2021年高考高三理科数学“大题精练”检测题及解析16

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十六）数学（理工类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}254A x x x =-<-，集合{}0B x x =≤，则()A B =R( )A. ()1,0-B. ()1,4-C. ()1,4D. ()0,4【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合A ，求出B R，再根据交集运算可得结果.【详解】2{|540}{|14}A x x x x x =-+<=<<，{|0}B x =≤，B R{|0}x x =>，()AB =R{|14}{|0}x x x x <<⋂>(1,4)=.故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了补集和交集运算，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，则复数()22i -的共轭复数为( ) A. 54i - B. 54i + C. 34i - D. 34i +【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式化简复数后，再根据共轭复数的概念可得结果. 【详解】()22i -24434i i i =-+=-, 所以复数()22i -的共轭复数为34i +， 故选：D【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足10342S S -=，则7a 的值是( ) A. 3 B. 6C. 7D. 9【答案】B 【解析】 【分析】根据前n 项和的定义可得4567891042a a a a a a a ++++++=，再根据等差数列的性质可得结果. 【详解】因为10342S S -=，所以4567891042a a a a a a a ++++++=， 又{}n a 为等差数列，根据等差数列的性质可得7742a =， 所以76a =; 故选：B【点睛】本题考查了数列的前n 项和的概念，考查了等差数列的性质，属于基础题.4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A 不正确；2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B 不正确； 2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D 正确. 故选：D【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. 22y x =±B. 2y x =C. 2y x =±D. 24y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据3c e a ===可得b a =.【详解】因为3c e a ===，所以b a =由双曲线的几何性质可得渐近线方程为：y =±， 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线，属于基础题. 6.已知向量a ，b 的夹角为23π，()1,2a =，()20a a b ⋅+=，则b 等于( )A.B. C.3D.3【答案】A 【解析】 【分析】将()20a a b ⋅+=化为220a a b +⋅=，根据模长公式和平面向量的数量积的定义可得结果.【详解】因为()1,2a =，所以||14a =+=因为()20a a b ⋅+=，所以220a a b +⋅=，所以25||cos 03b π+=，解得||b =， 故选：A【点睛】本题考查了平面向量的模长公式，考查了平面向量的数量积的定义，属于基础题.7.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.学校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课”，聘请“织补匠人”李阿姨给同学们传授织补技艺。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++ D ．1111+2!3!11!+++7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为( )．8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，那么( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩假设z ＝2x＋y 的最小值为1，那么a ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．(2021课标全国Ⅱ，理10)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝011．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第二卷本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2021年高考高三理科数学“大题精练”检测题及解析217．已知()tan sin 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为锐角，且()f B = （1）求角B 的大小；（2）若3b =，2a c =，求ABC ∆的面积.18．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，SAB ∆是等边三角形，侧面SAB ⊥底面ABCD ，AB =3BC =，1AD =，点M 、点N 分别在棱SB 、棱CB 上，2BM MS =，2BN NC =，点P 是线段MN 上的任意一点.（1）求证：//AP 平面SCD ； （2）求二面角S CD B --的大小.19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.21．已知函数()42ln af x a x x x-=-++. （1）当4a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()26xg x e mx =+-，当22a e =+时，对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2122f x e g x +≥，求实数m 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 50ρρθ--=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，定点()3,0F ，求FA FB +的值.23．[选修4-5：不等式选讲] 已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2021年高考高三理科数学“大题精练”检测题及解析217．已知()tan sin 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为锐角，且()f B = （1）求角B 的大小；（2）若3b =，2a c =，求ABC ∆的面积. 【详解】（1）函数()4tan sin 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭4tan cos cos 3x x x π⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭4sin cos 3x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+=1cos 2sin 22xx -+-sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()f B =sin 232B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， B 为锐角，22,333B πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 233B ππ∴-=3B π∴=；（2）由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-，3b =，2a c =，3B π=，()222924cos3c c c π∴=+-，23c ∴=，1sin 2ABC S ac B ∆∴=2sin c B ==.18．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，SAB ∆是等边三角形，侧面SAB ⊥底面ABCD ，AB =3BC =，1AD =，点M 、点N 分别在棱SB 、棱CB 上，2BM MS =，2BN NC =，点P 是线段MN 上的任意一点.（1）求证：//AP 平面SCD ； （2）求二面角S CD B --的大小. 【详解】（1）连接,AM AN ，由2BM MS =，2BN NC =得//MN SC//MN ∴平面SCD且113NC BC AD ===，又//AD BC ， 则四边形ADCN 为平行四边形， 故//AN DC ，//AN ∴平面SCD 又MNAN N =∴面//AMN 面SCD ，又AP ⊆面AMN//AP ∴平面SCD .（2）如图，以AB 中点O 为原点，AB 的中垂线为z 轴，直线BA 为x 轴，过O 于BC 平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系 则面BCD 的其中一个法向量()10,0,1n =， 设面SCD 的一个法向量()2,,n x y z =又()0,0,3S ，)D，()C()3,1,3SD ∴=-，()2,0CD =-2200SD n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩3020y z y +-=⇒-=⎪⎩，令1y =得，32(,1,)3n = 则121212cos ,n n n n n n ⋅<>=2134213==⋅故二面角S CD B --的大小为3π.19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【详解】（1）由题意可知，绝对贫困户有()0.250.500.75++0.210030⨯⨯=（户），可得出如列联表：()22100182825230702080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.762 3.841≈>． 故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关． （2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户），“亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户），依题意X 的可能值为0，1，2，()210215307C P X C ===，()1110521510121C C P X C ===， ()252152221C P X C ===， 则X 的分布列为故31022012721213EX =⨯+⨯+⨯=． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3， 1(2)32b a ∴+=，又由2e =得2a b =， 解得：=1b ，或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=∴椭圆方程为2214x y +=； （2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y 则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M x x y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++ 把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++= 由韦达定理得1221214x x k =+,1221614k x x k+=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k+==-+++22212412489363k k k =-++，是定值．21．已知函数()42ln a f x a x x x-=-++. （1）当4a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()26x g x e mx =+-，当22a e =+时，对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2122f x e g x +≥，求实数m 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，224()1a a f x x x -'=-++2(2)[(2)]x x a x---=， 由()0f x '=，得2x =或2=-x a .当4a >即22a ->时，由()0f x '<得22x a <<-，由()0f x '>得02x <<或2x a >-；当4a =即22a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当4a >时，单调减区间是(2,2)a -，单调增区间是(0,2)，(2,)a -+∞； 当4a =时，单调增区间是()0,∞+，没有单调减区间.（2）当22a e =+时，由（1）知()f x 在()22,e 上单调递减，在()2,e +∞上单调递增， 从而()f x 在[)2,+∞上的最小值为22()6f e e =--.对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2212g x f x e ≤+， 即存在[)21x ∈+∞,，使()g x 的值不超过()22e f x +在区间[)2,+∞上的最小值26e -. 由2266x e e mx ≥+--，22e e xm x -∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()22222()x x e x e xh x e x ---'=()232x x e xe e x +-=-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22x x e xe e +-20x x xe e >-≥，()0h x '<. 故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-，从而2m e e ≤-.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 50ρρθ--=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，定点()3,0F ，求FA FB +的值.【详解】（1）将222=,x y y sin ρρθ⎧+⎨=⎩代入24sin 50ρρθ--=，得：22450y x y --=+， 即圆C 的直角坐标方程为22(2)9x y +-=； （2）设点A B ，对应的参数为12t t ，，把直线l的参数方程322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)9x y +-=，得：22(3)9222)+--=化简得240t -+=，12t t ∴+=12FA FB t t ∴+=+12t t =+=23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤；（2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩ 01011112121222x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）解法1： 1,x y +=且0,0x y >>，()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225x y y x =++59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. 解法2： 1,x y +=且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y xx y ++=⋅ 1x y xy xy+++=21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当且仅当12x y ==时，等号成立.。

2021年高考数学分项汇编专题16 选修部分（含解析）理一．基础题组1. 【xx上海,理7】已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是 .【答案】【考点】极坐标.2. 【xx上海,理3】若＝，则x＋y＝______.【答案】03. 【xx上海,理7】在极坐标系中，曲线ρ＝cosθ＋1与ρcosθ＝1的公共点到极点的距离为______．【答案】4. 【xx上海,理3】函数的值域是__________．【答案】[，]5. 【xx上海,理10】如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝__________.【答案】6. 【2011上海,理5】在极坐标系中，直线ρ(2cosθ＋sinθ)＝2与直线ρcosθ＝1的夹角大小为______．(结果用反三角函数值表示)【答案】7. 【2011上海,理10】行列式 (a，b，c，d∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是______．【答案】68. 【xx上海,理4】行列式的值为_______________；【答案】0【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.9. 【xx上海,理10】在行列矩阵12321234113451212321n n nn nnn n n n⋅⋅⋅--⎛⎫⎪⋅⋅⋅-⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第行第列的数为.当时， ________；【答案】45【点评】矩阵是上海高考常考的知识点，也是一大亮点.本题考查矩阵元素的构成规律和等差数列的前项和公式.10. 【xx上海,理16】直线的参数方程是，则的方向向量可以是 [答]（）（A）（）. （B）（）. （C）（）（D）（）【答案】C【点评】本题主要考查直线的参数方程、方向向量、数与向量的积的几何意义以及向量的坐标运算，是一道数形结合的优秀试题.11. (xx上海,理3)若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是____________.【答案】12. (xx上海,理10)在极坐标系中,由三条直线θ=0,,ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是_______________.【答案】13. 【xx上海,理6】将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是__________.【答案】14. 【2011上海,理10】行列式 (a，b，c，d∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是______．【答案】6I21697 54C1 品'26886 6906 椆a3K25100 620C 戌ze21974 55D6 嗖 }29565 737D 獽34476 86AC 蚬。

2021年高三普通高考教学质量检测（二）数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：xx.4.181．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}{}24,Z,13M x x x N x x=-≤≤∈=-<<，则A．B．C．D．2．已知复数的实部为，且，则复数的虚部是A．B．C．D．3．已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于A．1 B．3 C．5 D．64.为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是A．30 B．60 C．70 D．80 5．函数，,则A．为偶函数，且在上单调递减；B．为偶函数，且在上单调递增；C．为奇函数，且在上单调递增；90110周长(cm) 100120第4题图D ．为奇函数，且在上单调递减. 6．下列命题中假．命题．．是 A ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；C ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．7．直线与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有A ． 个B . 个C .个D .无数个8．将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法： ①的值域为； ②是周期函数； ③； ④.其中正确的说法个数为:A.0B.C.D.二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．命题“R ，0”的否定是 . 10. 已知向量满足, , 向量与的夹角为 .11．若二项式展开式中的系数等于的系数的倍，则等于 . 12．已知圆经过点和,且圆心在直线上,则圆的方程为 . 13．将集合{|且}中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第行第列 的数记为（）,则= .(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)O xPA 第8题图35691012第13题图14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线与 的交点分别为，则线段的垂直平分线的 极坐标方程为 ．15．（几何证明选讲）如图，圆的直径，直线与圆O相切于点， 于，若，设， 则______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限， 已知.（1）若,求的值； （2）若点横坐标为,求.17．（本题满分12分）市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路、、上下班时间往返出现拥堵的概率都是,道路、上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到.（1）求李生小孩按时到校的概率； （2）李生是否有七成把握能够按时上班？ （3）设表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数，求的均值.18．（本题满分14分）如图甲，设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上． （1）证明：平面；DC第15题图乙甲丙第17题图（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．19．（本题满分14分）在平面直角坐标系内，动圆过定点,且与定直线相切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上，且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程.20．（本题满分14分）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为：,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？（2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后．．．．．．水中碱浓度为,求的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加．．）21．（本题满分14分）设函数，记的导函数，的导函数，图甲图乙第18题图的导函数，…，的导函数，. （1）求； （2）用n 表示；（3）设，是否存在使最大？证明你的结论.xx 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测数 学（理科） 评分参考一、填空题 CDBCABBC二、填空题9．R ，0 10． 11． 12． 13． 14．（或） 15．三、解答题16．⑴解法1、由题可知：，， ……1分 ， ……2分，得 ……3分 ∴， ……4分 解法2、 由题可知：， ……1分 ， ……2分 ∵，∴ ……3分 ， 得 ……4分 解法3、 设，（列关于x 、y 的方程组2分，解方程组求得x 、y 的值1分，求正切1分） ⑵解法1、 由⑴， 记， ∴，（每式1分） ……6分 ∵ ，得（列式计算各1分） ……8分43sin sin()55AOB βα∠=-=+=（列式计算各1分） ……10分∴11sin 12210AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯（列式计算各1分） ……12分解法2、由题意得：的直线方程为 ……6分 则 即（列式计算各1分） ……8分 则点到直线的距离为（列式计算各1分） ……10分 又，∴（每式1分）…12分 解法3、即 （每式1分） …6分 即：， ， ……7分，，4313cos 10OA OB AOB OA OB-⨯+⨯⋅∠===……9分 （模长、角的余弦各1分）∴ ……10分则113sin 122102AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯=（列式计算各1分） ……12分 解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B 点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）17．⑴因为道路D 、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是（列式计算各1分） ……2分所以李生小孩能够按时到校的概率是； ……3分⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是， ……4分 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是， …5分 甲到乙遇到拥堵的概率是， ……6分甲到乙没有遇到拥堵的概率是，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分）……8分⑶依题意可以取. ……9分 =,=,=,…11分 分布列是：22185170+1+2=30030030030060E ξ=⨯⨯⨯=. ……12分18．⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有， ……1分因为平面，平面，所以平面（条件2分）……4分 ⑵解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， ……5分 所以平面，则， ……6分 所以平面与平面所成二面角的平面角， ……8分 图甲中有，又，则三点共线， ……9分 设的中点为，则，易证，所以，，；……11分（三角形全等1分） 又由，得， ……12分 于是，， ……13分图甲图乙在中，，即所求二面角的余弦值为．……14分解法2、 如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， ……5分所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线， ……6分设的中点为，则，易证，所以，则； 又由，得，……7分于是，，在中，1A G ===……8分作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则（坐标系、坐标、向量各1分） ……11分显然，是平面的一个法向量， ……12分设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则， ……13分设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，1212cos 3||||23(1)GA n GA n θ===+-，所以，平面与平面所成二面角的余弦值为． ……14分19．⑴由题可知，圆心到定点的距离与到定直线的距离相等 ……2分由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线 ……4分 （确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）所以动圆圆心的轨迹的方程为.……5分 ⑵解法1、设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得（中点1分，方程组2分，化简1分） ……8分将其代入抛物线方程，得：，所以. ……9分 联立 ，消去，得： ……11分 由，得， ……12分注意到，即，所以，即， ……13分因此，椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为. ……14分 解法2、设 ，因为两点关于直线对称，则， ……6分 即，解之得 ……7分图丙即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为（斜率1分，方程1分）……9分联立，消去，得：……11分由，得，……12分注意到，即，所以，即，……13分因此，椭圆长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为. ……14分20．⑴由题意知或……2分解得或，即……3分能够维持有效的抑制作用的时间：小时. ……4分⑵由⑴知，时第二次投入1单位固体碱，显然的定义域为……5分当时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故=+=; ……6分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故当时， =; ……7分当时， ; ……8分所以1164633186()67361571036xxxxg x xxxx⎧--≤≤⎪-⎪⎪=--<≤⎨-⎪⎪-<≤⎪⎩……9分当时， ==;当且仅当时取“=”,即（函数值与自变量值各1分）……11分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当时，，所以为增函数;当时，为减函数;故 =，……12分又10117(=03266---=>,所以当时，水中碱浓度的最大值为. ……13分答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放小时后, 水中碱浓度的达到最大值为. ……14分21．⑴易得,, ……1分……2分,所以……3分⑵不失一般性，设函数的导函数为，其中，常数，.对求导得：2111111()[(2)()]xn n n n n nf x a x a b x b c eλλλλ------'=⋅++⋅++⋅⋅……4分故由得：①，②，……5分③由①得：，……6分代入②得：，即，其中故得：. ……7分代入③得：，即，其中.故得：， ……8分 因此.将代入得：，其中. ……9分 （2）由（1）知，当时，21221211(0)2(21)()02k k k k S S f k k --+-==+⋅-<，，故当最大时，为奇数. ……10分 当时， ……11分 又，221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22k k k k f f k k k k -++∴+=++-++-，，因此数列是递减数列 ……12分 又，， ……13分故当或时，取最大值. ……14分21139 5293 劓]30962 78F2 磲 26497 6781 极32132 7D84 綄'34811 87FB 蟻31855 7C6F 籯23202 5AA2 媢26328 66D8 曘33556 8314 茔2 39361 99C1 駁。

2021年高三下学期学生学业质量检测数学理试题含解析【试卷综析】本卷为高三模拟训练卷，注重基础知识考查与基本技能训练，考查考纲要求的知识与能力，覆盖全面，难度适中，全面的考查了学生的综合能力，对常用方法，解题技巧，解题思路全面考查，对数量关系，空间形式，数形结合，特殊化等都有涉及，注重通性通法，侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等，能很好的考查学生的实际能力. 纵观全卷，整卷难度比高考略低，试题体现了“考查基础知识的同时，注重考查能力”的数学考试原则和全面检测数学素养的考试思想。

注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。

一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．已知集合 A={0,1, 2,3} ，集合，则=A．{ 3 } B．{0，1，2} C．{ 1，2} D．{0，1，2，3}【知识点】集合的表示方法；交集.【答案解析】B解析：解：【思路点拨】可以把B集合中描述法表示了元素用列举法表示出来，然后按交集的定义进行求解即可.2．设复数z1=1+i，z2=2+xi（），若，则x =A．－2 B．－1 C．1 D．2【知识点】复数代数形式的运算【答案解析】A 解析：解：因为,所以即.故选A.【思路点拨】把复数乘积展开，化简为a+bi （a 、b ∈R ）的形式，可以判断所在象限． 3．某校高考数学成绩近似地服从正态分布N （100,5 2） ，且p （110）=0．98 ，则的值为 A ．0．49 B ．0．52 C ．0．51 D ．0．48 【知识点】正态分布的概念与性质.【答案解析】D 解析：解：根据正态分布的对称性可知对称轴为，关于对称()()190100901100.482p p ξξ∴<<=<<= 【思路点拨】根据正态分布的对称性可以知道的值.4．通过随机询问100 名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由算得参照右上附表，得到的正确结论A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 【知识点】独立性检验的应用，【答案解析】A 解析 ：解：：∵K 2= 100(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762＞3.841，P （K 2＞3.841）=0.05∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．故选：A ． 【思路点拨】根据P （K 2＞3.841）=0.05，即可得出结论．【典型总结】本题考查独立性检验的应用，考查学生分析解决问题的能力. 5．右上图是一个几何体的三视图，由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是 A ．6 B ．2 C ．5 D ． 【知识点】三视图；三视图与原图的关系.【答案解析】解：由三视图知：几何体为三棱锥，如图：SBAC其中SA⊥平面ABC，AC⊥平面SAB，SA=2，AB=4，AC=3，∴BC=5，,∴最长棱为故选：C．【思路点拨】可根据三视图找到原图的线面关系，根据图中所给数据进行计算.6．执行如右图所示的程序框图，则输出的y =A．B．1 C．－1D．2【知识点】循环结构的程序框图【答案解析】D 解析：解：第1次循环，y=2,i=1第2次循环，y= y=2,i=1,i=2第3次循环，y=-1,i=3第4次循环，y=2,i=4...........框图的作用是求周期为3的数列，输出y的值，满足xx，退出循环，循环次数是xx次，即输出的结果为2，故答案为：2．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算循环变量y，i的值，并输出满足i xx的值．7．变量x y 、满足线性约束条件，则目标函数z =k x－y，仅在点（0 , 2）取得最小值，则k 的取值范围是A．k<－3B．k>1C．－3<k<1 D．—1<k<1【知识点】线性规划；不等式表示平面区域.【答案解析】C解析：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx-y得y=kx-z，要使目标函数y=kx-z仅在点A（0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx-z的下方，∴目标函数的斜率k满足-3＜k＜1，故选：C．【思路点拨】可由数形结合的方法找出目标函数取最小值的位置，进而求出k的值.8．设函数在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数，则称函数为的“P界函数”．若给定函数，则下列结论不成立的是A．B．C．D．【知识点】新定义函数；分段函数求值.【答案解析】B 解析：解：因为，所以，.故A正确.，故B不正确.，故C正确.故D正确.综上：选项B不正确.【思路点拨】结合“P界函数”的定义计算即可.二、填空题：本大题共7 小题，考生做答 6 小题，每小题 5 分，满分30 分．其中第14～15 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．9．已知数列是等差数列，且a2=3，a6=11，则的公差d 为．【知识点】等差数列的定义.【答案解析】2解析：解：由等差数列的定义可知【思路点拨】依据等差数列的公式可求出公差的值.10．曲线在点（0,1）处的切线方程为．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案解析】B 解析：解：∵，∴，∴曲线在点P（0，1）处的切线的斜率为：k=3e0=3，∴曲线在点P（0，1）处的切线的方程为：y=3x+1，故答案为：y=3x+1．【思路点拨】欲求在点P（0，1）处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【典型总结】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．11．在区间上的余弦曲线y= cos x 与坐标轴围成的面积为 ．【知识点】根据图形的对称性，可得曲线y=cosx ，,与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx ，与坐标轴围成的面积的3倍.【答案解析】3解析 ：解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx ，，与坐标轴围成的面各积的3倍，【思路点拨】本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性.12．已知菱形 ABCD 的边长为a ， ∠DAB=60°，，则 的值为 ．【知识点】平面向量数量积的运算． 【答案解析】 解析 ：解：如图所示 因为菱形 ABCD 的边长为a, ∠DAB=60°21,cos1202DA DC a DA DC DA DC a ∴==⋅==-,1()()()()3AD DE DA DC AD DC DA DC ++=++.【思路点拨】利用菱形的性质、向量的三角形法则及其平行四边形法则、数量积运算、向量共线定理即可得出．13．有一个半径为4的圆，现在将一枚半径为1的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，则硬币完全落入圆内的概率为 ． 【知识点】几何概型．【答案解析】 解析 ：解：记“硬币完全落入小圆内”为事件A ，事件A 对应的图形是硬币圆心与纸板的圆心距离小于3的圆内，其面积为9π而所有的基本事件对应的图形是硬币圆心与纸板的圆心距离小于5的圆内，其面积为25π ∴硬币完全落入小圆内的概率为P （A ）=． 故答案为：．【思路点拨】根据题意，算出硬币完全落入小圆内的事件对应的图形面积，以及所有基本事件对应图形的面积，结合几何概型计算公式即可算出所求的概率．【典型总结】本题给出硬币落入圆开纸板内的事件，求硬币完全落入小圆内的概率．着重考查了圆的面积公式和几何概型计算公式等知识. 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为（2,），半径为 2，直线 被圆C 截得的弦长为2 ，则的值等于 ． 【知识点】极坐标方程的意义.【答案解析】 解析 ：解：圆C 的普通方程为：，直线的方程为：.圆心C （0,2）到直线的距离为1得：，所以因为所以所以.【思路点拨】把极坐标方程化为直角坐标方程求解. 15．（几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点 B 在圆O上，BC=2∠BCD=60°，则圆O 的面积为________．【知识点】弦切角.【答案解析】 解析 ： 解：因为弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，所以∠A=60°，则∠BOC=120°， 因为BC=2,所以圆的半径为2,所以圆的面积为：4π【思路点拨】通过弦切角转化为，圆周角，然后求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积．三、解答题:本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

2021年高考数学分项汇编专题16 选考部分（含解析）理一．选择题1. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】设是正数，且，，，则 ( )A．B． C．D．【答案】C2.【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B考点：函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.二．填空题1.【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】圆的圆心坐标为，和圆C关于直线对称的圆C′的普通方程是 .【答案】15．（3，－2），（x＋2）2＋（y－3）2＝16（或x2＋y2＋4x－6y－3＝0）2.【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D在的弦AB上移动，，连接OD，过点D 作的垂线交于点C，则CD的最大值为 .【答案】23．【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷16】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 .4.【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷13】设，且满足：，，则。

【答案】【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）5.【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】如图，圆上一点在直线上的射影为，点在半径上的射影为。

若，则的值为。

【答案】8【解析】试题分析：由射影定理知()()2222812AD AB ADCE CD AD BDEO OD OA ADAB AD-====-⎛⎫-⎪⎝⎭.第15题图6.【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷16】在直角坐标系中，椭圆的参数方程为。

在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为与。

若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为。

1普通高等学校招生全国统一考试数学（全国 3 理）试题精析详解一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．已知α为第三象限角，则α所在的象限是（）2A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【思路点拨】本题考查任意角的表示方法及讨论整数的奇偶性.【正确解答】解法(1)因为α为第三象限角，所以α∈ (2k π-π, 2k π-π)(k ∈ Z ) ，2α ππα所以 ∈ (k π-, k π-)(k ∈ Z ) ，即 所在的象限是 224 2第二或第四象限.选 D解法 2：用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选 D解法 3：用特值法令 α= -1350和α= 2250,也可以得到答案 D 23π解法 4：α第三象限，即 2k π+π<α< 2k π+ 2k ∈ Z ,π α3π ∴ k π+< < k π+k ∈ Z ,可知 α在第二象限或第四象限,选(D)2 242【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象α限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如n围(3)再分成 n 类情况讨论可完成.(1)先写出α范围(2)再求出除以 n 的范2．已知过点 A(－2，m)和 B(m ，4)的直线与直线 2x +y －1=0 平行，则 m 的值为 （）A ．0B ．－8C ．2D ．10【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系.4 - m【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有 选 B.m + 2= -2 ，得 m = -8 .解法2：直线2x+y-1=0 的一个方向向量为 a =(1,-2), AB = (m + 2, 4 - m ) ,由AB ∥ a 即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)28 8 11 V V V解法 3：可用特值法逐个代入,与条件相匹配.也能得到答案 B.【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手. 3．在(x -1)(x + 1)8 的展开式中 x 5 的系数是（）A ．－14B ．14C ．－28D ．28【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用.【正确解答】(x -1)(x +1)8 = x (x +1)8 - (x +1)8 ， 5 的系数为C 4 - C 5= 14 .选 B.x8 8解法 2：(x+1)8 展开式中 x 4,x 5 的系数分别为C 4, C 5,∴(x-1)(x+1)8 展开式中 x 5 的系数为88C 4 - C 5= 14 ,选(B)【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别, 尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 x = 0 .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.4．设三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 的体积为 V ，P 、Q 分别是侧棱 AA 1、CC 1 上的点，且 PA=QC 1，则四棱锥 B —APQC 的体积为（ ）A ． 1 VB ． 1VC ． 1VD ． 1V6432【思路点拨】本题考查几何体的分解后求体积的方法（化整为零）及考查棱锥,棱柱体积公式的运用.【正确解答】解法 1：可以假设三棱柱为直三棱柱，则四棱锥 B-APQC 的高h 等于底面三角形 AC 边上的高.所以V 四棱锥B - APQC = 1 S 3APQC ⋅h = 1 ⋅ [1 AC ⋅ (PA + QC )]⋅h = 1 ⋅ [1 AC ⋅ AA 1]⋅h = 1⋅3 2 3 2 1 1 1 V[ AC ⋅ h ] ⋅ AA 1 = S ABC ⋅ AA 1 = V 三棱柱ABC - A B C =3 2 3 3 1 1 1 3解法 2：设三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 为正三棱柱，P 、Q 、R 分别为侧棱 AA 1、CC 1、BB 1 上的中点，则 V 三棱锥B-PQR = 3V 三棱柱ABC -PRQ = 6V ，进而有V四棱锥B-APQC =2-6=3.选C.34解法 3：如图，V A - ABC = V B - A B C = V B - AC Q = 1 V ABC - A B CV B -PCQA= V B -CQA 1 1 1 1 13+V B -PCA ,∵AF=QC 1,1 1 1111∴APQC 1,APQC 都是平行四边形,1∴V B -PCQA = V B -CQA +V B -PCA = 2(V B -CQA +V B -PCA )11111= 1 ⋅ 2V= 1V,选(C)2 3 ABC - A 1B 1C 1 3 ABC - A 1B 1C 1【解后反思】掌握特殊化方法和分解几何体的基本原则.在求这一类的问题中,如果题目中没有对几何体作任何规定时,可将几何体进行特殊化,变成有规律的几何体,不但不影响我 们求解,相反会给我们解题带来柳暗花明又一村的感觉.5． lim( x →11 - x2 - 3x + 2 2 ) = （ ）x 2 - 4x + 3A ． - 1B ．1C ． - 1D ． 12266【思路点拨】本题考查函数在某一点极限的基本求法. 先通分整理，再约分化简，最后代入求值. 【正确解答】lim( 1 - 2 ) = lim ( x -3) -2( x -2) = lim -1 = -1 x →1 x2 - 3x + 2 x 2 - 4x +3 x →1 (x -1)(x - 2)(x - 3) x →1 (x - 2)(x - 3) 2选 A.【解后反思】在求函数某一点极限的过程中,总是先化简,再代入的思路,不要先随便代入或不加思索的用极限计算的运算法则进行分离. 6．若a = ln 2 , b = ln 3 , c = ln 5 ，则（）235A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c【思路点拨】本题考查对数函数单调性和分数比较法则.ln 215 ln 310 ln 56 6 15 10 【正确解答】 a = ,b = ,c = ， 5 < 2 < 3 ，∴ c < a < b .30 30 30选 C解法 2：由题意得 a= ln 30 215,b= ln 30 310,c= ln 30 56,∵ 56= (52 )3< (25 )3= 215= (23 )5< (32 )5= 310,∴c<a<b,选(C)【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1 比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1 大,有的比1 小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法, 画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.7．设0 ≤x ≤ 2π,且= sin x - cos x,则（）A．0 ≤x ≤π B．π≤x ≤7π4 4C．π≤x ≤5π4 4D．π≤x ≤3π2 2【思路点拨】本题考查在确定范围内,利用三角函数公式.来求解三角函数方程.【正确解答】解法1：∵由= sin x - cos x 得|sinx-cosx|=sinx-cosx, 因此sin x ≥ cos x ，又0 ≤x < 2π,由正弦、余弦函数的图象可知∴π≤x ≤5π,选(C)4 4π7π 解法2：用特值法,先取x =验证成立,则答案为A、B、C,再分别取x = 0 和x =,4 4排除答案A、B,最后我们可以轻易得到正确答案C.【解后反思】在求有关函数问题过程中,优先考虑函数的取值范围或函数存在条件是解决问题的重要手段之一,同时我们也注意到函数有很强的规律性,再加上选择题的答案必在四个选项中,所以做此类题目可从局部入手,利用特值方法,也可得到正确答案,且简单易行,所以对于函数选择题,利用特值法求解是做此类题目的一个亮点.8．2 sin 2α⋅1 + cos 2αcos 2 αcos 2α= （）A．tanαB．tan 2αC．1 D．12【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及三角公式的熟练运用2 sin 2α cos2 α 2 s in 2αcos2 α【正确解答】解法(1) ⋅=⋅= tan 2α.选B1+ cos 2αcos 2α 2 cos 2αcos 2απ解法(2) 可以用特殊值验证（令α=）得之.选B.6【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看” 即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相562 332x = ,y =近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子, 看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称, 就可以使用.9．已知双曲线 x 2- y 2= 1的焦点为 F 1、F 2，点 M 在双曲线上且 MF 1 ⋅ MF 2 = 0,则点 M 到x 轴的距离为（）A ． 43B ． 53C ．2 3 D ． 3【思路点拨】本题主要考查向量垂直的等价条件，要求会根据双曲线方程求出其几何性质.【正确解答】设 M (x , y ) ， x > 0, y > 0 ， F 1 (- 3, 0), F 2 ( 3, 0) ，则 MF 1 = (x + 3, y ), MF 2 = (x - 3, y )由 MF 1 ⋅ MF 2 = 0,，则(x + 3)(x - 3) + y 2= 0 ，又因为点 M 在双曲线上，x -所以 y =.选 C y = 1，2解法 2：由 MF 1 ⋅ MF 2 = 0 ,得 MF 1⊥MF 2,不妨设 M(x,y)上在双曲线右支上，且在 x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵a=1,b= ,c=,e= ,得 2 5 22 ,由此 33可知 M 点到 x 轴的距离是3,选(C)【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直, 既要注意它们联系,也要注意它们的区别.圆锥曲线的性质也是高考重要知识点之一,不仅要 注意它们的第一定义,同时对于第二定义(圆锥曲线上的点到一定点的距离比此点到一定直 线的距离为一常数,此常数是圆锥曲线的离心率)也要作深入了解,第二定义对解决关于圆锥 曲线的最值等问题有很强的运用.32 3 3 2 32 2722 F 1F 2PF 1 + PF 2 1+ 23 4 10．设椭圆的两个焦点分别为 F 1、、F 2，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A ． 22B ． 2 -12C ． 2 -D ． -1【思路点拨】重点知识，重点考查,本题考查椭圆各相关参数的几何意义及其求法.【正确解答】设 F 1 (-c , 0) ， F 2 (c , 0) ，由题意易知， PF 2 = F 1F 2 = 2c , PF 1 = 2 2c ，2c1 ∴e = = = = 2a2 - 1，选 D.b 2 解法 2：由题意可得 a = 2c ,∵b 2=a 2-c 2e= c a,得 e 2+2e-1=0,∵e>1,解得 e=-1,选(D)【解后反思】本题有很强有隐蔽性,本题提到的重点是椭圆,那椭圆的性质也在可用范围之列. 这一点往往是同学所忽略.巧用圆锥曲线的几何性质来解决有关解析几何有关问题是一个好的方法, 本题目是一道综合题,综合运用所学的知识,能简化数学问题. 11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A ．3 个B ．4 个C ．6 个D ．7 个【思路点拨】本题考查分类思想的运用和立体几何的基本性质.【正确解答】由题意可知，四个点不可能都在平面α的同侧.只要考虑将四个平面分成两组， C 1+ C 2/ 2.共有 7 种可能.选 D解法 2：共有 7 个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选(D)【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础 方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.12．计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0～9 和字母 A ～F 共 16 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则 A ×B=（）2 十六进制 0 1 23456789 A B C D E F十进制 012345678910 11 12 13 14 158⎨A ．6EB ．72C ．5FD ．B0【思路点拨】本题考查计数法则和进位规则.【正确解答】 E + D = 14 +13 = 27 = 1⨯16 +11 = 1B ，∵A=10,B=11, A ⨯ B = 10 ⨯11 = 110 = 6 ⨯16 +14 = 6E . ∴在 16 进制中 A ×B=6E,选 A 【解后反思】这是一道新型题目,让学生体会各种进制之间的异形同质.不管哪一种进制都是十进制的一种拓展,类比一下十进制,我们可以轻易解决这一系列问题,当然我们如果对 计算机的进制有一个了解,解决这个问题会变得非常简单,高考每年都有一到二道新型题目, 解决胜这些问题,不仅仅需要数学,其他知识也是一个重要的补充,所以在平时请同学们要多 多进行知识积累.二、填空题（4 分⨯4=16 分）13．已知复数 z 0 = 3 + 2i ,复数z 满足z ⋅ z 0 = 3z + z 0 ,则复数z = .【思路点拨】本题考查复数相等的定义. 设 z = a + bi (a ,b ∈ R ) ，再用复数相等的定义列方程组求解即可.【正确解答】 z = a + bi ,则 z ⋅ z 0 = (3a - 2b ) + (3b + 2a )i ， 3z + z 0 = (3 + 3a ) + (2 + 3b )i ， 故⎧3a - 2b = 3 + 3a ，得 a = 1,b = - 3 ，所求复数 z = 1- 3i⎩3b + 2a = 2 + 3b2 2 解法 2：由 z 0 =3 + 2i , 和z ⋅ z 0 = 3z + z 0 , 得 (z 0 - 3)z = z 0 ，z =z 0=3 + 2i = (3 + 2i) ⋅ (-i) = - 3i + 2 = 1 - 3 iz 0 - 3 2i2i ⋅ (-i) 2 2 【解后反思】方程的思想在复数求值中的重要运用,自从我们学习了方程,方程就成为我们求值的重要手段,面对本题相似的问题时,应优先考虑到方程的思想,应大胆假设,细心求解,所有问题可以迎刃而解.14．已知向量OA = (k ,12), OB = (4, 5), OC = (-k ,10) ，且 A 、B 、C 三点共线，则 k= . 【思路点拨】本题主要考查三点共线的等价条件.k - 4 4 + k2【正确解答】解法(1)由三点共线的性质知：= ⇒ k=- . 12 - 5 5 -10 39⨯解法(2)利用向量本身的性质求解:由三点共线,得AB // AC ，AB = OB - OA , AC = OC - OA ,解之得 k = - 2.3解法（3） AB = (4 - k , -7), AC = (-2k , -2) ,由题意得(4-k)(-2)-2k ×7=0,解得 k= - 23【解后反思】由于以原点为起点的向量坐标等于其终点坐标，所以本题也可用定比分点中三 点共线的充要条件求解.向量的解法也可以轻易求解的,多种方法在同一题目的使用,既加深 我们对题目的了解,又使得我们对数学方法能更好地掌握,所以解决数学问题时,要尽量一题 多解,丰富自己的数学知识,加强数学解题能力,加深对学习数学的兴趣,达到解一题,取得是解 多题的效果.15．设 l 为平面上过点（0，1）的直线，l 的斜率等可能地取 - 22,-3,-5 ,0, 5 , 2 23,2 2,用ξ表示坐标原点到 l 的距离，则随机变量ξ的数学期望 E ξ=.【思路点拨】理解随机变量、数学期望等概念，会写离散型随机变量的分布列，并能在此基础之上求其数学特征.1【正确解答】由题意及点（0,0）到直线 y = kx + 1距离 d =有，随机变量ξ的分布k 2+1列为斜率 k-2 2 - 3- 5 25 232 2ξ13 1 2 2 3 12 3 1 2 1 3 P （ξ）1 71 7 17171 71 71 7故有 E ξ= (1+ + + + + + )=7 3 3 2 2 3 3 7. 解法 2：随机变量可能的取值为 x 1= 1 ,x 2= 1,x 3= 2,x 4=1,它们的概率分别为 p 1= 3 2 ,p 2= 7 2 2 ,p 3= 7 3 2,p 4= 1,7 7 ∴随机变量ζ的数学期望 E ζ=2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅1= 4 73 7 2 7 3 7 7【解后反思】准确确定随机变量的所有可能取值及其概率是正确解题的关键.细心也是解决10此类问题的决窍之一,平时应多进行数的复杂运算,少用计算器，以便在高考中争取时间，取得先机.16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC 、BC的距离乘积的最大值是【思路点拨】学会将平面几何问题转化为线性规划问题求解.【正确解答】以C 为原点， CB 为 x 轴， CA 为 y 轴建立直角坐标系， A (0, 4), B (3, 0) ，设P (x , y ) 且0 < x < 3, 0 < y < 4 ，则 AB 直线方程为 4x + 3y -12 = 0 .点 P 到 AC 、BC 的距离乘积 xy = x (- 4 x + 4) = - 4 (x - 3) 2+ 3 ≤ 333 2所以最大值为 3.解法 2：P 到 BC 的距离为 d 1,P 到 AC 的距离为 d 2,则三角形的面积得 3d 1+4d 2=12,∴3d 1 ⋅ 4d 2 ≤ (12)2 = 62 = 36 ,∴d 1d 2 的最大值为 3,这时 3d 1+4d 2=12, 3d 1=4d 2 得 d 1=2,d 2= 32 2【解后反思】近年来高考题不再只是直接考查线性规划问题，而是需要考生通过对问题的分 析整理，将原有问题转化为线性规划问题，并用数形结合的方法加以解决.数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法. 随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题已成为高考数学考试的热点.要加强在这一方面的练习,此类问题还有一些,例如使用材料的最优化,部分概率应用题、数理统计题等等. 三.解答题（共 74 分） 17．(本小题满分 12 分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.【思路点拨】本题考查独立事件概率的求法.【正确解答】（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A 、B 、C ， 则 A 、B 、C 相互独立， 由题意得：33VDBP（AB）=P（A）P（B）=0.05P（AC）=P（A）P（C）=0.1 P（BC）=P（B）P（C）=0.125解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5（Ⅱ）∵A、B、C 相互独立，∴ A、B、C 相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为P( A ⋅B ⋅C) =P( A)P(B)P(C) = 0.8⨯ 0.75⨯ 0.5 = 0.3∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为p = 1-P( A ⋅B ⋅C) = 1- 0.3 = 0.7【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已.18．(本小题满分12 分)如图，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；C （Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．A【思路点拨】熟练掌握线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定及其相互推导.并了解每个定理所需要的条件和适用的范围.【正确解答】（Ⅰ）作AD 的中点O，则VO⊥底面ABCD．建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1，1则 A（211，0，0），B（21，1，0），C（-2，1，0），D（-2，0，0），V（0，0，），2∴AB = (0,1, 0), AD = (1, 0, 0), AV = (- 1, 0, ) 2 2由AB ⋅AD = (0,1, 0) ⋅ (1, 0, 0) = 0 ⇒AB ⊥AD1133213⎬1 AB ⋅AV = (0,1, 0) ⋅(-, 0, ) = 0 ⇒AB ⊥AV ，2 2又AB∩AV=A，∴AB⊥平面 VAD.（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB = (0,1, 0) 是面 VAD 的法向量. 设n = (1, y, z) 是面 VDB 的法向量，则⎧ ⎧ 1 3 ⎧x =-1⎪n ⋅VB = 0⇒⎪(1, y, z) ⋅(- ,1, -) = 0⇒⎪ ⇒n= (1,- 1,3)⎨ ⎨⎪⎩n⋅BD=0⎪⎩2 2(1, y, z) ⋅(-1, -1, 0) = 0(0,1, 0) ⋅(1, -1,3)⎨⎪⎩z=-33∴c os <AB, n >= 3 =-21，1⨯21 7 3又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为arccos .7解法2：（Ⅰ）证明：平面VAD ⊥平面ABCDAB ⊥ADAB ⊂平面ABCD ⎫⎪⎪⇒AB ⊥平面VAD ⎪AD =平面VAD ⋂平面ABCD⎪⎭（Ⅱ）解：取VD 的中点E，连结AE，BE∵VAD 是正三角形∴AE⊥VD，AF= AD2∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE又由三垂线定理知BE⊥VD因此，∠AEB 是所求二面角的平面角于是，tan ∠AEB =AB =2 3AE 3即得所求二面角的大小为arctan32 312【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力,并要注意直线和平面之间各种1314位置关系的相互推导，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形, 解:利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何 问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形, 坐标才会容易求得. 19．（本小题满分 12 分）△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a ，b ，c 成等比数列，cos B = 3.4（Ⅰ）求 cotA+cotC 的值；3（Ⅱ）设 BA ⋅ BC = , 求a + c 的值.2【思路点拨】本题考查：1.三角式的化简、求值；2.向量法的应用.解决问题 1.应该注意先整理所求三角式，再利用公式、性质等进行化简，最后将已知条件（可能要在整理之后）代入化简后的三角式求值.解决问题 2.则应该注意使用数形结合的思想方法并注意随时与问题的具体情境相结合.【正确解答】（Ⅰ）由cos B = 3, 得sin B = 4= 7 ,4由 b 2=a c 及正弦定理得 sin 2 B = sin A sin C . 于是cot A + cot C = 1 + 1= cos A + cos C = sin C cos A + cos C sin A = sin( A + C )tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B=sin B sin 2 B = 1 = 4 7.sin B 7（Ⅱ）由 BA ⋅ BC = 3 得ca ⋅ cos B = 3 ,由cos B = 3,可得ca = 2,即b 2 = 2.22 4由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a c+cosB得 a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5.(a + c )2 = a 2 + c 2 + 2ac = 5 + 4 = 9,a + c = 3【解后反思】当问题中出现三角形边、角之间的比例关系时，应首先考虑采用正弦定理，因 为所有三角基本公式中只有它涉及边与角之间的比例关系.利用正弦定理求角时,注意有可能出现多解情况,要好好讨论,防止出现漏解或多解情况. 20．(本小题满分 12 分)1 - ( 3)2 4151 2 n21 41 k n1n在等差数列{a n }中，公差 d ≠ 0, a 2是a 1与a 4 的等比中项.已知数列 a 1 , a 3 , a k , a k , , a k , 成等比数列，求数列{k n }的通项 k n .【思路点拨】本题考查等差、等比数列的性质.要求考生熟练掌握等差等比数列的定义、通项公式及其由来. 【正确解答】由题意得： a 2 = a a即(a +d )2= a (a + 3d )111又 d ≠ 0, ∴ a1= d又 a 1,a 3, a k , ak 2, a k n 成等比数列,∴该数列的公比为 q =a3=3d= 3， a1d所以a = a ⋅3n +1又 a k n= a 1+ (k n-1)d = k na1∴k = 3n +1所以数列{k n}的通项为 k n= 3n +1【解后反思】理解公比 q 和公差 d 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用基本量法是解决数列的重要方法,在等差数列中,把所有值转化成首项和公差,在等比数列中,把所有值转化成首项和公比,一定可以求解,不过在某些题目中,用;这种方法会比较难,所以在某些步骤中采用数列的性质,能简化计算过程,达到快速求解的目的. 21．（本小题满分 14 分）设 A (x , y ), B (x , y ) 两点在抛物线 y = 2x 2上，l 是 AB 的垂直平分线.1122（Ⅰ）当且仅当 x 1 + x 2 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围.【思路点拨】根据题目所给条件绘制草图，寻找函数代数、几何性质的结合点是解决综合题 的主要途径之一.适当选取等价条件将原问题转化为熟知的问题是解决综合应用问题的关161 1 键.【正确解答】（Ⅰ） F ∈ l ⇔| FA |=| FB |⇔ A , B 两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是 x 轴的平行线， y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0,依题意y 1 , y 2 不同时为 0，∴上述条件等价于 y = y ⇔ x 2 = x 2 ⇔ (x + x )(x - x ) = 0;12121212∵ x 1 ≠ x 2 ，∴上述条件等价于 x 1 + x 2 = 0.即当且仅当 x 1 + x 2 = 0 时，l 经过抛物线的焦点 F.（II ）设 l 在 y 轴上的截距为 b ，依题意得 l 的方程为 y = 2x + b ；过点 A 、B 的直线方程可写为 y = - x + m ，所以 x , x 满足方程 2x 2+ 1x - m = 0, 得 x + x = - ；2 1 221 24A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式∆ = 1+ 8m > 0,4即 m > - 1.32设 AB 的中点 N 的坐标为(x 0 , y 0 ) ，则x = 1 (x + x = - 1 , y = - 1 x + m = 1+ m . 0 2 1 2 8 0 2 0 16由 N ∈ l , 得 1 16 + m = - 1 + b ,于是b = 54 16+ m > 5 - 1 16 32 = 9 .32 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为（ 9 ,+∞）.32【解后反思】这是一道常规的解析几何的问题,也是近年高考数学常考的重要内容之一,解析几何属于比较讲究步骤的这一类问题,我们可以遵循这样的步骤:先将直线或曲线设出,然后 将直线方程代入曲线方程中,整理一下,变成一道方程,再使用韦达定理,写出两根之和与之积, 最后再根据题目的要求求解,在求解的过程中,要注意韦达定理存在的条件,同时也要加强对 计算能力的训练.22．（本小题满分 12 分）4x 2 - 7 已知函数 f (x ) = 2 - x, x ∈[0,1].（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间和值域；171 0 （Ⅱ）设a ≥ 1，函数 g (x ) = x 3 - 3a2 x - 2a , x ∈ [0,1].若对于任意x ∈ [0,1],总存在x ∈ [0,1],使得 g (x 0 ) = f (x 1 ) 成立，求 a 的取值范围.【思路点拨】本题由分式函数的有关性质，考查运算能力和思维能力.涉及导数在解决分式函数、高次函数问题中的重要应用，熟练掌握导数的运算法则是解决这类问题的关键.而第 （Ⅱ）问中对 a 的讨论是解决这一问题的难点，也是作为压轴题的亮点.【正确解答】（I ）对函数 f (x ) 求导，得 f '(x ) =令 f '(x ) = 0解得 x = 1 或x = 7.- 4x 2 + 16x - 7 (2 - x )2= -(2x - 1)(2x - 7) (2 - x )2 2 2当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：所以，当 x ∈ (0, 1 )时， f (x ) 是减函数；当 x ∈ ( 1 2 2,1)时， f (x ) 是增函数.当 x ∈ [0,1] 时， f (x ) 的值域为[－4，－3].（II ）对函数 g (x ) 求导，得 g '(x ) = 3(x 2- a 2).因为 a ≥ 1，当 x ∈ (0,1) 时， g '(x ) < 3(1 - a 2) ≤ 0.因此当 x ∈ (0,1) 时， g (x ) 为减函数，从而当 x ∈ [0,1] 时有 g (x ) ∈ [g (1), g (0)].又 g (1) = 1 - 2a - 3a 2, g (0) = -2a , 即 x ∈ [0,1] 时有 g (x ) ∈[1 - 2a - 3a 2,-2a ].任给 x 1 ∈[0,1]， f (x 1 ) ∈[-4,-3]，存在 x 0 ∈ [0,1]使得 g (x 0 ) = f (x 1 )，⎧1 - 2a - 3a 2 ≤ -4, ①则[1 - 2a - 3a 2,-2] ⊃ [-4,-3].即 ⎨⎩- 2a ≥ -3.②解①式得a ≥ 1或a ≤ - 53 ；解②式得 a ≤ 3 . 2又a ≥ 1，故 a 的取值范围为1 ≤a ≤3 .2【解后反思】注意导数是新课改重要内容，是高考的又一热点，也是学生学习数学的难点，导数在高中数学中有如下几种应用：(1)求单调区间；(2)求函数的极值；(3)求切线；(4)求最值.必须认真学好.18。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<4}，，则M∩N=()A. B. {x|13⩽x<4} C. D. {x|0<x⩽5} 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6％B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10％C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知，则A. −1−32i B. C. D. −32−i4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(√1010≈1.259)()A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.65.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60∘,|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为( )A. √72B. √132C. √7D. √136.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A−EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是( )A. B. C. D.7.等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠程朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程则量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′,B′,C′满足∠A′C′B′=45∘,∠A′B′C′=60∘.由C点测得B点的仰角为15∘,BB′与CC′的差为100；由B 点测得A点的仰角为45∘，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′−CC′约为(√3≈1.732)( )A. 346B. 373C. 446D. 4739.若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα,则tanα=( )A. √1515B. √55C. √53D. √15310.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A. 13B. 25C. 23D. 4511.已知A，B，C是半径为1的球О的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O−ABC的体积为( )A. √212B. √312C. √24D. √3412.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(92)=( )A. −94B. −32C. 74D. 52二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为_______________．14.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(1,0)，若a⃗⊥c⃗，则k=______．15.已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为______．16.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0的最小正整数x为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{√S n}是等差数列；③a2=3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？20.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且已知点，且⊙M与L相切．(1)求C，⊙M的方程；(2)设是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．21.已知且a≠1，函数．(1)当时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．22. [选修4−4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2cosθ.(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0),M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．23. [选修4−5：不等式选讲]23、已知函数f(x)=|x −2|,g(x)=|2x +3|−|2x −1|. (1)画出y =f(x)和y =g(x)的图象； (2)若f(x +a)≥g(x)，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】简单的集合交并补运算，直接求解即可．【解析】由已知，结合交集的概念，可得M∩N={x|13⩽x<4}；故选．2.【答案】C【解析】【分析】考查统计模块中的频率分布直方图，学生掌握频率分布直方图的相关概念和知识点，此题不难求解．【解析】对于答案A，由频率分布直方图，可得0.02+0.04= 0.06= 6％，故A正确；对于答案B，由频率分布直方图，可得0.02×3+0.04=0.10=10％，故B正确；对于答案D，由频率分布直方图，可得0.10+0.14+0.20×2=0.64=64％，故D正确；故选C．3.【答案】B【解析】【分析】复数模块，两边同除以(1−i)2后，再根据共轭复数定义，直接化简计算，难度不大．【解析】由(1−i)2z=3+2i，得z=3+2i(1−i)2=3+2i−2i=−1+32i，．4.【答案】C【解析】【分析】题干新颖，但考查的并不难，考查了指数和对数之间的互化，属于基础题．【解析】将L=4.9代入L=5+lg V，可得lg V=−0.1=−110．故V=10−110=√1010≈11.529≈0.8．故选．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线离心率的求法，求解过程中用到了余弦定理，综合性较强，属于中等偏难一点题，在前6题中出现，是一个不小的挑战．【解析】因为|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ，所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3a , |PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ． 在ΔF 1PF 2中，． 可得(2c)2=(3a)2+a 2−2×3a ×a ×cos60∘,即e =c =√7. 故选A.6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三视图，但不是由三视图还原几何体，相对而言难度不是特别大，只要做出几何体直观图，便可直接画出侧视图．【解析】正视图与侧视图的高相等，能看见的用实线． 故选D ．7.【答案】B【解析】【分析】本题是一道综合题，考查了数列和简易逻辑，简易逻辑考查的是充分必要条件，数列考查的是等比数列的单调性，考查点都不难．【解析】a =−1，q =2时，{ S n }是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；若{ S n }是递增数列，则a n = S n − S n−1>0，可以推出q >0，故甲是乙的必要条件． 故选 B ．8.【答案】B【解析】【分析】本题属于解三角形的范畴，题干复杂，做题时需要能提炼出有用信息，结合图去求解即可，整体上不失为一道好题，近年来大量的高考题和生活和文化相结合，是高考的命题方向，这道题很好的切合了最近几年的命题方向．【解析】过点C 作BB′垂线，交BB′于点M ，过点B 作AA′垂线，交AA′于点N ，设B′C′=CM =m,A′B′=BN =n.在ΔA′B′C′中，msin75=nsin45，在ΔCBM 中，msin75∘=100sin15∘， 联立两式求得n =√3−1≈273．可得A 、C 两点到水平面的高度差AA′−CC′约为273+100=373．故选B.9.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数，做这道题需要用到弦切互化的技巧，以及同角三角函数关系的知识点，有一定的综合性，难度中等．【解析】由tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα.化简可得,sinα=14,tanα=√1515. 故选A.10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的排列组合和概率，排列组合考察的是插空法，插空法是排列组合问题的基础求解方法，作为高考题非常合适，考察了学生的基本功．【解析】由将4个1和2个0随机排成一行共有C 62种，先将4个1全排列，再将2个0用插空法共有C 52种，则题目所求的概率为P =C 52C 62=23.故选C.11.【答案】A【解析】【分析】这道题考查了球体几何和三棱锥体积的求解，求出球心到平面的距离，此题迎刃而解．【解析】记▵ABC 的外接圆的圆心为O 1.由于AC⊥ BC，又球的半径为1，且AB=√2，OC=√22；所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，OO1=√22.于是OO12+O1C2=OC2，所以OO1⊥O1C，OO1⊥AB.进而OO1⊥平面ABC.所以V O−ABC=13×S ABC×OO1=13×12×1×1×√22=√212.故选A.12.【答案】A【解析】【分析】作为选择压轴题，这道题考查的是函数奇偶性和对称性、周期性的综合应用，有一定的难度，但求出的周期后，此题做的就基本差不多了，但整体而言，作为选择压轴题，还是很不错的．【解析】因为f(x+1)为奇函数，所以f(1)=0，即a+ b=0，所以b=− a.又f(0)= f(−1+1)=− f(1+1)=− f(2)=−4 a− b=−3 a.f(3)= f(1+2)= f(−1+2)=f(1)=0，由f(0)+ f(3)=6，得a=−2.f(92)=f(2+52)=f(2−52)=f(−12)=f(−32+1)=−f(32+1)=−f(12+2)=−f(−12+2)=−f(32)=−94a−b=−54a=52.故选A.13.【答案】【答案】y=2x+1．【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，是基础题．先根据函数解析式，得到导函数，再得到切线的斜率，即可得到结果．【解析】因为y=1−2x+2=xx+2，所以y′=x+2−x(x+2)2=2(x+2)2，所以曲线在点(−1,−1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.14.【答案】【答案】−32．【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查计算能力．利用已知向量表示c⃗=k a⃗+b⃗ ，通过a⃗⊥c⃗，向量的数量积为0，求解即可．【解析】a⃗=(1,1)，b⃗ =(1,2)，c⃗=k a⃗+b⃗ =(k+1,k+2)，a⃗⊥c⃗，则k+1+k+2=0，解得k=−32.故答案为−32.15.【答案】【答案】16．【解析】【分析】本题考查椭圆方程应用，考查椭圆的性质，属基础题【解析】根据题意，可得|OP|=3，设P(x1,y1)，所以x12+y12=9.又P在椭圆上，联立两方程，可求得|y1|=163，代入面积公式，即可求得答案解：因为P，Q是椭圆上关于原点对称的两个点，且|PQ|=6，所以|OP|=3，设P(x1,y1)，所以x12+y12=9，又P在椭圆上，所以x1225+y1216=1，联立方程{x12+y12=9x1225+y1216，可得y12=2569，即|y1|=163，所以▵PF1F2的面积S=12⋅|F1F2|⋅|y1|=12×6×163=16.故答案为16.16.【答案】【答案】2．【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图像和性质以及相关应用，需要由图求出正弦型函数的解析式，然后解一个一元二次不等式，得到的范围，最后求解的范围．【解析】34T=13π12−π3=34π,可得T=π,φ=2.将x=π3代入f(x)=cos(2x+φ),得cos(2π3+φ)=0.故2π3+φ=π2,即φ=−π6.所以f(x)=cos(2x−π6).保存编辑所以题目条件可转化为(f(x)−1)(f(x)+√3)>0.等价于f(x)>1,f(x)<−√3.从图像可以看出:x∈(π2,3π4).故答案为x=2.17.【答案】【答案】(1)P1=150200=0.75,P2=120200=0.6；(2)没有．【解析】【分析】统计和概率作为第一道大题，难度不大，第一问由表格数据和频率计算公式可以直接得到，非常简单，送分题，第二问考查卡方分布，也是直接套公式，这套卷子的第一道大题可以说是非常简单了．【解析】(1)设甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分P1、P2；则有P1=150200=0.75,P2=120200=0.6.(2)根据列联表中数据，可得K²的观测值；K2=400(150×80−120×50)2200×200×270×130=40039≈10.256.因为10.256<10.828，所以没有99％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．18.【答案】【答案】▵.选择条件①和③．▵.选择条件①和②．▵.选择条件②和③．【解析】【解析】Ⅰ.选择条件①和③．数列{a n}是等差数列，a2=3a1，设公差为d.则a2=3a1=a1+d，即d=2a1.因为S n=na1+n(n−1)2d=n2a1，所以√n=n√a1(a1>0).故{√S n}是等差数列．Ⅱ.选择条件①和②．已知数列{a n}是等差数列，数列{√S n}是等差数列；则a n=a1+(n−1)d，S n=na1+n(n−1)2d=12n2d+(a1−d2)n.因为数列{√S n}是等差数列，则a1=d2，所以a2=a1+d=3a1.Ⅲ.选择条件②和③．已知数列{√S n}是等差数列，a2=3a1.因为s2=a1+a2=4a1，所以√s2−√s1=√4a1−√a1=√a1(a1>0)．即{√S n}的公差d等于√a1，所以√s n=√a1+(n−1)d=n√a1．所以S n=n2a1，即数列{a n}是等差数列．19.【答案】【答案】(1)见解析；(2)√33.【解析】【分析】立体几何这道大题，以直三棱柱作为载体，第一问考查了线线垂直的证明，由线面垂直可以轻松得到线线垂直，第二问考查了二面角，建立空间直角坐标系，用空间向量去求解，求解的时候注意证明才能建立坐标系，整体而言，立体几何这道题比较常规．【解析】(1)因为E,F 是直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中AC 和CC 1的中点,且AB =BC =2;所以CF =l,BF =√5.，，于是AF =3，所以AC =2√2，由AB 2+BC 2=AC 2，；于是,A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1). 设B 1D =m,则D(m,0,2).于是,BF =(0,2,1),DE =(1−m,1,−2).由BF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，；(2)易知平面BB 1C 1C 的法向量为n ⃗ 1=(1,0,0)，而DE =(1−m,1,−2),EF =(−1,1,1). 于是,平面DFE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,m +1,2−m).于是cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ > =3√2(m−12)2+272． 当m =12时，面BB 1C 1C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大值为，故正弦值最小为．20.【答案】【答案】(1)C 的方程为y 2=x ，⊙M 的方程为(x −2)2+y 2=1；．【解析】【分析】圆锥曲线大题考查椭圆、双曲线、抛物线中最简单的一条抛物线；第一问求解抛物线方程和圆的方程难度不大；第二问考查设而不求的思路和韦达定理． 可以先把抛物线上的三个点(a 2,a)、(b 2,b)、(c 2,c)都设出来；根据两个相切条件，得到2=1，2=1；进一步得到b 和c 是(a 2−1)x 2+2ax −a 2+3=0的两根；接下来算出圆心到A2A3的距离为d=|2+bc|√1+(b+c)2；再由韦达定理可知b+c和bc，带入计算求出d=1，即可得到A2A3和圆相切．【解析】(1)C的方程为y2=x，⊙M的方程为(x−2)2+y2=1；(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)．当A1,A2,A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标的值均为3时，满足条件，且此时直线A2A3与⊙M也相切．当x1≠x2≠x3时，可知直线A1A2的方程为x−(y1+y2)y+y1y2=0，，即(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0；同理可得，(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0；由此可知，．依题意有，．M到直线A2A3的距离，d2=(|2+y1y2|√1+(y1+y2)2)2=(2+y1y2)21+(y1+y2)2=(2+3−y12y12−1)21+(−2y1y12−1)2=1．．21.【答案】【答案】；(2)a∈(1,e)∪(e,+∞)．【解析】【分析】导数作为压轴题的存在，考查了单调性和零点，第一问的单调性，难度不大，不含参数，不需要分类讨论；第二问交点问题最后转化成零点问题，构造函数后再看函数和直线相交的情况，构造出的函数不含参数，图像易得，最后求参数范围即可，这道导数压轴题和往年相比，相对难度不是特别大．【解析】(1)当a=2时,f(x)=x22x(x>0)，求导f′(x)=x(2−xln2)2x(x>0)，．令，即x>2ln 2，此时单调递减．单调递增区间为，单调递减区间为．(2)要使y=f(x)与y=1有2个交点,即x aa x =1有2解,故ln xx=ln aa有2解．令g(x)=ln x x,求导g′(x)=1−ln x x 2(x >0)．令g ′(x)=0,解得x =e ，令g′(x)>0,即0<x <e,此时g(x)单调递增，，故g(x)max =g(e)=1e ,当x >e 时,g(x)∈(0,1e )． 因为g(1)=0,要使得条件成立.则0<ln a a<1．①当0<a <1,此时不符合条件． ②当1<a,g(x)max =g(e)=1e ．故a ∈(1,e)∪(e,+∞)．22.【答案】【答案】(1)曲线C 的直角坐标方程为(x −√2)2+y 2=2；(2)C 1的参数方程为{x =3+√2+2cos αy =2sin α(α为参数,且α∈[0,2π))．【解析】【分析】极坐标和参数方程这道题，作为选做题，难度不大，第一问考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，较为基础；第二问考查了轨迹方程的求法，考查的是相关点法，求出直角坐标系下的方程后，进一步化成极坐标方程即可，由圆心距小于半径差可得两个圆为内含关系，本题整体难度不大，考查的较为基础． 【解析】(1)∵p =2√2 cos θ,∴p 2=2√2pcos θ.∵x =pcos θ,p =x 2+y 2,∴x 2+y 2=2√2x.即曲线C 的直角坐标方程为(x −√2)2+y 2=2．(2)设P 点坐标为(x,y),M 点坐标为(x ′,y′).则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ′−1,y′).∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∵M 为上的动点,∴(√2+1−√2)2+(√2)2=2.即(x −√2−3)2+y 2=4.故C 1的参数方程为{x =3+√2+2cos αy =2sin α(α为参数,且α∈[0,2π)).∴|CC 1|=3,r 1=2,r =√2. ∴r 1−r <|CC 1|<r 1+r.故C 与C 1有公共点.23.【答案】【答案】(1)见解析；．【解析】【分析】不等式选讲这道选做题，考查了绝对值函数图像的画法和含参绝对值不等式的求法，绝对值函数图像作图相对简单，含参绝对值不等式的求解，主要用到分类讨论的思想，分类讨论的时候需要注意不重不漏．(1)通过对x 分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出． (2)由图像可得：f(6)=4，f(12)=4，若满足题意，那么就需把函数f(x)的图像向左或向右平移|a|个单位以后，f(x)的图像不在g(x)图像的下方，由图像观察可得出结论．【解析】(1)当x <−32时，2x +3<0，2x −1<0， 故g(x)=[−(2x +3)]−[−(2x −1)]=−4．当−32≤x ≤12时，2x +3≥0，2x −1≤0， 故g(x)=(2x +3)−[−(2x −1)]=4x +2．当x >12时，2x +3>0，2x −1>0， 故g(x)=(2x +3)−(2x −1)=4．综上，g(x)={4x +2,−32≤x <12−4,x<−324,x≥32 ,y=f(x)和y=g(x)的图象为：(2)由上可知，y=f(x+a)是函数y=f(x)左右平移|a|个单位得到．观察图像，不难发现函数y=f(x)向右平移不符合题意．函数y=f(x)向左平移至图像右支恰好经过点(12,4)，此时为满足f(x+a)≥g(x)的临界状态．y=f(x+a)=|x−2|+a=x−2+a，代入点(12,4)，可得a=112．由上可得，a的取值范围为[112,+∞)．。