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2016年北京市各区高三模拟考试数学文科试题分类汇编------三角函数 选择题部分：（2016丰台期末）6. 函数()=sin2cos2f x x x -的一个单调递增区间是（ ）（A ）3[,]44ππ-（B ）3[,]44ππ-（C ）3[,]88ππ-（D ）3[,]88ππ-（2016朝阳一模）5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，s i n 0B b A +=，则B =（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6（2016石景山一模）6．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是( ) A ．23π-，B ．26π-，C ．46π-，D ．43π， （2016房山一模）（3）在△ABC 中，若2b =，3a =，1cos 4C =-，则c =( )（A （B ）2（C ）3（D ）4（2016西城二模）5. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若1sin()3A B +=，3a =，4c =，则sin A =（ ）（A ）23（B ）14（C ）34（D ）16（2016海淀二模）6. 在ABC ∆中，34cos ,cos ,55A B == 则sin()A B +=（ ） A.725 B.925 C.1625D. 1 （2016朝阳二模）5. 同时具有性质:“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ）A ．cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．sin 26y x 5π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2016丰台二模）6.将函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位后与函数()g x 的图象重合，则函数()g x 为（ ） （A ）sin(2)6x π-（B ）sin(2)6x π+（C ）sin(2)3x π- （D ）sin(2)3x π+填空题部分：（2016西城期末）13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =__79__；∆ABC 的面积为____. （2016海淀期末）14. 已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形.(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C === ； ③75,75,30A B C === .(ii) 若ABC ∆存在“友好”三角形，且70A = ，则另外两个角的度数分别为________. （2016东城期末）（5）给出下列函数：（ ）①2log y x = ； ②2y x = ； ③2xy =； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③（D ）②④（2016东城期末）（10）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c，且c =45B = ,面积2S =，则a =_________；=________.（2016朝阳期末）11. 在ABC ∆中，若1BC =，2AC =，1cos 4C =，则AB =____,sin A =________.（2016朝阳期末）14.在ABC ∆中，AB AC =，D 为线段AC 的中点，若BD 的长为定值l ，则ABC ∆面积的最大值为（用l 表示）___________.（2016石景山期末）12.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .15a =，10b =，60A = ，则sin B =_____________.（2016昌平期末）（13）在ABC ∆中，3a =，2c =，1cos 3B =，则b =；sinC =.（2016西城一模）10．在△ABC 中，b =3a =，tan C =c =_____. （2016海淀一模）13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，若5()()21212f f ππ--=，则函数()f x 的单调增区间为_________（2016丰台一模）9.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ,b ,c ，若2s i n b a B =，则∠A =_________．（2016石景山一模）12．设1sin 2222a =+ ，212sin 13b ︒=-，2c =a b c ，，的大小关系是________．(从小到大排列)（2016顺义一模）11.在 ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin =a b A ，则B =_______（2016房山一模）（11）若1tan 3q =，则tan()4q p +=__.（2016海淀二模）14.已知点πππ((,1),(,0)642A B C ，若这三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数．．ω的最小值为______.（2016东城二模）（10）若函数()sin f x a x =+在区间[,2]ππ上有且只有一个零点，则实数a =．（2016昌平二模）（10）在ABC ∆中，已知42,5AB BC B ===，则ABC ∆的面积是_______.。
2016年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合A={x|﹣2≤x≤1}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1]C．[﹣2，0）D．（1，+∞）2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3B．y=lnxC．y=sinxD．y=2x3．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0B．1C．2D．5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3B．4C．5D．66．已知△ABC外接圆的圆心为O，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．7．直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则k=（）A．±B．±C． D．8．为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价．其电价标准如表：为（ ）A ．350千瓦时B．300千瓦时C ．250千瓦时D ．200千瓦时二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若（a ﹣2i ）i=b ﹣i ，其中a ，b ∈R ，i 使虚数单位，则a 2+b 2=．10．为了调查野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天捕到这种动物120只，做好标记后放回，经过一星期后，又捕到这种动物100只，其中做过标记的有8只，按概率方法估算，该保护区内有 只这种动物． 11．则 f （f （﹣1））等于．12．某几何体的正（主）视图和俯视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为 ．13．抛物线x 2=4y 的焦点F 的坐标为，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为4，则线段AB 的长度为 ． 14．观察下面的数表该表中第6行最后一个数是 ；设2016是该表的m 行第n 个数，则m+n= ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．已知函数f （x ）=．（Ⅰ）求的值和f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在[0，π]上的取值范围． 16．已知数列{a n }的前n 项和．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a2+a5+a8+…+a3n﹣1的值．17．随着2022年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式．为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营．其中一班有3名男生和1名女生参加，二班有1名男生和2名女生参加．活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出2名进行展示．（Ⅰ）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，求选出的2名学生性别相同的概率；（Ⅱ）若要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，求选出的2名学生来自不同班级且性别不同的概率．18．如图，等腰直角三角形ABE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，AE⊥BE，AB=2，FC⊥平面ABCD，且FC=1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCF；（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅲ）求点C到平面BDF的距离．19．已知函数f（x）=x+．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y=kx与曲线y=f（x）没有公共点，求实数k的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），点A（﹣4，0），B（0，2）和点P（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，BP⊥AB，且直线BP与x轴交于点M．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和离心率；（Ⅱ）求点P的坐标；（Ⅲ）若以M为圆心，r为半径的圆在椭圆C的内部，求r的取值范围．2016年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合A={x|﹣2≤x≤1}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1]C．[﹣2，0）D．（1，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：集合A={x|﹣2≤x≤1}=[﹣2，1]，B={x|x＜0}=（﹣∞，0），则A∪B=（﹣∞，1]，故选：B．2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3B．y=lnxC．y=sinxD．y=2x【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据奇函数、增函数的定义，奇函数图象的对称性，正弦函数的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴该选项正确；B．对数函数y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；C．正弦函数y=sinx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；D．指数函数y=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选A．3．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案．【解答】解：在△ABC中，若A=，则cosA=，是充分条件，在△ABC中，若cosA=，则A=或A=，不是必要条件，故选：A．4．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0B．1C．2D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（，），此时z的最大值为z=+2×=，故选：D．5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】程序框图．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S＞2，若不满足条件执行循环体，依此类推，一旦满足条件S＞2，退出循环体，输出n的值为5．【解答】解：模拟执行程序，可得A=2，S=0，n=1不满足条件S＞2，执行循环体，S=1，n=2不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=3不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=4不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=5满足条件S＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．6．已知△ABC外接圆的圆心为O，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可由得出点O为边BC的中点，从而得出边BC为△ABC外接圆的直径，从而得出，这样即可得出与的夹角．【解答】解：如图，∵；∴圆心O为BC边的中点；∴BC为外接圆的直径；∴；即与的夹角为．故选：D．7．直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则k=（）A．±B．±C． D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4的圆心，半径，圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离，由此利用直线y=kx+3被圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4截得的弦长为，由勾股定理能求出k ． 【解答】解：圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4的圆心（2，3），半径r=2， 圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=，∵直线y=kx+3被圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4截得的弦长为，∴由勾股定理得，即4=+3，解得k=．故选：A ．8．为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的用电量为（）A ．350千瓦时B ．300千瓦时C ．250千瓦时D ．200千瓦时 【考点】函数的值．【分析】设该户居民月用电量为x 千瓦时，则241≤x≤400，由题意得240×0.4883+（x ﹣240）×0.5383=0.4983x，由此能求出结果．【解答】解：∵北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时）， ∴设该户居民月用电量为x 千瓦时，则241≤x≤400， 由题意得240×0.4883+（x ﹣240）×0.5383=0.4983x， 解得x≈250． 故选：C ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若（a ﹣2i ）i=b ﹣i ，其中a ，b ∈R ，i 使虚数单位，则a 2+b 2= 5 ． 【考点】复数相等的充要条件． 【分析】由题意可得2+ai=b ﹣i ，故有，由此求得 a 2+b 2的值．【解答】解：∵（a ﹣2i ）i=b ﹣i ，即 2+ai=b ﹣i ，∴，∴a 2+b 2=5，故答案为 5．10．为了调查野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天捕到这种动物120只，做好标记后放回，经过一星期后，又捕到这种动物100只，其中做过标记的有8只，按概率方法估算，该保护区内有1500 只这种动物．【考点】收集数据的方法．【分析】设保护区有这种动物有x只，则由题意可得=，从而求得x的值【解答】解：设保护区有这种动物有x只，则由题意可得=，求得 x=1500，故答案为：1500．11．则 f（f（﹣1））等于 2 ．【考点】函数的值．【分析】由已知利用分段函数的性质先求出f（﹣1）的值，再求出 f（f（﹣1））．【解答】解：∵∴f（﹣1）=﹣=3，f（f（﹣1））=f（3）=1+log33=2．故答案为：2．12．某几何体的正（主）视图和俯视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为 4 ．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】按几何体的各种情况计算体积，找出最大值．【解答】解：由主视图和俯视图可知几何体为柱体．侧视图的长和高均为1．∴当侧视图为正方形时几何体体积最大，此时几何体为长方体，棱长分别为4，1，1．∴几何体体积V=4×1×1=4．故答案为：4．13．抛物线x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），过F的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为4，则线段AB的长度为10 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），由|AB|=|AF|+|FB|═y A+y B+p，再利用梯形的中位线定理即可得出．【解答】解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），|AB|=|AF|+|FB|=y A+y B+p=2×（4+1）=10．故答案分别为：（0，1）；10．14．观察下面的数表该表中第6行最后一个数是126 ；设2016是该表的m行第n个数，则m+n= 507 ．【考点】数列递推式．【分析】表中第n行共有2n﹣1个数字，此行数字构成以2n为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【解答】解：表中第n行共有2 n﹣1个数字，此行数字构成以2n为首项，以2为公差的等差数列．故第7行的第一个数字为27=128，故第6行最后一个数是126，排完第k行，共用去1+2+4+…+2k=2 k+1﹣1个数字，2016是该表的第1008个数字，由210﹣1＜1008＜211﹣1，所以2016应排在第10行，此时前9行用去了2 9﹣1=511个数字，由1008﹣511=497可知排在第10行的第497个位置，即m+n=507，故答案为：126，507三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由诱导公式与辅助角公式化简解析式，由此得到的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由x的范围得到2x+的范围，由此得到f（x）的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==sinx+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∴=2，f（x）的最小正周期是T=π．（Ⅱ）当x∈[0，π]时，2x+∈[，2π+]，∴2sin（2x+）∈[﹣2，2]，∴f（x）∈[﹣1，3]．16．已知数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a2+a5+a8+…+a3n﹣1的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过与S n﹣1=﹣（n﹣1）2+26（n﹣1）（n≥2）作差、整理可知a n=﹣2n+27，进而计算可得结论；（Ⅱ）通过（I）可知{a3n﹣1}是首项为23、公差为﹣6的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，S n﹣1=﹣（n﹣1）2+26（n﹣1）（n≥2），两式相减得：a n=﹣2n+27（n≥2），又∵a1=﹣1+26=25满足上式，∴a n=﹣2n+27；（Ⅱ）由（I）可知{a3n﹣1}是首项为23、公差为﹣6的等差数列，∴a2+a5+a8+…+a3n﹣1=23n+•（﹣6）=﹣3n2+26n．17．随着2022年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式．为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营．其中一班有3名男生和1名女生参加，二班有1名男生和2名女生参加．活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出2名进行展示．（Ⅰ）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，求选出的2名学生性别相同的概率；（Ⅱ）若要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，求选出的2名学生来自不同班级且性别不同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，先求出基本事件总数，由此能求出选出的2名学生性别相同的概率．（Ⅱ）要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，先求出基本事件总数，再求出选出的2名学生来自不同班级且性别不同包含的基本事件个数，由此能求出选出的2名学生来自不同班级且性别不同的概率．【解答】解：（Ⅰ）要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，基本事件总数n==12，选出的2名学生性别相同的概率：P==．（Ⅱ）要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，基本事件总数n′==21，选出的2名学生来自不同班级且性别不同包含的基本事件个数m′==7，∴选出的2名学生来自不同班级且性别不同的概率==．18．如图，等腰直角三角形ABE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，AE⊥BE，AB=2，FC⊥平面ABCD，且FC=1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCF；（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅲ）求点C到平面BDF的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AB⊥平面BCF；（Ⅱ）根据线面平行的判定定理证明EF∥GC，即可证明EF∥平面ABCD；（Ⅲ）根据点到平面的距离进行求解即可求点C到平面BDF的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵FC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴FC⊥AB，∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，∵BC∩CF=C，∴AB⊥平面BCF；（Ⅱ）取AB的中点G，连接EG，GC，∵等腰直角三角形ABE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，∴EG⊥AE，EG⊥平面ABCD，∵FC⊥平面ABCD，∴EG∥FC，∵AB=2，FC=1，∴EG=AB=1，即EG=FC，则四边形CGEF是矩形，∴EF∥GC，∵EF⊄平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD；解：（Ⅲ）连接AC交BD于O，则BD⊥平面COF，连接OF，过C作CH⊥OF与H，则CH⊥平面COF，即CH是点C到平面BDF的距离．∵AB=2，∴AC=2，OC=，则OF===，则由三角形OCF的面积S=OC•CF=OF•CH，得CH===．即点C到平面BDF的距离是．19．已知函数f（x）=x+．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y=kx与曲线y=f（x）没有公共点，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于关于x的方程kx=x+在R上没有实数解，即关于x的方程：（k﹣1）x=（*）在R上没有实数解．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x+．f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）直线y=kx与曲线y=f（x）没有公共点，等价于关于x的方程kx=x+在R上没有实数解，即关于x的方程：（k﹣1）x=（*）在R上没有实数解；①当k=1时，方程（*）可化为=0，在R上没有实数解；②当k≠1时，方程（*）化为=xex，令g（x）=xe x，则有g′（x）=（1+x）e x，令g'（x）=0，得x=﹣1，当x=﹣1时，g（x）min=﹣，同时当x趋于+∞时，g（x）趋于+∞，从而g（x）的取值范围为[﹣，+∞），所以当∈（﹣∞，﹣）时，方程（*）无实数解，解得k的取值范围是（1﹣e，1），综上，解得k的取值范围是（1﹣e，1]．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），点A（﹣4，0），B（0，2）和点P（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，BP⊥AB，且直线BP与x轴交于点M．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和离心率；（Ⅱ）求点P的坐标；（Ⅲ）若以M为圆心，r为半径的圆在椭圆C的内部，求r的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由A、B在椭圆C上，易得a=4，b=2，可得椭圆C的标准方程为+=1，可得离心率；（Ⅱ）由点在椭圆可得+=1，再由BP⊥AB可得•=﹣1，解方程组可得点P的坐标；（Ⅲ）由直线的知识可得M（1，0），设椭圆C： +=1上任意一点为N（4cosα，2sinα），由三角函数和二次函数可得MN|2的最小值，由圆在椭圆内部结合图象可得r的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0），点A（﹣4，0），B（0，2）和点P （m，n）都在椭圆C上，∴=1， =1，解得a=4，b=2，∴椭圆C的标准方程为+=1，∴椭圆C的离心率e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=1，再由BP⊥AB可得•=﹣1，联立解得m=，n=﹣，故点P的坐标（，﹣）；（Ⅲ）由A（﹣4，0），B（0，2）可得AB的斜率为﹣，由垂直关系可得BP斜率k=﹣2，故直线BP的方程为y﹣2=﹣2（x﹣0），即y=2﹣2x，令y=0可得x=1，故M（1，0），设椭圆C： +=1上任意一点为N（4cosα，2sinα），则|MN|2=（4cosα﹣1）2+（2sinα﹣0）2=16cos2α﹣8cosα+1+4sin2α=12cos2α﹣8cosα+5，当cosα=﹣=时，|MN|2取最小值，|MN|取最小值=，∵以M为圆心，r为半径的圆在椭圆C的内部，∴r的取值范围为：（0，）。
北京市西城区2016年高三二模试卷文科综合能力测试2016.5本试卷共14页，共300分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共140分）本部分共35小题，每小题4分，共计140分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
图1是拍摄于北京时间11月20日20时，位于21°W 、极圈附近某海域的卫星云图。
读图，回答第1、2题。
1.图中天气系统A. 为北半球反气旋B. 生成于太平洋面C. 带来强雨雪天气D. 会发展成强台风 2.拍摄云图时A. 当地时间是20日上午B. 该区域可见“午夜太阳”C. 地球接近公转轨道的远日点D. 太阳直射点逐渐向赤道移动研究表明，我国祁连山区近50年来冰川面积变化显著。
读图2，回答第3、4题。
3.图中区域A. 东部比西部冰川面积大B. 东部比西部冰川退化快C. 山脉呈东北—西南走向D. 山地雪线高度逐年降低4.导致图示地区冰川变化的首要影响因素是A ．气温B ．光照C ．降水D ．当地人类活动 图3为我国某地地质、地貌和农业分布示意图。
读图，回答5～7题。
图1图25.图中地貌广泛分布于我国A. 东北地区B. 西北地区C. 西南地区D. 青藏地区 6.图中A. 地质地貌的形成顺序是③①②B. 岩层①是由于变质作用形成的C. 河流④处左岸堆积，右岸侵蚀D. 暗河主要通过蒸发参与水循环 7. 该区域的农业模式A. 发展优势是肥沃深厚的土壤条件B. 适合大型机械化生产，商品率高C. 有利于减轻滑坡、泥石流等灾害D. 可提升不同纬度水热资源利用率会展业是以会议、展览等活动带动相关产业发展的一种综合性产业。
图4是“北京市会展业功能区分布图”。
读图，回答第8、9题。
8. 北京市会展业的优势区位条件有 ① 依托首都城市职能，会展资源丰富 ② 城市中心区地域广大，有发展空间 ③ 交通便利，基础配套设施比较完善 ④ 科技力量雄厚，综合服务水平较高 ⑤ 经济发达，环境承载力提升潜力大 A. ①④⑤ B. ②③④C. ①②⑤D. ①③④9.会展业又被称为“城市建设的加速器”，其作用主要表现为 A. 成为京郊农业发展的主要动力 B. 加强工业联系，促进工业集聚C. 加快人、物、信息的流动，创造商机D. 促使我国乡村人口向东部大城市迁移图5为某企业工厂选址城市及转移路径示意图。
2016年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x≤4}，B＝{x∈N|x＞2}，那么A∩B＝（）A．{3，4}B．{0，1，2，3，4}C．N D．R 2．（5分）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（）A．10B．12C．13D．163．（5分）执行如图所示程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．4．（5分）已知A，B为圆x2+（y﹣1）2＝4上关于点P（1，2）对称的两点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣3＝0B．x﹣y+3＝0C．x+3y﹣7＝0D．3x﹣y﹣1＝0 5．（5分）若a、b为实数，则“ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数g（x）＝f（x）﹣x是偶函数，且f（3）＝4，则f（﹣3）＝（）A．﹣4B．﹣2C．0D．47．（5分）已知向量＝（cosβ，sinβ），将向量绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量（0＜θ＜90°），则下列说法不正确的是（）A．||+||＞|﹣|B．||＜C．|+|＝|﹣|D．（+）⊥（﹣）8．（5分）如图，边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C1、C2、C3的离心率分别为e1、e2、e3，则（）A．e1＝e2＜e3B．e2＝e3＜e1C．e1＝e2＞e3D．e2＝e3＞e1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z＝．10．（5分）若函数y＝a+sin x在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a＝．11．（5分）已知双曲线x2﹣＝1（b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，则实数b ＝．12．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为．13．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝﹣2，且a n+1＝a n+a n+2，n∈N*，则a5＝；数列{a n}的前2016项和为．14．（5分）一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵C：若商品标价超过100元，则付款时减免超过100元部分的18%．某顾客想购买一件标价为150元的商品，若想减免钱款最多，则应该使用优惠劵（填A，B，C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于元．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＝3bc．（Ⅰ）若sin A＝sin C，求cos A；（Ⅱ）若A＝，且a＝3，求△ABC的面积．16．（13分）已知等差数列{a n}满足a3＝7，a5+a7＝26，其前n项和为S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前8项和．17．（14分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°．平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF＝a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）试问当AM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．（Ⅲ）求三棱锥A﹣BFD的体积．18．（13分）某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R（单位：公里）分为3类，即A类：80≤R＜150，B类：150≤R＜250，C类：R≥250．该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如表：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万公里的概率；（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．（ⅰ）求n的值；（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万公里的概率．19．（13分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与y轴交于B1，B2两点，F1为椭圆C的左焦点，且△F1B1B2是边长为2的等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x＝my+1与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（14分）设函数f（x）＝﹣x，a∈R．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）在区间[，3]上的最大值；（Ⅱ）设b≠0，求证：当a＝﹣1时，过点P（b，﹣b）有且只有一条直线与曲线y＝f（x）相切；（Ⅲ）若对任意的x∈[，2]，均有f（x）|x﹣1|≤1成立，求a的取值范围．2016年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x≤4}，B＝{x∈N|x＞2}，那么A∩B＝（）A．{3，4}B．{0，1，2，3，4}C．N D．R【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵A＝{x∈N|x≤4}，B＝{x∈N|x＞2}，∴A∩B＝{x∈N|2＜x≤4}＝{3，4}，故选：A．2．（5分）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（）A．10B．12C．13D．16【考点】BB：众数、中位数、平均数．【解答】解：由样本的频率分布直方图，得：[5，10）区间内的频率为0.04×5＝0.2，[10，15）区间内的频率为0.1×5＝0.5，∴估计样本的中位数为：10+＝13．故选：C．3．（5分）执行如图所示程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟执行程序，可得s＝0，n＝2满足条件n＜8，执行循环体，s＝，n＝4满足条件n＜8，执行循环体，s＝+，n＝6满足条件n＜8，执行循环体，s＝++，n＝8不满足条件n＜8，退出循环，输出s＝++＝．故选：D．4．（5分）已知A，B为圆x2+（y﹣1）2＝4上关于点P（1，2）对称的两点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣3＝0B．x﹣y+3＝0C．x+3y﹣7＝0D．3x﹣y﹣1＝0【考点】J8：直线与圆相交的性质．【解答】解：由题意，圆x2+（y﹣1）2＝4的圆心坐标为C（0，1），∵圆x2+（y﹣1）2＝4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵k CP＝＝1，∴k AB＝﹣1，∴直线AB的方程为y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+y﹣3＝0．故选：A．5．（5分）若a、b为实数，则“ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：若a、b为实数，ab＜1，令a＝﹣1，b＝1，ab＝﹣1＜1，推不出，若，可得b＞0，∴0＜ab＜1，⇒ab＜1，∴ab＜1”是“必要不充分条件，故选：B．6．（5分）已知函数g（x）＝f（x）﹣x是偶函数，且f（3）＝4，则f（﹣3）＝（）A．﹣4B．﹣2C．0D．4【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣x是偶函数，可知g（3）＝g（﹣3），可得f（3）﹣3＝f（﹣3）+3，即4﹣3＝f（﹣3）+3，f（﹣3）＝﹣2．故选：B．7．（5分）已知向量＝（cosβ，sinβ），将向量绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量（0＜θ＜90°），则下列说法不正确的是（）A．||+||＞|﹣|B．||＜C．|+|＝|﹣|D．（+）⊥（﹣）【考点】91：向量的概念与向量的模．【解答】解：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB则AB＝||，∵OA+OB＞AB，∴||+||＞|﹣|，故A正确．∵OA＝OB＝1，∠AOB＜90°，∴AB＝＝，故B正确．∵|+|2＝++2，|﹣|2＝+﹣2，，∴|+|≠|﹣|．故C错误．∵OA＝OB，∴四边形ABCD是菱形，∴OC⊥AB，即（+）⊥（﹣），故D正确．故选：C．8．（5分）如图，边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C1、C2、C3的离心率分别为e1、e2、e3，则（）A．e1＝e2＜e3B．e2＝e3＜e1C．e1＝e2＞e3D．e2＝e3＞e1【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：由图形可知，椭圆C1的长半轴长为2a，短半轴长为1.5a，则e1＝＝椭圆C2的长半轴长为4a，短半轴长为2a，则e2＝＝椭圆C3的长半轴长为6a，短半轴长为3a，则e2＝＝∴e2＝e3＞e1，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z＝2﹣i．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：由图可知：点A对应的点为（2，﹣1），∴z＝2﹣i．故答案为：2﹣i．10．（5分）若函数y＝a+sin x在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a＝1．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：作函数y＝sin x在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y＝a+sin x在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1＝0，故a＝1；故答案为：1．11．（5分）已知双曲线x2﹣＝1（b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，则实数b＝2．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：双曲线x2﹣＝1（b＞0）的虚轴长是2b，实轴长：2，虚轴长是实轴长的2倍，可得2b＝4，解得b＝2．故答案为：2．12．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为2．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥其中底面ABC是等腰直角三角形，PC⊥底面ABC．∴该三棱锥的四个面中，最大面积为侧面△P AB．∴其面积S＝＝2．故答案为：213．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝﹣2，且a n+1＝a n+a n+2，n∈N*，则a5＝2；数列{a n}的前2016项和为0．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：∵a n+1＝a n+a n+2，∴a n+2＝a n+1﹣a n，∵a1＝1，a2＝﹣2，∴a3＝a2﹣a1＝﹣3，a4＝a3﹣a2＝﹣3+2＝﹣1，a5＝a4﹣a3＝﹣1+3＝2，a6＝a5﹣a4＝2+1＝3，a7＝a6﹣a5＝3﹣2＝1，a8＝a7﹣a6＝1﹣3＝﹣2，∴a n+6＝a n．则S2016＝336（a1+a2+a3+a4+a5+a6）＝336×（1﹣2﹣3﹣1+2+3）＝0，故答案为：2，0．14．（5分）一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵C：若商品标价超过100元，则付款时减免超过100元部分的18%．某顾客想购买一件标价为150元的商品，若想减免钱款最多，则应该使用B优惠劵（填A，B，C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于225元．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：标价为150元的商品，使用优惠劵A，付款时减免15元；使用优惠劵B，付款时减免20元；使用优惠劵C，付款时减免9元，故想减免钱款最多，则应该使用优惠劵B．设标价为x元，则（x﹣100）×18%＞x×10%且（x﹣100）×18%＞20，∴x＞225，即他购买的商品的标价应高于225元．故答案为：B；225．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＝3bc．（Ⅰ）若sin A＝sin C，求cos A；（Ⅱ）若A＝，且a＝3，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由sin A＝sin C，利用正弦定理可得a＝c．又a2＝3bc，所以：c＝3b．所以：由余弦定理可得．…6分（Ⅱ）由已知a2＝3bc，且a＝3，所以bc＝3．故△ABC的面积．…13分16．（13分）已知等差数列{a n}满足a3＝7，a5+a7＝26，其前n项和为S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前8项和．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n} 的公差为d，由a5+a7＝26，得a6＝13，又a6﹣a3＝3d＝6，解得d＝2．∴a n＝a3+（n﹣3）d＝7+2（n﹣3）＝2n+1．∴以．（Ⅱ）由，得．设{b n} 的前n项和为T n，则．故数列{b n} 的前8项和为．17．（14分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°．平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF＝a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）试问当AM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．（Ⅲ）求三棱锥A﹣BFD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，且AB＝2a，，由AB2+BC2＝AC2，可知AC⊥BC．又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACEF．又AM⊂平面ACEF，所以BC⊥AM．…5分（Ⅱ）解：当时，平面BDE．证明如下：当，可得，故在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连结EN，由已知可得CN：NA＝1：2，所以．所以EM＝AN．又EM∥AN，所以四边形ANEM为平行四边形．所以AM∥NE．又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以平面BDE．当时，平面BDE．…11分（Ⅲ）解：由已知可得△ABD 的面积，故．…14分18．（13分）某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R（单位：公里）分为3类，即A类：80≤R＜150，B类：150≤R＜250，C类：R≥250．该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如表：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万公里的概率；（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．（ⅰ）求n的值；（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万公里的概率．【考点】B3：分层抽样方法；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过10 万公里的概率为．（Ⅱ）（ⅰ）依题意．（ⅱ）5 辆车中已行驶总里程不超过10 万公里的车有3 辆，记为a，b，c；5 辆车中已行驶总里程超过10 万公里的车有2 辆，记为m，n．“从5 辆车中随机选取两辆车”的所有选法共10 种：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn．从5 辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过10 万公里”的选法共6 种：am，an，bm，bn，cm，cn．则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过10 万公里的概率．19．（13分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与y轴交于B1，B2两点，F1为椭圆C的左焦点，且△F1B1B2是边长为2的等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x＝my+1与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：（1）由题意可得B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），|F1B1|＝＝a，由△F1B1B2是边长为2的等边三角形，可得a＝2，2b＝2，即b＝1，则有椭圆的方程为+y2＝1；（2）由，得（my+1）2+4y2＝4，即（m2+4）y2+2my﹣3＝0，m≠0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则P1（x1，﹣y1），且y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，经过点P1（x1，﹣y1），Q（x2，y2）的直线方程为＝，令y＝0，则x＝•y1+x1＝，又x1＝my1+1，x2＝my2+1．当y＝0时，x＝＝+1＝+1＝3+1＝4．这说明，直线P1Q与x轴交于定点（4，0）．20．（14分）设函数f（x）＝﹣x，a∈R．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）在区间[，3]上的最大值；（Ⅱ）设b≠0，求证：当a＝﹣1时，过点P（b，﹣b）有且只有一条直线与曲线y＝f（x）相切；（Ⅲ）若对任意的x∈[，2]，均有f（x）|x﹣1|≤1成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】（I）解：a＝﹣1，f（x）＝﹣x，f′（x）＝﹣1＝．∴当时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＜x≤3时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴在区间[，3]上，当x＝1时，函数f（x）取得最大值，f（1）＝﹣2．（II）证明：当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x，f′（x）＝﹣1＞﹣1，设过点P（b，﹣b）与函数f（x）相切于点Q，切线斜率＝，化为：b＝2x0．切线方程为：y+2x0＝（x﹣2x0），与联立可得：化为：x2﹣2x0x+＝0，解得x＝x0，因此切线与曲线有且只有一个公共点Q．当x0＞0时，切点Q位于第四象限，因此只有一条切线；当x0＜0时，切点Q位于第二象限，因此只有一条切线．（III）当x＝1时，∀a∈R，均有f（x）|x﹣1|≤1成立．当x≠1时，不等式等价于a≤x2+．当x∈时，f（x）|x﹣1|≤1等价于：a≤x2+，令g（x）＝x2+，x∈，g′（x）＝2x+＞0，函数g（x）在x∈单调递增，∴当x＝时，函数g（x）取得最小值＝．∴a≤．当1＜x≤2时，f（x）|x﹣1|≤1等价于：a≤x2+，令h（x）＝x2+，则h（x）＝x2+1+＞2，∴a≤，不等式a≤x2+对于x∈（1，2]恒成立．综上可得：实数a的求值范围是．。
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（文史类） 2016.5一、选择题：（满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDACBAAC二、填空题：（满分30分） 题号 91011121314答案1072- 12,210x y --=2x =-,5(,2][0,1)-∞-21960n n -+-,5（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 在ABC ∆中，因为21cos 212sin 3A A =-=-，所以6sin 3A =． 因为3,sin 6sin c A C ==，由正弦定理sin sin a cA C=，解得32a =． …………………6分(Ⅱ) 由6sin ,032A A π=<<得3cos 3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=. 解得5b =或3b =-（舍）.152sin 22ABC S bc A ∆==. …………………13分 16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）79+84+88+89+93+95==886x 甲，78+83+84+86+95+96==876x 乙. …………………4分（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88,89,93,95共4个，乙区优秀企业得分为86,95,96共3个.从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件为（88,86），（88,95），（88,96），（89，86），（89,95），（89,96），（93,86），（93,95），（93,96）（95,86）（95,95）（95,96）共12个. 其中得分的绝对值的差不超过5分有（88,86），（89，86），（93,95），（93,96），（95,95），（95,96）共6个. 则这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率61122p ==.………13分17. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)因为2a ，4a ，9a 成等比数列，所以9224a a a ⋅=. 将11=a 代入得 )81()1()31(2d d d +⋅+=+, 解得0=d 或 3=d .因为数列}{n a 为公差不为零的等差数列，所以3=d .数列}{n a 的通项公式1(1)332n a n n =+-⋅=-.……………………………6分（Ⅱ）因为对任意n *∈N ，6n ≠时，都有6n S S <，所以6S 最大，则0<d ，6765,.S S S S >⎧⎨>⎩所以760,0.a a <⎧⎨>⎩则1160,50.a d a d +<⎧⎨+>⎩因此156d a d -<<-. 又1a ，d ∈Z ，0<d ，故当1-=d 时， 156a <<， 此时1a 不满足题意.当2-=d 时，11012a <<， 则111a =， 当3-=d 时， 11518a <<,116,17a =, 易知3-≤d 时,116a ≥，则1a 的最小值为11. ………………………………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABE ∆为等边三角形，O 为BE 的中点，所以AO BE ⊥．又因为平面ABE ⊥平面BCDE ， 平面ABE 平面BCDE BE =，AO ⊂平面ABE ，所以AO ⊥平面BCDE ． 又因为CD ⊂平面BCDE ，所以AO CD ⊥．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）连结BD ，因为四边形BCDE 为菱形， 所以CE BD ⊥．因为,O F 分别为,BE DE 的中点， 所以//OF BD ，所以CE OF ⊥． 由（Ⅰ）可知，AO ⊥平面BCDE ． 因为CE ⊂平面BCDE ，所以AO CE ⊥. 因为AO OF O = ，所以CE ⊥平面AOF ． 又因为CE ⊂平面ACE ，所以平面AOF ⊥平面ACE ．…………………………………………………9分 （Ⅲ）当点P 为AC 上的三等分点（靠近A 点）时，//BP 平面AOF ．证明如下：设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N ，连结AN ,PM ． 因为四边形BCDE 为菱形，,O F 分别为,BE DE 的中点，所以12NM MC =． 设P 为AC 上靠近A 点的三等分点， 则12AP NM PC MC ==，所以//PM AN ． 因为AN ⊂平面AOF ，PM ⊄平面AOF ，所以//PM 平面AOF ． 由于//BD OF ，OF ⊂平面AOF ，BD ⊄平面AOF ， 所以//BD 平面AOF ，即//BM 平面AOF ． 因为BM PM M = ， 所以平面//BMP 平面AOF ．因为BP ⊂平面BMP ，所以//BP 平面AOF . 可见侧棱AC 上存在点P ，使得//BP 平面AOF ，且12AP PC =． …………………………………………………………………………14分FOBC DAE P MN19. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x -++--'=.（1） 当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. （2） 当01a <<时，11a>, 令()0f x '>，解得01x <<或1x a>，则函数()f x 的单调递增区间为 (01)，； 令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，1+)a ∞（，，单调递减区间为11)a（，. （3） 当1a =时，22(1)()=0x f x x -'≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为0+)∞（，. （4） 当1a >时，101a<<, 令()0f x '>，解得10x a<<或1x >，则函数()f x 的单调递增区间为 10)a（，，1+)∞（，；令()0f x '<，解得11x a <<，则函数()f x 的单调递减区间为1(1)a，. 所以函数()f x 的单调递增区间为10)a （，，1+)∞（，，单调递减区间为1(1)a，. …………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >.222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==，1a ≥.令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤，函数()f x 在(1,e )上单调递增.由()0f x '<得，11e x ≤<,函数()f x 在(1,1e)上单调递减. 所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件； 若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a<<或1e x <<； 由()0f x '<得，11x a <<. 函数()f x 在(1,e ),11(,)e a上单调递增,在1(,1)a上单调递减. min 1()min{(),(1)}ef x f f =，依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1ef x f =>，不满足条件；综上，2a >. ……………………………………………13分20. （本小题满分14分） 解：(Ⅰ)依题2a λ=，222c λλλ=-=，所以椭圆C 离心率为222e λλ==.……………………………………………3分 （Ⅱ）依题意00x ≠，令0y =，由0012x x y y +=，得02x x =，则02(,0)A x . 令0x =，由0012x x y y +=，得01y y =，则01(0,)B y .则OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===. 因为00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=. 所以2002001222x y x y =+≥，即0022x y ≤，则0012x y ≥. 所以001122OAB S OA OB x y ∆==≥. 当且仅当22002x y =，即0021,2x y =±=±时，O A B ∆面积的最小值为2． ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由2222102y x λλ=->，解得022x λλ-<<.①当00x =时，(0,)P λ,(,2)Q λλ-,此时21F P k =-，21F Q k =-. 因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线. 当(0,)P λ-时，也满足.②当00x ≠时，设(,)Q m n ，m λ≠-,1FQ 的中点为M ，则(,)22m nM λ-,代入直线l 的方程，得：2000240x m y n x λλ+--=.设直线1FQ 的斜率为k ，则002y nk m x λ==+， 所以000220y m x n y λ-+=.由2000000240220x m y n x y m x n y λλλ⎧+--=⎨-+=⎩，解得22002200244x x m y x λλλ+=-+，20002200484x y y n y x λλ+=+. 所以22200000222200002448(,)44x x x y y Q y x y x λλλλλ++-++. 当点P 的横坐标与点2F 的横坐标相等时，把0x λ=，2202y λ=代入22002200244x x m y x λλλ+=-+中得m λ=，则2,,Q P F 三点共线.当点P 的横坐标与点2F 的横坐标不相等时, 直线2F P 的斜率为200F P y k x λ=-. 由022x λλ-≤≤，02x λ≠-.所以直线2F Q 的斜率为220002220000022222200000022004844824248224F Qx y y y x x y y k x x x x y x y x λλλλλλλλλλλ+++==++---+ 20000000022222000000482(2)4822x y y x y y y x x y x y x x λλλλλλλλλ+++===--+- 000000(2)()(2)y x y x x x λλλλ+==-+-. 因为22F Q F P k k =，所以2,,Q P F 三点共线.综上所述2,,Q P F 三点共线. ……………………………………………………………14分。
2016年北京市海淀区⾼三⽂科数学⼆模试卷2016届北京市海淀区⾼三下学期期末考试（⼆模）数学（⽂科）⼀、选择题（共8⼩题；共40分）1. 已知全集U=x x>0，M=x x>1，则?U M=A. x x≤1B. x0C. x x≥0D. x x≤0或x>12. 在数列a n中，a1=2，且n+1a n=na n+1，则a3的值为A. 5B. 6C. 7D. 83. 已知命题p和命题q，若p∧q为真命题，则下⾯结论正确的是A. ?p是真命题B. ?q是真命题C. p∨q为真命题D. ?p∨?q为真命题4. 已知向量a=1,2，b=2,t，且a?b=0，则b=A. 5B. 22C. 25D. 55. 函数f x=2x?2x的零点个数是A. 1B. 2C. 3D. 46. 在△ABC中，cos A=35，cos B=45，则sin A+B=A. 725B. 925C. 1625D. 17. 如图，抛物线W:y2=4x与圆C:x?12+y2=25交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的⼀个动点，与x轴平⾏的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是A. 10,14B. 12,14C. 10,12D. 9,118. 正⽅体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底⾯作正棱柱．若此三棱柱另⼀底⾯的三个顶点也都在该正⽅体的表⾯上，则这个正三棱柱的⾼为A. 22B. 2 C. 33D. 32⼆、填空题（共6⼩题；共30分）9. 已知2+i1+a i=i，其中i为虚数单位，a∈R，则a= .10. 某校为了解全校⾼中学⽣五⼀⼩长假参加实践活动的情况，抽查了100名学⽣，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直⽅图如图所⽰，这100名学⽣中参加实践活动时间在6～10⼩时内的⼈数为．11. 已知双曲线x2a2y2=1的⼀条渐近线与直线y=?x+1垂直，则该双曲线的焦距为．12. 若点P x,y在不等式组x+y?2≤0,x?y+2≥0,y≥1.所表⽰的平⾯区域内，则原点O与点P距离的取值范围是．13. 在⼀次调查中，甲、⼄、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与⼄、丁阅读量之和相同，甲、⼄阅读量之和⼤于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量⼤于⼄、丙阅读量之和，那么这四名同学按阅读量从⼤到⼩的排序依次为．14. 已知点Aπ6,32，Bπ4,1，Cπ2,0，若这三个点中有且仅有两个点在函数f x=sinωx的图象上，则正数ω的最⼩值为．三、解答题（共6⼩题；共78分）15. 已知等差数列a n的通项公式为a n=4n?2，各项都是正数的等⽐数列b n满⾜b1=a1，b2+b3=a3+2 .（1）求数列b n的通项公式；（2）求数列a n+b n的前n项和S n .16. 已知函数f x=?2sin x?cos2x（1）⽐较fπ4，fπ6的⼤⼩；（2）求函数f x的最⼤值．17. 已知长⽅形ABCD中，AD=，AB=2，E为AB中点，将△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱锥P?BCDE，如图所⽰．（1）若点M为PC中点，求证：BM∥平⾯PDE；（2）当平⾯PDE⊥平⾯BCDE时，求四棱锥P?BCDE的体积；（3）求证：DE⊥PC18. 某空调专卖店试销 A 、 B 、 C 三种新型空调，销售情况如下表所⽰：（1）求A（2）为跟踪调查空调的使⽤情况，根据销售记录，从前三周售出的所有空调中随机抽取⼀台，求抽到的空调不是B型且不是第⼀周售出空调的概率；（3）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C型空调周销售量的⽅差最⼩时，求C4，C5的值．（注：⽅差S2=1nx1?x2+x2?x2?+ x n?x2，其中x为x1，x2，?，x n的平均数）19. 已知函数f x=x3+ax2?a2x?1，a>0 .（1）当a=2时，求函数f x的单调区间；（2）若关于x的不等式f x≤0在1,+∞上有解，求a的取值范围；（3）若存在x0，使得x0既是函数f x的零点，⼜是函数f x的极值点，请写出此时a的值．（只需写出结论）20. 已知曲线W:x24+y23=1y≥0，直线l:y=kx+1与曲线W交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．（1）当点 B 坐标为 ?1,0 时，求 k 的值；（2）记△OAD 的⾯积为 S 1，四边形 ABCD 的⾯积为 S 2 .①若 S 1=2 63，求线段 AD 的长度；②求证：S 1S 2≥12 .答案第⼀部分1. B2. B3. C4. A5. B6. D7. C8. D 【解析】如图所⽰，连接A1C，取B1C中点Q1，易知QQ1∥A1C且QQ1= 12A1C，同理，取D1C中点R1，取AC中点P1，易知P1，Q1，R1是题中三棱柱的另⼀底⾯的三个顶点．所以三棱柱的⾼为QQ1，因为A1C=3，所以?=32．第⼆部分9. ?210. 5811. 2212. 1,213. 甲丁⼄丙14. 4第三部分15. （1）设数列b n的公⽐为q，因为b1=a1=2，所以b2+b3=2q+2q2=a3+2=12 .解得q=2或q=?3（舍）．所以b n=b1q n?1=2n .（2）记a n的前n项和为T n，b n的前n项和为H n，所以T n=a1+a n2n=2+4n?22n=2n2 .H n=b11?q n1?q =21?2n1=2n+1?2 .所以S n=T n+H n=2n2+2n+1?2 .16. （1）因为f x=?2sin x?cos2x，所以fπ4=?2sinπ4cos2π4=?2，fπ6=?2sinπ6cos2π6=?32，因为?>?32，所以fπ4>fπ6．（2）因为f x=?2sin x?1?2sin2x=2sin2x?2sin x?1=2sin x?12232,令t=sin x，t∈?1,1，所以y=2 t?12232，因为对称轴t=12，根据⼆次函数性质知，当t=?1时，函数取得最⼤值3．17. （1）①取DP中点F，连接EF、FM．因为在△PDC中，点F、M分别是所在边的中点，所以FM∥DC，FM=1 2DC .⼜EB∥DC，EB=12DC，所以FM∥EB，FM=EB .所以FEBM是平⾏四边形，所以BM∥EF，⼜EF?平⾯PDE，BM?平⾯PDE，所以BM∥平⾯PDE .②取DC中点N，连接MN，BN，在△PDC中，点N，M分别是所在边的中点，所以MN∥PD .⼜DN∥BE，DN=BE，所以DEBN是平⾏四边形，所以DE∥BN .因为NM∩NB=N，DP∩DE=D，所以平⾯BMN∥平⾯EDP．因为BM?平⾯BMN，所以BM∥平⾯PDE．（2）因为平⾯PDE⊥平⾯EBCD，在△PDE中，作PO⊥DE于O，因为平⾯PDE∩平⾯EBCD=DE，所以PO⊥平⾯EBCD．在△PDE中，计算可得PO=63，所以V P?BCDE=13S?=13121+2?2?63=33．（3）①在矩形ABCD中，连接AC交DE于I，因为tan∠DEA=2，tan∠CAB=2 2，所以∠DEA+∠CAB=π2，所以DE⊥AC，所以在四凌锥P?EBCD中，PI⊥DE，CI⊥DE，⼜PI∩CI=I，所以DE⊥平⾯POC．因为PC?平⾯POC，所以DE⊥PC．②由（2），连接OC．在△DOC中，cos∠ODC=33，OD=233，DC=2，OC2=DC2+DO2?2DC?DO cos∠CDO，得到OC=263，所以DC2=DO2+OC2，所以DO⊥OC，⼜PO∩OC=O，所以DE⊥平⾯POC．因为PC?平⾯POC，所以DE⊥PC．18. （1） A型空调前三周的平均销售量x=11+10+153=12台．（2）设抽到的空调不是B型且不是第⼀周售出的空调为事件P1，所以P1=10+15+8+1235+30+40=37.（3）因为C型空调平均周销售量为10台，所以C4+C5=10×5?15?8?12=15⼜S2=1515?102+8?102+12?102+C4?102+C5?102，化简得到S2=152 C4?1522+912.注意到C4∈N，所以当C4=7或C4=8时，S2取得最⼩值．所以当C4=7,C5=8.或C4=8,C5=7.时，S2取得最⼩值．19. （1）当a=2时，f x=x3+2x2?4x?1，所以f?x=3x2+4x?4=3x?2x+2，令f?x=0，得x1=23，x2=?2，则f?x及f x的情况如下：所以函数f x的单调递增区间为?∞,?2，23,+∞ ，函数f x的单调递减区间为 ?23,2．（2）①要使f x≤0在1,+∞上有解，只要f x在1,+∞上的最⼩值⼩于等于0 . 因为f?x=3x2+2ax?a2=3x?a x+a，令f?x=0，得到x1=a3>0，x2=?a<0 .当a3≤1时，即a≤3时，f x在区间1,+∞上单调递增，f1为1,+∞上最⼩值，所以有f x≤0，即1+a?a2?1≤0，解得a≥1或a≤0，所以有1≤a≤3；当a3>1时，即a>3时，f x在区间1,a3上单调递减，在a3,+∞ 上递增，所以f a3为1,+∞上最⼩值，所以有f a3≤0，即f a3=a327+a39a331≤0，解得a≥? 2753，所以a>3．综上，得a≥1．②要使f x≤0在1,+∞上有解，只要f x在1,+∞上的最⼩值⼩于等于0．因为f1=1+a?a2?1=a?a2，所以当a?a2≤0，即a≥1时满⾜题意，当a<1时，因为f?x=3x2+2ax?a2=3x?a x+a，令f?x=0，得到x1=a3，x2=?a，因为a<1，所以f x在区间1,+∞上的单调递增，所以f x在区间1,+∞上的最⼩值为f1，所以f1≤0，根据上⾯得到a≥1，⽭盾.综上，a≥1 .（3）a=120. （1）因为B?1,0，所以A?1,y0，代⼊x24+y23=1y≥0，解得y0=32，代⼊直线y=kx+1，得k=?12.（2）①设点E0,1，A x1,y1，B x2,y2 .因为x24+y23=1,y=kx+1.所以3+4k2x2+8kx?8=0，所以Δ=962k2+1, x1+x2=?8k 3+4k2,x1x2=?83+4k.⼜因为S1=12OE x1+x2=121 x1x2=12x1?x2，⽽x1?x2=962k2+13+4k2，所以S1=12962k2+13+4k=262k2+13+4k，所以262k2+13+4k =263，所以2k2+13+4k =13，解得k=0，所以AD=2?2631=463.。
海淀区高三年级第二学期期末练习数学(文科)2013.5本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上 ，在试卷上作 答无 效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.―、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项•1.集合 A ・.x|(x —1)(x 2)乞0 二 B 一 xx ：：：0?,则 AUB =A. (-：：,0] B . (-：：,1] C . [1,2] D . [1,：：)1 1 12已知a =ln ,b=sin ,c=2 ,则a,b , c 的大小关系为2 2 2A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a 3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形11.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形「■■内和正方形内的豆子数分别为 m,n ，则图形门面积的估计值为27.双曲线C 的左右焦点分别为 戸忑，且F 2恰为抛物线y =4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物 线的一个交点为 A ，若UAF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为 A. ,2 B. 12 C. 13 D. 2,3A.maB. naC. 2na m 4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A. 180 B. 240C. 276D. 3005下列函数中，为偶函数且有最小值的是2x-xA.f(x) =x +xB.f(x) = |lnx|C.f(x) =xsinxD.f(x) =e +e -6在四边形ABCD 中，“二I .点R ，使得AB — DC ,= BC ”是“四边形平行四边形”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若数列｛a .｝满足：存在正整数 T ,对于任意正整数n 都有a n .T =a n 成立，则称数列｛a .｝为16 (本小题满分13分)周期数列，周期为 T .已知数列｛a .｝满足a^m (m . 0)， an -1a n0 ::: a n 乞 1.则下列结论中错误 的是 4 A.若 m=，贝U a 5= 3 5 B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C.若m =£2，则数列｛a n ｝是周期为3的数列D. m Q 且m _2，数列｛a *｝是周期数列二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分. 9复数互二 _________ 1 -i10甲、乙两名运动员在 8场篮球比赛中得分的数据统计 如右图, 则甲乙两人发挥较为稳定的是 11 已知数列｛a n ｝是等比数列，且 a 1 .a3 =4,a 4=8,a 3的值为 12 直线y= x+1被圆X 2-2X +y 2-3 =0所截得的弦长为 13 已知函数f(x)=sin( 2 X )(0「：：： 1)的图象经过点［0,6 上的单调递增区间为 14 设变量x,y 满足约束条件 y _ 1 丄 0 x y —4 乞 0 其中 k R,k 0 y -1 _ k(x -1) 当k=1时的最大值为 若斗的最大值为1，则实数a 的取值范围是 _________ .X 三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 (II) 15 (本小题满分13分) 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n(I) 若a=1, So= 100，求｛a n ｝的通项公式； (II) 若S n =n 2-6n ，解关于n 的不等式 S+a n >2n已知点 D 为' ABC 的边BC 上一点.且BD =2DC, . ADB =75°, ACB =30° ,AD = £(I) 求CD的长；(II) 求厶ABC的面积17 (本小题满分14分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD//BC, . ADC =900,BA=BC把厶BAC沿AC折起到, ：PAC 的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点巳F分别为线段PC CD的中点.图1 图2(I) 求证：平面OEF//平面APD(II) 求直线CD与平面POF(III) 在棱PC上是否存在一点M ,使得M到点P,O,C,F四点的距离相等？请说明理由.18 (本小题满分13分)X已知函数f(x) =lnx g(x) =- (a 0)a(I) 当a=1时，若曲线y=f(x)在点M (X0,f(x 0))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x 0, g(x 0))处的切线平行，求实数X。
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷（文史类） 2016.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ． 错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
2. 复数1+iiz =错误！未找到引用源。
（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.设x ∈R ,且0x ≠,“1()12x>” 是“11x<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若m ⊥l ，n ⊥l ， 则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5. 同时具有性质:“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数”的一个函数可以是 A ．cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．sin 26y x 5π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是A ．6B ．5C. 2D.27.设函数1,2,()2log,2ax xf xx x-≤⎧=⎨+>⎩(0a>且1)a≠的最大值为1,则实数a的取值范围是A．[11)2,B．0,1（）C．10]2(,D．1,（）+∞8.在边长为1的正方形ABCD中，已知M为线段AD的中点，P为线段AD上的一点，若线段=+BP CD PD，则A．34MBA PBC∠=∠B．23MBA PBC∠=∠C.12M B A P B C∠=∠D．13MBA PBC∠=∠正视图侧视图俯视图1111S S k=+结束开始2,1k S ==5?k <输出S 的值1k k =+是否 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.执行如图所示的程序框图，输出的S = .10. 已知向量(1,2)=a 错误！未找到引用源。
丰台区2016年高三年级第二学期统一练习（二） 2016.5高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项． 1. 复数()i 1i -=（A ）1i - （B ）1i -- （C ）1i -+ （D ）1i + 2.过点（2,0）且圆心为（1,0）的圆的方程是（A ）2220x y x ++= （B ）2220x y x +-= （C ）2240x y x +-= （D ）2240x y x ++= 3.在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩．表示的平面区域内任取一个点(,)P x y ，使得1x y +≤的概率为（A ）12 （B ）14 （C ）18（D ）1124.已知点P 在抛物线24y x =上，它到抛物线焦点的距离为5，那么点P 的坐标为 （A ）(4, 4)，（4，-4） （B ）（-4,4），（-4,-4）（C ）（5，25，（5，25- （D ）（-5，25，（-5，25-） 5. 已知函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是奇函数”是“(1)(1)f f =--”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6.将函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位后与函数()g x 的图象重合，则函数 ()g x 为（A ）sin(2)6x π- （B ）sin(2)6x π+（C ）sin(2)3x π-（D ）sin(2)3x π+7. 已知230.5log 3,log 2,log 2a b c ===，那么（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c b a << （D ）b c a <<8.下表为某设备维修的工序明细表，其中“紧后工序”是指一个工序完成之后必须进行的下一表示的工序代号依次为（A）E，F，G，G （B）E，G，F，G（C）G，E，F，F （D）G，F，E，F第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,2),(1,3)a b==-，则|2|a b+=_______.10.已知双曲线2221xya-=（0a>）的一条渐近线方程为y x=，则a= . 11.某产品广告费用x与销售额y（单位：万元）的统计数据如下表，根据下表得到回归方程y^=10.6x+a，则a=_________.12.当n＝3，x＝2时，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为____________.4321HDCBA13. 一个三棱柱被一个平面截去一部分，剩下的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________________.14. 某旅行达人准备一次旅行，考虑携带A ，B ，C 三类用品，这三类用品每件重量依次为1kg ，2kg ，3kg ，每件用品对于旅行的重要性赋值依次为2,2,4，设每类用品的可能携带的数量依次为123,,(1,1,2,3)ix x x x i ≥=，且携带这三类用品的总重量不得超过11kg.当携带这三类用品的重要性指数123224x x x ++最大时，则1x ，2x ，3x 的值分别为_________________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足sin cos c A C =． （I ）求角C 的大小；（Ⅱ）若b =5c =,求a 的值. 16.（本小题共13分）某校举办的数学与物理竞赛活动中，某班有36名同学，参加的情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一科竞赛的概率；（Ⅱ）在既参加数学竞赛又参加物理竞赛的9名同学中，有5名男同学,,,,a b c d e 和4名女同学甲、乙、丙、丁.现从这5名男同学和4名女同学中各随机选1人，求a 被选中且甲未被选中的概率.17.（本小题共14分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC =2，BC =1，且AC ⊥BC ，点D ，E ，F分别为AC ，AB ，A 1C 1的中点． （Ⅰ）求证：A 1D ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求证：EF ∥平面BB 1C 1C ； （Ⅲ）写出四棱锥A 1-BB 1C 1C 的体积. （只写出结论，不需要说明理由）18.（本小题共13分）已知{}n a 是各项为正数的等比数列，12320,64a a a +==,数列{}n b 的前n 项和为n S ，2log n n b a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）求证:对任意的*n ∈N ，数列 n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列.19. （本小题共13分）设函数()e (1)xf x a x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数()fx 在区间(0,2]上存在唯一零点，求a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆w :22221(0)x y a b a b+=>>过点（0，椭圆w 上任意一点到两焦点的距离之和为4.1A（Ⅰ）求椭圆w 的方程;（Ⅱ）如图，设直线:(0)l y kx k =≠与椭圆w 交于,P A两点，过点00(,)P x y 作PC ⊥x 轴，垂足为点C ， 直线AC 交椭圆w 于另一点B .①用直线l 的斜率k 表示直线AC 的斜率； ②写出∠APB 的大小，并证明你的结论.丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（二）数 学（文科）参考答案题号1 2 3 4 5 6 78 答案D B C A A D CA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 5 10.3三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2016年北京市西城区高三二模数学文试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =I （ ） （A ）(1,3)-（B ）(1,3]（C ）[1,3)（D ）[1,3]-3. 设命题p ：函数1()ex f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈， 则输出的s 属于（ ） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3}（D ）{1,3,9}2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8 （D ）8-5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（）（A）（B）（C）（D）6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系2464y x=+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（）（A）3（B）4（C）5（D）67. “3m>”是“曲线22(2)1mx m y--=为双曲线”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8. 在长方体1111ABCD A B C D-中，11AB BC AA===，点P为对角线1AC上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q可以重合），则1B P PQ+的最小值为（）（A（B（C）32（D）2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数10i3i=+____. 10. 抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的 方程是____.11．设函数,11,1()2,.x x f x xx -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤ 则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____. 12．在ABC ∆中, 角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若a =，3b =，2c =， 则A =____；ABC ∆的面积为____.13. 若,x y 满足,2,1,y x y x x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤若z x my =+的最大值为53，则实数m =____. 14. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论： ○1π()3f =○2 函数()f x 在区间π(,π)2上为减函数；○3 任意π[0,]2x ∈，都有()(π)4f x f x +-=.其中所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间. 16．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a . 当3n ≥时，比较1nb +与121n b b b ++++L 的大小．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率； （Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论） （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L ，其中x 为1x ，2x ，…，n x 的平均数）19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =.（Ⅰ）若椭圆E E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.20．（本小题满分13分）已知函数21()1x f x ax -=+，其中a ∈R .（Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对任意的x ，都有()m f x m -≤≤成立； （Ⅲ）当2a =时，是否存在实数k ，使得关于x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解？当12a =-时的情形又如何？(只需写出结论)北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i + 10．1x =- 22(1)4x y -+=11．52- [3,)-+∞ 12．π313．2 14．○1 ○3 注：第10，11题第一问2分，第二问3分. 第14题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得cos sin 0x x -≠， ……………… 1分即 tan 1x ≠， ……………… 2分 解得 ππ4x k ≠+， ……………… 4分 所以函数()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ≠+∈Z . ……………… 5分 （Ⅱ）解：cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-22(cos sin )(sin cos )cos sin x x x x x x-+=-……………… 7分(cos sin )(sin cos )x x x x =++sin 21x =+， ……………… 9分 由 ππ2π22π22k x k -++≤≤， 得 ππππ44k x k -++≤≤， ……………… 11分 又因为 ππ4x k ≠+，所以函数()f x 的单增区间是ππ(π,π)44k k -++，k ∈Z . （或写成ππ[π,π)44k k -++） ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为11n n a S +=+， ○1 所以当2n ≥时，11n n a S -=+， ○2由 ○1○2两式相减，得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， ………………3分 因为当1n =时，2112a a =+=，所以212a a =， ………………4分 所以 *12()n nan a +=∈N ． ………………5分所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 12n n a -=． ………………7分 （Ⅱ）解：因为1(1)221n b n n =+-⨯=-， ………………9分所以121n b n +=+，212(121)1112n n n b b b n +-++++=+=+L ， ………………11分 因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-， ………………12分 由3n ≥，得(2)0n n ->，所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++L . ………………13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：在Rt ΔADE中，AE ==. ………………1分因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C ADE -的体积为Δ11332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅. ………………4分（Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分 又因为AE DE ⊥，CD DE D =I ,所以AE ⊥平面CDE . ………………7分 又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………8分 （Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EFED =，使//AF 平面BCE .…………………9分解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =， ………………10分过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3CD AB =所以MF AB =，//FM AB ,所以四边形ABMF 是平行四边形，则//AF BM . ………………12分 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ………………14分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=， ………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5. ………………4分 （Ⅱ）解：记事件A 为“a >b ”， ………………5分因为乙组数据的平均数为26.7， 所以10182022233132(30)(30)4326.710a b +++++++++++=，解得 8a b +=. ………………7分 所以 a 和b 取值共有9种情况，它们是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，ABCE DF M(6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………8分其中a >b 有4种情况，它们是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………9分 所以a >b 的概率4()9P A =. ………………10分 （Ⅲ）解：当b =0时，2s 达到最小值． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设c =，由题意，得224a b +=，且c a =………………2分解得a =1b =，c =. ………………4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-， 则1(,0)F c -，2(,0)F c，c ==. 设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ………………6分 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-， 所以直线2F P 的方程为00()y y x c x c=--， 当0x =时，00y cy x c -=-，即点00(0,)Q y c x c--， 所以直线1F Q 的斜率为1F Q y k c x =-， ………………8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF F Q ⊥.所以1100001F P F Q y y k k x c c x ⨯=⨯=-+-， ………………10分 化简，得22200(24)y x a =--， ○1 又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a +=-，00x >，00y >， ○2 由○1○2，解得202a x =，20122y a =-， ………………12分 所以002x y +=，即点P 在直线20x y +-=上. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当14a =-时，函数21()114x f x x -=-， 求导，得22222224(1)3()114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==--， ………………2分 因为(1)0f =，(1)43f '=-， ………………3分 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为4340x y +-=.………………4分 （Ⅱ）证明：当0a >时，21()1x f x ax -=+的定义域为R . 求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ………………5分 令()0f x '=，解得110x =-<，211x =+>， ………………6分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：………………8分 所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.又因为(1)0f =，当1x <时，21()01xf x ax -=>+；当1x >时，21()01xf x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤.记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ， 2()||f x 中最大的数，综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()m f x m -≤≤ 恒成立. ………………10分（Ⅲ）解：当12a =-与2a =时，不存在实数k ，使得关于实数x 的方程()()f x k x a =-仅 有负实数解.。
