2016年江苏省南通市如皋中学高三上学期苏教版数学第一次月考试卷

江苏省如皋中学2016-2017学年度高三第一学期第一次阶段检测数学（文）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．1．已知i 是虚数单位，且复数122,12z bi z i =+=-，若12zz 是实数，则实数b = ▲ .2. “()=23k k Z παπ+∈”是“tan α=”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）3.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()3sin2x f x x a π=-，且(3)6f =，则a = ▲ ．4. 将函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位，所得函数图像的解析式为()y f x =，则()0f = ▲ ．5. 函数()2cos f x x x =+在区间()0,π上的单调减区间为 ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，已知()()3,1,0,2OA OB =-= ，若,OC AB AC OB λ⊥=，则实数λ的值为 ▲ ．7.已知cos 0,32ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭= ▲ ．8.已知函数()()2sin ,0,2f x x πωϕωϕ=+><，满足()02fx f x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭对任意的x R ∈恒成立，且6x π=为其图像的一条对称轴方程，则函数114f π⎛⎫=⎪⎝⎭▲ ．9.如图，在锐角ABC ∆中，12AN NC = ，P 是线段BN若AP mAB nAC =+ ，则13m n+的最小值为 ▲ ．10. 已知函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，()ln g x x =，则函数()()y f x g x =-的零点个数为 ▲ ．11.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 62b C aπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则角A 的值是 ▲ ．12．已知集合{}{}22230,0A x x x B x ax bx c =-->=++≤，若{}34,A B x x A B R ⋂=<≤⋃=，则22b aa c+的最小值为 ▲ ．13. 如图，在ABC ∆中，已知43AB AC ==∠，，点,D E 分别是边,AB AC 上的点，且2DE =， 则BCED ABCS S ∆四边形的最小值为 ▲ ．14.已知ABC ∆中，()11,122CP CA CB CP AB =+==,点Q 是边AB （含端点）上一点，且12CQ CP ⋅= ，则CQ 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 本小题满分14分已知向量()()5cos ,4,3,4tan a b αα== ，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若a ∥b，求sin 2α的值；（2）若5a = ，向量()2,0c =，求证：()a b c +⊥ ．16. 本小题满分14分已知PQ 是半径为1的圆A 的直径, ,B C 为不同于,P Q 的两点,如图所示,记PAB θ∠=. (1)若BC =求四边形PBCQ 的面积的最大值;(2)若1BC =,求BP CQ ⋅的最大值.17. 本小题满分14分已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()R x 万美元，且()24006,040,740040000,40x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩．(1) 写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．18. 本小题满分16分已知ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b ctan tan tan A B A B --= （1）求角C 的大小；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求22a b +的取值范围．19. 本小题满分16分已知函数()()2ln ,f x x ax b x a b R =++∈．（1）若1b =且()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）若()1,0b f x =-≥对0x >恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若2a b +≥-且()f x 在()0+∞，上存在零点，求b 的取值范围．20. 本小题满分16分若函数()()ln f x x x a =-（a 为实常数）.（1）当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）设()()g x f x =.①求函数()g x 的单调区间； ②若函数()()1h x g x =的定义域为21,e ⎡⎤⎣⎦，求函数()h x 的最小值()m a .江苏省如皋中学2016-2017学年度高三第一学期第一次阶段检测数学（文）试题参考答案一．填空题1. 4-；2. 充分不必要；3. 5 ；5. 566ππ⎛⎫⎪⎝⎭，； 6. 2； 7. 45；8. 9. 16 ； 10. 3 ； 11.6π； 12. 32； 13. 23； 14. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦二．解答题15. 解：（1）由a ∥b知，5cos 4tan 43αα⋅=⋅，……………………………………2分又sin tan cos ααα=，所以：3sin 5α=，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以：4cos 5α==- ………………………………4分所以：24sin 22sin cos 25ααα==- ………………………………6分 （2）由5a =5=，解得：3cos 5α=±又,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos 0α<，所以3cos =5α- ………………………………8分此时4sin 5α==所以：sin 4tan cos 3ααα==- ………………………………10分 所以：()()()165cos ,4=3,4,3,4tan 3,3a b αα⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭所以：40,3a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ， ………………………………12分又()2,0c =，所以：()0a b c +⋅= ，即()a b c +⊥ ………………………………14分16. 解：(1)∵1AB AC BC ===，，∴∠BAC =2π 由∠PAB =θ得∠CAQ =2πθ-111sin sin 2222142PAB ABC CAQ PBCQ S S S S πθθπθ∆∆∆⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭四边形 ………………4分∵02πθ<<,∴当4πθ=时,PBCQ S 四边形取得最大值12． ………………6分(2)当1BC =时,∠ABC =3π,∠PAC =3πθ+ ………………8分·=(-)·(-)=·-·-·+·=11cos 222θθ+-=1sin 62πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． ………………12分∵203πθ<<,∴·的最大值为12． ………………14分 17. 解：(1) 当()()2040,16+40638440x W xR x x x x <≤=-=-+- ……………2分当()()4000040,1640167360x W xR x x x x>=-+=--+ ……………………4分 所以，2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩……………………6分(2) ① 当()2040,6326104x W x <≤=--+所以()max 326104W W == ……………………8分 ② 当40x >时，40000167360W x x=--+由于40000161600x x +≥= ……………………10分 当且仅当4000016x x=即()5040,x =∈+∞时，W 取最大值为5760. ………12分综合①②知，当32x =时，W 取最大值为6 104. ……………………14分 18. 解：tan tan tan A B A B --=所以)tan tan tan tan 1A B A B +=-，即：tan tan 1tan tan A BA B+=-所以：()tan A B += ……………………………2分 因为：A B C π++=,所以()tan tan C C π-==即………………………4分 因为：0C π<<，所以=3C π……………………………6分（2）因为ABC ∆为锐角三角形，=3C π，所以20,0232A B A πππ<<<=-<，解得：62A ππ<<，…………………………8分由正弦定理sin sin sin a b cA B C==,得sin sin c a A A C ==,sin sin c b B B C ==…………………………10分 所以：22a b +=2241cos 2162161cos 23sin sin 33322A A A A ππ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎡⎤-⎛⎫⎝⎭⎢⎥+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=……=168sin 2336A π⎛⎫+- ⎪⎝⎭……………………………14分 因为62A ππ<<，所以：52666A πππ<-<，从而：1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，于是222083a b <+≤ …………………………16分 19. 解：（1）若1b =，则()()2221=ln ,x ax f x x ax x f x x++++'=由()10f '=得3a =-， ……………………2分此时()()()211x x f x x-+'=当1012x x <<>或时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以当3a =-时()f x 在1x =处取得极值，所以3a =- ……………………4分（2）当()21,l n b f x x a x x =-=+-， 所以()0f x ≥对0x >恒成立⇔ln xa x x≥-对0x >恒成立， ……………………6分 令()()ln 0xg x x x x =->，()221ln x x g x x --'= 令()0g x '=有1x =，当01x <<时，210,ln 0x x ->->有()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，210,ln 0x x -<-<有()0f x '<，()f x 单调递减； …………………8分 所以当1x =时，()max 1g x =-，所以1a ≥- …………………10分 （3）()f x 在()0+∞，上存在零点⇔2ln 0x ax b x ++=在()0+∞，上有解⇔ln b xx a x--=在()0+∞，上有解，又22a b a b +≥-≥--即 …………………12分故()2ln 22ln 0b xx b x b x b x x--≥---++≤即在()0+∞，上有解 令()()()()()2122ln ,x x b h x x b x b x h x x--=-++'=则 ①当0b >时，()110h b =--<，故()0h x ≤有解， …………………14分 ②当0b ≤时，易知()h x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增 所以()()min 110h x h b ==--≤，所以10b -≤≤综上：1b ≥-． …………………16分20. 解：（1）当0a =时，()()ln ,ln 1f x x x f x x ='=+，所以()11k f ='=， ………2分 又当1x =时，0y =，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为1y x =- ………4分（2）因为()()()ln ,ln ln ,ln ,aax x ax x eg x f x x x a x x a ax x x x e ⎧-≥⎪==-=-=⎨-<⎪⎩ ………6分 ①当a x e ≥时，()ln 10g x x a '=+->恒成立，所以(),ax e ∈+∞时，函数()g x 为增函数；当a x e <时，()1ln g x a x '=--，令()11ln 0,0a g x a x x e -'=--><<得，令()11ln 0,a g x a x x e-'=--<>得，所以函数()g x 的单调区间为()()1,,0,a a e e -+∞；单调减区间为()1,a ae e - ………8分②当21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，[]ln 0,2x ∈，因为()()11ln h x g x x x a==-的定义域为21,e ⎡⎤⎣⎦， 所以20a a ><或 ………………………10分（i ）当0a <时，1a e <，所以函数()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()g x 的最大值为()22a e -，所以()h x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为()()212m a a e=- …………12分 （ii ）当23a <<时，212,1a a e e e e -<<<且，所以函数()g x 在)11,a e-⎡⎣上单调递增，在(12,a ee -⎤⎦上单调递减，则()g x 的最大值为1a e -， 所以()h x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为()11a m a e -=； …………14分（iii ）当3a ≥时，12a ee ->，所以函数()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()g x 的最大值为()22a e -，所以()h x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为()()212m a a e =-． 综上所述：()()()2121,021,231,32a a a e m a a ea a e -⎧<⎪-⎪⎪=<<⎨⎪⎪≥⎪-⎩…………16分。

2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是__________．2．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为__________．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是__________．4．已知方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是__________．5．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为__________．6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是__________．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为__________．8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是__________．9．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是__________．10．若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为__________．11．已知数列{a n}满足，，则=__________．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．13．某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．15．已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．16．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是4．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据题意，利用交集的定义及包含关系确定出M的个数即可．【解答】解：∵M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}，∴M={0，1}或{0，1，2，3}或{0，1，3}或{0，1，4}共4个，故答案为：4．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为[5，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y=﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y=5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是a≤0．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用复合函数的单调性遵循的规律：同增异减判断出t的单调性；对数的真数大于0得到不等式恒成立；利用二次函数的单调性与对称轴有关及不等式恒成立转化为最值问题．【解答】解：令t=x2﹣ax﹣1则y=lgt∵y=lgt在（0，+∞）递增又∵函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，∴t=x2﹣ax﹣1在区间（1，+∞）上为单调增函数，且 x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案为a≤0【点评】本题考查复合函数的单调性遵循的规律：同增异减、考查二次函数的单调性与对称轴有关、考查不等式恒成立转化为函数最值的范围．4．已知方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是（1，5）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意作出y=x2﹣4|x|+5的图象，从图象可知何时直线y=m与y=x2﹣4|x|+5的图象有四个交点，从而可得结论【解答】解析：设f（x）=x2﹣4|x|+5，则f（x）=，作出f（x）的图象，如图要使方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，需使函数f（x）与y=m的图象有四个不同的交点，由图象可知，1＜m＜5．故答案：（1，5）【点评】考查学生会根据解析式作出相应的函数图象，会根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决实际问题．5．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为3．【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】直接利用两个绝对值相加的函数的图象的对称轴所特有的结论即可求a的值．【解答】解：因为两个绝对值相加的函数的图象形状为，即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称．又因为函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|=的图象关于直线x=1对称，所以有=1⇒a=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查两个绝对值相加的函数的图象特点．在平时做题过程中，要善于运用总结的结论和性质，做小题时节约时间．6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是①②⑤．【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间．【专题】压轴题．【分析】首先理解题目f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（﹣x），又有关系式f（x+1）=﹣f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在[﹣1，0]上是增函数，推出单调区间即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x+1+1）]=f（x+2），∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．又∵f（x+2）=f（x）=f（﹣x），∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]上是减函数，又∵对称轴为x=1．∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D 上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】直线与圆．【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即 a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当 a=b=时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．9．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是1+．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2=9．点Q到圆心（0，2）的距离为d===，故当y=﹣时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+．故答案为：1+．【点评】本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力以及转化思想，属于中档题．10．若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为±1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由函数f（x）为在定义域上为奇函数，则必有f（﹣x）=﹣f（x），然后利用待定系数法求解．【解答】解：∵函数f（x）=∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴（k2﹣1）（2x）2=1﹣k2∴（k2﹣1）=0∴k=±1故答案为：±1．【点评】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足．应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解．11．已知数列{a n}满足，，则=．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由，，知a n+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．【解答】解：∵，，∴a n+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）在△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．故有 C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a2+b2=sin2A+sin2B=1+cos2α．由﹣＜2α＜，根据余弦函数的定义域和值域求得 a2+b2的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，∴=，化简可得 sinCcosA﹣cosCsinA=sinBcosC﹣cosBsinC，即 sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．∴C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1﹣[cos（+2α）+cos（﹣2α）] =1+cos2α．由﹣＜2α＜，可得﹣＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为（，]．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的定义域和值域、两角和差的正弦公式，属于中档题．13．某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）先根据题意设商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，即可求出经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）依题意保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%，得到关于x的不等关系，解此不等式即得出结论．【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y=（a+）（x﹣3）（5.5≤x≤7.5），（2）当k=2a时，依题意有（a+）（x﹣3）≥（8﹣3）a×（1+20%），解之得x≥6或4＜x≤5，又5.5≤x≤7.5，所以6≤x≤7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%．【点评】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值．【点评】此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．15．已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法；等差数列的性质．【专题】计算题；应用题；压轴题．【分析】（1）对化简整理得，令c n=1﹣a n2，进而可推断数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得c n，则a2n可得，进而根据a n a n+1＜0求得a n．（2）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}为等比数列，于是有b r＞b s＞b t，则只有可能有2b s=b r+b t成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n=1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为=，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s=b r+b t成立，则只有可能有2b r=b s+b t成立，∴化简整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．【点评】本题主要考查了数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过吧递推式变形转换成等差或等比数列．16．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．。

2016-2017学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A=｛1，cosθ}，B={,1}，若A=B,则锐角θ=．2．已知幂函数y=f(x)的图象过点（，）,则f（4）的值为．3．若函数是偶函数，则实数a的值为．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上,则P、Q两点间距离的最小值为．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ｜＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=,则函数f（x）的最小正周期为．9．函数f（x）的定义域为R,f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为．11．在锐角三角形ABC中，若tanA,tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为．12．已知函数交于M、N两点，则｜MN｜的最大值是．13．已知函数f(x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R,若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是．14．若实数x,y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时,的值为．二、解答题:本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，)，β∈（，π）,cosβ=﹣，sin（α+β）=．(1）求tan的值；(2）求sinα的值．16．在△ABC中，三个内角A，B,C的对边分别为a,b，c,已知==．（1）求C；（2)如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB面积S（θ)的解析式及最大值．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图,其中支架OA，OB,OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC,且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．18．对于定义域为D的函数y=f（x）,若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b］⊆D，使f（x）在［a，b]上的值域为［a，b］；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1)求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b］；(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x)的定义域和值域；（2)设F（x）=•[f2（x）﹣2］+f（x）（a为实数),求F(x）在a＜0时的最大值g（a）;(3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1］恒成立，求实数m的取值范围．20．过点P(﹣1，0）作曲线f（x)=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证:x1+x2＜﹣4．附加题：（共4小题，满分0分)21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．22．在平面直角坐标系xOy中,设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q(y﹣2，y），求．23．已知常数a＞0，函数f(x）=ln(1+ax）﹣．讨论f（x）在区间(0，+∞)上的单调性．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1,PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在,说明理由．2016—2017学年江苏省南通市如皋中学高三（上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ},B={,1},若A=B，则锐角θ=．【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件,建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若A=B，则cosθ=，∵θ是锐角，∴θ=,故答案为：2．已知幂函数y=f（x)的图象过点（,），则f（4）的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f(x）=xα，根据f（x)的图象过点（，），求得α的值，可得函数f（x）的解析式,从而求得f（4）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（，），∴=，∴α=，∴f（x)=∴f（4)==2,故答案为：2．3．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣)=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（)，即﹣=a，∴a=﹣．故答案为:﹣．4．若函数f（x）=(e为自然对数的底数）是奇函数,则实数m的值为1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性易得f（﹣1）=﹣f（1），解m的方程可得．【解答】解:∵函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f(1），∴=﹣，∴m=1．故答案为：1．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=［0，2] ．【考点】函数的值域；交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】分别求出函数的定义域,和值域,然后利用集合的基本运算求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2﹣2x+8≥0，即x2+2x﹣8≤0,解得﹣4≤x≤2，即函数的定义域A=［﹣4，2]．y==，∵﹣4≤x≤2,∴0≤，即0≤x≤3，即函数的值域B=［0，3］，∴A∩B=［﹣4,2]∩[0，3]=[0，2]．故答案为:［0，2]．6．已知x,y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义得到最大值和最小值的最优解，得到关于a 方程解之．【解答】解：由已知得到可行域如图:当直线y=﹣2x+z经过C（a,a）时z最小，经过A时z最大，由得到A（1，1）所以4×3a=2×1+1,解得a=；故答案为:．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上,则P、Q两点间距离的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q(a，b）．利用=1+=2，解得切点为Q（1,1）．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x+1的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b)．则=1+=2，解得a=1，∴b=1，∴切点为Q（1,1）．Q到直线y=2x+1的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故答案为:．8．若函数f(x）=Asin（ωx+φ)（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象关于坐标原点中心对称,且在y轴右侧的第一个极值点为x=,则函数f（x）的最小正周期为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的特征,正弦函数的奇偶性、最值、周期性，求得函数f （x)的最小正周期．【解答】解：函数f(x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，可得φ=0，∵f（x)在y轴右侧的第一个极值点为x=，∴ω•=，∴ω=，∴函数f(x）=Asin（x），则函数f（x）的最小正周期为=,故答案为:．9．函数f（x)的定义域为R，f（0）=2,对任意x∈R,f(x）+f′（x)＞1，则不等式e x•f(x）＞e x+1的解集为｛x｜x＞0} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设h（x）=e x f(x）﹣e x﹣1,则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h(x）＞0 的解集．由此利用导数性质能求出不等式e x•f(x）＞e x+1的解集．【解答】解：设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．h（0）=1×2﹣1﹣1=0，h′（x）=e x[f（x）+f′（x)］﹣e x,∵[f（x）+f′（x）］＞1，∴对于任意x∈R，e x［f（x）+f′（x)］＞e x，∴h'（x）=e x［f（x)+f'(x）]﹣e x＞0即h（x）在实数域内单调递增．∵h（0）=0,∴当x＜0 时，h（x）＜0；当x＞0 时，h（x)＞0．∴不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为:｛x|x＞0｝．故答案为:｛x|x＞0｝．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2,则的值为1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件求出αβ的正切函数值，然后求解的值．【解答】解：tan(α+β）=1，tan（α﹣β）=2，==，分式同除以cos(α+β)cos(α﹣β）),==1．故答案为：1．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用等差数列列出关系式，利用三角形的内角和以及两角和的正切函数,化简求解即可．【解答】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，∴tan(A+B)=tan(π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B)=，∴tanA+tanB=tan(A+B）(1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanAtanC=3．故答案为：3．12．已知函数交于M、N两点，则｜MN|的最大值是．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用;正弦函数的定义域和值域．【分析】由已知中直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点,表示M、N的距离，根据辅助角公式化为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的值域,即可得到结果．【解答】解：∵=cosx∵直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，则|MN｜=｜sinx﹣cosx|∴|f(x）﹣g（x)｜=｜sinx﹣cosx｜=|sin（x﹣）｜∵x∈R∴|f（x）﹣g(x）｜∈［0，］故M、N的距离的最大值为故答案为：13．已知函数f(x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R,若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2,则a的取值范围是a≤﹣2或a＞﹣．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简不等式可得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a)，从而令F（x）=2x﹣1+a﹣b(2﹣x+a）=﹣+a﹣ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．【解答】解:f（x)=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x)=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），∵f（x）≥g（x），∴2x﹣1+a≥b(2﹣x+a）,令F（x）=2x﹣1+a﹣b(2﹣x+a）=+a﹣﹣ab=﹣+a﹣ab，①若b＜0，则（﹣+a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立;②若b=0,则F(x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=+a≥0的解集为[2，+∞)，故a=﹣2;③若b＞0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=﹣+a﹣ab≥0的解集为[2，+∞）,故2+a=b（+a），故b=＞0，故a＜﹣2或a＞﹣；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为2．【考点】不等式的基本性质．【分析】实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：(x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ,2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π)．则当x+2y取得最大值时，θ=,即可得出．【解答】解:∵实数x,y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为:（x+2y）2+(2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ,2xy﹣2=2cosθ,θ∈［0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=,则x+2y=2,2xy﹣2=0，解得x=，y=．=2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，）,β∈（，π），cosβ=﹣,sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）使用二倍角公式用tan表示出cosβ，求出的范围，解方程得出；（2)根据α，β的范围求出sinβ，cos（α+β）,利用差角的正弦函数公式计算．【解答】解:(1）∵,且，∴，解得，∵，∴,∴，∴．（2）∵，，∴，又，故，∴，∴sinα=sin［（α+β)﹣β］=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=．16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b，c,已知==．（1）求C；（2)如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ,求四边形APCB面积S（θ)的解析式及最大值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin2A=sin2B，再由角的范围可得A+B=，从而求得C；（2）把三角形ABC的三边用R表示,再由S(θ）=S△ABC +S△APC，代入三角形面积公式化简,然后由θ∈（)求得四边形APCB面积S（θ）的最大值．【解答】解：(1）由=，得=,∴sin2A=sin2B，∵2A,2B∈（0，2π）,∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=，∵,∴A=B舍去,从而C=；(2）由条件得：c=2R，a=R，b=R,∠BAC=，∠CAP=θ﹣,θ∈（），S(θ）=S△ABC +S△APC=====，θ∈（）,∵∈（），∴当时,．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC,且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝,普通珠宝的价值为M，且M 与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数)：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比,比例系数为4k,设OA=x，OB=y．（1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2)求N﹣M的最大值及相应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】(1）根据条件结合余弦定理建立函数关系即可求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;（2）求出N﹣M的表达式，利用换元法结合基本不等式的性质即可求出N﹣M的最大值及相应的x的值．【解答】解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1)2，解得y=，由x＞0，y＞0，得1＜x＜2，∵x＞y,∴x＞，得1＜x＜，∴OA的取值范围是(1，）．=3kx,（2）M=kOB=ky,N=4k•S△AOC则N﹣M=k（3x﹣y）=k（3x﹣），设2﹣x=t,则t∈(，1），则N﹣M=k［3（2﹣t）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k，当且仅当4t=，即t=，x=2﹣时，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减;②存在区间［a，b］⊆D,使f(x）在［a，b]上的值域为[a，b];那么把y=f（x）(x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间［a，b]；(2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；(3）若是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1)根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程,直接求解．（2）判断其在(0,+∞)是否有单调性，再据闭函数的定义判断；（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a,b］，由定义直接转化求解即可．【解答】解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b］上递减,则解得所以，所求的区间为[﹣1，1]；（2）取x1=1，x2=10，则，即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．取,,即f（x)不是（0，+∞）上的增函数所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数；（3）若是闭函数，则存在区间［a，b],在区间［a，b］上,函数f(x)的值域为［a，b]，即，∴a，b为方程的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根当k≤﹣2时,有，解得，当k＞﹣2时，有，无解，综上所述，．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f(x)的定义域和值域;（2）设F（x）=•[f2（x)﹣2]+f（x)(a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g(a）；（3）对（2）中g（a)，若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1］恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】(1)由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求［f（x）］2的值域，再求f（x）的值域；(2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2］的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；(3)先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f(x）]2=2+2∈［2，4］，由f（x）≥0,得f（x）∈[，2］,所以函数值域为［,2］；（2）因为F（x)==a++,令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=,t∈[，2]，由题意知g（a)即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t)=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m(t），t∈[，2］的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，］，即a≤﹣，则g（a）=m（)=；②若t=﹣∈(，2］，即﹣＜a≤﹣，则g（a)=m（﹣）=﹣a﹣;③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0,则g(a）=m（2)=a+2，综上有g(a）=,（3）易得,由﹣≤g(a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立, ⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈［﹣1,1]，h（t)≥0成立,只需,解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．20．过点P(﹣1,0）作曲线f（x)=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R)交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(1）求导数，设切点，可得方程组，即可求切线l的方程；（2)设f（x）=(x+1）e x，则f(x1)=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x,可得函数f(x）的单调性；设g （x）=f(x）﹣f(﹣4﹣x）,切点其单调性，即可证明结论．【解答】（1）解:y'=e x，设切点（x0，y0)，则，解得x0=0，因此y’|x=0=1，l的方程是y=x+1．…（2）证明：依题意有，所以…设f(x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2)e x，当x＜﹣2时，f’（x)＜0，当x＞﹣2时，f’（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，在(﹣2,+∞）单调递增．因为x1≠x2，不妨设x1＜﹣2，x2＞﹣2．设g（x）=f(x)﹣f（﹣4﹣x)，则g'（x)=f'（x）+f'（﹣4﹣x)=（x+2）e x（1﹣e﹣2（2+x））,当x＞﹣2时，g'（x）＞0,g（x）在在（﹣2，+∞)单调递增，所以g（x)＞g（﹣2)=0，所以当x＞﹣2时，f（x）＞f（﹣4﹣x）．…因为x2＞﹣2，所以f（x2）＞f（﹣4﹣x2），从而f（x1）＞f(﹣4﹣x2），因为﹣4﹣x2＜﹣2，f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，所以x1＜﹣4﹣x2,即x1+x2＜﹣4．…附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B,求矩阵X．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】由AX=B,得=，求解即可．【解答】解：设x=，由=得解得此时x=22．在平面直角坐标系xOy中,设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y ﹣2,y)，求．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意得到，从而求出x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵M的逆矩阵，由此能求出．【解答】解：∵点P(x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q(y﹣2，y），∴依题意，=，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M=的逆矩阵，∴==．23．已知常数a＞0，函数f(x)=ln（1+ax)﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断函数的单调性,注意对a分类讨论．【解答】解：∵f(x）=ln(1+ax）﹣，∴f′（x）=﹣=，∵(1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′(x）=0得x=±，则函数f（x)在（0,)单调递减，在（,+∞)单调递增．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．(1）求PB与平面PCD所成角的正弦值;（2)棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在,求AE的长；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）假设存在E符合条件,设，则由∠AEC=90°得，，列出方程，判定方程在［0，1]上是否有解即可得出结论．【解答】解:（1)依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，1）,B（1，0，0），C（1,1，0）,D（0,2，0），从而,，，设平面PCD的法向量为=（a，b,c），即,不妨取c=2，则b=1，a=1，所以平面PCD的一个法向量为=（1，1，2）,此时cos＜，＞==﹣,所以PB与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设，则E（0，2λ,1﹣λ)，则,，由∠AEC=90°得，，化简得，5λ2﹣4λ+1=0，该方程无解,所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．2017年1月5日。

2016-2017学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次段考数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．1．已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b=．2．“α=2kπ+（k∈Z）”是“tanα=”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）3．已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3﹣3asin，且f（3）=6，则a=．4．将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=f（x），则f（0）=．5．函数y=x+2cosx在（0，π）上的单调递减区间为．6．在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2），若⊥，=λ，则实数λ的值为．7．已知cos（θ+）=，θ∈（0，），则cos（2θ﹣）=．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜，满足f（x）+f（x+）=0对任意的x∈R恒成立，且x=为其图象的一条对称轴方程，则f（）=．9．如图，在锐角△ABC中，=，P是线段BN（不含端点）上的一点，若=m+n，则+的最小值为．10．已知函数f（x）=，g（x）=lnx，则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（C+）=，则角A的值是．12．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B═{x|ax2+bx+c≤0}，若A∩B={x|3＜x≤4}，A∪B=R，则+的最小值为．13．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE=2，则的最小值等于．14．已知△ABC中，=（+），||=||=1，点Q是边AB（含端点）上一点且•=，则||的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（5cosα，4），=（3，4tanα），其中α∈（，π）．（1）若∥，求sin2α的值；（2）若||=5，向量=（2，0），求证：（+）⊥．16．（14分）已知PQ是半径为1的圆A的直径，B，C为不同于P，Q的两点，如图所示，记∠PAB=θ．（1）若BC=，求四边形PBCQ的面积的最大值；（2）若BC=1，求•的最大值．17．（14分）已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．18．（16分）已知△ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足，（Ⅰ）求∠C大小；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=x2+ax+blnx（a，b∈R）．（1）若b=1且f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值及单调区间；（2）若b=﹣1，f（x）≥0对x＞0恒成立，求a的取值范围；（3）若a+b≥﹣2且f（x）在（0，+∞）上存在零点，求b的取值范围．20．（16分）若函数f（x）=x（lnx﹣a）（a为实常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）设g（x）=|f（x）|．①求函数g（x）的单调区间；②若函数h（x）=的定义域为[1，e2]，求函数h（x）的最小值m（a）．2016-2017学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．1．已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b=﹣4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得实数b的值．【解答】解：∵z1=2+bi，z2=1﹣2i，∴=，又是实数，∴4+b=0，即b=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．“α=2kπ+（k∈Z）”是“tanα=”的充分不必要条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】由tanα=，解得α=kπ+（k∈Z），即可得出．【解答】解：由tanα=，解得α=kπ+（k∈Z），∴“α=2kπ+（k∈Z）”是“tanα=”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3﹣3asin，且f（3）=6，则a=﹣7．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的性质，得f（﹣3）=﹣6，代入解析式即可得到答案．【解答】解：∵f（x）是奇函数，f（3）=6∴f（﹣3）=﹣6，∵当x＜0时，f（x）=x3﹣3asin，∴（﹣3）3﹣3asin（﹣）=﹣6，∴﹣27﹣3a=﹣6，a=﹣7故答案为：﹣7【点评】本题考查了函数的概念，性质，属于计算题．4．将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=f（x），则f（0）=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，从而求得f（0）的值．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=f（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），故f（0）=sin=，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．5．函数y=x+2cosx在（0，π）上的单调递减区间为．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导数，因为是求减区间，则让导数小于零求解即可．【解答】解：∵函数y=x+2cosx∴y′=1﹣2sinx＜0∴sinx＞又∵x∈（0，π）∴x∈（）故答案为：（）【点评】本题主要考查用导数法求函数的单调区间．6．在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2），若⊥，=λ，则实数λ的值为2．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用．【分析】设C（x，y），则=（x﹣3，y+1），由⊥，=λ，能求出结果．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，=（3，﹣1），=（0，2），∴=（﹣3，3），设C（x，y），则=（x﹣3，y+1），∵⊥，=λ，∴﹣3x+3y=0，（x﹣3，y+1）=（0，2λ），∴，解得x=y=3，λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的条件的合理运用．7．已知cos（θ+）=，θ∈（0，），则cos（2θ﹣）=﹣．【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式左边中的角度变形后，利用诱导公式化简求出cos（θ﹣）的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简后把cos（θ﹣）的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵cos（θ+）=cos[（θ﹣）+]=﹣cos（θ﹣）=，θ∈（0，），∴cos（θ﹣）=﹣，则cos（2θ﹣）=2cos2（θ﹣）﹣1=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜，满足f（x）+f（x+）=0对任意的x∈R恒成立，且x=为其图象的一条对称轴方程，则f（）=．【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】运用三角函数的图象性质求解，利用周期性得出ω值，根据对称性得出φ，根据周期性得出函数f（）=f（3π）=f（﹣）代入求解即可．【解答】解：∵满足f（x）+f（x+）=0对任意的x∈R恒成立，∴f（x+π）=﹣f（x）=f（x）∴周期为π，ω=2，∵x=为其图象的一条对称轴方程，∴2×+φ=，φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴f（）=f（3π）=f（﹣）=2sin（）=﹣，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的图象性质，计算能力，属于容易题．9．如图，在锐角△ABC中，=，P是线段BN（不含端点）上的一点，若=m+n，则+的最小值为16．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设=t，0＜t＜1，用、表示出，求出m、n的表达式，再代入+求出它的最小值．【解答】解：设=t，0＜t＜1，又=﹣，=，∴=+=+t=+t（﹣）=（1﹣t）+t=（1﹣t）+，∵=m+n，∴m=1﹣t，n=；∴+=+=（+）（1﹣t+t）=1+++9≥2+10=2×3+10=16，当且仅当t=时“=”成立；∴+的最小值是16．故答案为：16．【点评】本题考查了平面向量的共线定理以及基本不等式的应用问题，是综合性题目．10．已知函数f（x）=，g（x）=lnx，则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】作图题．【分析】在同一坐标系中画出函数函数f（x）与函数y=log4x的图象，两函数图象交点的个数即为函数y=f（x）﹣log3 x的零点的个数．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣log4x=0得f（x）=log4x∴函数g（x）=f（x）﹣log4x的零点个数即为函数f（x）与函数y=log4x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=log4x的图象，如图所示，有图象知函数y=f（x）﹣log4 x上有3个零点．故答案为：3个．【点评】此题是中档题．考查函数零点与函数图象交点之间的关系，体现了转化的思想和数形结合的思想，体现学生灵活应用图象解决问题的能力．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（C+）=，则角A的值是．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出．【解答】解：由正弦定理可得sin（C+）==，∴2sin（C+）sinA=sinB=sin（A+C），∴sinCsinA+cosCsinA=sinAcosC+cosAsinC，∴sinCsinA=cosAsinC，∵sinC≠0，∴tanA=，∵0＜A＜π，∴A=，故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，以及三角函数值，属于中档题．12．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B═{x|ax2+bx+c≤0}，若A∩B={x|3＜x≤4}，A∪B=R，则+的最小值为．【考点】基本不等式；子集与交集、并集运算的转换．【专题】规律型．【分析】先化简A，B，利用条件A∩B={x|3＜x≤4}，A∪B=R，确定a，b，c的关系，然后利用基本不等式进行求解．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＞3或x＜﹣1}，设m，n是方程ax2+bx+c=0的两个根，（m＜n）∵A∩B={x|3＜x≤4}，A∪B=R，∴4，﹣1是方程ax2+bx+c=0的两个根且a＞0，∴﹣1+4=，，∴b=﹣3a，c=﹣4a，a＞0，∴+=．当且仅当，即a=时取等号．故答案为：．【点评】本题主要考查集合的基本运算，以及基本不等式的应用，综合性较强．13．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE=2，则的最小值等于．【考点】基本不等式．【专题】常规题型；高考数学专题．【分析】由∠BAC=60°想到三角形面积公式，可设AD=x，AE=y，利用余弦定理与重要不等式求解．【解答】解：设AD=x，AE=y（0＜x≤4，0＜y≤3），由余弦定理得DE2=x2+y2﹣2xycos60°，即4=x2+y2﹣xy，从而4≥2xy﹣xy=xy，当且仅当x=y=2时等号成立．所以，即的最小值为．故答案为．【点评】本题是重要不等式“x2+y2≥2xy”的一个应用，涉及余弦定理和三角形面积公式，综合性较强，考查学生对知识的迁移能力．14．已知△ABC中，=（+），||=||=1，点Q是边AB（含端点）上一点且•=，则||的取值范围是[，1] ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】据题意即可得到AC⊥BC，从而可分别以CB，CA为x，y轴，建立平面直角坐标系，然后设A（0，a），B（b，0），Q（x，y），从而得到P（），这样便可得到（x，y）•（b，a）=bx+ay=1，这即可得到（x2+y2）（a2+b2）≥（bx+ay）2，进而得到．可写出直线AB的方程为，进而得出，这便可得到x2+y2≤1，从而便可得出的取值范围．【解答】解：根据题意知，AC⊥BC，则以CB，CA分别为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系：设A（0，a），B（b，0），Q（x，y）；|AB|=2，∴a2+b2=4；；∴P为AB中点，则；∴；∴（x，y）•（b，a）=bx+ay=1；∴（x2+y2）（a2+b2）≥（bx+ay）2=1；∴4（x2+y2）≥1；∴；∴；又；∴=；∵a＞0，b＞0，x≥0，y≥0；∴x2+y2≤1；即；综上得，；∴的取值范围为．故答案为：[，1]．【点评】考查直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量坐标，中点坐标公式，向量数量积的坐标运算及计算公式，以及直线的斜截式方程．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（5cosα，4），=（3，4tanα），其中α∈（，π）．（1）若∥，求sin2α的值；（2）若||=5，向量=（2，0），求证：（+）⊥．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】综合题；函数思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量共线的条件列式求得sinα，进一步得到cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；（2）由已知求得cosα，得到tanα，求出的坐标，然后利用数量积证得答案．【解答】（1）解：∵=（5cosα，4），=（3，4tanα），且，∴5cosα•4tanα﹣12=0，得20sinα=12，sin，∵α∈（，π），∴cosα=，∴sin2α=2sinαcosα=；（2）证明：，得cosα=﹣，则sinα=，tanα=﹣，∴=（5cosα，4）=（﹣3，4），=（3，4tanα）=（3，﹣），则，∵=（2，0），∴（+）•=0×．则（+）⊥．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与夹角的关系，是中档题．16．（14分）已知PQ是半径为1的圆A的直径，B，C为不同于P，Q的两点，如图所示，记∠PAB=θ．（1）若BC=，求四边形PBCQ的面积的最大值；（2）若BC=1，求•的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；数形结合；向量法；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】（1）根据条件可得到，进而得出，由三角形面积公式即可求出，由两角和的正弦公式即可得到，从而求出四边形PBCQ的面积的最大值；（2）由条件可得到，而，代入进行数量积的运算，然后化简即可得出，从而得出该数量积的最大值．【解答】解：（1）∵，∴∠BAC=；由∠PAB=θ得∠CAQ=；∴S四边形PBCQ=S△PAB+S△ABC+S△CAQ===；∵，∴当时，S取得最大值；四边形PBCQ（2）当BC=1时，∠BAC=，∠PAC=；∴==﹣1===；∵；∴时，取得最大值．【点评】考查三角形的面积公式，两角和的正余弦公式，三角函数的诱导公式，以及正弦函数的最值．17．（14分）已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，W max=W（32）=6104；当x＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．【点评】本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（16分）已知△ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足，（Ⅰ）求∠C大小；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围．【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式变形后，利用两角和与差的正切函数公式化简，再利用诱导公式求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出∠C的度数；（Ⅱ）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，根据A与B都为锐角求出A的范围，由c与sinC的值，利用正弦定理表示出a与b，将表示出的a，b及B代入所求式子中，和差化积后整理为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵tanA•tanB﹣tanA﹣tanB=，∴=﹣，即tan（A+B）=﹣tanC=﹣，∴tanC=，∵∠C为三角形的内角，则∠C=；（II）∵∠A与∠B为锐角，且∠A+∠B=π﹣∠C=，即∠B=﹣∠A，∴＜∠A＜，∴＜2∠A﹣＜，∵c=2，sinC=，∴由正弦定理===得：a=sinA，b=sinB，∴a2+b2=（sinA+sinB）=[sinA+sin（﹣A）]=+sin（2A﹣），∵＜2∠A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，即＜+sin（2A﹣）≤8，则a2+b2的范围为（，8]．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．19．（16分）已知函数f（x）=x2+ax+blnx（a，b∈R）．（1）若b=1且f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值及单调区间；（2）若b=﹣1，f（x）≥0对x＞0恒成立，求a的取值范围；（3）若a+b≥﹣2且f（x）在（0，+∞）上存在零点，求b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；构造法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出函数的导数，利用f（x）在x=1处取得极值，求解a，利用导函数的符号，判断函数的单调性．（2）b=﹣1，f（x）≥0对x＞0恒成立，转化为，函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，求解a的范围．（3）f（x）在（0，+∞）存在零点⇔x2+ax+blnx=0，在（0，+∞）上有解，推出a，b的不等式，令P（x）=x2﹣（b+2）x+blnx，求出函数的导数，①当b＞0时，②当b≤0时，通过函数的单调性以及函数的最值求解即可．【解答】解：（1）函数的定义域为：{x|x＞0}．若b=1，则，由f'（1）=0得a=﹣3，故，当或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间为和（1，+∞），单调递减区间为…（4分）（2）当b=﹣1时，，令g（x）=2x2+ax﹣1易知g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点设为x0，则当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，故f（x）在（0，x0）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，故f（x）在（x0，+∞）单调递增，所以，又即，依题意即，易知h（x）=x2+lnx﹣1在（0，+∞）单调递增，且h（1）=0，故0＜x0≤1，又随x0增大而减小所以a∈[﹣1，+∞）…（10分）‘说明：此题若用分离参数法同样给分．（3）f（x）在（0，+∞）存在零点⇔x2+ax+blnx=0，在（0，+∞）上有解在（0，+∞）上有解，又a+b≥﹣2即a≥﹣b﹣2，故即x2﹣（b+2）x+blnx≤0在（0，+∞）上有解令P（x）=x2﹣（b+2）x+blnx，则，①当b＞0时，P（1）=﹣1﹣b＜0，故P（x）≤0有解，②当b≤0时，易知P（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，所以P（x）min=P（1）=﹣1﹣b≤0，所以﹣1≤b≤0，综上b≥﹣1…（16分）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）若函数f（x）=x（lnx﹣a）（a为实常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）设g（x）=|f（x）|．①求函数g（x）的单调区间；②若函数h（x）=的定义域为[1，e2]，求函数h（x）的最小值m（a）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）将a=0代入f（x），即可得到f（x）的表达式，求出f′（x），根据导数的几何意义，切线的斜率k=f′（1），切点为（1，0），由点斜式即可得到函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）根据绝对值的定义，先将g（x）=|f（x）|转化为g（x）=，①对g（x）分两段进行分析，当x≥e a时，令g′（x）＞0和g′（x）＜0，求解即可得到g（x）的单调区间，当x＜e a时，令g′（x）＞0和g′（x）＜0，求解即可得到g（x）的单调区间；②根据h（x）的定义域，以及分母不为零，可以得到a＞2或a＜0，当a＜0时，可以判断函数g（x）在[1，e2]上单调递增，从而得到g（x）的最大值，即可得到h（x）的最小值，当2＜a＜3时，根据g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，从而得到h（x）的最小值，当a≥3时，根据g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，从而得到h（x）的最小值，最后，将最小值根据a的不同取值范围，写成分段函数的形式，即可得到答案．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，∴k=f′（1）=1，又当x=1时，y=0，∴切点为（1，0），∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x﹣1；（2）∵g（x）=|f（x）|=|x（lnx﹣a）|=x|lnx﹣a|=，①当x≥e a时，g′（x）=lnx+1﹣a＞0恒成立，∴x∈（e a，+∞）时，函数g（x）为增函数；当x＜e a时，g′（x）=a﹣1﹣lnx，令g′（x）=a﹣1﹣lnx＞0，得0＜x＜e a﹣1，令g′（x）=a﹣1﹣lnx＜0，得x＞e a﹣1，∴函数g（x）的单调增区间为（e a，+∞），（0，e a﹣1）；单调减区间为（e a﹣1，e a）；②当x∈[1，e2]时，lnx∈[0，2]，∵h（x）==的定义域为[1，e2]，∴a＞2或a＜0，（i）当a＜0时，e a＜1，∴函数g（x）在[1，e2]上单调递增，则g（x）的最大值为（2﹣a）e2，∴h（x）在区间[1，e2]上的最小值为m（a）=；（ii）当2＜a＜3时，e2＜e a，且1＜e a﹣1＜e2，∴函数g（x）在[1，e a﹣1）上单调递增，在（e a﹣1，e2]上单调递减，则g（x）的最大值为e a﹣1，∴h（x）在区间[1，e2]上的最小值为m（a）=；（iii）当a≥3时，e a﹣1＞e2，∴函数g（x）在[1，e2]上单调递增，则g（x）的最大值为（a﹣2）e2，∴h（x）在区间[1，e2]上的最小值为m（a）=．综上所述，函数h（x）的最小值m（a）=．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值问题．对于函数的定义域是指使得函数的解析式有意义的取值范围，要熟悉基本初等函数的定义域以及常见函数的限制条件．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．。

（图1）江苏省如东高级中学2016届高三年级开学考试数 学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .3.右图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 .4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂= 则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥；③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥ ，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 . 8.已知命题()()2:,2,P b f x x b x c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命图2题，则取得真命题的概率是 9.若函数2()(,,)1b x cf x a b c R x a x +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a . 10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足 ()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，图3向量()(1sin ,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+ ，且.n m ⊥（1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？18. 如图6，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率ABCMPD图4 公 路HG F E DC B A 图512e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅= ．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．P（第21 - A 题）（第22题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．江苏省如东高级中学2016届高三年级开学考试数学答案一、填空题1.52..{}0,1-3.24.),2()2,1(+∞5.7.26. ①③7.8. 149.4 10. ),1(4481,+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞- 11. []0,π 12.)1,31()21,1( -- 13.2047 14. []1,0-提示：1.i z +-=2，则i z --=2，则5)1()2(22=-+-=z .2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又{}3,,0,1-=A ，所以{}0,1-=B A .3. 当4-=x 时，34>-，则7=x ；当7=x 时，37>，4=x ；当4=x 时，34>，1=x ；当1=x 时，31>不成立，则输出221==y .4.要使原式有意义，则⎩⎨⎧≠->-1101x x ，即1>x 且2≠x .5.2出现44.010=⨯次，5出现22.010=⨯次，8出现44.010=⨯次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。

江苏省如皋中学2016-2017学年高三第一学期第一次月考数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1,21,cos ,1B A θ，若B A =，则锐角θ= .2.已知幂函数()f x的图像过点1,22⎛ ⎝⎭，则()4f = .3.若函数()()ππ()sin 44f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ．4.若函数2(e )()e 1x x x m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ．5.函数y 的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B = .6.已知x ，y 满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 ．7.已知点P 在直线21y x =+上，点Q 在曲线ln y x x =+上，则P 、Q 两点间距离的最小值为 ．8.若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0 0 )A ωϕπ>><2，，的图象关于坐标原点中心对称，且在y 轴右侧的第一个极值点为x π=3，则函数()f x 的最小正周期为 ．9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集为________．10.已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2cos 2αβ的值为 ．11.在锐角△ABC 中，若tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则tan tan A C 的值为 ．12.已知函数()sin f x x =，()sin 2g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线x m =与()f x 、()g x 的图像分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值是 ．13.已知函数()12x f x a -=+，()()1g x bf x =-，其中a ，R b ∈，若关于x 的不等式()()f x g x ≥的解的最小值为2，则a 的取值范围是 ．14.若实数x ，y 满足22224444x xy y x y -++=，则当2x y +取得最大值时，xy的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=．（1）求tan 2β的值；（2）求sin α的值．16.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A cos B ＝ba ＝3．（1）求C ；（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧⌒AC 上，∠PAB ＝θ，求四边形APCB 面积S (θ)的解析式及 最大值．18.如图是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OA ，OB ，C O 两两成120，C 1O =，C AB =OB+O ，且OA >OB ．现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为k （k 为正常数）；在C ∆AO 区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N ，且N 与C ∆AO 的面积成正比，比例系数为．设x OA =，y OB =．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （2）求N-M 的最大值及相应的x 的值．PABC O18.对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件： ①)(x f 在D 内具有单调性； ②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么称)(x f y =(D x ∈)为闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]； （Ⅱ）判断函数31()(0)4f x x x x =+>是否为闭函数？并说明理由； （Ⅲ）若函数2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．19.已知函数 ()f x（1）求函数()f x 的定义域和值域； （2）设2()()2()2a F x f x f x ⎡⎤=⋅-+⎣⎦（a 为实数），求()F x 在0<a 时的最大值()g a ；（3）对（2）中)(a g ，若22()m tm g a -++对0<a 所有的实数a 及[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。

江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试高三数学试题命题人：俞向阳一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,2,4A =，{}|(1)(3)0B x x x =--≤，则AB = ．2．命题“[0,)x ∃∈+∞，23x >”的否定是 ．3．在3和243中间插入3个实数1a ，2a ，3a ，使这5个数成等比数列，则2a = ． 4．已知7sin cos 13αα+=-，π(,0)2α∈-，则tan α= ． 5．函数()ln 23x f x x =+-在区间(1,2)上的零点个数为 ．6．已知定义在R 上的函数2()23f x ax x =++的值域为[2,)+∞，则()f x 的单调增区间为 ． 7．函数3()812f x x x =+-在区间[33]-，上的最大值与最小值之和是 ．8．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为 ． 9．若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ． 10．函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当(0,3)x ∈时，()xx f 2=，则(5)f -= ．11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：⑴1()sin cos f x x x =+；⑵2()22f x x =+；⑶3()2(sin cos )f x x x =+；⑷4()sin f x x =；⑸5()2cos (sin cos )222x x xf x =+，其中“互为生成”函数的有 ．（请填写序号）12．已知ABC ∆是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2AB AD AC AD BC ⋅+⋅=，则||BC = ．13．已知直线l 与曲线1y x=-和曲线ln y x =均相切，则这样的直线l 的条数为 ． 14．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++，*n ∈N ，则201420151()k k k a a =-=∑ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分14分)已知集合{}||21|3A x x =-<，{}2|(2)20B x x a x a =-++≤．⑴若1a=，求A B；⑵若A B A=，求实数a的取值范围．16．(本小题满分14分)已知ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足sin sinsin sinb a B Cc B A--=+．⑴求角A的值；⑵若a，c，b成等差数列，试判断ABC∆的形状．17．(本小题满分14分)已知向量a，b，c满足0a b c++=，且a与b的夹角等于150︒，b与c的夹角等于120︒，||2c=，求||a，||b．18．(本小题满分16分) 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列．⑴设此等比数列的公比为q ，求3q 的值；⑵问：数列中是否存在不同的三项m a ，n a ，p a 成等差数列？若存在，求出m ，n ，p 满足 的条件；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2*11,2,n n nS ka ta n n -+=-∈N ≥(其中,k t 为常数)． ⑴若12k =，14t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．20．(本小题满分16分)已知函数()=e x f x (其中e 是自然对数的底数)，2()1g x x ax =++，a ∈R ．⑴记函数()()()F x f x g x =⋅，当0a >时，求()F x 的单调区间；⑵若对于任意的1x ，2[0,2]x ∈，12x x ≠，均有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数a 的取值范围．江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试高三数学试题参考答案一、填空题1．{}1,2； 2．[0,)x ∀∈+∞，23x ≤； 3．27； 4．125-； 5．1； 6．[1,)-+∞（(1,)-+∞也对）； 7．16； 8．210；9．13； 10．2-； 11．⑴⑵⑸； 12．2； 13．1； 14．2029105/2．二、解答题15．解：由题意知，(1,2)A =-；⑴当1a =时，[1,2]B =， [1,2)AB ∴=； …………………………………………………………6分⑵A B A =，A B ∴⊆；①当2a =时，{}2B =，不符合题意； …………………………………………………8分 ②当2a <时，[,2]B a =，由A B ⊆得：1a -≤； ………………………………………11分 ③当2a >时，[2,]B a =，此时A B ⊄，不符合题意；综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． …………………………………………14分16．解：⑴由正弦定理，得：b a b cc b a--=+， 整理，得：222a b c bc =+-， ………………………………………………………4分由余弦定理，得：1cos 2A =，A 是ABC ∆的内角，π3A ∴=； ………………………………………………………7分 ⑵a ，c ，b 成等差数列，2c a b ∴=+，由⑴可知，222a b c bc =+-，222(2)c b b c bc ∴-=+-，整理，得：2330c bc -=，…………………………………12分 由0c >，得b c =，a b c ∴==，∴ABC ∆是等边三角形．……………………………………………………………14分（注：本题第二小问可以用角的化简来处理）17．解：由0a b c ++=得：22222222a b c a b a b cb c a b c b c a⎧⎧+=-++⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=-++⋅=⎪⎪⎩⎩， ………………………5分2222||||2||||cos1504||422||cos120||a b a b b b a ︒︒⎧++=⎪∴⎨++⋅⋅=⎪⎩， …………………………………………10分 解之，得：||23a =，||4b =． …………………………………………14分（注：本题可先判断a c ⊥，或利用平行四边形法则或三角形法则来做）18．解：⑴3S ，9S ，6S 成等差数列，9362S S S ∴=+，∴9693()()0S S S S -+-=，即789789456()()()0a a a a a a a a a ++++++++=， …………………………………4分34564562()()0q a a a a a a ∴+++++=， …………………………………………6分24564(1)0a a a a q q ++=++≠，312q ∴=-；………………………………………8分⑵存在不同的三项1a ，7a ，4a 成等差数列． ………………………………………10分 671114a a q a ==，341112a a q a ==-，7142a a a ∴=+；……………………………12分一般地，当6n m =+，且3p m =+时，有m a ，n a ，p a 成等差数列． …………16分 （注：若利用等比数列求和公式，则必须讨论公比q 是否等于1，不讨论者扣3分）19．解：⑴由题意知，21111(*)24n n n S a a -+=-，21111124n n n S a a ++∴+=-，两式相减，得：22111111(2)2244n n n n n a a a a a n +++-=-≥， …………………………2分 整理，得：11()(2)0(2)n n n n a a a a n +++--=≥，0n a >，12(2)n n a a n +∴-=≥， …………………………………………4分数列{}n a 是等差数列，212a a ∴-=， …………………………………………6分 由(*)得：212211124a a a +=-，11a ∴=±，10a >，11a =+； ……………………………………………………8分⑵由211n n n S ka ta -+=-得2111n n n S ka ta +++=-，两式相减，得：2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥， ………………………………10分设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222n n n n n a kqa ka tq a ta +-=-，2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，由已知，可知0q >，…………………………………12分∴1q ≠，{}n a 不是常数列，0t ∴=； ………………………………………14分11n n S ka -∴+=-，而0n a >且10n S ->，0k ∴<，k t ∴<． ………………………………………………………………………………16分20．解：⑴2()()()e (1)x F x f x g x x ax =⋅=++，()e (1)(+1)0x F x x x a '∴=++= ，得1x =-或1x a =--， ……………………………………………………………2分列表如下：（0a >，11a ∴--<-）……………………………………………………………………………………4分()F x ∴的单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---； ……………6分⑵设12x x <，()e x f x =是单调增函数，12()()f x f x ∴<，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；………8分①由1212()()()()f x f x g x g x -<-得：1122()()()()f x g x f x g x -<-， 即函数2()()e 1x y f x g x x ax =-=---在[0,2]上单调递增，()()e 20x y f x g x x a '''∴=-=--≥在[0,2]上恒成立， e 2x a x ∴-≤在[0,2]上恒成立；令()e 2x h x x =-，()e 20ln 2x h x x '∴=-=⇒=，∴[0,ln 2)x ∈时，()0h x '<；(ln 2,2]x ∈时，()0h x '>；ln 2min ()(ln 2)e 2ln 222ln 2h x h ∴==-=-，22ln2a ∴-≤； …………………………………………………………12分②由1221()()()()g x g x f x f x -<-得：1122()()()()g x f x f x g x +<+， 即函数2()()e 1x y f x g x x ax =+=+++在[0,2]上单调递增， ()()e 20x y f x g x x a '''∴=+=++≥在[0,2]上恒成立， e 2x a x ∴--≥在[0,2]上恒成立；函数e 2x y x =--在[0,2]上单调递减，∴当0x =时，0max e 201y =--⋅=-， 1a ∴≥-，综上所述，实数a 的取值范围为[1,22ln 2]--．…………………………………………16分。

2008-2009学年江苏省如皋市高三数学第一次统一考试试卷（理）一、填空题1． 若)4lg(lg )3lg(2y x y x +=-，则yx的值等于 ． 2． 设的大小关系是、、，则，，c b a c b a 243.03.03log 4log -=== ．（按由小到大的顺序排列）3． 设a 、R b ∈，则b a >是22b a >的 条件．4．函数y =的定义域为 ． 5． 把函数152++=x y 的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图像的函数解析式为_____________． 6． 已知{}{}2(),|()()()6,()246,()(),|()()g x x x f x g x f x x g x x x h x f x x x f x g x ⎧∈≥⎪=-+=-++=⎨∈<⎪⎩, 则()h x 的最大值为 ． 7． 设,A B 是非空集合，定义：{|}A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{|A x y ==，1{|2(0)}xB y y x ==>则A B ⊗为__________．8． 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点(1,1)M 、11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭、(2,1)Q 、12,2H ⎛⎫⎪⎝⎭中，“好点”的个数为 个． 9． 已知点)2,2(π--A ，B()43,2π,O(0,0),则△ABO 为 三角形． 10．已知函数的定义域为(),0+∞，且1)1(2)(-=x xf x f ，则=)(x f ． 11．直线{ty t x 2322+=--=上与点P (－2，3)距离为2的点的坐标为 ．12．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足条件：)()1(x f x f -=+，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于)(x f 的命题：①)(x f 是周期函数；②)(x f 的图象关于直线x =1对称；③)(x f 在[0，1]上是增函数；④)(x f 在[1，2]上是减函数；⑤)0()2(f f =其中正确的命题序号是 ．（注：把你认为正确的命题序号都填上）13．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，则不等式2(2)(log )f f x <的解集为__________． 14．今有一组实验数据如下：（填函数表达式的序号）．（A ）t v 2log =；（B ）t v 21log =；（C ） 212-=t v ；（D ）22-=t v ．二、解答题15．（本小题满分14分）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(． （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围．16．(本小题满分14分)若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=l 与ρ=2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．17．(本小题满分15分)已知集合A ＝2{|log (2)2}x x +<，B ＝{|(1)(1)0}x x m x m -+--<． （1）当m ＝2时，求A B ；（2）求使B ⊆A 的实数m 的取值范围．已知0>c ，设P ：18．(本小题满分15分)已知函数)(x f 满足)(1)(log 12---=x x a ax f a ，其中0>a 且1≠a ． （1）求函数)(x f 的解析式，并判断其奇偶性单调性；（2）对于函数)(x f ，当)1,1(-∈x 时，0)1()1(2<-+-m f m f ，求实数m 的取值范围；（3）当)2,(-∞∈x 时，4)(-x f 的值恒为负数，求a 的取值范围． 19．(本小题满分16分)已知二次函数)1(,)(2++=x f bx ax x f 为偶函数，函数f （x ）的图象与直线y=x 相切． （1）求f （x ）的解析式（2）已知k 的取值范围为),32[+∞,则是否存在区间[m ，n ]（m ＜n )，使得f （x ）在区间[m ，n ]上的值域恰好为[km ，kn ]？若存在，请求出区间[m ，n ]；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)记函数f (x )的定义域为D ，若存在D x ∈0，使00)(x x f =成立，则称),(00y x 为坐标的点为函数f (x )图象上的不动点． （1）若函数bx ax x f ++=3)(图象上有两个关于原点对称的不动点，求a ，b 应满足的条件；（2）在（1）的条件下，若a=8,记函数f(x) 图象上有两个不动点分别为A1，A2，P为函数f(x)图象上的另一点，其纵坐标p y>3，求点P到直线A1A2距离的最小值及取得最小值时的坐标；（3）下述命题：“若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，请举一反例．参考答案一、填空题 1．912．c b a << 3．既不充分条件又不必要条件 4．[－4，－π] [0，π] 5．92y +=x 6．6 7．[)），＋（∞⋃21,0 8．2个 9．等腰直角三角形 10．3132)(+=x x f 11．（-3，4），（-1，2） 12．①、②、⑤ 13．),4()41,0(+∞ 14．C二、解答题15．（本小题满分14分）解：（1）设c bx ax x f ++2(）＝由x x f 2)(->得0)2(2>+++c x b ax 它的解集为（1，3）得方程0)2(2=+++c x b ax 的两根为1和3且a <0ac a b =⨯+-=+31231{即a c a b 324{=--= ……（1） ……3分 0606)(2=+++=+a c bx ax a x f 即有等根得0)6(42=+-=∆a c a b ……（2） ……6分由(1)(2)及0<a 得53,56,51-=-=-=c b a故)(x f 的解析式为.535651)(2---=x x x f ……8分（2）由aa a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-= 及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得 ……10分 由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a ……12分 解得 .03232<<+---<a a 或 ……14分16．（本小题满分14分）解：由1ρ=得221x y +=， ………………………………2分又22cos()cos ,cos sin 3πρθθθρρθθ=+=∴=-220x y x ∴+-=， ……………………………………6分由22221x y x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得1(1,0),(,2A B -, …………………………10分AB ∴== ……14分17．（本小题满分15分）．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(． （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围．解：（1）设c bx ax x f ++2(）＝由x x f 2)(->得0)2(2>+++c x b ax 它的解集为（1，3）得方程0)2(2=+++c x b ax 的两根为1和3且a <0ac a b =⨯+-=+31231{即a c a b 324{=--= ……（1） ……3分 0606)(2=+++=+a c bx ax a x f 即有等根得0)6(42=+-=∆a c a b ……（2） ……6分由(1)(2)及0<a 得53,56,51-=-=-=c b a故)(x f 的解析式为.535651)(2---=x x x f ……8分（2）由aa a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-= 及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得 ……10分 由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a ……12分 解得 .03232<<+---<a a 或 ……15分18解：（1）当m ＝2时，A ＝（-2，2），B ＝（-1，3）∴ A B ＝（-1，2）． (5)分（2）当m ＜0时，B ＝（1+m ，1-m ）要使B ⊆A ，必须1212m m +≥-⎧⎨-≤⎩，此时-1≤m<0； ……8分当m ＝0时，B ＝Φ，B ⊆A ；适合 ……10分当m ＞0时，B ＝（1-m ，m ＋1）要使B ⊆A ，必须1212m m -≥-⎧⎨+≤⎩，此时0<m ≤1． ……13分∴综上可知，使B ⊆A 的实数m 的取值范围为[-1，1] ……15分法2 要使B ⊆A ，必须212212{≤+≤-≤-≤-m m ，此时-1≤m ≤1； ……13分∴使B ⊆A 的实数m 的取值范围为[-1，1] ……15分18．（本小题满分15分）（1）解：由)(1)(log 12---=x x a a x f a 得)(1)(2xx a a a a x f ---=， 为奇函数)()()(1)(2x f x f a a a ax f x x ∴-=--=-- ． ………………2分 设)(1)()(221122121x x x x a a a a a ax f x f x x --+---=-<则 =)1)((1212112x x a a x x a a a a+--＜0(讨论a ＞1和0＜a ＜1)， 得f (x )为R 上的增函数． ………………5分 （2）由)1()1(0)1()1(22m f m f m f m f --<-<-+-得， …………7分 即)1()1(2-<-m f m f 得11112<-<-<-m m ， ………………9分 得1＜m ＜2. ………………10分（3）f (x )在R 上为增函数)f (x ) 当)2,(x -∞∈时)f (x )-4的值恒为负数， ………13分 而f (x )在R 上单调递增得f (2)-4≤0， ………………15分 19．（本小题满分16分）解：（1）∵f （x+1）为偶函数，∴即),1()1(+=+-x f x f )1()1()1()1(22+++=+-++-x b x a x b x a 恒成立， 即（2a +b ）x =0恒成立，∴2a +b =0．∴b =－2a ． ………………2分 ∴ax ax x f 2)(2-=．∵函数f （x ）的图象与直线y =x 相切，∴二次方程0)12(2=+-x a ax 有两相等实数根， ∴004)12(2=⨯-+=∆a ax x x f a +-=-=∴221)(,21 ………………6分（2）,2121)1(21)(2≤+--=x x f,4321,32,21],21,(],[≤≤∴≥≤∴-∞⊆∴k n k kn kn km 又上是单调增函数在],[)(],1,(],[n m x f n m ∴-∞⊆∴ ………………8分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-⎩⎨⎧==∴,2121,)()(22kn n n kmm m kn n f km m f 即即n m ,为方程kx x x =+-221的两根k x x 22,021-==． ………………11分∵m ＜n 且32≤k ．故当]22,0[],[132k n m k -=<≤时，； 当k ＞1时，];0,22[],[k n m -=当k =1时，[m ，n ]不存在． ………………16分 20．（本小题满分16分）解：（1）若),(00y x 为函数f (x )不动点，则有00003)(x bx ax x f =++=，整理得 0)3(020=--+a x b x ① ………………2分 根据题意可判断方程①有两个根，且这两个根互为相反数，得a b 4)3(2+-=∆>4a 且0321=-=+b x x ，a x x -=⋅21<0所以b=3 ,a>0 ………………4分 而393)(+-+=x a x f ，所以9≠a ． 即b =3，a >0，且a ≠9. (5)分（2）在（1）的条件下，当a =8时，383)(++=x x x f ． 由383++=x x x ，解得两个不动点为)22,22(),22,22(21--A A ，……6分 设点P (x ,y ),则y >3 ,即383++x x >3解得x <-3 ． (8)分设点P (x ，y )到直线A 1A 2的距离为d ，则|631)3(|21|383|212||+--+--==++-=-=x x x x x y x d 24)62(21=+≥． ………………10分当且仅当313--=--x x ，即x =—4时，取等号，此时P (—4，4)． ……12分（3）命题正确． ………………13分因为f (x)定义在R 上的奇函数，所以f (—0)=—f (0) ,所以0是奇函数f (x )的一个不动点．设c ≠0是奇函数f (x )的一个不动点,则f (c )=c ,由c c f c f -=-=-)()(，所以—c 也是f (x )的一个不动点．所以奇函数f (x )的非零不动点如果存在,则必成对出现，故奇函数f (x )的不动点数目是奇数个．………………16分。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…（无限循环小数）D. √-12. 函数f(x) = 2x - 3的图象与x轴的交点坐标是（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (3, 0)D. (-1, 0)3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，S5=55，则公差d为（）A. 4B. 5C. 6D. 74. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 2B. x^2 < 4C. x^2 > 1D. x^2 ≥ 15. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定6. 函数y = log2(x+1)的图象上，y值最大的点为（）A. (0, 1)B. (1, 1)C. (2, 1)D. (3, 1)7. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC为（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形8. 若复数z满足z^2 - 2z + 1 = 0，则|z-1|的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 2C. 3x^2 + 3D. 3x^2 + 210. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √9B. 2/3C. πD. 0.3333…（无限循环小数）二、填空题（每题5分，共25分）11. 若等比数列{an}的第一项a1=1，公比q=2，则第n项an=__________。

12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(-1) = 4，则b=__________。

13. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的对应点位于__________。

淮海中学2016届高三年级冲刺一统模拟试卷数学 I参考公式(1) 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．(2) 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B = ▲ ．2. 复数«Skip Record If...»的实部为 ▲ ．3. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取 ▲ 名学生．4. 从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为 ▲ ．5. 函数«Skip Record If...»的图像中，离坐标原点最近的一条对 称轴的方程为 ▲ ．6. 如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的 值为 ▲ ．7. 等比数列«Skip Record If...»的公比大于1，«Skip Record If...»， 则«Skip Record If...» ▲ ． 注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

3.作答试题，必须用毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。