【数学课件】一元一次方程应用课件

解法二；设快车所用的时间为t小时,则慢车所用的
时间为(t+1)小时，则可列列方程为：
60(t+1)=70t， 求出时间t后再代入求路程。
能列算式吗？
2020/9/9
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数学是思维的体操
归纳：列方程时，要先设未知数， 然后根据问题中的数量关系，列出含 有未知数的方程
例2 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方 形的边长是多少？ （2）一台计算机已使用1700 h，预计每月 再使用150 h，经过多少月这台计算机的使 用时间达到规定的检修时间2450 h？ (3) 某校女生占全体学生数的52%，比男生 多80人，这个学校有多少学生？
数学是思维的体操
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
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数学是思维的体操
学习目标
1.通过处理实际问题,让学生体验从算术方法到代数 方法是一种进步.
2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念， 学会判断某个数值是不是一元一次方程的解.（重 点） 3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出 方程. （难点）
70t
70 140 210 280 350 420 490 …
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数学是思维的体操
随堂练习 检验-2，2，3,5哪个是方程 2x－3 = 5x－15的解？
怎样判断一个数是不是方程的解？
先将数值代入方程左右两边进行计算， 若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
2020/9/9
2020/9/9
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你能解释这些方程中等号两边各表示什 么意思吗？体会列方程所根据的相等关系.
（来自教材）
总结
知2－讲
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关 系列出方程.
知2－练
1 列等式表示： (1)比a大5的数等于8; (2)b的三分之一等于9; (3)x的2倍与10的和等于18; (4)x的三分之一减y的差等于6; (5)比a的3倍大5的数等于a的4倍； (6)比b的一半小7的数等于a与b的和.
(1)a＋5＝8；
(2) 1 b＝9；
3
(3)2x＋10＝18；
(4) 1 x－y＝6；
3
(5)3a＋5＝4a；
(6) 1 b－7＝a＋b.
2
（来自教材）
2 根据下列条件能列出方程的是( D ) A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的15% D．一个数的5倍是18
知2－练
知识点 3 一元一次方程
知3－讲
定义 只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1， 等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．
知3－讲
一元一次方程
1、只含有一个未知数 2、未知数的最高次数是1次 3、等号的两边都是整式
知3－讲
例3 下列方程，哪些是一元一次方程？
(1) 1 x＋y＝1－2y； (2)7x＋5＝7(x－2)；
知4－讲
1.使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是 这个方程的解．
2.求方程的解的过程叫做解方程．
例5 下列说法中正确的是( C )
A．y＝4是方程y＋4＝0的解
B．x＝0.000 1是方程200x＝2的解
C．t＝3是方程|t|－3＝0的解
D．x＝1是方程
x 2

将实际问题抽象为数学问题，通 过数学语言描述问题中的数量关 系和变化规律。
方程设立及未知数选择
设立方程
根据问题中的数量关系和已知条件，设立一元一次方程。
选择未知数
根据问题的实际情况和需要求解的未知量，选择合适的未知 数。
实际问题转化为数学问题
转化思想
将实际问题中的数量关系和已知条件 转化为数学表达式和方程。
列方程
根据已知条件和未知量 之间的关系，列出包含 未知数的等式，即方程 。
解方程
运用一元一次方程的解 法，求解方程，得到未 知数的值。
提高解题速度和准确性策略
掌握基本题型和解题方法
熟练掌握一元一次方程应用题的基本题型和解题方法，能够快速准确地识别问题并求解。
加强练习和反思
通过大量练习，提高解题速度和准确性；同时，及时反思和总结解题过程中的问题和不足 ，不断完善自己的解题思路和方法。
思路拓展
通过变换思考角度、引入新变量等方式，拓展解题思路。
创新方法应用
将拓展的思路和方法应用到具体问题的求解中，提高解题效率。
05
方程应用题常见错误及纠 正方法
设立方程时常见错误
错误设立未知数
在设立方程时，未能正确识别问题中的未知数，导致方程设立错 误。
忽视问题中的限制条件
在设立方程时，未考虑问题中的限制条件，导致方程解不符合实际 情况。
一元一次方程
只含有一个未知数，并且 未知数的次数是1的方程 叫做一元一次方程。
一般形式
ax + b = 0（a、b为常数 ，a ≠ 0）。
方程解与根的概念
方程的解
使方程左右两边相等的未 知数的值叫做方程的解。
方程的根
方程的解也叫做方程的根 。

一元一次方程
-4= -1
2x+10=10×4+6×2
2x+10=10×4+6×2
在一个底面直径为5 cm，高为18 cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径为6 cm，高为10 cm的圆柱形玻璃中，能否
完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.
π·82·x=π·62·（x+5）
A. 2（x+10）=10×4+6×2 B. 2（x+10）=10×3+6×2 C. 2x+10=10×4+6×2 D. 2（x+10）=10×2+6×2
12. 如图，甲，乙两个等高圆柱形容器，内部底面积分别
为20 cm2，50 cm2，且甲中装满水，乙是空的.若将甲
中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲中
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米. 根据题意得2x+（x+5）=35. 解方程，得x=10. 因此小王设计的长为x+5=10+5=15（米），而墙的长度 只有14米，小王的设计不符合实际. 根据小赵的设计可以设宽为y米，长为（y+2）米. 根据题意得2y+（y+2）=35. 解方程，得y=11. 因此小赵设计的长为y+2=11+2=13（米），而墙的长度 有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为 13×11=143（平方米）.
C. 14-3x=6 第7课 应用一元一次方程（1）——水箱变高了
由题意得
π×18=
πy+
π×10.
x- x+5=5

3.线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变.
4.长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等时，面积最大.
巩固练习
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，
小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个
长方形，如下图所示，那么，小颖所钉长方形的长和
宽各为多少厘米？ 分析：等量关系是 变形前后周长相等,
3．有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成 长4厘米、宽2厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是 ____8_____厘米．(不计损耗) 4．李红用40cm长的铁丝围成一个长方形，要使长比宽多 4cm，求围成的长方形的面积，若设长方形的宽为xcm，根 据题意列出方程是__x_+_(_x_+_4_)_=_2_0__，面积是___9_6_c_m_2___．
数学 七年级 上册
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
5.3 应用一元一次方程 ——水箱变高了
导入新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地 方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变， 体积不变.
= rh
素养目标
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
旧水箱
新水箱
底面半径 高
容积
4 2
m
3.2 2
m
4m
xm
= π×
4 2
2
×4
π×
3.2 2
2
x
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
解：设水箱的高变为 x米，
π×
4 2
2
×4=π×

对解进行解释和应用
解释解的意义
根据实际问题背景，解释解的实际意义 和作用。
VS
应用解到实际问题
将解应用到实际问题中，解决实际问题， 并对结果进行评估和解释。
04
实际应用练习与思考
练习题一：购物问题
总结词
购物问题是一元一次方程在实际生活中的常见应用，主要涉及到商品价格、折扣、优惠 等方面的计算。
投资问题
总结词
投资问题通常涉及到利率、本金和收益等，通过建立一元一次方程可以计算出最优的投资方案。
详细描述
例如，某人有一定数量的本金，可以选择存入银行或购买股票等不同的投资方式，银行的年利率为2%， 股票的年收益率不确定但风险较大。通过一元一次方程可以计算出最优的投资方式。
03
解决实际问题的策略和技 巧

要点二
详细描述
在投资问题中，通常需要解决诸如“本金增长、利息计算 、投资回报”等问题。通过设立一元一次方程，可以预测 投资未来的收益和风险，从而做出明智的投资决策。
THANKS
感谢观看
解算方程
使用代数方法对方程进行 求解，得到未知数的值。
检验解的合理性
根据实际问题背景，检验 解的合理性，排除不合逻 辑或实际意义的解。
对解进行检验和验证
检验解的正确性
通过代入原方程或方程组，验证解是否满足原方程或方程组。
验证解的实际意义
根据实际问题背景，验证解是否符合实际情况，排除不符合实际意义的解。
02
工程设计
在工程设计中，我们需要解决各种实际问题，例如计算建筑物的面积、
体积、高度等，一元一次方程可以帮我们快速准确地完成这些计算。
03
经济分析
在经济分析中，我们需要分析各种经济数据，例如分析某个行业的市场

10分钟,王亮梳洗完后,立刻沿着妈妈所走的路线以每小时4千米的速度追赶,
若设王亮追上妈妈所用的时间为x小时，可列出方程:
.
注意单位统一！
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
5.小丽和小红每天早晨坚持跑步，小红每秒跑4米，小丽每秒跑6米．如果 小丽站在百米跑道起跑处,小红站在她前面30米处,两人同时同向起跑，几 秒后小丽追上小红？
解: 设小杯的高为x，根据题意得： π×102×30=π×(10÷2)2•x×12,
解得 x=10 . 答：小杯的高为10cm．
知识归纳：等积变形问题中常见等量关系：变化前的体积=变化后的体积.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
2.根据图中给出的信息,可得下列方程正确的是( A )
A.π( )2×x=π×( )2×(x+5) B.π×82×x=π×62×5 C.π( )2×x=π×( )2×(x-5) D.π×82×x=π×62×(x+5)
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
3.将一个长、宽、高分别为15 cm、12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底 面是边长为12 cm的正方形的长方体钢坯．试问是锻造前的长方体钢坯的表面 积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较．
分析：锻造前后的长方体钢坯体积相等，根据这个等量关系可以先计算出锻 造后的长方体的高.
解：设x秒后小丽追上小红，则小丽跑的路程为6x米，小红跑的路程为4x米， 由此可得方程： 6x-4x=30. 解得x=15(秒). 答：经过15秒钟后小丽追上小红．
学习目标
概念剖析
典型例题

学习重难点
学习重点：等式的性质和运用 学习难点：应用等式的性质把简单的一元一次方程 化成“x=m”的形式
导入新课
用观察的方法我们可以求出简单的一元一次方程 的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗？ （1）3x－5=22；（2）0.28－0.13y=0.27y+1.
用估算的方法解比较复杂的方程是困难的.因此， 我们还要讨论怎样解方程.
当堂训练
解： (1)不对．因为在等式4x＝3x的两边同除以x，而x刚好为0； (2)方程的两边加2，得4x＝3x，然后在方程两边减3x， 得x＝0.
课后作业 完成课后练习题.
C．由2x－3＝x－1得2x－x＝－1－3
D．由－
1 4
x＝1得x＝－4
巩固练习
4．由23x＋2＝0得x＝－3可分两步，按步骤完成下列填空：
第第一二步步：：根根据据等等式 式的的性性质质____12__，，等等式式两两边边__减乘____232__得得到到x＝23 x－＝3－. 2；
5．利用等式的性质解方程：
思考：在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减） 同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为 0的正数，结果仍相等.引入负数后，这些性质还成立吗？ 你可以用具体的数试一试.
探究新知
等式两边同时加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等. 例如：对于等式a=b，在等式两边都加上-5， 计算a+（-5）与b+（-5）的值. 当a=b=2时，a+（-5）=2+（-5）=-3；b+（-5）=2+（-5）=-3. 可见，a+（-5）=b+（-5） 类似地，a-（-5）=b-（-5）
(4)如果
1 2
x＝－4，那么__x__＝－8，根据是_等__式__的__性__质__2_．

活动2：探究新知
列方程58＋0.25(t－150)=88. 解得t=270.
故当 t =270时，两种计费方式的费用相同， 都是88元；当150<t<270时，按方式一计费 少于按方式二计费； 当270<t< 350时，按方 式一计费多于按方式二计费.
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第三章 一元一次方程 3.4 实际问题与一元一次方程 第4课时 解决实际问题（4）
活动1：创设情境，导入新课
老师这几天又高兴又发愁，高兴的是手 机话费大降价，发愁的是不知如何选择手机 卡，请同学们帮忙出主意.
活动2：探究新知
老师手中的手机卡有两种计费方式,请你 帮老师计算一下哪种方式更省钱.
月使用 费／元
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活动3：综合运用
某班将买一些乒乓球和乒乓球拍,现了 解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌 的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价40 元,乒乓球每盒10元,经洽谈后，甲店每买一 副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折 优惠．该班需买球拍6副,乒乓球若干盒（不 小于6盒）.
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活动2：探究新知
计费方式一
基本费58元
0
150
基本费88元
计费方式二
加超时费0.25元/min
270 350
t /min （ t 是正整数）
加超时费0.19元/min

探究新知
解决问题：（1）x=2，x=
3 2
是方程2x=3的解吗？
（2）x=10，x=20是方程3x=4（x－5）的解吗？
探究新知
解:(1)当x=2时，方程2x=3的左边=2×2=4，右边=3，方程左、 右两边的值不相等，所以x=2不是方程2x=3的解;
当x=
3 2
时,方程2x=3的左边=2
×
3 2
⑤
4 y
＝5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．当m＝__3_或___1__时，关于x的方程x|2－m|＋1＝0是一元一
次方程．
巩固练习
4．x＝3是下列哪个方程的解 ( B )
A．2x＋7＝11
B．5x－8＝2x＋1
C．3x＝1
D．－x＝3
5．根据“x的2倍与3的和比x的二分之一少4”可列方程 ( D )
根据“女生比男生多80人”列方程 0.52x 1 0.52 x 80.
探究新知
根据下列问题，设未知数并列出方程: (2)如图，一块正方形绿地沿某一 方向加宽5m，扩大后的绿地面积 是500m²，求正方形绿地的边长. 解：设正方形绿地的边长为x m，那么沿某一方向加 宽5m后的长为（x+5）m，根据“扩大后的绿地面积是 500 m2”，列方程 x（x+5）＝500 .
第五章 一元一次方程
5.1 方程
第1课时 从算式到方程
学习目标
1.通过引入实际问题情境，让学生在算式、代数两种方式下进行问题 的解决，体会由算术到代数是数学的一大进步，从而培养学生分析、 归纳、抽象概括的思维能力，初步认识建立数学模型的思想. 2.经历用含有未知数的等式表示实际问题中的相等关系，感悟方程的 现实意义，理解方程的定义，培养学生获取信息、分析问题、处理问 题的能力，提升方程模型的应用意识. 3.通过数学背景材料，让学生理解并掌握方程、一元一次方程及其相 关概念的内涵，培养学生的阅读理解、拓展探究的能力，增强学生的 数学应用意识，调动学生学习数学的主动性。