高数命题7套

往届高等数学期终考题汇编2021-01-12一．解答以下各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim10xx e x ++→.⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d .3.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y tt x ，求22d d xy .4.判定级数()()0!12≥-∑∞=λλλn nn n n e 的敛散性.7.⎰-π03d sin sin x x x .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间.0d )4(d 2=-+y x x x y 的解.1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴与曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 与曲线()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体与空气温度之差成正比,空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间 五.(8分)(学习工科数学分析的做〔1〕，其余的做〔2〕)〔1〕证明级数∑∞=-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛.〔2〕求幂级数()∑∞=-----122121212)1(n n n n x n 的收敛域与与函数.六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()⎰''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b af a b b a f a b dx x f ξ324122021．1．15一．解答以下各题(6*10分): 1.计算极限 ()xx x e x x 30sin 22lim++-→.2.设,5arctan log 22π+-=x x e y x 求y d .3.设,20;cos sin ,cos ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎩⎨⎧-==πt t t t y t x 求322d d π=t x y .4.判定级数∑∞=123n n nn 的敛散性.8.求函数()⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1x x x f 在[]2,0上展成以4为周期的正弦级数.()()0d d 132=++++y y y x x y 的通解.72+=x y 与532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积.二.(9分)证明:当0≥x 时,有三.(9分) 设抛物线()02<+=a bx ax y 通过点()3,1M ,为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小,试确定a 与b 的值.四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？五．〔8分〕求幂级数nn nx n n ∑∞=+0!21的收敛域与其与函数. 六.(6分)设函数()x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数,且()a xx f x =→0lim()0>a ,证明:()⎪⎭⎫⎝⎛-∑∞=-n f n n 1111条件收敛.2007年1月一. 计算以下各题(6*10分):1．计算极限()xx x e x x arctan 11ln lim 0---+→.2. 设21arcsin x y -=, 求y d .3. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎰-.01sin .d 02y t e u e x y t u 求0d d =x x y . 4. 判定级数∑∞=+134n nn的敛散性. 5. 计算反常积分()⎰∞+11d xx x.6设()21ln x x ++为()x f 的原函数, 求()⎰'x x f x d .7. 将()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=.2 ,0;20 ,1πππx x x f 展开成以π2为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别在π23=x 与π25=x 两点的收敛值.8. 将函数()x x f ln =展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.9求微分方程()()27121+=-'+x y y x 的通解.10. 求抛物线25y x =与21y x +=所围图形的面积.二. (9分) 假设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰.0,;0 ,d 1cos 2x a x xte xf x t 在0=x 点可导. 求a 与()0f '.三. (9分) 在曲线()0≥=-x e y x 上求一点()0,0x e x -,使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大, 并求出此最大面积. 四(8分)半径为R 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H 为多少五.(8分)求幂级数()∑∞=+11n nx n n 的与函数并求出级数()∑∞=+1211n nn n 的与.六. (6分) 函数()x f 在[)+∞,0上可导, 且()10=f 并满足等式()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f , 求()x f '并证明()().0 1≥≤≤-x x f e x 2006年1月一. 计算以下各题(6*10分):1. 30sin tan lim xxx x -→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 21arctan x y , 求y d .()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-0,10,2x x x e x f x , 求()x x f d 121⎰--. 4. 判定级数212121n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=的敛散性.5. 设()x y y =由方程()y x y +=tan 所确定,求y '.7. 将()x x f +=2, []ππ,-∈x 展成以π2为周期的傅立叶级数. 8. 将函数()2312++=x x x f 展成()4+x 的幂级数, 并指出收敛区间.9. 求微分方程x e x y y x 43=-'的通解.10. 设曲线2ax y =()0,0≥>x a 与21x y -=交于点A, 过坐标原点O 与点A 的直线与曲线2ax y =围成一个平面图形. 问: 当a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体体积最大二. (8分) 证明不等式: 当0>x 时, ααα-≤-1x x , ()10<<α.三. (9分). 设()⎰-=221d x t t ex f , 求()⎰1d x x xf .四. (9分). 一物体在某一介质中按3ct x =作直线运动,介质的阻力与物体速度的平方成正比, 计算物体由0=x 移动到a x =时克制阻力所作的功.五. (9分) 求级数()∑∞=+0311n nn 的与.六. (5分). 设()0>''x f , []b a x ,∈, 证明:2005年1月15日一. 解答以下各题〔6×10分〕1． 计算极限()xx x x x e x x sin 1sin lim 0-+-→ 2． 设()1ln 211222++++=x x x x y ，求y d .3． 设()⎩⎨⎧>+≤=02 , ,x x b ax x x x x f 在0x 处可导,求常数a 与b .4． 判定级数()∑∞=--1131n nn n 的敛散性. 假设收敛,是条件收敛还是绝对收敛5． 设()x y y =由方程ye y x y ++-=)ln(1所确定,求y '.6． 设()x f 连续,且满足()x t t f x =⎰-13d .求()?26=f .7． 求()1123223+--=x x x x f 的极值. 8． 计算不定积分⎰-xxx 2ln 4d .9． 计算定积分x x d arctan1⎰.10． 求由曲线12+=x y , 直线,0=y 0=x , 1=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积.二. (8分). 试证明不等式⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时, 3tan 3x x x +>.三. (9分) 将函数()3212-+=x x x f 展成3-x 的幂级数,并指出收敛区间.四. (9分) ()x f 在12=x 的邻域内可导, 且()0lim 12=→x f x ,()22005lim 12='→x f x . 求极限()()312121212d d lim x t u u f t xt x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰→→. 五.(8分) 求幂级数nn x n n ∑∞=+0!1的收敛域与与函数. 六. (6分) 设()x f 在[]1,0上连续, 在()1,0内可导, 且()10≤'<x f , ()00=f .证明 ()()x x f dx x f d 103210⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 2004年1月一、解以下各题1、10lim ,(0,0)2xxxx a b a b →⎛⎫+>>⎪⎝⎭其中2、设22(sin )x x y x e x -=+,求y '3、求不定积分arctan x xdx ⎰4、求不定积分21(1)dx x x +⎰5、求定积分4⎰6、求由曲线1|ln |,,y x x x e e===与x 轴围成的图形的面积。

可编辑修改精选全文完整版1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选C．命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C．2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．3．(2018·陕西质量检测(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由(a－b)a2＜0可知a2≠0，则一定有a－b＜0，即a＜b；但是a＜b即a －b＜0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2＜0不一定成立，故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，选A．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C．设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2R sin A＞2R sin B，即a＞b；若a＞b，则a2R＞b2R，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C．5．有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ．①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”． 因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．6．(2018·石家庄模拟)“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由log 2(2x －3)＜1⇒0＜2x －3＜2⇒32＜x ＜52，4x ＞8⇒2x ＞3⇒x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A ．7．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不一定成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B ．8．命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B ．要使“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件．9．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋ S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，故选C ．10．(2018·惠州第三次调研)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C ．11．(2018·贵阳检测)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1，3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．依题意，注意到a ∥b 的充要条件是1×3＝(x －1)(x ＋1)，即x ＝±2.因此，由x ＝2可得a ∥b ，“x ＝2”是“a ∥b ”的充分条件；由a ∥b 不能得到x ＝2，“x ＝2”不是“a ∥b ”的必要条件，故“x ＝2”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A ．12．(2018·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a ＞14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．命题p 等价于0＜a ＜4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝01＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a 2－4a ＜0，则0≤a ＜4，所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件，故选A ． 13．下列命题中为真命题的是________． ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题； ②命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题； ③命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题； ④命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题．解析：对于①，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故④为假命题．答案：②14．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．答案：115．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]16．(2018·长沙模拟)给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；②“x ＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”，但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x ＜0”，所以“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b ＜0”，但由“a·b ＜0”，得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”，所以“a·b ＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②1．(2017·高考天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．因为⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6， sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，⎝⎛⎭⎫0，π6⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，所以“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x B ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2 C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2ab D ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d解析：选D.A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1⇒/ x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.3．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B ．由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B ．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：m ＞25．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y ≤2， 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 6．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数． 又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1， 所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。

专升本高数真题答案及解析随着社会竞争的日益激烈，越来越多的人开始选择专升本的途径来提升自己的学历和能力。

其中，高等数学作为专升本考试的重要科目之一，对于许多考生来说是一个难题。

为了帮助考生更好地准备高数的考试，下面我们将介绍一些专升本高数真题的答案及解析。

一、选择题部分：1. 如表达式 (x^2-1)/(x-1)，在x=1时的取值：答案：无定义解析：由于分母为x-1，当x=1时，分母为零，造成整个表达式的取值无定义。

2. 函数 f(x) = |x-3| 的定义域是：答案：x≥3或x≤3解析：绝对值函数的定义域可以根据函数图像在x轴上的取值范围来确定。

对于f(x) = |x-3|，其图像在x=3处取得最小值0，向两边无限延伸，所以定义域为x≥3或x≤3。

3. 设函数 f(x) = 2^x ，则 f(2x) = ？答案：2^2x = 4^x解析：根据指数函数的性质，对于 f(2x)，相当于在原函数的自变量上乘以2，所以 f(2x) = 2^(2x) = 4^x。

二、填空题部分：1. 关于异或运算，以下哪个命题是正确的：（1分）答案：B解析：异或运算满足交换律，即 A^B = B^A。

2. 设函数 f(x) 满足 f'(x) = 2x^3+3x^2-4 ，则 f(x) =______ 。

答案：1/2x^4 + x^3 - 4x + C （C为常数）解析：根据导函数与原函数的关系，可以得到 f(x) 的形式，再通过求导积分即可得出答案。

三、解答题部分：1. 求函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5 在区间 [-1,1] 上的极值点。

答案：极小值点为 (-1, 2) ，极大值点为 (1, 14)。

解析：通过求导，将导函数等于零求出的x值代入原函数，得到对应的y值，即为极值点。

2. 已知函数 f(x) = (x-2)^2 - 4x + 3 ，判断 f(x) 的类型并求出其顶点坐标。

高等数学（下）试卷一一、填空（18分）1 已知22)/,(y x x y y x f -=+，则=),(y x f 。

2 设{}1:),(22≤+=y x y x D ，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Dd y x σ)14(22 。

3 设∑是锥面222z y x =+被平面1=z 所截得立体表面的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz。

4 级数∑∞=--11)1(n n n的和为 。

5 把函数x+11展开成x 的幂级数得到：=+x11 。

6 已知四个函数x x e e x x cos ,sin ,,-是某个四阶齐次线性微分方程的特解， 则该微分方程为 。

二、选择题（18分）1 有且只有一个不连续点的函数是（ ） （A ）xy （B ）)ln(22y x e x +（C ）yx x + （D ）xy arctan 。

2 旋转抛物面42222-+=y x z 在点)0,1,1(-处的法线方程为（ ） （A ）14141-=+=-z y x （B ）14141-=-+=-z y x （C ）14111-=+=--z y x （D ）44111z y x =+=--。

3 改换积分⎰⎰---11122),(yydx y x f dy的次序，则下列结果正确的是（ ）（A ）⎰⎰--21011),(xdyy x f dx （B ）⎰⎰21/1),(xxdy y x f dx （C ）⎰⎰xxdyy x f dx /131),( （D ）⎰⎰-2121),(xxdy y x f dx4 若L 是抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段，则=⎰Lxds （ ）（A ）)155(121- （B ）155- （C ）121 （D ）)155(81-。

5 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n nn n （B ）∑∞=-1884n nn n （C ）∑∞=+1824n nn n （D ）∑∞=⋅1842n nnn 。

高等数学考试题库及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2xD. x^2+2答案：A2. 函数y=sin(x)的不定积分是（）。

A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案：B3. 极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D4. 微分方程y'=y的通解是（）。

A. y=e^xB. y=e^(-x)C. y=e^x+CD. y=e^(-x)+C答案：C5. 函数y=x^3-3x^2+2x的二阶导数是（）。

A. 6x-6B. 6x-3C. 6x^2-6xD. 6x^2-6答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数y=x^3的一阶导数是______。

答案：3x^27. 函数y=e^x的不定积分是______。

答案：e^x+C8. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2+1)的值是______。

答案：09. 微分方程y''-2y'+y=0的特征方程是______。

答案：r^2-2r+1=010. 函数y=ln(x)的二阶导数是______。

答案：-1/x^2三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数y=x^2-4x+3的极值点。

解：首先求导数y'=2x-4，令y'=0，解得x=2。

然后求二阶导数y''=2，因为y''>0，所以x=2是极小值点。

将x=2代入原函数，得到极小值y=1。

12. 求极限lim(x→1) (x^3-3x^2+3x-1)/(x-1)。

解：首先将分子进行因式分解，得到(x-1)^3。

然后分子分母同时除以(x-1)，得到(x-1)^2。

所以极限为lim(x→1) (x-1)^2=0。

第一章 函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、 证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x ef -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设xx f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。

)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111 ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-， 。

高学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()02lim1cos t t xx e e dtx-→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞=9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13.设2ln 2,6aa π==⎰则___________.14.设2cos xz y=则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x +→18.求不定积分.19.计算定积分I=.⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

高数极限60题1.求数列极限)sin 1(sin lim n n n -+∞→。

2.设∑==n k kn b k S 1，其中)!1(+=k b k ，求n n S ∞→lim 。

3.求数列极限)321(lim 12-∞→+⋯+++n n nq qq ，其中1<q 。

4.求数列极限)]1(54[lim 2--++∞→n n n n 。

5.求数列极限)11)...(311)(211(lim 222nn ---∞→。

6.求极限)111)(110()110(...)13()12()1(lim 2222--++++++++∞→x x x x x x x 。

7.求极限)12584(lim 2+++--∞→x x x x 。

8.讨论极限xx xx x e e e e 2323432lim --∞→+-。

9.求极限)4tan(2tan lim 4x x x -⋅→ππ。

10.求极限2223lim 32--+→x x x 。

11.求极限xx x x 350)41()21(lim +-+→。

12.求极限301sin tan 1lim x x x x +-+→。

13.讨论极限x x x cos 22lim 0-→。

14.求数列极限12sin 2lim -∞→n n n π。

15.设01>>a x ，且n n ax x =+1，证明：n n x ∞→lim 存在，并求出此极限值。

16.设21=x ，且n n x x +=+21，证明：n n x ∞→lim 存在，并求出此极限值。

17.设2221...31211nx n ++++=（n 为正整数），求证：n n x ∞→lim 存在。

18.求数列极限!2lim n nn ∞→。

19.求极限)23ln()32ln(lim 32x x x e e +++∞→。

20.求极限xxx x x x ++++∞→lim 。

21.无限循环小数•9.0的值(A)不确定 (B)小于1 (C)等于1 (D)无限接近122.求数列极限2)(sec lim n n n π∞→。

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（），１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０②１③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。