2018年苏教版数学必修1 第2章 2.2.1 第1课时 函数的单调性

2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性第1课时函数的单调性学习目标：1.理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点)2.会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)3.会求函数的单调区间．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．单调增(减)函数的概念设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2.当x1<x2时，都有(1)f(x1)<f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调增函数．②I称为y＝f(x)的单调增区间．(2)f(x1)>f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调减函数．②I称为y＝f(x)的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？[提示]不能．如图所示，虽是f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不是单调的．[基础自测]1．思考辨析(1)所有函数在定义域上都具有单调性．()(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．()(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)．()[解析](1)×.比如二次函数y＝x2在R上不具有单调性．(2)×.必须对所有的都成立才能说明单调．(3)√.减函数中自变量越小函数值越大．[答案](1)×(2)×(3)√2．函数f(x)的图象如图2-2-1所示，则函数的单调递增区间是____________________．图2-2-1[解析]在区间[－1,2]上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1,2]上，f(x)随着x的增大而增大，∴为增函数．[答案][－1,2]3．若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)＞f(b)，则a与b的大小关系是__________.【导学号：48612078】[解析]由减函数的定义知a＜b.[答案]a＜b[合作探究·攻重难](1)y ＝x 2－4；(2)y ＝－2x ；(3)f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2，x ≥0，x ＋4，x <0.[思路探究] 在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．[解] 三个函数图象如图(1)(2)(3)．(1) (2) (3)(1)y ＝x 2－4的单调递减区间为(－∞，0)，递增区间为(0，＋∞)． (2)y ＝－2x 的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间． (3)f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)．1．函数f (x )＝－x 2＋|x |(x ∈R )的单调递增区间为________.【导学号：48612079】[解析] (1)f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，－x 2－x ，x ≤0，图象如图所示：∴f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12用定义证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． [思路探究] 解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．[解] 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵－1＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．2．证明函数f(x)＝x2＋1x在(1，＋∞)上单调递增．[证明]任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋1x1－x22＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋1x1－⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x2＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)⎝⎛⎭⎪⎫x1x2－1x1x2.∵x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0.又x1<x2，∴x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．[1．如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？[提示]先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，当x1<x2时，则f(x1)<f(x2)，如果f(x)在D上是减函数，结论则相反．2．如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？[提示]能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x的取值范围为________．[思路探究] 根据单调性可以去掉f ，还应考虑定义域． [解] ∵f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )， ∴x －2<1－x ，∴x <32.又f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2≤2，－2≤1－x ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，－1≤x ≤3，∴0≤x ≤3，综上，0≤x <32. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，323．已知f (x )在R 上为减函数且f (2m )≥f (9－m )，则m 的取值范围是________.【导学号：48612080】[解析] 由题意可得2m ≤9－m ， ∴m ≤3.[答案] m ≤3[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )的图象如图2-2-2所示，则f (x )的单调减区间为________.【导学号：48612081】图2-2-2[解析] 由题图知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上图象呈下降趋势，∴单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是________． (1)f (x )＝－1x ＋1；(2)f (x )＝x 2－3x ； (3)f (x )＝3－x ；(4)f (x )＝－|x |. [解析] 函数f (x )＝－1x ＋1的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f (x )＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增；函数f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上是减函数；函数f (x )＝－|x |在(0，＋∞)上是减函数，故(2)(3)(4)错误．[答案] (1)3．若函数f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围为________.【导学号：48612082】[解析] ∵f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数， ∴k －2＜0，∴k ＜2. [答案] k ＜24．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥1，－2x ，－1<x <1，x ＋2，x ≤－1，则f (x )的单调增区间为________．[解析] f (x )为分段函数，当x ≥1时，f (x )单调递增，当x ∈(－1,1)时，f (x )单调递减，当x ≤－1时，f (x )单调递增．[答案] [1，＋∞)，(－∞，－1]5．已知函数f (x )＝x ＋12x ＋2，x ∈[1，＋∞)． (1)判断函数f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性； (2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008). 【导学号：48612083】[解] (1)设1≤x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2 ＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－12x 1x 2.由1≤x 1＜x 2得 x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴2x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)∵f (x )在[1，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －12≥1，2x －12＜x ＋1 008，解得34≤x ＜2 0172，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2 0172.。

课题：§1.3.1函数的单调性一、教材分析：本节课是人教版数学必修1第一章《集合与函数概念》§1．3．1函数的基本性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题。

函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。

因此函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础。

此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。

二、学情分析：教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。

同时学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。

三、教学目标：知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质。

四、教法与学法1、教法分析（1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

（2）在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决。

2．1.3 函数的简单性质第1课时函数的单调性课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．1．单调性设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有__________，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调______，I称为y＝f(x)的单调________．如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调________，I称为y＝f(x)的单调________．2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________．3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．4．函数y＝1x的单调递减区间为__________．一、填空题1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示．给出如下命题：①f(0)＝1；②f(－1)＝1；③若x>0，则f(x)<0；④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是________．(填序号)2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1<x2，则f(x1)________f(x2)．(填“>”、“<”或“＝”)3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上________．(填序号)①至少有一个根；②至多有一个根；③无实根；④必有唯一的实根．4．函数y＝x2－6x＋10的单调增区间是________．5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是______________________________________．①f x1f x2x1－x2>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；③f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)；④x1－x2f x1f x2>0.6．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为________．7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是________．8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.二、解答题9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．能力提升12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.2．1.3 函数的简单性质第1课时函数的单调性知识梳理1．f(x1)<f(x2) 增函数增区间减函数减区间2.[0，＋∞)3．增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)作业设计1．①④2．<解析由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，所以f(x2)>f(x1)．3．④解析∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，∴当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，故f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．4．[3，＋∞)解析如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在[3，＋∞)上是递增的．5．①②④解析由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，①、②、④正确；对于③，若x1<x2时，可有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故③不成立．6．(－∞，－3]解析该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．7．m>0解析由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m －1<2m－1，∴m>0.8．－3解析f(x)＝2(x－m4)2＋3－m28，由题意m4＝2，∴m＝8.∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 9．解y＝－x2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 x ≥0－x 2－2x ＋3 x<0＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＋4 x ≥0x ＋12＋4 x<0.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数y ＝－x 2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．10．证明 设a<x 1<x 2<b ， ∵g(x)在(a ，b)上是增函数， ∴g(x 1)<g(x 2)，且a<g(x1)<g(x2)<b，又∵f(x)在(a，b)上是增函数，∴f(g(x1))<f(g(x2))，∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．11．解函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x22－1－x21－1＝x22－x21x22－1＋x21－1＝x2－x1x2＋x1x22－1＋x21－1.∵1≤x1<x2，∴x2＋x1>0，x2－x1>0，x22－1＋x21－1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．12．解(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)函数f(x)在R上单调递减．任取x1，x2∈R，且设x1<x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，由于x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1.在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1. 当x>0时，0<f(x)<1，所以f(－x)＝1f x>1>0，又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0. 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，即f(x2)<f(x1)．所以函数f(x)在R上单调递减．13．解 (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.(2)由f(m －2)≤3，得f(m －2)≤f(2)．∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4.∴不等式的解集为{m|m ≥4}．。

2.2.1 函数的单调性(二)【学习目标】1•理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义2会借助单调性求最值.3•掌握求二次函数在闭区间上的最值.ET向题导学 -------------------------知识点一函数的最大(小)值思考在如图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？i为什么不是最小值？梳理设y= f(x)的定义域为A.如果存在x o€ A，使得对于任意的x€ A,都有f(x) w f(X o)，那么称f(x o)为y= f(x)的最大值，记为y max= f (x o).如果存在x o€ A，使得对于任意的x€ A,都有f(x)>f(x°)，那么称f(x o)为y= f(x)的最小值，记为y min = f(x o).知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数y = x2, x€ [ —1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.梳理函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点.知识点三函数的单调性与最值若函数y = f(x)在区间［a, b］上是单调增函数，则函数的最小值为y min = f(a)，最大值为y max=f(b);若函数y= f(x)在区间［a, b］上是单调减函数，则函数的最小值为y min =f(b),最大值为y max= f(a).即单调函数在闭区间上必有最大值、最小值.题型探究类型一借助单调性求最值x例1已知函数f(x) = x?+ 1 (x>0)，求函数的最大值和最小值.反思与感悟(1)若函数y= f(x)在区间［a, b］上为单调增函数，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2) 若函数y = f(x)在区间［a , b］上为单调减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).(3) 若函数y = f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)•函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.⑷如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.跟踪训练1 已知函数f(x)=|x+ 1|+ |x- 1|.(1) 画出f(x)的图象；(2) 根据图象写出f(x)的最小值.类型二求二次函数的最值例2 (1)已知函数f(x) = x2-2x- 3，若x€ [0,2]，求函数f(x)的最值；⑵已知函数f(x) = x2- 2x- 3，若x€ [t, t + 2],求函数f(x )的最值；⑶已知函数f(x) = x-2 .x-3,求函数f(x)的最值；(4) “菊花”烟花是最壮观的烟花之一•制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂•如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=— 4.9t2+ 14.7t+ 18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)?反思与感悟(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.跟踪训练2 ⑴已知函数f(x) = x4—2x2-3,求函数f(x)的最值；⑵求二次函数f(x)= x2—2ax+ 2在［2,4］上的最小值；⑶如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷c 5 5 出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h = —x2+ 2x+ 5, x€ ［0,刁,求水流喷出的高度h的最大值是多少?类型三函数最值的应用例3已知X —x+ a>0对任意x€ (0,+^ )恒成立，求实数a的取值范围. 引申探究1若将本例中“ x€ (0 ,+s)”改为“ x€ (- ,+^)”，再求a的取值范围.反思与感悟恒成立的不等式问题，任意x€ D, f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题: 来解决.任意x€ D , f(x)<a恒成立？ f(x)max<a.当最值不存在时，可求值域，但要注意值的变化. 跟踪训练3已知ax2+ x w 1对任意x€ (0,1］恒成立，求实数a的取值范围.f(x)min >a a的取ET当堂训练 -------------------------11 .函数y= —x+1在区间【2，2］上的最大值是_________ •12.函数f(x) =-在［1 , +m)上的最大值为____________ .x3 .函数f(x)= x2, x€ ［—2,1］的最大值，最小值分别为______ .2x+ 6, x€ ［1 , 2］,4 .已知函数f(x)「则f(x)的最大值，最小值分别为__________ .x+ 7, x€ ［—1 , 1 )15 .若不等式—x+ a + 1> 0对一切x€ (0,刁恒成立，则a的最小值为____________ .规律与方法------------------------------- 11.函数的最值与值域、单调性之间的联系1(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y=二如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.⑵若函数f(x)在闭区间［a, b］上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).2 .二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y= f(x)的草图，然后根据图象的增减知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.答案精析问题导学知识点一思考最大的函数值为4,最小的函数值为 2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.知识点二思考x= ±1时，y有最大值1,对应的点是图象中的最高点，x = 0时，y有最小值0,对应的点为图象中的最低点.题型探究例1解设X i, X2是区间(0,+ g )上的任意两个实数，且X l<X2,贝y f(x i) - f(X2)= - 一 2 2X2+ 1 x2+ 1X i x2 + 1 一X2 X1 + 1盟+ 1/2+ 1 )X2 - X1 X2X1 - 1(x1 + 1 (x2+ 1 )当X1<X2^ 1时，x2—X1>0 , X1X2—1<0 ,f(X1 ) - f(X2)<0 , f(X1)<f(X2),••• f(x)在(0,1］上为单调增函数；当 1 < X1<X2 时，X2- X1>0 , X1X2- 1>0 ,f(X1 ) - f(X2)>0, f(X1)>f(X2),• f(x)在［1 , + g)上为单调减函数.1•- f(x)max= f(1) = 2，无最小值.跟踪训练1解(1)f(x)的图象如图.⑵由图知，f(x)在(一g, —1］上为单调减函数，在［—1,1］上为常函数，在［1，+g )上为单调增函数，…f(X )min = 2.例2 解 ⑴•••函数f(x)= x 2- 2x — 3开口向上，对称轴 x = 1,••• f(x)在［0,1］上为单调减函数，在［1,2］上为单调增函数，且 f(0) = f(2). …f(x) max = f (0) = f(2) =—3,f(x) min = f(1) = —4. (2) •••对称轴 x = 1,① 当1> t + 2即t w - 1时，2f(x)max = f(t) = t — 2t — 3,2f(x) min = f(t + 2) = t + 2t — 3.t + t + 2② 当一2— w 1<t + 2,即一1<t w 0 时， f(x)max = f(t) = t 2— 2t — 3, f(x) min = f(1) =—4・t + t + 2 ③当t w 1<2 ，即0<t w 1时,2f(x) max = f(t + 2) = t + 2t — 3, f(x) min = f(1) = — 4. ④当1<t ，即t>1时，2f(x) max = f(t + 2) = t + 2t — 3,2f(x) min = f(t)= t — 2t — 3. 设函数最大值为g(t),最小值为 以t)，则有—2t — 3 t w 0 ,+ 2t — 3 t>0 ,_ 2t 2+ 2t — 3 t w — 1 ,<^(t) = — 4 — 1<t w 1 ,I 2t 2— 2t — 3 t>1 .(3) 设 x = t(t > 0)，贝U x — 2 x — 3 = t 2— 2t — 3.t 2 g(t) = ° t 2由⑴知y= t2—2t—3(t >0)在［0,1］上为单调减函数，在［1,+^)上为单调增函数.• ••当t= 1 即X= 1 时，f(X)min =—4，无最大值.⑷作出函数h(t) = — 4.9t2+ 14.7t+ 18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h(t) = —4.9t2+ 14.7t + 18,我们有：当t=—= 1.5时,2X( —4.9 )4 X (— 4.9 X 18—14.72函数有最大值h= - 29.4X (— 4.9)于是，烟花冲出后 1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.跟踪训练 2 解(1)设x2= t(t > 0)，贝U x4—2x2— 3 = t2—2t —3.y= t2—2t—3(t > 0)在［0,1］上为单调减函数，在［1 , + )上为单调增函数..•.当t= 1 即x= ±1 时，f(x)min = —4,无最大值.(2) •/函数图象的对称轴是x= a,•••当a<2时，f(x)在［2,4］上是单调增函数，•• f(x) min = f(2)= 6 —4a.当a>4时，f(x)在［2,4］上是单调减函数，•f(x) min = f(4) = 18—8 a.当2< a W 4 时，f(x)min = f(a) = 2—a2.6 —4a, a<2,…f(x) min =i 2 —a , 2 W a W 4,18 —8a, a>4.2 5 5⑶由函数h= —x2+ 2x+ 4, x€ [0 , ^]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点. 此时函数取得最大值.2 5 5对于函数 h =— x + 2x + 4, x € ［0 ,㊁］, 当x = 1时，函数有最大值2 5 9h max = — 1 + 2 X 1 + ：=匚. 4 4、 9于是水流喷出的最高高度是 9 m.4 例3解方法一令y = x 2— x + a ,4a — 1i + m )恒成立，只需y min =h>°，解得a >;.1•••实数a 的取值范围是(-,+ g ).方法二 x 2— x + a>0 可化为 a> — x 2 + x. 要使a> — x 2 + x 对任意x € (0, + g )恒成立, 丿 I2 只需 a>( — x + x)1•实数a 的取值范围是(-,+ g ).引申探究1解f(x)=— x 2 + x 在(2，+ g )上为单调减函数,1• f(x)的值域为(一g, 4),2 1要使a> — x + x 对任意x € q+ g )恒成立，1只需a > 1，1• a 的取值范围是［4, + g ).跟踪训练3解■/ x>0,要使x 2 — x + a>0对任意x € (0, 又(一x + x) max = 4 , 1 • a >4.max ,2 1 1•ax + x< 1 可化为a<.x x要使a<吉―x对任意x€ (0,1］恒成立，只需a<（X2—x）min.设t = X, •/ x€ （0,1] ,••• t> 1. 入2 11当t = 1 时，（t2—t）min= 0，即X= 1 时，$ —X）min = 0 , …a w 0.• a的取值范围是（一g, 0].当堂训练1 11.22.13.4,04.10,65. —§。

第七课时 函数的单调性（2）【学习导航】学习要求1．熟练掌握证明函数单调性的方法；2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．【精典范例】一．较复杂函数的单调性证明：例1：判断函数21()f x x x =-((0,))x ∈+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．说明：本题中的函数()f x 可视作函数2y x =和1y x =-的和，这两个函数在(0,)+∞内都是增函数，()f x 也是增函数．由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。

二．证明函数的单调性： 例2：求证：函数()f x x =在R 上是单调减函数． 例３：(1)若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数，则实数m 的值为 ； （2）若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ； （3）若函数2()45f x x mx m =-+-的单调递增区间为[2,)-+∞，则实数m 的值为 ．追踪训练一1. 函数()f x 是定义域上单调递减函数，且过点(3,2)-和(1,2)-，则|()|2f x <的自变量x 的取值范围是（ ）()A (3,)-+∞ ()B (3,1)-()C (,1]-∞ ()D (,)-∞+∞2. 已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与3()4f 的大小关系是 ．3. 函数y=|x+1|的单调递减区间为-___________ 单调递减区间 _____________________ 【选修延伸】已知函数单调性，求参数范围：例4: 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意的正数d ，都有()()f x d f x +<，求满足(1)(21)f a f a -<-的a 的取值范围．点评: 注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。