产品中取n件产品的组合为基本事件．即n2－n－25·49＞0，则需n≥36．故至少要取走36件产品，才能使剩下的产品都是合格品的概率超过1/2．。

第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。

是人们通常说的偶然现象。

其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。

对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。

样本空间: 概率论术语。

我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。

样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。

随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。

互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。

互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。

何书元概率引论答案何书元概率引论答案【篇一：课程名称：概率论计划学时45】=txt>上课时间：周二3-4节；周四(单周) 1-2节地点：文史201 任课教师：任艳霞（教授）办公室：理科1号楼1381email:基本目的：1、对随机现象有充分的感性认识和比较准确的理解。

2、联系实际问题，初步掌握处理不确定性事件的理论和方法。

教材: 何书元，《概率论》, 北京大学出版社2006年参考书1、汪仁官，《概率论引论》，北京大学出版社19942、李贤平，《概率论基础》（第二版），高等教育出版社，19973、钱敏平、叶俊，《随机数学》，高等教育出版社，20044、sheldon ross, a first course in probability (7thedition)教学安排：第一章古典概型与概率空间(10学时)1) 随机事件及古典概型（1.1-1.2节）(2学时)2) 几何概型、概率空间与概率的性质（1.3-1.5节）(2学时)3) 条件概率和乘法公式（1.6节）(2学时)4) 独立性、全概率公式、bayes公式（1.7-1.8节）(3学时)5) 概率模型举例与概率空间续（1.8-1.9节）(1学时)第二章随机变量与概率分布(9学时)1) 一维随机变量定义、离散型随机变量（2.1-2.2节）(2学时)2) 连续型随机变量（2..3节）(2学时)3) 概率分布函数（2.4节）(2学时)4) 随机变量函数的分布（2.5节）(2学时)5) p分位点（2.5节）(1学时)第三章随机向量及其分布(8学时)1) 随机向量及其分布、离散型随机向量及其分布（3.1-3.2节）(2学时)2) 连续型随机向量及其联合密度（3.3节）(2学时)3) 随机向量函数的分布（3.4、3.6节）(2学时)4) 条件分布和条件密度（3.5节）(2学时)第四章数学期望与方差(8学时)1) 数学期望(4.1-4..2节) (3学时)2) 方差（4.3节）(1学时)3) 协方差与相关系数（4.4节）（2学时）4）条件数学期望（2学时）第五章概率极限理论(10学时)1) 概率母函数与特征函数（5.1-5.2节）(2学时)2) 多元正态分布（5.3节）(2学时)3) 大数律(5.4节) (2学时)4）中心极限定理(5.5节)（2学时）5）随机变量收敛性介绍（2学时）【篇二：2011f_master】目）招生简章北京大学数学科学学院金融数学系成立于1997年，目前已形成从本科到硕士和博士的应用数学专业金融数学与精算学方向的较为系统和有品质的培养体系。

第一章：预备知识§1.1 概率空间随机试验，样本空间记为Ω。

定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。

如果 （1）∈ΩF ；（2）∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ； （3）若∈n A F ， ，，21=n ，则∞=∈1n nAF ；则称F 为-σ代数(Borel 域)。

(Ω,F )称为可测空间，F 中的元素称为事件。

由定义易知： .216\,,)5)4(111F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈∅∞=== ，，则，，，）若（；则若（；定义1.2 设(Ω,F )是可测空间，P(·)是定义在F 上的实值函数。

如果()()()()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∅=⋂≠=Ω≤≤∈1121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有时，当）对两两互不相容事件（；）（；任意则称P 是()F ,Ω上的概率，（P F ，，Ω）称为概率空间，P(A)为事件A 的概率。

定义1.3 设（P F ，，Ω）是概率空间，F G ⊂，如果对任意G A A A n ∈,,,21 ，,2,1=n 有： (),11∏===⎪⎪⎭⎫⎝⎛ni i n i i A P A P则称G 为独立事件族。

§1.2 随机变量及其分布随机变量X ，分布函数)(x F ，n 维随机变量或n 维随机向量，联合分布函数，{}T t X t ∈,是独立的。

§1.3随机变量的数字特征定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，若⎰∞∞-∞<)(||x dF x ，则称)(X E ＝⎰∞∞-)(x xdF为X 的数学期望或均值。

上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。

方差，()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差，而 DYDX B XYXY =ρ为X 、Y 的相关系数。