2018届广东佛山市石门中学高三第二次检测文科数学试卷及答案

第一学期高三年级月考理科数学（全卷共8页，供1-14班使用）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、tan(600)-︒的值等于（ ） A ．3- B ． 33-C ．3D ．332、函数()412x x f x +=的图象（ ）A. 关于原点对称B. 关于直线y x =对称C. 关于x 轴对称D. 关于y 轴对称3、给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 （ ）Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④4、设x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则2-+x y x 的取值范围是（ ）A ．]1 , 0[B ．]0 , 1[-C ．) , (∞-∞D ．]2 , 2[-[5、设⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]2,1[2]1,0[)(2x x x x x f ，则20()f x dx ⎰的值为（ ） A ．43B ．54C ．65D ．676、已知132:>-x p ，()05log :221<-+x x q ，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 7、函数2()sin 5f x x x π=-的零点个数是（ ） A ．4 Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ． 88、数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为（ ）A ．21B ．23C ．32D ．2 二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分） 9、设复数z 满足zi21+=i ，则z =____________10、若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 .[来11、在直角ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ， 1=BC ，D 为斜边AB 的中点，则 CD AB ⋅= .12、下面为某一几何体的三视图，则该几何体的体积为13、数列{}n a 满足：11121(234)n n a a n a -==-=⋅⋅⋅，，，，，若数列{}n a 有一个形如21)sin(3++=ϕωn a n 的通项公式，其中ϕω、均为实数，且2||0πϕω<>、，则ω=_________，ϕ=_______（二选一，第14、15小题任选一题作答）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(),ρθ中,过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆θρsin 4=的切线,则切线的极坐标方程为_______________.正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形俯视图： 半径为1的圆15．(几何证明选讲选做题) 如图所示，AB ，CD 是半径为2的圆O 的两条弦，它们相交于P ，且P 是AB 的中点，PD ＝43，∠OAP ＝30°，则CP ＝____.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

佛山市达标名校2018年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．1 2．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．3．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．54．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm 5．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2A B y y +的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．56．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ） A ．3y x =± B ．23y x =± C ．2x y =± D ．2y x =±7．将函数f(x)=sin 3x-3cos 3x+1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称； ④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113B ．4C ．133D ．59．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞D ．(3,1)--11．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移6π个单位 12．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省佛山市石门实验学校2018-2019学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．S1 洗脸刷牙、S2刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5 听广播C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C2. 空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则﹣+等于（）A．B．3C．3D．2参考答案：B【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】作图，从而化简﹣+=﹣（﹣）=﹣=﹣（﹣2）=3．【解答】解：如图，﹣+=﹣（﹣）=﹣=﹣（﹣2）=3，故选B．3. 若在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：C略4. 某机构为调查中学生对“北京国际园林博览会”的了解程度，计划从某校初一年级160名学生和高一年级480名学生中抽取部分学生进行问卷调查．如果用分层抽样的方法抽取一个容量为32的样本，那么应抽取初一年级学生的人数为A． B． C．D．参考答案：A5. 如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A．4 B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2?2a?4a?cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．6. 若是的最小值，则的取值范围为（）(A)[0，2] (B)[-1,2] (C)[1，2] (D)[-1，0]参考答案：A7. 把方程化为以参数的参数方程是（）A． B． C． D．参考答案：D8. 复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A. -1B. -2C.D.参考答案：A【分析】根据复数除法运算求得，从而求得虚部.【详解】复数的虚部为本题正确选项：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.9. 直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，那么l1与l2所成的角是（）A．30°B．45°C．150°D．160°参考答案：B【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】l1与l2所成的角与直线的方向向量所成的角相等或者互补，由此得到所求．【解答】解：因为直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，那么两个方向向量所成的角的余弦值为=；所以方向向量所成的角为135°，所以l1与l2所成的角是45°；故选：B【点评】本题考查了利用直线的方向向量所成的角求直线所成的角；注意角度范围．10. 如图所示，正方形的四个顶点分别为，曲线经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．参考答案：由三视图可知：，，．12. 直线l1: x-2y+3=0，l2: 2x-y-3=0，动圆C与l1、l2都相交，并且l1、l2被圆截得的线段长分别是20和16，则圆心C的轨迹方程是参考答案：略13. 如图，在45°的二面角α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在平面α、β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为____________．参考答案：略14. 正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为．参考答案：15. 若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式有（填序号）参考答案：①④16. 在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．参考答案：3【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．17. 已知x＞0，y＞0，x+2y=16，则xy的最大值为．参考答案：32【考点】基本不等式．【分析】变形为x与2y的乘积，再利用基本不等式求xy的最大值即可．【解答】解：，当且仅当x=2y=8时取等号．故答案为32．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.函数1ln(1)y x=-的定义域为（ ）A ．(,0)-∞B ．（0，1）C ．(1,)+∞D ．(,0)(1,)-∞+∞2.已知11z ai =+，232z i =+，a R ∈，i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a =（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．233.已知正项等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，若12a +，25a +，313a +成等比数列，则10a =（ ）A ．19B ．20C ．21D ．22 4.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+在6x π=处取得极大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图像（ ）A ．关于点(,0)6π对称 B ．关于点(,0)3π对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称5.若,x y R ∈，且1230x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则y z x =的最大值等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．126.“0x ∃>，使得a x b +≤”是“a b <”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.下列函数中，a R ∀∈，都有()()1f a f a +-=成立的是（ ） A．())f x x = B ．2()cos ()4f x x π=-C ．2()1x f x x =+ D ．11()212x f x =+-8.自主招生联盟成形于2018年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越联盟”和“京派”联盟.在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的考生，都没报考“华约”联盟； ②报考“华约”联盟的考生，也报考了“京派”联盟； ③报考“卓越”联盟的考生，都没报考“京派”联盟； ④不报考“卓越”联盟的考生，就报考“华约”联盟. 根据上述调查结果，下述结论错误的是（ ） A ．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的考生 B ．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C ．报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D ．报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟9.执行图1所示的程序框图，若输出i 的值为12，则①、②处可填入的条件分别为（ ） A ．384S >，1i i =+ B ．384S ≥，2i i =+ C ．3840S >，1i i =+ D ．3840S ≥，2i i =+10.已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的焦距为2c ，左焦点为F ，若直线y x c =+与椭圆交于,A B 两点，且||3||AF FB =，则椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．12 C ．2 D.211.已知点A B C 、、AC BC ⊥，30ABC ∠=°，球心O 到平面ABC 的距离为1，点M 是线段BC 的中点，过点M 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（ ）A ．4B ．34πCD ．3π12.已知函数1()||1x f x ae x a -=+--有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,1]- B ．[0,1] C ．{1}(0,1]- D ．{1}[0,1)-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一根铁丝长为6米，铁丝上有5个节点将铁丝6等分，现从5个节点中随机选一个将铁丝剪断，则所得的两段铁丝长均不小于2米的概率为_________.14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，12n n a S +=，其中（*n N ∈），则n S =__________.15.已知点P 是抛物线24y x =上的点，且P 到该抛物线的焦点的距离为3，则P 到原点的距离为_________.16.如图2，在矩形ABCD 中，AB =，点Q 为线段CD （含端点）上一个动点，且DQ QC λ=，BQ 交AC 于P ，且AP PC =μ，若AC BP ⊥，则λ-μ=___________. 三、解答题 （本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知A B C D 、、、为同一平面上的四个点，且满足2AB =，1BC CD DA ===，设BAD θ∠=，ABD ∆的面积为S ，BCD ∆的面积为T .(Ⅰ)当3πθ=时，求T 的值；（Ⅱ）当S T =时，求cos θ的值.18. （本小题满分12分）从2018年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(,)x y （其中x （万元）表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）：（8,2150）、（11,2400）、（18,3140）、（25,3750）、（25,4000）、（31,4560）、（37,5500）、（45,6500），设由这8组数据得到的回归直线方程为：+1055y bx =． （Ⅰ）求b ；（Ⅱ）广东李先生2018年1月购买一辆价值20万元的新车, (1)估计李先生购车时的商业车险保费；(2)若该车今年2月已出过一次险，现在又被刮花了，李先生到汽车维修4S 店询价，预计修车费用为800元，保险专员建议李先生自费（即不出险），你认为李先生是否应该接受建议？请说明理由.（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保） 19. （本小题满分12分）如图3，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，60BAD ∠=°，AB BD =，BC CD =． （Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）当BC CD ⊥，12AB AA ==，求三棱锥11B A BD -的体积.20. （本小题满分12分）已知点M 为圆22:4C x y +=上一动点，点D 是M 在x 轴上的投影，P 为线段MD 上一点，且与点Q 关于原点O 对称，满足OP OM OD =+. (Ⅰ)求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点P 作E 的切线l 与圆C 相交于,A B 两点，当QAB ∆的面积最大时，求l 的方程. 21. （本小题满分12分）设曲线:ln (0)C y a x a =≠在点00(,ln )T x a x 处的切线与x 轴交于点0((),0)A f x ，函数2()1xg x x=+. (Ⅰ)求0()f x ，并求函数()f x 在(0,)+∞上的极值；（Ⅱ）设在区间(0,1)上，方程()f x k =的实数解为1x ，()g x k =的实数解为2x ，比较2x 与1x 的大小.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图4，点,,,A B D E 在O 上，ED AB 、的延长线交于点C ，AD BE 、交于点F ，AE EB BC ==.(Ⅰ)证明：DE BD =；（Ⅱ）若2DE =，4AD =，求DF 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为=4sin()3πρθ-，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中R ϕ∈），求||PQ 的最大值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|3||2|f x x x t =-++，t R ∈. (Ⅰ)当1t =时，解不等式()5f x ≥；（Ⅱ）若存在实数a 满足()|3|2f a a +-<，求t 的取值范围.2018～2018学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题1. B2.A3.C4.A5. B6.C7.B8. D9.D 10. C 11.B 12.D 二、填空题13.3514. 13n -- 15. 三、简答题17. 【解析】（Ⅰ）在ABD ∆中，由余弦定理得2222212cos 1221232BD AB AD AB AD θ=+-∙=+-⨯⨯⨯=，所以BD ，…………………………2分在BCD ∆中，由余弦定理得2221cos 22BC CD BD BCD BC CD +-∠===-， 所以120BCD ∠=°，…………………………4分所以11sin 1122T BC CD BCD =∠=⨯⨯=．…………………………6分（Ⅱ）1sin sin 2S AD AB BAD θ=∠=，…………………………7分 2222cos 54cos BD AD AB AD AB θθ=+-=-，…………………………8分2224cos 3cos 22BC CD BD BCD BC CD θ+--∠==，…………………………9分11sin sin 22T CD BC BCD BCD =∠=∠，…………………………10分因为S T =，所以1sin sin 2BCD θ=∠，所以22224cos 34sin sin 1cos 1()2BCD BCD θθ-=∠=-∠=-，解得7cos 8θ=.…………………12分18. 【解析】（Ⅰ）1200(811182525313745)2588x =+++++++==万元…………………………2分132000(21502400314037504000456055006500)400088y =+++++++==元…………………4分直线1055y bx =+经过样本点中心(,)x y ，即(25,4000)，…………………………5分 解得105540001055117.825y b x--===，…………………………6分（Ⅱ）（1）价值为20万元车辆的商业车险保费预报值为：117.8×20+1185=3411元.……………………8分（2）由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，即增加应3411×25%=852.75元.…10分所以AB AD =，又CB CD =，AC 为公共边， 所以ABC ADC ∆≅∆，所以CAD CAB ∠=∠，所以AC BD ⊥.…………………………2分又四棱柱1111ABCD A BC D -为直棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，1AA BD ⊥，………………3分 又1ACAA A =，所以BD ⊥平面11ACC A ，…………………………4分又BD ⊂平面1A BD ，所以平面11ACC A ⊥平面1A BD .…………………………5分 （Ⅱ）因为11//AA BB ，所以11111B A BDA BB D A BB D V V V ---==，……………………7分 由（Ⅰ）知AC BD ⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直棱柱，所以1BB ⊥平面ABCD ，1BB AC ⊥，又1BDBB B =，所以AC ⊥平面1BB D ，…………………………10分记ACBD O =，则11111(22)332A BB D BB D V S AO -∆==⨯⨯⨯=，所以三棱锥11B A BD -的体积为3.…………………………12分 20.【解析】（Ⅰ）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)D x ，因为点P 与点Q 关于原点O 对称，所以2QP OP =，从而2OP OM OD =+，即0002(,)(,)(,0)x y x y x =+，…………………………2分 得02x x y y =⎧⎨=⎩，又22004x y +=，所以2244x y +=，故动点P 的轨迹方程22:14x E y +=.…………………………5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意；所以:l y kx m =+，由2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得222(41)8440k x kmx m +++-=，………………6分因为直线l 与椭圆相切，所以2216(41)0k m ∆=+-=，得2241m k =+，① (7)分原点O 到直线l 的距离为d =||AB =，所以QAB ∆的面积为221||224442S AB d d d d ===+-=，…………9分 当且仅当224d d=-，即d =QAB ∆的面积取得最大值4，此时d ==2222mk =+，②……………………11分 由①②解得k =，m = 故直线l的方程为y x =y x =y x =+或2y x =-……12分 21. 【解析】（Ⅰ）曲线C 在点T 处的切线斜率为0'|x x ay x ==， 故切线方程为：000()ay y x x x -=-，……………………1分 令0y =得000()ay x x x -=-，即000()x y a x x -=-， 将00ln y a x =代入求得000ln x x x x =-，故0000()l n f x xx x =-.…………………………3分故()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-，当01x <<时，'()0f x >，()f x 在(0,1)上递增；当1x >时，'()0f x <，()f x 在(1,)+∞上递减，故当1x =时，()f x 取得极大值(1)1f =，无极小值.……………………6分 （Ⅱ）由题设知1()f x k =，2()g x k =，故2221x k x =+，解得22k x k =-，将1()k f x =代入上式得121()2()f x x f x =-，…………………………8分所以11111121111111()(1)()2(1)2[(1ln )]2()2()2()1f x x f x x x x x x x x f x f x f x x +-+-=-==-----+，因为1(0,1)x ∈，由（Ⅰ）知：1()1f x <，所以12()0f x ->，又11(1)0x x +>，故111(1)02()x x f x +>-，令2()1ln 1h x x x=--+，其中(0,1)x ∈， 则22'222122(1)1()0(1)(1)(1)x x x h x x x x x x x -+--=-+==<+++ 故2()1ln 1h x x x =--+是(0,1)上的减函数，所以()(1)0h x h >=，即112(1l n )01x x -->+，所以210x x ->，从而21x x >.……………………12分 22.【解析】（Ⅰ）证明：因为EB BC =，所以C BEC ∠=∠因为BED BAD ∠=∠，所以C BED BAD ∠=∠=∠…………………………2分 因为2EBA C BEC C ∠=∠+∠=∠，AE EB = 所以2EAB EBA C ∠=∠=∠，又C BAD ∠=∠，所以EAD C ∠=∠，所以BAD EAD ∠=∠……………………4分 所以DE DB =.…………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EAD C FED ∠=∠=∠，又EDA FDE ∠=∠， 所以EAD FED ∆∆…………………………8分所以DE ADDF ED=，又因为2DE =，4AD =，所以1DF =.…………………………10分23.【解析】（Ⅰ）由4sin()3πρθ=-得14(sin )22ρθθ=-，…………………………2分即22sin cos ρρθθ=-，所以曲线C的直角坐标方程为2220x y y ++-=.………4分（Ⅱ）因为曲线22:((1)4C x y +-=是圆心为(C ，半径为2的圆，……………………5分点Q 在曲线cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩即圆22:1O x y +=上，…………………………7分 所以||||125PQ QC ≤++=，即||PQ 的最大值为5.…………………………10分24.【解析】（Ⅰ）当1t =时，()|3||21|f x x x =-++.由()5f x ≥得|3||21|5x x -++≥. 当3x ≥时，不等式等价于3215x x -++≥，解得73x ≥，所以3x ≥；……………………1分 当132x -<<时，不等式等价于3215x x -++≥，解得1x ≥，所以13x ≤<；……………………2分 当12x ≤-时，不等式等价于3215x x ---≥，解得1x ≤-，所以1x ≤-；……………………3分综上，原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞.…………………………5分（Ⅱ）()|3|2|3||2||26||2||2(26)||6|f x x x x t x x t x t x t +-=-++=-++≥+--=+.…………7分因为原命题等价于min (()|3|)2f x x +-<，………………9分所以|6|2t +<，解得84t -<<-，即t 的取值范围为（-8，-4）.…………………………10分。

1．B【解析】因为全集，所以，，因此，选B.2．B【解析】因为，所以，即，，因此，选B.5．A【解析】因为抛物线的焦点为，又因为抛物线的焦点在直线上，所以选A.6．A【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，综上正确结论是①②，选A.综上选B.8．C【解析】螺栓由一个正六棱柱与一个圆柱组合而成，其中正六棱柱的高为1，底边正六边形边长为2，圆柱高为6，底边圆半径为1.因此螺栓的表面积为正六棱柱表面积与圆柱侧面积和，正六棱柱的一个底面积为，正六棱柱的侧面积为圆柱侧面积为，因此螺栓的表面积为选C.点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．9．C【解析】若赵同学说：甲是2号为对，则乙不是3号；钱同学说：丙是2号是错，则乙是4号；孙同学说：丁是2号是错，丙是3号；李同学说：乙是3号是错，则丁是1号；此时甲是2号，乙是4号，丙是3号，丁是2号；点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．B【解析】因为时，又因为函数的图象在区间上不单调,所以存在，使得，即得当时，；当时，；当时，；因此的取值范围为，选B.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间的一条切线,因为，所以，由，所以，综上，正确结论的个数为3，选D.点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.15．【解析】以B为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则,因为为中点，所以因为，所以所以16．【解析】因为所以,两式相减得，当时，因此点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.17．（1）（2）318．（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）过点作，根据面面垂直性质定理得平面，由于平面,所以，再根据线面平行判定定理得平面同样由，根据线面平行判定定理得平面,最后根据面面平行判定定理得平面平面,即得平面.（2）先分割多面体为一个四棱锥与一个三棱锥，再找高或证线面垂直，由（1）可得平面，平面，最后根据锥体体积公式求体积.试题解析：(Ⅰ)过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面,19．（1）平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104．（2）100元，元【解析】试题分析：（1）根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均数，根据方差公式求方差，（2）(ⅰ)先根据定义分别求出各箱对应利润，再求和，(ⅱ) )根据提供的概率分布,估计出10000件产品中三个等级的件数，再根据定义分别求出各箱对应利润，最后求和.试题解析：(Ⅰ)质量指标的样本平均数,质量指标的样本的方差,这种产品质量指标的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104．(Ⅱ)因.(i)计算得5件产品中有一等品两件：93,105；二等品两件：85,112；三等品一件：76.故根据规则,获利为: 元．(ⅱ)根据提供的概率分布,该企业生产的 10000件产品中一等品大约为件,二等品大约为件,三等品件,不合格品大约为件.估计年获利为: 元.20．（1）（2）4又，所以,即,所以.21．（1）（2）.【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据a的正负讨论导函数零点情况，当时只有一个零点，且为极小值，再根据极小值为0 ,求的值；当时讨论两个零点大小，先确定极小值取法，再根据极小值为0 ,求的值；（2）先化简不等式为，再对时，变量分离，转化为讨论对应函数最值问题最小值，先根据与同号得>0，再根据放缩证明最小值恒大于零且趋于零，综合可得的取值范围.试题解析：(Ⅰ).①若，则由解得,当时，递减；当上，递增；故当时，取极小值，令,得（舍去）.(Ⅱ)方法一：等价于,即，即①当时，①式恒成立；以下求当时不等式恒成立,且当时不等式恒成立时的取值范围．令,即，记.(i)当即时，是上的增函数，所以,故当时，①式恒成立；(ii)当即时，令,若，即时，则在区间上有两个零点,综上所述, 所求的取值范围是.方法二：等价于，③当时，③式恒成立；当时，③式等价于：，令，则,当时，；当时，，故当时，③式恒成立；以下证明:对任意的正数,存在，使，取，则，令，解得，即时，,综上所述, 所求的取值范围是.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.22．（1）.（2）23．（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值定义化为分段函数形式，作图可得形状为梯形，根据梯形面积公式列不等式，解不等式可得的取值范围.试题解析：(Ⅰ)当时，不等式为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2018年广东省佛山市南海区中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）|﹣2018|＝（）A．2018 B．﹣2018 C．0 D．±20182．（3分）如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，下列说法正确的是（）A．a＞0 B．b＞c C．b＞a D．a＞c3．（3分）下列图形中既是轴对称，又是中心对称的是（）A．B．C．D．4．（3分）2018年4月菲律宾访华期间获得了中国公司9000 000 000美元投资，9000 000 000用科学记数法表示为（）A．9×108B．9×109C．9×1010D．9×10115．（3分）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC中点，测量MN的长度为40m，那么AB的长度为（）A．40m B．80m C．160m D．不能确定6．（3分）经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐，假设这三种可能性相同，现在有一个人经过该路口，恰好直行的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移三个单位长度得到△A′B′C′，则A′点的坐标是（）A．（1，﹣3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，3）8．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形9．（3分）已知x2+x﹣1＝0，那么2x2+2x+3＝（）A．4 B．﹣4 C．6 D．510．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为CD中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，S关于t的函数图象为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）16的算术平方根是．12．（4分）分解因式：x3﹣16x＝．13．（4分）2x＞3x﹣1的解集为．14．（4分）如图，在△ABC中，MN∥BC，若AM＝1，MB＝3，MN＝1，则BC的长为．15．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是．16．（4分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，点B、C的对应点分别为D与E，则阴影部分的面积为．三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）|﹣|﹣tan60°+（）0﹣2﹣1．18．（6分）﹣＝．19．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）用尺规作图作∠ABC的角平分线，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）．（2）求证：△BCD是等腰三角形．四、解答题（每小题7分，共21分）20．（7分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过亿元21．（7分）如图，▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，AE＝CF，顺次连接D、E、B、F，已知四边形DEBF是菱形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠BAD＝60°，AD⊥DF，求证：AE＝EF．22．（7分）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；（3）估计该单位750名职工共捐书多少本五、解答题（每小题9分，共27分）23．（9分）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象（第一象限）交于点A（a，3），交x轴于点D．（1）求k，a的值；（2）直线l⊥x轴于点N，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C，连接AC，AB＝AD．①点C的坐标为；②求tan∠BCA的值．24．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点B在以AD为直径的⊙O上，AD＝4，∠BAD＝45°，AF平分∠BAD交⊙O于点E，交BC于点F，连接BE、ED、BD．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：△ABF∽△BED；（3）求AF2的值．25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（10，0），OA＝5，且S△OAB＝15，动点P从原点O出发，沿射线OA方向以每秒OA方向以每秒5个单位的速度匀速运动，动点Q从B出发，以相同的速度在线段BO上由B向O匀速运动，当Q点运动到O点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQDE（P、Q、D、E逆时针排序），设点P 运动时间为t．（1）求点A的坐标；（2）设正方形PQDE的面积为S，请问S是否存在最小值若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．（3）当t为何值时，正方形PQDE恰好有两个顶点在射线OC上2018年广东省佛山市南海区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）|﹣2018|＝（）A．2018 B．﹣2018 C．0 D．±2018【分析】由绝对值的性质解答即可．【解答】解：|﹣2018|＝2018，故选：A．【点评】主要考查绝对值的概念及性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，下列说法正确的是（）A．a＞0 B．b＞c C．b＞a D．a＞c【分析】直接利用数轴上A，B，C对应的位置，进而比较得出答案．【解答】解：由数轴上A，B，C对应的位置可得：a＜0，故选项A错误；b＜c，故选项B错误；b＞a，故选项C正确；a＜c，故选项D错误；故选：C．【点评】此题主要考查了数轴，正确得出各项符号是解题关键．3．（3分）下列图形中既是轴对称，又是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）2018年4月菲律宾访华期间获得了中国公司9000 000 000美元投资，9000 000 000用科学记数法表示为（）A．9×108B．9×109C．9×1010D．9×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：00＝9×109，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC中点，测量MN的长度为40m，那么AB的长度为（）A．40m B．80m C．160m D．不能确定【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵M、N分别是AC、BC中点，∴NM是△ACB的中位线，∴AB＝2MN＝80m，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．6．（3分）经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐，假设这三种可能性相同，现在有一个人经过该路口，恰好直行的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可求出答案．【解答】解：∵共有直行、左拐、右拐这3种选择，∴恰好直行的概率是，故选：B．【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．7．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移三个单位长度得到△A′B′C′，则A′点的坐标是（）A．（1，﹣3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，3）【分析】首先根据图形，得到点A的坐标，再根据平移时，坐标的变化规律：左减右加，上加下减，求得点A′的坐标．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣2，3），∴将△ABC向右平移三个单位长度得到△A′B′C′，点A的对应点A′的坐标为（1，3），故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．8．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°＝360°×2解得n＝6．则这个多边形是六边形．故选：C．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°．9．（3分）已知x2+x﹣1＝0，那么2x2+2x+3＝（）A．4 B．﹣4 C．6 D．5【分析】先求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1∴2x2+2x+3＝2（x2+x）+3＝2×1+3＝5，故选：D．【点评】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为CD中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，S关于t的函数图象为（）A．B．C．D．【分析】本题主要研究三角形的面积问题，而三角形面积问处理方法之一是利用同底等高类的三角形面积关系．【解答】解：连MB由勾股定理AE＝BE＝4已知，AM＝t，EN＝t，ME＝NB＝4﹣t∵∴∵∴∴∵a＝﹣0∴当t＝2时，S的最大值为4故选：D．【点评】本题以动点问题为背景，研究三角形面积的变化．通常三角形面积问题除了底乘高的一半，经常采用的是同底等高类的三角形面积关系．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）16的算术平方根是4．【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：∵42＝16，∴＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．12．（4分）分解因式：x3﹣16x＝x（x+4）（x﹣4）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（x2﹣16）＝x（x+4）（x﹣4），故答案为：x（x+4）（x﹣4）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（4分）2x＞3x﹣1的解集为x＜1．【分析】先对不等式进行移项，再合并同类项，继而系数化1即可求得不等式的解集．【解答】解：移项，得：2x﹣3x＞﹣1，合并同类项，得：﹣x＞﹣1，系数化为1，得：x＜1，故答案为：x＜1．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．14．（4分）如图，在△ABC中，MN∥BC，若AM＝1，MB＝3，MN＝1，则BC的长为4．【分析】根据MN∥BC，得到△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵AM＝1，MB＝3，∴AB＝4，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，解得，BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是30°．【分析】已知∠A＝40°，AB＝AC可得∠ABC＝∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC＝∠A，易求∠DBC．【解答】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB＝AD∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．主要了解线段垂直平分线的性质即可求解．16．（4分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，点B、C的对应点分别为D与E，则阴影部分的面积为+．【分析】直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质得出S阴影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD，进而得出答案．【解答】解：连接BD，过点B作BN⊥AD于点N，∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，则∠ABN＝30°，故AN＝1，BN＝，S阴影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD＝﹣（﹣×2×）＝π﹣（π﹣）＝+．故答案为：+．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质，正确得出△ABD 是等边三角形是解题关键．三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）|﹣|﹣tan60°+（）0﹣2﹣1．【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣+1﹣＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6分）﹣＝．【分析】先去分母，把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：两边都乘以（x+3）（x﹣3），得：2﹣x﹣（x+3）＝2（x﹣3），解得：x＝，检验：当x＝时，（x+3）（x﹣3）≠0，所以分式方程的解为x＝．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．19．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）用尺规作图作∠ABC的角平分线，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）．（2）求证：△BCD是等腰三角形．【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线BD；（2）先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，再利用角平分线定义得到∠CBD＝∠ABD＝36°，接着根据三角形外角性质得到∠BDC＝72°，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论．【解答】（1）解：如图，BD为所作；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，∴∠C＝∠BDC，∴△BCD为等腰三角形．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的判定与性质．四、解答题（每小题7分，共21分）20．（7分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过亿元【分析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2＝，解方程即可；（2）根据该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率来解答．【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2＝，解得x1 ＝＝20%，x2 ＝﹣（不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：（1+20%）＝，＞答：该企业2017年的利润能超过亿元．【点评】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．21．（7分）如图，▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，AE＝CF，顺次连接D、E、B、F，已知四边形DEBF是菱形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠BAD＝60°，AD⊥DF，求证：AE＝EF．【分析】（1）根据菱形的性质和判定证明即可；（2）想办法证明△DEF是等边三角形，EA＝ED即可解决问题；【解答】（1）证明；连接BD交AC于点O．∵四边形DEBF是菱形，EF⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．（2）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝30°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°，∵AD⊥DF，∴∠AFD＝60°，∵DE＝DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∵∠DEF＝∠EAD+∠EDA，∴∠EDA＝∠EAD＝30°，∴AE＝ED＝EF，即AE＝EF．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（7分）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；（3）估计该单位750名职工共捐书多少本【分析】（1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可；（2）根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数；（3）用捐款平均数乘以总人数即可．【解答】解（1）捐D类书的人数为：30﹣4﹣6﹣9﹣3＝8，补图如图所示；（2）众数为：6 中位数为：6平均数为：＝（4×4+5×6+6×9+7×8+8×3）＝6；（3）750×6＝4500，即该单位750名职工共捐书约4500本．【点评】此题主要考查了中位数，众数，平均数的求法，条形统计图的画法，用样本估计总体的思想和计算方法；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．五、解答题（每小题9分，共27分）23．（9分）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象（第一象限）交于点A（a，3），交x轴于点D．（1）求k，a的值；（2）直线l⊥x轴于点N，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C，连接AC，AB＝AD．①点C的坐标为（4，）；②求tan∠BCA的值．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得a的值；根据待定系数法，可得k 的值；（2）①根据中点坐标，可得B点坐标，根据平行于y轴直线上点的横坐标相等，可得C 点的横坐标，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②根据平行线的关系，可得E点坐标，根据平行于坐标轴直线上两点间的距离，可得AE，CE，根据正切函数，可得答案．【解答】解：（1）当y＝3时，a+2＝3，解得a＝1，A点坐标为（1，3），将A点坐标代入反比例函数解析式，得k＝xy＝1×3＝3；（2）①当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣2，即D（﹣2，0），设B（x，y），由AB＝AD，得A是BD的中点，得x+（﹣2）＝2×1，y+0＝2×3，解得x＝4，y＝6，即B（4，6）．BC⊥x轴，得C点的横坐标是4，当x＝4时，y＝点C的坐标为（4，），故答案为：（4，）；②如图，作AE⊥BC于E点，∴E（4，3）．AE＝4﹣1＝3，EC＝3﹣＝．tan∠BCA＝＝＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解（1）的关键是自变量与函数值的对应关系得出A点坐标；解（2）的关键是利用中点坐标得出B点坐标，又利用了平行于坐标轴直线上两点间的距离．24．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点B在以AD为直径的⊙O上，AD＝4，∠BAD＝45°，AF平分∠BAD交⊙O于点E，交BC于点F，连接BE、ED、BD．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：△ABF∽△BED；（3）求AF2的值．【分析】（1）由于点B在圆上，要说明BC是⊙O的切线，证明OB⊥BC即可；（2）要证明△ABF∽△BED，有一个同弧上的圆周角∠BAF与∠BDE，可通过证明∠ABF ＝∠BED来实现，利用圆内接四边形的对角互补计算∠BED的度数，利用平行线的性质计算∠ABF的度数即可．（3）由（2）的△ABF∽△BED，可得，要求AF需求出AB、BD、BE．由于AD 是直径，∠BAD＝45°，AD＝4，可求得AB、BD的长．连接OE，可利用垂径定理求出BE的长，计算出AF2即可．【解答】解：（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平形四边形，∠BAD＝45°，∴∠ABC＝135°∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO＝45°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝135°﹣45°＝90°，∴OB⊥BC，又∵点B在圆上∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵ABED是⊙O的圆内接四边形，∴∠BED+∠BAD＝180°，∴∠BED＝180°﹣45°＝135°＝∠ABC又∵∠BAF＝∠BDE∴△ABF∽△BED（3）解：连接OE交BD于点G．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°∵∠BAD＝45°，AD＝4，∴AB＝BD＝2∵AF平分∠BAD交⊙O于点E，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝ED，又因为OE是半径∴OE⊥BD，BG＝GD＝∵∠BAD＝45°＝∠BDA∴OG＝GB＝．∴GE＝OE﹣OG＝2﹣在Rt△BEG中，BE2＝BG2+GE2＝2+（2﹣）2＝8﹣4由（2）知，△ABF∽△BED∴∴AF＝＝∴AF2＝＝＝16+8【点评】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理及圆周角等知识，综合性较强．解决（3）利用垂径定理是关键．25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（10，0），OA＝5，且S△OAB＝15，动点P从原点O出发，沿射线OA方向以每秒OA方向以每秒5个单位的速度匀速运动，动点Q从B出发，以相同的速度在线段BO上由B向O匀速运动，当Q点运动到O点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQDE（P、Q、D、E逆时针排序），设点P 运动时间为t．（1）求点A的坐标；（2）设正方形PQDE的面积为S，请问S是否存在最小值若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．（3）当t为何值时，正方形PQDE恰好有两个顶点在射线OC上【分析】（1）如图1中，作AH⊥OB于H．由S△OAB＝×OB×AH＝15，OB＝10，推出AH＝3，再利用勾股定理求出OH即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥OB于H．∵S△OAB＝×OB×AH＝15，OB＝10，∴AH＝3，在Rt△AOH中，OH＝＝4，∴A（4，3）．（2）如图2中，作PM⊥OB于M．∵OP＝5t，PM∥AH，∴＝＝，∴PM＝3t，OM＝4t，∴MQ＝|10﹣9t|，∴S正方形PQDE＝PQ2＝PM2+MQ2＝9t2+（10﹣9t）2＝90（t﹣1）2+10，∵90＞0，∴t＝1时，正方形PQDE的面积最小，最小值为10．（3）①如图3中，当点D在射线OC上．作PM⊥OB于M，DN⊥OB于N．∵PQ＝DQ，∠PQM＝∠QDN，∠PMQ＝∠DNQ＝90°，∴△PMQ≌△QND，∴PM＝NQ＝3t，QM＝DM＝10﹣9t，∵PM∥DN，∴＝，∴＝∴3t＝10﹣9t，t＝．②当PQ⊥OC时，P、E在射线OC上，则有：cos∠POQ＝＝，∴＝，解得t＝，③当点Q与点O重合时，P、Q在射线OC上，此时t＝2．综上所述，满足条件的t的值为s或s或2s．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．。

南海区石门中学2018-2042学年上学期期中高考数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在ABC ∆中，b =3c =，30B =，则等于（ ）A B ． C 或 D ．22． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ） A ．3﹣4iB ．3+4iC ．﹣3﹣4iD ．﹣3+4i3． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{>--=x x x B ，则=)(B C A R （ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．]2,1( D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.4． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 5． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈 B ．5立方丈 C ．6立方丈 D ．8立方丈6． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 7． 设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（ ） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥ 8． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．09． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）10．数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n =，则35a a +等于（ ） A ．259 B ．2516 C ．6116 D ．311511．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）A.83 B ．4 C.163D ．20312．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知两个单位向量,a b 满足：12a b ∙=-，向量2a b -与的夹角为，则cos θ= .14．已知函数22tan ()1tan xf x x=-，则()3f π的值是_______，()f x 的最小正周期是______. 【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 15．圆心在原点且与直线2x y +=相切的圆的方程为_____ .【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题. 16．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}22sincos []1x x +=的实数解为6π-；③若3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为23122n n -；④当0100x ≤≤时，函数{}22()sin []sin1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13xg x x x =⋅--的 零点个数为n ，则100m n +=.其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。