导数及其应用.板块二.导数的运算.学生版

第13讲 函数与导数之导数及其应用一． 基础知识回顾1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ．(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ．3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ．4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上，f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为 函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为 函数．6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ．7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二．典例精析探究点一：导数的运算例1：求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .原函数 导函数 f (x )＝C f ′(x )＝ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝ (α∈Q *) F (x )＝sin x f ′(x )＝ F (x )＝cos x f ′(x )＝ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ (a >0，a ≠1) f (x )＝e x f ′(x )＝ f (x )＝log a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝ (a >0，a ≠1，且x >0) f (x )＝ln x f ′(x )＝变式迁移1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (3)y ＝ln x x 2＋1.探究点二：导数的几何意义例2：已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移2：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．探究点三：函数的单调性例3：已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；变式迁移3：已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点四：函数的极值例4：若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．变式迁移4：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值； (2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点五：求闭区间上函数的最值例5：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移5：已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式； (2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．三．方法规律总结1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧．2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．3．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．4．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0时，x 1不一定是极值点．如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．5．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．6．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．四．课后作业设计1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx 为 ( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx －2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =( )A ．64B ．32C ．16D ．83．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是 ( )A ．－ln 22B ．－ln 2 C.ln 22D ．ln 2 4．已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则0lim →∆x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值为 ( ) A ．10 B ．－10 C ．－20 D ．205．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是 ( )A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(2,3) 6．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝07．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有 ( C )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )8.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <110．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32 B ．m >32 C ．m ≤32 D ．m <3211．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 12．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2 (x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的只有 ( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 2 13．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论：①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值；④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是②④．(填上所有正确命题的序号)．14．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为 ．15．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝ 16．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为17．设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是18．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．19．已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值．20．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．21.已知函数f (x )＝12(1＋x )2－ln(1＋x )．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[1e－1，e －1]时，f (x )<m 恒成立，求m 的取值范围．。

导数的运算法则【知识梳理】1．导数的四则运算法则（1)条件：f（x），g(x)是可导的．(2）结论：①f（x)±g（x)]′＝f′(x）±g′(x）．②f(x）g(x)］′＝f′(x)g(x)＋f（x)g′（x)．③错误!′＝错误!(g(x）≠0）．2．复合函数的求导公式（1）复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g（x)）．②可分解为y＝f(u）与u＝g（x)，其中u称为中间变量．（2)求导法则：复合函数y＝f（g(x））的导数和函数y＝f(u），u ＝g(x)的导数间的关系为：y x′＝y u′·u x′.【常考题型】题型一、利用导数四则运算法则求导典例］求下列函数的导数：（1）y＝x2＋log3x;（2)y＝x3·e x；(3)y＝错误!。

解] (1）y′＝（x2＋log3x）′＝（x2)′＋（log3x)′＝2x＋错误!.（2）y′＝（x3·e x）′＝（x3)′·e x＋x3·（e x）′＝3x2·e x＋x3·e x＝e x（x3＋3x2）．（3)y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝－错误!。

【类题通法】求函数的导数的策略（1）先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．【对点训练】求下列函数的导数：（1）y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；（3)y＝e x sin x。

解：(1）y′＝（sin x－2x2)′＝(sin x)′－（2x2）′＝cos x－4x。

（2）y′＝（cos x·ln x)′＝(cos x）′·ln x＋cos x·（ln x)′＝－sin x·ln x＋错误!.（3）y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝错误!题型二、复合函数的导数运算典例］求下列函数的导数：（1）y＝错误!；(2）y＝e sin（ax＋b)；（3）y＝sin2错误!;(4)y＝5log2(2x＋1)．解] （1)设y＝u－错误!，u＝1－2x2，则y′＝（u－12）′ （1－2x2）′＝错误!·(－4x）＝－错误!（1－2x2)－错误!(－4x）＝2x(1－2x2）－错误!。

初中数学知识归纳导数的计算和应用初中数学知识归纳：导数的计算和应用导数是微积分中的重要概念，可以衡量函数在某一点的变化率。

它在数学和实际问题中有广泛应用。

本文将对初中阶段数学中导数的计算和应用进行归纳总结。

一、导数的计算方法导数的计算方法主要包括基本导数公式和导数的四则运算。

1. 基本导数公式在初中阶段，我们主要掌握以下基本导数公式：- 常数函数的导数为0。

- 指数函数 y = a^x (其中a>0且a≠1) 的导数为 y' = a^x * ln(a)。

- 对数函数 y = log_a(x) 的导数为 y' = 1 / (x * ln(a))。

- 幂函数 y = x^n (其中n为正整数或分数) 的导数为 y' = n * x^(n-1)。

2. 导数的四则运算导数的四则运算包括加减乘除运算。

- 若函数 y = f(x) 和 g(x) 都可导，则 y = f(x) ± g(x) 的导数为 y' = f'(x) ± g'(x)。

- 若函数 y = f(x) 和 g(x) 都可导，则 y = f(x) * g(x) 的导数为 y' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

- 若函数 y = f(x) 可导，g(x) 不为0且可导，则 y = f(x) / g(x) 的导数为 y' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。

二、导数的应用导数在实际生活和学习中有广泛的应用，下面我们分别就函数的极值、函数的图像和函数的平均变化率三个方面进行介绍。

1. 函数的极值对于函数的极值问题，我们可以通过导数来进行分析。

若函数 f(x)在某一点 x0 处可导且导数为0，那么该点可能是函数的极值点。

我们可以通过导数的正负来判断极值的类型：若导数 f'(x) 在 x0 的左侧为正，在 x0 的右侧为负，那么 x0 是一个极大值点；反之，如果导数 f'(x) 在x0 的左侧为负，在 x0 的右侧为正，则 x0 是一个极小值点。

导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。

在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。

一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。

二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。

2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。

3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。

4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。

5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。

三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。

2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。

3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。

导数及其应用.板块二.导数的运算.学生版1．初等函数的导数公式表«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为正整数«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为有理数«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»注：，«Skip Record If...»是一个和«Skip Record If...»一样重要的无理数«Skip Record If...»． 注意«Skip Record If...»．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是可导的，则«Skip Record If...»， 即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是可导的，则«Skip Record If...»，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出«Skip Record If...»，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．⑶函数的商的求导法则：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是可导的，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．特别是当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»．知识内容板块二.导数的运算典例分析【例1】下列求导运算正确的是（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...» D．«SkipRecord If...»【例2】«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例3】«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例4】«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例5】«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例6】函数«Skip Record If...»的导数«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例7】求函数«Skip Record If...»的导数．【例8】已知函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值等于（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例9】设函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»_______．【例10】已知函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的解析式可能为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例11】已知函数«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例12】函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数是（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例13】已知函数«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的值．【例14】函数«Skip Record If...»的导数为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...» D．«Skip Record If...»【例15】函数«Skip Record If...»的导数是（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...» C．«Skip RecordIf...»D．«Skip Record If...»【例16】函数«Skip Record If...»的导数是（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例17】函数«Skip Record If...»的导函数«Skip Record If...»是（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例18】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例19】求函数«Skip Record If...»的导数．【例20】设函数«Skip Record If...»，（«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»是两两不等的常数），．则«Skip Record If...»【例21】函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数等于（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip RecordIf...»D．«Skip Record If...»【例22】若«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»______．【例23】若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»________．【例24】函数«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则实数«Skip Record If...»_________．【例25】设«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...» D．«Skip Record If...»【例26】已知函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为．【例27】已知«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...» D．«Skip Record If...»【例28】«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值等于（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例29】若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为________．【例30】求下列函数的导数：«Skip Record If...»【例31】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例32】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例33】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例34】求函数«Skip Record If...»的导函数«Skip Record If...»．【例35】求下列函数的导数：«Skip Record If...»；【例36】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例37】求下列函数的导数：«Skip Record If...»【例38】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例39】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例40】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例41】求函数«Skip Record If...»的导数．【例42】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例43】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例44】求下列函数的导数：«Skip Record If...»【例45】求下列函数的导数：«Skip Record If...»【例46】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例47】函数«Skip Record If...»的导数为_________【例48】函数«Skip Record If...»的导数是________．【例49】设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»________．【例50】设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的导数是．【例51】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例52】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例53】求下列函数的导数：«Skip Record If...»．【例54】求下列函数的导数：«Skip Record If...»【例55】求下列函数的导数：«Skip Record If...»【例56】求下列函数的导数：«Skip Record If...»【例57】«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为参数），求«Skip Record If...»；【例58】«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为参数），求«Skip Record If...»．【例59】函数«Skip Record If...»的导数为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...» C．«Skip Record If...»D．以上都不对【例60】求«Skip Record If...»的导数．【例61】已知函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．0【例62】等比数列«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【例63】«Skip Record If...»的导数是______．【例64】求«Skip Record If...»的导数．【例65】求«Skip Record If...»的导数；【例66】已知函数«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为_______．【例67】已知函数«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»_______．【例68】已知函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数值与函数值互为相反数，求«Skip Record If...»的值．【例69】设«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，求实数«Skip Record If...»的值．【例70】有下列命题：①若«Skip Record If...»存在导函数，则«Skip Record If...»；②若函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»；③若函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»；④若三次函数«Skip Record If...»，则“«Skip Record If...»”是“«SkipRecord If...»有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是．。

导数的基本运算与应用导数是微积分中的重要概念，通过研究函数在某点附近的变化率，可以帮助我们了解函数的性质和行为。

导数的基本运算包括求导法则，而导数的应用则广泛涉及到各个领域，例如物理、经济学和工程学等。

本文将探讨导数的基本运算和应用，帮助读者更好地理解和运用导数。

一、导数的定义和求导法则导数的定义是函数在某一点处的变化率，可以用极限的方式来表示。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。

求导法则是求导数的一些基本规则，下面是几个常用的求导法则：1. 常数法则：如果f(x) = c，其中c是一个常数，那么f'(x) = 0。

2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n是正整数，那么f'(x) =nx^(n-1)。

3. 和差法则：如果f(x) = g(x) ± h(x)，那么f'(x) = g'(x) ± h'(x)。

4. 乘积法则：如果f(x) = g(x)h(x)，那么f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)。

5. 商法则：如果f(x) = g(x)/h(x)，那么f'(x) = [g'(x)h(x) -g(x)h'(x)]/h(x)^2。

6. 链式法则：如果f(x) = g(h(x))，那么f'(x) = g'(h(x))h'(x)。

通过使用求导法则，我们可以计算更复杂函数的导数。

然而，在应用导数之前，我们需要了解导数的物理意义和实际应用。

二、导数的物理意义导数不仅是函数的变化率，还可以表示函数的斜率。

对于函数y=f(x)，导数f'(x)可以表示曲线在某一点的切线斜率。

在物理学中，速度和加速度的概念可以通过导数来描述。

例如，我们考虑一个物体的位移函数x(t)，其中t表示时间。

物体的速度可以表示为x'(t)，即位移函数的导数。

题型三：函数的极值 【例1】 设函数32()1f x x ax bx =++-，若当1x =时，有极值为1，则函数32()g x x ax bx =++的单调递减区间为 ．【例2】 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例3】 设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-<【例4】 函数2()(1)f x x x =-的极大值与极小值分别是___________．【例5】 函数31()443f x x x =-+的极大值是 ；极小值是 ．【例6】 函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．【例7】 曲线3223y x x =-共有____个极值．【例8】 求函数43()4f x x x =-的单调区间与极值点．【例9】 函数31()43f x x ax =++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 ． 【例10】 函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2，则()f x 的单调递减区间是 ．【例11】 若函数[]32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是______．典例分析板块三.导数的应用【例12】 若函数322y x x mx =-+，当13x =时，函数取得极大值，则m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．23【例13】 若函数3()63f x x bx b =-+在(01)，内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(01)，B ．(1)-∞，C ．(0)+∞，D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，【例14】 有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ．【例15】 已知函数32()f x x px qx =++的图象与x 轴切于非原点的一点，且()4f x =-极小，那么p = ，q = ．【例16】 求函数3()3f x x x =-的单调区间与极值．【例17】 求函数32()32f x x x =-+的单调区间与极值．【例18】 求函数42()23f x x x =-+的单调区间与极值．【例19】 用导数法求函数()(0)b f x x b x=+>的单调区间与极值．【例20】 已知函数32()393f x x x x =-++-，⑴求()f x 的单调递减区间与极小值； ⑵求()f x 过点(18)，的切线方程．【例21】 求函数22()(0100)1a b f x x a b x x=+<<>>-，，的单调区间与极小值．【例22】 已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． ⑴当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； ⑵当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．【例23】 已知函数()()2223x f x x ax a a e =+-+（x ∈R ），其中a ∈R ． ⑴当0a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．【例24】 设函数32()23(1)1f x x a x =--+，其中1a ≥． ⑴求()f x 的单调区间；⑵讨论()f x 的极值．【例25】 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．⑴ 若曲线()y f x =在点()()22f ，处与直线8y =相切，求a b ，的值； ⑵ 求函数()f x 的单调区间与极值点．【例26】 已知函数32()31(0)f x kx x k =-+≥．⑴求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 的极小值大于0，求k 的取值范围．【例27】 已知函数()6ln (0)f x x x =>和2()8g x ax x =+（a 为常数）的图象在3x =处有平行切线．⑴求a 的值；⑵求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值．【例28】 已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(10)，，(20)，，如图所示，求⑴0x 的值；⑵a b c ，，的值．21yxO【例29】 已知函数3221()23(0)3f x x ax a x b a =-++>， ⑴当()y f x =的极小值为1时，求b 的值； ⑵若()f x 在区间[12]，上是减函数，求a 的范围．【例30】 设函数32y x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，⑴求a b c ，，的值；⑵求函数的递减区间．yxO【例31】 已知函数32()c f x x bx x d =+++的图象过点(02)P ，，且在点(1(1))M f --，处的切线方程为670x y -+=．⑴求函数()y f x =的解析式．⑵求()f x 的单调递减区间与极小值．【例32】 设1x =和2x =是函数53()1f x x ax bx =+++的两个极值点．⑴求a b 、的值；⑵求()f x 的单调区间．【例33】 已知2a <，函数2()()e x f x x ax a =++．⑴当1a =时，求()f x 的单调递增区间； ⑵若()f x 的极大值是26e -⋅，求a 的值．【例34】 设函数322()31(,)f x ax bx a x a b =+-+∈R 在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．⑴若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间；⑵若0a >，求b 的取值范围．【例35】 已知函数2()ax f x x b=+，在1x =处取得极值2． ⑴求函数()f x 的解析式；⑵若函数()f x 在区间(21)m m +，上为增函数，求实数m 的取值范围；⑶若00()P x y ，为2()ax f x x b =+图象上的任意一点，直线l 与2()ax f x x b=+的图象相切于点P ， 求直线l 的斜率的取值范围．【例36】 已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-．⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵ 设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【例37】 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．⑴求证：当0ab >时，函数()f x 没有极值点； ⑵当12a b ==-，时，求()f x 的极值． ⑶求证：当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．【例38】 设函数2()ln()f x x a x =++，⑴若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； ⑵证明：当2a 时，()f x 没有极值．⑶若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2．【例39】 已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． ⑴当a ，b 满足什么条件时，()f x 取得极值? ⑵已知0a >，且()f x 在区间(01]，上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．【例40】 已知函数32()f x x bx cx =++的导函数的图象关于直线2x =对称．⑴ 求b 的值；⑵ 若()f x 在x t =处取得极小值，记此极小值为()g t ，求()g t 的定义域和值域．【例41】 已知函数()f x 在R 上有定义，对任何实数0a >和任何实数x ，都有()()f ax af x =⑴证明()00f =；⑵证明()f x =00kx x hx x ⎧⎨<⎩，≥，，其中k 和h 均为常数； ⑶当⑵中的0k >时，设()()()1(0)g x f x x f x =+>，讨论()g x 在()0+∞，内的单调性并求极值．【例42】 已知函数()2()2e ,(,)x f x x ax x a =++∈R ． ⑴ 当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程； ⑵ 若()f x 在R 上单调，求a 的取值范围；⑶ 当52a =-时，求函数()f x 的极小值．【例43】 已知函数2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥．⑴若1a =，求函数()f x 的极值点； ⑵若函数()f x 在区间(22)上单调递减，求实数a 的取值范围．【例44】 设函数1()(2)ln()2f x a x ax x=--++（a ∈R ）． ⑴当0a =时，求()f x 的极值； ⑵当0a ≠时，求()f x 的单调区间．【例45】 已知函数()(1)e x f x ax =-，a ∈R ，⑴当1a =时，求函数()f x 的极值； ⑵若函数()f x 在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．【例46】 已知函数()()1ln 1x f x x x a-=+++，其中实数1a ≠． ⑴若2a =-，求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； ⑵若()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性．【例47】 设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围； ⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【例48】 已知函数2()1f x x =-与函数()ln (0)g x a x a =≠．⑴若()f x ，()g x 的图象在点()1,0处有公共的切线，求实数a 的值； ⑵设()()2()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值．。