7 函数

七个重要的奇函数1、正弦函数：正弦函数是一个常见的函数，它的定义为y = sin x，其中x是定义域的角度单位，y是值域的正弦值，采用弧度制表示为y = sin(θ)，其中θ为弧度值。

此函数有许多应用，在振动力学、传送力学、电器工程、地理学等多学科及其领域都有着重要的地位。

2、余弦函数：余弦函数是一个对称的函数，它的定义为y = cos x，其中x是定义域的角度单位，y是值域的余弦值，采用弧度制表示为y = cos(θ)，其中θ为弧度值。

振动力学、旋转力学、复变函数、地理学等领域都采用此函数大量的运算结果。

3、双曲正弦函数：双曲正弦函数是一类比较特殊的函数，它的定义为y = sinh x，其中x是定义域的参数，y是值域的双曲正弦值，采用弧度制表示为y = sinh(θ)，其中θ为弧度值。

它是用来描述零温度以上的分子动力学现象，广泛应用于磁流体力学、热力学、孔径理论等多学科领域。

4、双曲余弦函数：双曲余弦函数是一类比较特殊的函数，它的定义为y = cosh x，其中x是定义域的参数，y是值域的双曲余弦值，采用弧度制表示为y = cosh(θ)，其中θ为弧度值。

它主要应用于极限分析、宇宙学、核物理等领域，一般用于描述宇宙膨胀、电磁力学、流体力学等现象。

5、正切函数：正切函数是一类特殊的函数，它的定义为y = tan x，其中x是定义域的角度单位，y是值域的正切值，采用弧度制表示为y = tan(θ)，其中θ为弧度值。

它可以用来求出有关角度的三角形的长度、宽度以及角度、极限等关系，广泛应用于机械工程、电子学、旋转力学、建筑学等领域。

6、双曲正切函数：双曲正切函数是一类特殊的函数，它的定义为y = tanh x，其中x是定义域的参数，y是值域的双曲正切值，采用弧度制表示为y = tanh(θ)，其中θ为弧度值。

它主要用于研究复杂系统的动态特性，并可以更好的分析极限系统的运行规律，因此，它的应用廣泛应用于热控、自动控制、现代机械工程、现代工程数学等领域。

Y.P.M 数学竞赛讲座 1绝对值函数在这里绝对值函数f(x)特指函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |.1.图像变换[例1]:(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|,f 2(x)=|f 1(x)-2|,则函数y=f 2(x)的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是_________.[解析]:[评注]:①函数y=f(|x|)是偶函数,图像关于y 轴对称,在y 轴右侧的图像与y=f(x)的图像重合;②函数y=|f(x)|是非负函数,y=f(x)在x 轴上方的图像与y=|f(x)|的图像重合,y=f(x)在x 轴下方的图像与y=|f(x)|的图像关于轴对称.[类题]:1.(2006年湖北高考试题)关于x 的方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)32.(2005年上海高考试题)设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-1,01||,1|lg |x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )(A)b<0,且c>0 (B)b<0,且c=0 (C)b>0,且c<0 (D)b ≥0,且c=03.(1986年全国高中数学联赛试题)已知f(x)=|1-2x|,x ∈[0,1].那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 2.几何意义[例2]:(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)2005个实数x 1,x 2,…,x 2005满足|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005 -x 1|=1,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于 .[解析]:[评注]:数轴上的点P 、A 对应的实数分别是x 、a,则|PA|=|x-a|.这就是绝对值的几何意义.利用该几何意义可得|x-a|+ |x-b|≥|a-b|;|x-a|-|x-b|≤|a-b|.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知实数x 满足|2x+1|+|2x-5|=6,则x 的取值范围是 .2.(2009年重庆高考试题)不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )(A)(-∞,-1]∪[4,+∞) (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)[1,2] (D)(-∞,1]∪[2,+∞)3.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)在平面直角坐标系中定义两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)之间的交通距离为d(P,Q)=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的交通距离相等,其中实数x,y 满足0≤x ≤10,0≤y ≤10,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________. 3.三角不等[例3]:(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)当实数a ∈ 时,不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3.[解析]:[评注]:绝对值三角不等式:||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|,|a-c|≤|a-b|+|b-c|.[类题]:1.(2009年辽宁高考试题)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.如果∀x ∈R,f(x)≥2,则a 的取值范围是 .2.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)对于任意实数x,若不等式|x-3|+|x-4|>a(a>0)恒成立,则实数a 应满足( )(A)0<a<1 (B)0<a ≤1 (C)a>1 (D)a ≥13.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)已知不等式|x-a|+|x-b|<1(其中a,b 是常数)的解集是空集,则2 Y.P.M 数学竞赛讲座 |a-b|的取值范围是( )(A)(-1,1) (B)(0,1) (C)[1,+∞) (D)(1,+∞)4.零点方法[例4]:(2002年全国高中数学联赛北京初赛试题)已知f(x+1)=|x-1|-|x+1|,且f(f(x))=f(2002)+1,则x= .[解析]:[评注]:零点法,即令函数f(x)中每个绝对值内的式子等于零,分别求出x 的值,并把求出的值表示在数轴上,然后按这些点把数轴分成的部分,由左至右分类去绝对值.[类题]:1.(1993年第四届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)函数f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值为_______.2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数x 满足log 2x=1+cos θ,其中θ∈[-2π,0],则函数f(x)=|x-1|+2|x-3|的最大值等于 .3.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2143--+x x +3168--+x x 的最小值为 ,此时x ＝ . 5.二阶函数[例5]:(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设函数f(x)=|1-2x|-3|x+1|,如果方程f(x)=a 恰有两个不同的实数根u,v,满足2≤|u-v|≤10,则实数a 的取值范围是 .[解析]:[评注]:二阶函数f(x)=a|x-x 1|+b|x-x 2|(x 1<x 2)有如下性质:①当a+b>0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},当a+b<0时,f(x)有最大值=max{f(x 1),f(x 2)},当a+b=0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},也有最大值=max{f(x 1),f(x 2)};②当且仅当a=b 时,f(x)的图像是轴对称图形,且对称轴为x=221x x +;③当且仅当a+b=0时,f(x)的图像是中心对称图形,且对称中心为(221x x +,f(221x x +)). [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛试题)设实数a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 2对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是 .2.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a 的值为( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)-13.(2010年湖南高考试题)用min{a,b}表示a,b 两数中的最小值.若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=-21对称,则t 的值为( )(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1 6.最值问题[例6]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生试题)函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值为_______.[解析]:[评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |有如下结论:①函数f(x)的极值在零点x 1,x 2,…,x n 处取得;②当a 1+a 2+…+a n >0时,f(x)有最小值;当a 1+a 2+…+a n <0时,f(x)有最大值;当a 1+a 2+…+a n =0时,f(x)有最小值,也有最大值;③当|a i |为正整数时,零点x i 计|a i |次,把这些零点由小到大的排列.当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为奇数时,所有零点的中间数是其极值点;当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为偶数时,所有零点的中间两数(包括这两个数)之间的任意一个数都是其极值点.[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|的最小值为_______.2.⑴(2007年第十八届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)=∑=--101|)1 2(| nnx的最小值是( )(A)40 (B)50 (C)60 (D)80⑵(2006年全国Ⅱ高考试题)函数f(x)=∑=-191| |nnx的最小值为( )(A)190 (B)171 (C)90 (D)453.(2009年上海高考试题)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站.使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.7.图象性质[例7]:(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知f(x)=|x+1|+|x+2|+ …+|x+2007|+|x−1|+|x−2|+…+|x−2007|(x∈R),且f(a2−3a+2)=f(a−1),则a的值有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个[解析]:[评注]:关于函数f(x)=a1|x-x1|+a2|x-x2|+…+a n|x-x n|的图像有如下结论:①函数f(x)图像的两端是两条射线,这两条射线所在直线的斜率及在y轴上的截距分别互为相反数;②函数f(x)图像的是轴对称图形的充要条件是:所有零点关于其中位数对称,且关于中位数对称的两零点所对应的系数相等,其对称轴为x=中位数;③函数f(x)图像的是中心对称图形的充要条件是所有零点关于其中位数对称,关于中位数对称的两零点所对应的系数互为相反数,且所有系数和为零,其对称中心为(x0,f(x0)),其中x0为零点的中位数.奇数阶绝对值函数不是中心对称图形.[类题]:1.(2012北约自主招生试题)求x的范围,使得|x+2|+|x|+|x-1|是增函数.2.(原创题)若函数f(x)=|x+1|+2|x+a|+(b-1)|x+3|的图像为轴对称图形,则a+b= .3.(原创题)函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-1006|-|x-1007|-|x-1008|-…-|x-2012|图像的对称中心为 .8.综合函数[例8]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若对于任意的实数x,函数f(x)=x2-2x-|x-1-a|-|x-2|+4的值都是非负实数,则实数a的最小值为 .[解析]:[评注]:[类题]:1.(2005年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,则使f(x)≥22的x的取值范围为 .2.(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.则不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为 .3.(2008年广东高考试题)己知a∈R,若关于x的方程x2+x+|a-41|+|a|=0有实根,则a的取值范围是.绝对值函数在这里绝对值函数f(x)特指函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |.1.图像变换[例1]:(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|,f 2(x)=|f 1(x)-2|,则函数y=f 2(x)的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是_________. y y y[解析]:f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|, 1 2 f 2(x)=|f 1(x)-2|的图像如图: O -1 O 1 x 1其面积为8-1=7. -3 O 3 x [评注]:①函数y=f(|x|)是偶函数,图像关于y 轴对称,在y 轴右侧的图像与y=f(x)的图像重合;②函数y=|f(x)|是非负函数,y=f(x)在x 轴上方的图像与y=|f(x)|的图像重合,y=f(x)在x 轴下方的图像与y=|f(x)|的图像关于轴对称.[类题]:1.(2006年湖北高考试题)关于x 的方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解:令f(x)=|x 2-1|,设方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0的两根分别为y 1、y 2,则y 1+y 2=1,y 1y 2=k,k ≤41,且f(x)=y 1,f(x)=y 2,①由图知,方程恰有2个实根⇔y 1>1,y 2<0,如y 1=2,y 2=-1,k=-2满足条件,所以①正确;②由图知,方程恰有4个实根⇔y 1=y 2=21,k=41所以②正确;③由图知,方程恰有5个实根⇔y 1=1,y 2=0,k=0所以③正确;④由图知,方程恰有8个实根⇔y 1≠y 2,且y 1、y 2∈(0,1),如y 1=31,y 2=32,k=92满足条件,所以④正确.综上,正确命题的个数为4,假命题的个数为0,故选(A).2.(2005年上海高考试题)设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-1,01||,1|lg |x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )(A)b<0,且c>0 (B)b<0,且c=0 (C)b>0,且c<0 (D)b ≥0,且c=03.(1986年全国高中数学联赛试题)已知f(x)=|1-2x|,x ∈[0,1].那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 解:f(x)=|1-2x|=|2x-1|的图像如图: y y yf(f(x))=|2|2x-1|-1|的图像如图: 1(求该函数的零点41,43); O 21 x O 41 43 x O 81 41 43 87 x f(f(f(x)))=|2|2|2x-1|-1|-1|(求该函数的零点81,41,43,87),共有8个解. 由y=f(x)到y=|2f(x)-1|的变换:纵坐标伸长2倍,得值域[0,2];再向下平移1个单位,最后作绝对值变换.2.几何意义[例2]:(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)2005个实数x 1,x 2,…,x 2005满足|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005 -x 1|=1,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于 .[解析]:在数轴上取点P i :x i ,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|=|OP 1|+|OP 2|+…+|OP 2005|,|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005-x 1| =1⇔|P 1P 3|+|P 2P 3|+…+|P 2004P 2005|+|P 1P 2005|=1⇒2|P 1P 2005|≥1,为使|OP 1|+|OP 2|+…+|OP 2005|最小,取P 1,P 2…,P 2004为O,P 2004, 0.5⇒|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于0.5.2 Y.P.M 数学竞赛讲座[评注]:数轴上的点P 、A 对应的实数分别是x 、a,则|PA|=|x-a|.这就是绝对值的几何意义.利用该几何意义可得|x-a|+ |x-b|≥|a-b|;|x-a|-|x-b|≤|a-b|.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知实数x 满足|2x+1|+|2x-5|=6,则x 的取值范围是 .2.(2009年重庆高考试题)不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )(A)(-∞,-1]∪[4,+∞) (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)[1,2] (D)(-∞,1]∪[2,+∞)3.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)在平面直角坐标系中定义两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)之间的交通距离为d(P,Q)=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的交通距离相等,其中实数x,y 满足0≤x ≤10,0≤y ≤10,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________.解:由条件得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|.①当x ≤1,y ≤3时,无解;②当x ≤1,3≤y ≤9时,y=8.5,线段长为1;③当x ≤1,y ≥9时,无解;④当1≤x ≤6,y ≤3时,无解;⑤当1≤x ≤6,3≤y ≤9时,x+y=9.5,线段长为52;⑥当1≤x ≤6,y ≥9时,无解;⑦当x ≥6,y ≤3时,无解;⑧当x ≥6,3≤y ≤9时,y=3.5,线段长为4;⑨当x ≥6,y ≥9时,无解.综上所述,点C 的轨迹构成的线段的长之和为1+52+4=5(1+2). 3.三角不等[例3]:(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)当实数a ∈ 时,不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3.[解析]:不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3⇔∀x ∈R,|x+a+1|+|x+a 2-2|≥3⇔|(a 2-2)-(a+1)|≥3⇔a 2-a ≤0,或a 2-a-6≥0⇔a ∈(-∞,-2]∪[0,1]∪[3,+∞). [评注]:绝对值三角不等式:||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|,|a-c|≤|a-b|+|b-c|.[类题]:1.(2009年辽宁高考试题)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.如果∀x ∈R,f(x)≥2, 则a 的取值范围是 .2.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)对于任意实数x,若不等式|x-3|+|x-4|>a(a>0)恒成立,则实数a 应满足( )(A)0<a<1 (B)0<a ≤1 (C)a>1 (D)a ≥13.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)已知不等式|x-a|+|x-b|<1(其中a,b 是常数)的解集是空集,则|a-b|的取值范围是( )(A)(-1,1) (B)(0,1) (C)[1,+∞) (D)(1,+∞)4.零点方法[例4]:(2002年全国高中数学联赛北京初赛试题)已知f(x+1)=|x-1|-|x+1|,且f(f(x))=f(2002)+1,则x= .[解析]:f(x+1)=|x-1|-|x+1|⇒f(x)=|x-2|-|x|⇒f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<)2(2)20(22)0(2x x x x ,f(2002)=-2⇒f(2002)+1=-1,①当x<0时,f(x)=2⇒f(f(x))=f(2)=-2;②当x>2时,f(x)=-2⇒f(f(x))=f(-2)=2;③当0≤x ≤2时,f(x)=2-2x ⇒f(f(x))= f(2-2x)=2|x|-2|x-1|=2x-2|x-1|=-1⇒2x+1=2|x-1|⇒x=41. [评注]:零点法,即令函数f(x)中每个绝对值内的式子等于零,分别求出x 的值,并把求出的值表示在数轴上,然后按这些点把数轴分成的部分,由左至右分类去绝对值.[类题]:1.(1993年第四届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)函数f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值为_______.2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数x 满足log 2x=1+cos θ,其中θ∈[-2π,0],则函数f(x)=|x-1|+2|x-3|的最大值等于 .3.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2143--+x x +3168--+x x 的最小值为 ,Y.P.M 数学竞赛讲座 3 此时x ＝ .5.二阶函数[例5]:(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设函数f(x)=|1-2x|-3|x+1|,如果方程f(x)=a 恰有两个不同的实数根u,v,满足2≤|u-v|≤10,则实数a 的取值范围是 .[解析]:因为函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤≤----<+)21)(4()211(25)1(4x x x x x x 的图像如图: 当a>3时,f(x)=a 无解;当a=3时,f(x)=a 只有一个解;当-29≤a<3时,直线y=a 与y=x+4和y=-5x-2有两个交点,故此时f(x)=a 有两个不同的解u=a-4,v=-51(a+2),2≤|u-v|≤10⇔-316≤a ≤34;当a<-29时,直线y=a 与y=x+4和y=-x-4有两个交点,故此时f(x)=a 有两个不同的解u=a-4,v=-(a+4),2≤|u-v|≤10⇔-5≤a ≤-1,得实数a 的取值范围是[-5,34]. [评注]:二阶函数f(x)=a|x-x 1|+b|x-x 2|(x 1<x 2)有如下性质:①当a+b>0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},当a+b<0时,f(x)有最大值=max{f(x 1),f(x 2)},当a+b=0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},也有最大值=max{f(x 1),f(x 2)};②当且仅当a=b 时,f(x)的图像是轴对称图形,且对称轴为x=221x x +;③当且仅当a+b=0时,f(x)的图像是中心对称图形,且对称中心为(221x x +,f(221x x +)). [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛试题)设实数a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 2对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是 .解:令x=at,则原不等式为|a||2t-1|+|a||3t-2|≥a 2⇔|a|≤|2t-1|+|3t-2|⇔|a|≤31.2.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a 的值为( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)-13.(2010年湖南高考试题)用min{a,b}表示a,b 两数中的最小值.若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=-21对称,则t 的值为( )(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1 6.最值问题[例6]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生试题)函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值为_______.[解析]:f(x)=|x-1|+2|x-21|+…+2011|x-20111|,所有零点由小到大:20111(2011个),20101(2010个),…,21(2个), 1(1个),共有1+2+…+2011=1006×2011个,所以在503×2011个与503×2011+1个零点之间取得最小值,令1+2+…+n<503×2011⇒n 的最小值=1421⇒第503×2011个与503×2011+1个零点均为14221⇒f(x)的最小值为f(14221)= 711592043. [评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |有如下结论:①函数f(x)的极值在零点x 1,x 2,…,x n 处取得;②当a 1+a 2+…+a n >0时,f(x)有最小值;当a 1+a 2+…+a n <0时,f(x)有最大值;当a 1+a 2+…+a n =0时,f(x)有最小值,也有最大值;③4 Y.P.M 数学竞赛讲座 当|a i |为正整数时,零点x i 计|a i |次,把这些零点由小到大的排列.当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为奇数时,所有零点的中间数是其极值点;当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为偶数时,所有零点的中间两数(包括这两个数)之间的任意一个数都是其极值点.[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|的最小值为_______.2.⑴(2007年第十八届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)=∑=--101|)12(|n n x 的最小值是( )(A)40 (B)50 (C)60 (D)80 ⑵(2006年全国Ⅱ高考试题)函数f(x)=∑=-191||n n x 的最小值为( ) (A)190 (B)171 (C)90 (D)453.(2009年上海高考试题)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站.使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.7.图象性质[例7]:(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知f(x)=|x+1|+|x+2|+ …+|x+2007|+|x −1|+|x −2|+…+|x −2007|(x ∈R ),且f(a 2−3a+2)=f(a −1),则a 的值有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 [解析]:由题设知f(x)为偶函数,则考虑在−1≤x ≤1时,恒有f(x)=2×(1+2+3+…+ 2007)=2008×2007.所以当−1≤a 2−3a+2≤1,且−1≤a −1≤1时,恒有f(a 2−3a+2)=f(a −1).故选(D).[评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |的图像有如下结论:①函数f(x)图像的两端是两条射线,这两条射线所在直线的斜率及在y 轴上的截距分别互为相反数;②函数f(x)图像的是轴对称图形的充要条件是:所有零点关于其中位数对称,且关于中位数对称的两零点所对应的系数相等,其对称轴为x=中位数;③函数f(x)图像的是中心对称图形的充要条件是所有零点关于其中位数对称,关于中位数对称的两零点所对应的系数互为相反数,且所有系数和为零,其对称中心为(x 0,f(x 0)),其中x 0为零点的中位数.奇数阶绝对值函数不是中心对称图形.[类题]:1.(2012北约自主招生试题)求x 的范围,使得|x+2|+|x|+|x-1|是增函数.2.(原创题)若函数f(x)=|x+1|+2|x+a|+(b-1)|x+3|的图像为轴对称图形,则a+b= .3.(原创题)函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-1006|-|x-1007|-|x-1008|-…-|x-2012|图像的对称中心为 .8.综合函数[例8]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若对于任意的实数x,函数f(x)=x 2-2x-|x-1-a|-|x-2|+4的值都是非负实数,则实数a 的最小值为 .[解析]:由条件知⎩⎨⎧≥+-=≥++-=02||)1(02|1|)0(a f a f ,解得-2≤a ≤1.当a=-2时,f(x)= x 2-2x-|x+1|-|x-2|+4,对于任意的实数x,f(x)的值都是非负实数,因此a=-2符合要求.所以,实数a 的最小值为-2.[评注]:[类题]:1.(2005年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,则使f(x)≥22的x 的取值范围为 .2.(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.则不等式f(x)≥x 2-8x+15的解集为 .3.(2008年广东高考试题)己知a ∈R,若关于x 的方程x 2+x+|a-41|+|a|=0有实根,则a 的取值范围是 .。

七个常见的有界函数有界函数是指函数在一些范围内有上下界的函数。

以下是七个常见的有界函数，每个函数都会进行详细说明。

1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，其在任意给定周期内的最大值和最小值是有界的。

正弦函数的最大值为1，最小值为-1、因此，sin函数是有界的。

2. 余弦函数（cos）与正弦函数类似，余弦函数也是周期函数。

余弦函数的最大值和最小值也都是有界的，最大值是1，最小值是-13. 正切函数（tan）正切函数在一些点上可能无界，但在给定的范围内是有界的。

例如，在区间[-π/2, π/2]内，正切函数的最大值为正无穷，最小值为负无穷；但在该区间之外，正切函数会无界。

因此，tan函数是一个有界函数。

4.平方根函数（√x）平方根函数是从0到正无穷的单调递增函数，它在0到正无穷范围内是有界的。

最小值为0（当x=0时），最大值则并没有。

然而如果我们限定平方根函数的定义域，例如在[0,1]范围内，则它的最大值为15. 反正弦函数（arcsin）反正弦函数的定义域是[-1,1]，因此它在这个范围内是有界的。

最大值为π/2，最小值为-π/26. 反余弦函数（arccos）与反正弦函数类似，反余弦函数在定义域[-1,1]内是有界的。

最大值为π，最小值为0。

7. 反正切函数（arctan）反正切函数也是一个有界函数，它在整个实数范围内的最大值为π/2，最小值为-π/2以上七个函数都是常见的有界函数。

它们在特定的定义域或范围内有上下界，可以在不同数学和科学领域中使用。

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则函数的图象是高考的必考点，对于研究函数的单调性、奇偶性以及最值（值域）、零点有举足轻重的作用，但是很多同学看到眼花缭乱的函数解析式，就已经晕头转向了，再去画图象，不是这里错，就是那里有问题，图象也画的乱七八糟，更甭提利用图象去解题了！但掌握以下几步，画函数图象将轻而易举：1、首先，观察是否是基本初等函数（也就是我们在课本中学过的那几类函数），如果是，那就可以直接画；2、如果不是，继续第二步，看看是否是经过一系列函数变换的，比如：翻折变换，对称变换，伸缩变换，平移变换等，如果是，那就根据变换的规律画出图象；3、如果还不是，那基本这个函数图象也不需要你独自画出来了，那种题目基本会考查选择题，能从4个选项中选择出来就可以了！一、基本初等函数的图象一次函数性质：一次函数图象是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。

二次函数性质：二次函数图象是抛物线，a决定函数图象的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图象与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。

反比例函数性质：反比例函数图象是双曲线，当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限。

要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。

指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图象如上右图不同底的指数函数图象在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。

对数函数当底数不同时，对数函数的图象是这样变换的。

幂函数性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图象即可。

对勾函数对于函数y=ax+k/x ，当a>0,k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。

广义euler函数φ7(n)的计算公式
互联网已经深刻地影响着我们的日常生活，它提供了多种服务，为人们的生活提供了便利，其背后也有涉及到数学的部分，比如说，广义欧拉函数，它是一种数论的函数，也可以用于计算互联网中的值，具体来说，在广义欧拉函数中，当n是7时，可以用以下计算公式来计算其值：φ7(n)=Σdp(d/7)，其中，d是小于等于n的所有质数中最小的一个，φ7(n)表示不大于n的正整数中其可整除7的个数，可以说，利用这一函数我们可以更加轻松地计算互联网中相关变量的值，从而为互联网服务提供更精准的支持。

一切都是建立在数学上的，广义欧拉函数正是数学的应用，它的计算公式可以帮助我们正确准确获取值，从而更好地了解互联网的运行情况，以更完善的服务来支持网络用户，同时，它也针对互联网关键参数进行优化，让网络使用更加安全和高效。

总之，数学为互联网提供了可靠的支撑，其中的广义欧拉函数与值的关系也有助于更好地控制和优化互联网，从而满足人们对更高水准的互联网服务的需求。